7.8 复数大题专项
模块一:题型分类.........................................................................2
题型一:复数的四则运算............................................................. 2
题型二:复数范围内方程的根的问题...............................................6
题型三:复数的四则运算与复数特征的综合应用.............................. 11
题型四:复数与其他模块综合......................................................16
7.8 复数大题专项
模块一:题型分类
题型一:复数的四则运算
1.计算:
(1) 1 + 2i + 7 −11i −5 + 6i ;
(2)5i −
6 + 8i −−1 + 3i ;
(3) �+ �i −2�−3�i −3i �,�∈R .
【解题思路】根据复数的加减运算法则即可求解
【解答过程】(1)�+ �i + �−��i −�+ �i = �+ �−�+ �−��−�i = �−��i;
(2)�i −
�+ �i −−�+ �i
= �i −�+ �i =−�;
(3)�+ �i −��−��i −�i = �−��+ �−−��−�i =−�+ ��−�i �,�∈R .
2.已知复数�满足�+ 2i = 5,�= �+ 3 −�i �> 0 .
(1)求�;
(2)若复数�1满足�1 �1 + 2 = �+ 2i,求�1.
【解题思路】(1)根据复数的模长公式即可求解.
(2)根据复数相等的充要条件,即可列方程组求解.
【解答过程】(1)由题意得�= �+ �−�i,
�+ �i = �+ �−�i
所以��+ �−��= ��⇒�= �或�=−�(舍去),
故�= �
(2)设��= �+ �i �, �∈�,
则����= ��+ ��,��+ ��+ ��+ �i = �+ �i
所以��+ ��+ ��= �,
��= �,
解得�= �,
�= �或�=−�,
�= �,
所以��= �+ i 或−�+ i.
3.设�(�) = �−2�,�1 = 3 + 4�,�2 =−2 −�,
求:(1)�(�1 −�2)的值;
(2)�(�1 + �2)的值.
【解题思路】直接利用复数的加法,结合函数的解析式,求解即可.
【解答过程】��= �+ ��,��=−�−�,则��−��= �+ ��,��+ ��= �+ ��.
∵�(�) = �−��,
∴(1)�(��−��) = ��−��−��= �+ ��−��= �+ ��,
(2)�(��+ ��) = ��+ ��−��= �+ ��−��= �+ �.
4.已知复数�1 + �1i,�2 + �2i,�3 + �3i �1, �2, �3, �1, �2, �3 ∈R ,分别记作�1,�2,�3,即�1 = �1 + �1i,
�2 = �2 + �2i,�3 = �3 + �3i,求证:
(1)�1�2 = �2�1;
(2) �1�2 �3 = �1 �2�3 ;
(3)�1 �2 + �3 = �1�2 + �1�3.
【解题思路】利用复数四则运算规则即可证明(1)(2)(3)
【解答过程】(1)����= ��+ ��i
��+ ��i = ����−����+ (����+ ����)i,
����= ��+ ��i
��+ ��i = ����−����+ (����+ ����)i,
则����= ����.
(2)������=
��+ ��i
��+ ��i
��+ ��i = ����−����+ (����+ ����)i ��+ ��i
= ����−������−(����+ ����)��+ ������−����+ ��(����+ ����) i,
������= ��+ ��i
��+ ��i
��+ ��i
= ��+ ��i ����−����+ (����+ ����)i
= ������−����−��(����+ ����) + ��(����+ ����) + ������−����
i
= ����−������−(����+ ����)��+ ������−����+ ��(����+ ����) i,
则������= ������.
(3)����+ ��= ��+ ��i
��+ ��+ ��+ ��i
= ����+ ��−����+ ��+ ����+ ��+ ����+ ��
i,
����+ ����= ��+ ��i
��+ ��i + ��+ ��i
��+ ��i
= ����−����+ (����+ ����)i + ����−����+ (����+ ����)i
= ����−����+ ����−����+ (����+ ����) + (����+ ����) i
= ����+ ��−����+ ��+ ����+ ��+ ����+ ��
i,
则����+ ��= ����+ ����.
5.已知复数�1 = cos�+ isin�, �2 = cos�−isin�, �, �均为锐角,且�1 −�2 =
2 5
5 .
(1)求cos �+ �的值;
(2)若cos�=
4
5,求cos�的值.
【解题思路】
(1)先求出��−��= cos�−cos�+ i sin�+ sin�,利用��−��=
��
�即可求出cos �+ �
的值;(2)利用平方关系求出sin �+ �=
�
�,sin�=
�
�,再利用和差角公式即可求得.
【解答过程】(1)因为复数��= cos�+ isin�, ��= cos�−isin�,所以��−��= cos�−cos�+ i sin�+
sin�.
所以��−��=
cos�−cos��+ sin�+ sin��
=
�−�cos�cos�−sin�sin�
=
�−�cos �+ �
因为��−��=
��
�,所以�−�cos �+ �=
��
�,解得:cos �+ �=
�
�.
(2)因为�, �均为锐角,所以�< �+ �< �,
所以sin �+ �=
�−cos2 �+ �=
�−
�
�
�
=
�
�.
因为�为锐角,cos�=
�
�,所以sin�=
�−cos2�=
�−
�
�
�
=
�
�.
所以cos�= cos �+�−�
= cos �+�cos�+ sin �+�sin�
= �
�× �
�+ �
�× �
�
=
��
��.
6.已知复数�1 =−2 + i,�2 =−1 + 2i.
(1)求�1 −�2,�1 + �2
(2)比较|�1 −�2|与|�1 + �2|的大小.
【解题思路】(1)根据给定条件,利用复数加减法计算作答.
(2)由(1)的结论,利用复数模的定义计算,再比较大小作答.
【解答过程】(1)复数��=−�+ i,��=−�+ �i,
所以��−��= ( −�+ i) −( −�+ �i) =−�−i,��+ ��= ( −�+ i) + ( −�+ �i) =−�+ �i.
(2)由(1)知,|��−��| =
( −�)�+ ( −�)�=
�,|��+ ��| =
( −�)�+ ��= ��,
而�< ��,所以|��−��| < |��+ ��|.
7.计算.
(1)
1+i
1−i
6
+
2+ 3i
3−2i;
(2)
1
2 +
3
2 i
4
.
(3)
1−4i
1+i +2+4i
3+4i
;
(4)
1+i 5
1−i +
1−i 5
1+i ;
(5)
−2 3+i
1+2 3i +
2
1+i
2022
+
4−8i 2−−4+8i 2
11−7i
.
【解题思路】(1)根据复数的四则运算法则,结合�+ i �= �i,i 的乘方的性质运算即可.
(2) 根据复数的乘方运算法则运算即可.
(3)先由复数乘法法则和加法法则化简分子,再利用除法法则求结果即可.
(4)根据�+ i �= �i, �−i �=−�i,结合i 的乘方的性质运算即可.
(5)根据复数四则运算法则,结合�+ i �= �i,结合i 的乘方的性质先计算各部分的值,再相加即可.
【解答过程】(1)原式=
(�+i)�
�
�
+
( �+ �i)( �+ �i)
( �)�+( �)�
= i�+
�+�i+�i−�
�
=−�+ i.
(2)原式=
�
�+
�
�i
��
=
�
�+
�
�i −
�
�
�
= −
�
�+
�
�i
�
=
�
�−
�
�−
�
�i =−
�
�−
�
�i.
(3)原式=
�−�i+�+�i
�+�i
=
�+i
�+�i =
�+i
�−�i
�+�i
�−�i =
��−��i
��
= �−i.
(4)原式=
�+i �+ �−i �
�−i
�+i
=
�+i ��+ �−i ��
�
=
�i �+ −�i �
�
=
−�i+�i
�
= �.
(5)∵
−��+i
�+��i =
−��+i
�−��i
�+��i
�−��i =
��i
��= i,
�
�+i
�
=
�
i
�
=−�,
�
�+i
����
=
�
�+i
����
⋅
�
�+i
�
= −����×
�
i = i,
�−�i �−−�+�i �
��−�i
= �,
∴原式= i + i + �= �i.
8.设复数�1 = �+ �i,�2 = �+ �i,其中�、�、�、�∈R.现在复数系中定义一个新运算⊗,规定:�1 ⊗�2 =
��+ ��+ ��+ ��i.
(1)已知2 −i ⊗�+ i
=
2,求实数x 的值;
(2)现给出如下有关复数新运算⊗性质的两个命题:
①�1 ⊗�2 = �1 ⊗�2;
②若�1 ⊗�2 = 0,则�1 = 0 或�2 = 0.
请判定以上两个命题是真命题还是假命题,并说明理由.
【解题思路】(1)根据复数新定义的运算及模长运算即可得结论;
(2)根据复数新定义设��= �+ �i,��= �+ �i,根据运算逐个求证即可.
【解答过程】(1)由定义,有�−i ⊗�+ i
=
��−�+ �−�i =
�
即��−��+ �−��= �,整理得,���−��+ �= �,
∴�= �或�=
�
�.
(2)①设��= �+ �i,��= �+ �i,则��⊗��= ��+ ��+ ��+ ��i = ��+ ��−��+ ��i,
��⊗��= �−�i ⊗�−�i = ��+ ��−��+ ��i,所以��⊗��= ��⊗��
∴①是真命题.
②设��= �+ �i,��= �+ �i,则��⊗��= ��+ ��+ ��+ ��i=0,
所以��+ ��= �, ��+ ��= �,则�= �, �=−�, �= �, �= �是其一组解,
故得不到��= �或��= �.
∴②是假命题.
题型二:复数范围内方程的根的问题
1.设虚数�1、�2满足�1
2 = �2.
(1)若�1、�2又是一个实系数一元二次方程的两个根,求�1、�2;
(2)把(1)中虚部大于零的根记作�,对任意整数�,计算��+ ��+1 + ��+2;
(3)若�1 = 1 + �i(i 为虚数单位,�为实数),�1 ≤
2,复数�= �2 + 3,求�的取值范围.
【解题思路】(1)设出��的代数形式,利用实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数列式求解作答.
(2)利用复数的加减及乘法运算计算作答.
(3)根据给定条件,求出��的范围,再将�表示为��的函数,求出函数的值域作答.
【解答过程】
(1)设��= �+ �i, �, �∈R,则��= (�+ �i)�= ��−��+ ���i,又��, ��是虚数,即有��≠�,
因为��、��是一个实系数一元二次方程的两个根,则��、��互为共轭复数,
因此��−��= �
���=−�,解得�=−
�
�, �=±
�
�,
所以��=−
�
�−
�
�i,��=−
�
�+
�
�i 或��=−
�
�+
�
�i,��=−
�
�−
�
�i.
(2)由(1)知,�=−
�
�+
�
�i,则�+ �+ ��= �+ �(�+ �) = �+ ( −
�
�+
�
�i)(
�
�+
�
�i) = �−�= �,
对任意整数�,��+ ��+�+ ��+�= ��(�+ �+ ��) = �.
(3)由��= �+ �i 知�∈R, �≠�,又��≤
�,即�< �+ ��≤�,则�< ��≤�,
�= ��
�+ �= (�+ �i)�+ �= �−��+ ��i,
所以|�| =
(�−��)�+ ���=
(��−�)�+ ��∈[ ��, �).
2.关于�的实系数一元二次方程�2 + ��+ �= 0.
(1)若方程有一个根是2 −3i,求�+ �的值;
(2)当�= 3 时,方程的两个虚根�1, �2满足�1 −�2 = 2 2,求�的值.
【解题思路】(1)将�−�i 代入方程,根据实部、虚部为0 求得�, �的值;
(2)用求根公式直接求出两个虚根��, ��,代入��−��= ��求�的值.
【解答过程】(1)因为�−�i 为方程��+ ��+ �= �的一根,
所以�−�i �+ ��−�i + �= �,即�+ ��−�−��+ ��i = �,
所以�+ ��−�= �且��+ ��=�,故�=−�, �= ��,
所以�+ �= �
(2)方程��+ ��+ �= �有两个虚根,则�= ��−��< �,故−��< �< ��,
因为��+ ��+ �= �的两个虚根为
−�± ��−��i
�
,
所以��−��=
��−��i = ��,故��−��= ��,
所以�=± �满足条件.
综上:�=± �.
3.已知虚数�1 = 4cos�+ 3sin�⋅i,�2 = 2 −3sin�⋅i,其中i 为虚数单位,�∈�,�1、�2是实系数一元二
次方程�2 + ��+ �= 0 的两根.
(1)求实数m、n 的值;
(2)若�−�1 + �−�2 = 3 3,求�的取值范围.
【解题思路】(1)根据��、��是实系数一元二次方程��+ ��+ �= �的两根可得��= ��,求出����的值,
进而求得��、��,再根据根与系数的关系求出m、n 的值即可;
(2)根据复平面内�−��+ �−��= ��的几何意义可得��, �在线段����上,进而求得�的取值范
围即可
【解答过程】
(1)由题意,��= ��,即�����+ �����⋅i = �+ �����⋅i,故����=
�
�,根据韦达定理有�=−
��+ ��=−�+ �����⋅i + �−�����⋅i =−�,�= ����= �+ �����⋅i ⋅�−�����⋅i = �+
������= �+ ��−
�
��=
��
�,即�=−�,�=
��
�
(2)由(1)����=±
�−�����=±
�
�,故不妨设��= �+
��
�i,��= �−
��
�i,设�= �+ �i,则�−��+
�−��= ��的几何意义即为复平面内��, �到���,
��
�
,���, −
��
�
的距离之和为��.因为��到��的
距离为
��
�−−
��
�
= ��,故��, �在线段����上.故当��, �时�取得最小值2,当�在��或��时,�
取得最大值��+
��
�
�
=
��
�,故�的取值范围为�,
��
�
.
4.已知关于x 的方程�2 −2��+ �2 −4�+ 4 = 0(�∈�)在复数范围内的两根分别为�、�.
(1)若该方程没有实根,求实数a 的取值范围;并在复数范围内对�2 −2��+ �2 −4�+ 4 进行因式分解;
(2)若|�| + |�| = 3,求实数a 的值.
【解题思路】
(1)若该方程没有实根,则�< �,解之即可,由��−���+ ��−��+ �= �,可得�−��−
��−�⋅i
�= �,即可在复数范围内对��−���+ ��−��+ �进行因式分解;
(2)分�≥�和�< �两种情况讨论,结合韦达定理从而可得出答案.
【解答过程】(1)解:若该方程没有实根,
则�= ���−���−��+ �< �,解得�< �,
由��−���+ ��−��+ �= �,得�−��= ��−�= ��−�⋅i
�,
所以�−��−��−�⋅i
�= �,即�−�+ ��−�⋅i
�−�−��−�⋅i = �,
所以在复数范围内对��−���+ ��−��+ �= �−�+ ��−�⋅i
�−�−��−�⋅i ;
(2)解:当�= ���−���−��+ �≥�,即�≥�时,
则�, �都是实数,
由韦达定理可知
�+ �= ��> �
��= �−��≥�,
故�, �都是非负数,
所以|�| + |�| = �+ �= ��= �,所以�=
�
�;
当�< �,即�< �时,方程有两个共轭虚根,设为�+ �i,�−�i, �, �∈R ,
则
�+ �= ��= ��
��= �−��= ��+ ��,
故|�| + |�| = ���+ ��= ��−�= �,解得�=
�
�或
�
�(舍去),
综上所述,�=
�
�或
�
�.
5.设�, �∈�,已知�1,�2为关于�的二次方程�2 + 2��+ �= 0 两个不同的虚根,
(1)若�= 2,求实数�的取值范围;
(2)若�1 −�2 = 2,
�1
�2 +
�2
�1 = 1,求实数�,�的值.
【解题思路】(1)由题可得二次函数�= ��+ ���+ �的判别式小于0,列式求解即可.
(2)利用韦达定理代入��−��= �可求得�, �的关系,再化简
��
��+
��
��= �利用韦达定理表示,换成�, �的形式
进行求解即可.
【解答过程】(1)由题二次函数�= ��+ ���+ �的判别式小于0,故���−�< �,解得�∈−
�,
�.
(2)由��, ��为关于�的二次方程��+ ���+ �= �两个不同的虚根可得��+ ��=−��, ����= �,又��−
��= �则
(��+ ��)�−�����= �,得
��−�= �,因为��−�< �,故��−�=−�,又
��
��+
��
��= �⇒
��+���−�����
����
= �⇒
���
�= �,���= ��,
故��−�=−�
���= ��
⇒�=±
�
�= �
故�=±
�,�= �.
6.已知关于�的实系数一元二次方程�2 + ��+ �= 0 �, �∈�.
(1)若一根为1 −2i,求�,�的值;
(2)若存在模为1 的虚数根,求�,�满足的条件;
(3)设�= �= 2,�0是虚数根,记�0,�02,�0 −�02在复平面上对应点分别为�,B,�,求��
→
+ ��
→
⋅��
→
的值.
【解题思路】(1)依题意知方程��+ ��+ �= �的两根为�−�i,�+ �i,由根与系数关系可得结果;
(2)设模为1 的虚根为�= �+ �i,�, �∈R,�≠�,且��+ ��= �,则方程��+ ��+ �= �的两根
为�−�i,�+ �i,由根与系数关系可得�=−��,�= ��+ ��= �,进而可得结果;
(3)求出方程��+ ��+ �= �的虚数根,结合复数的运算得到�, �, �的坐标,进而可得结果.
【解答过程】(1)依题意可知,实系数一元二次方程��+ ��+ �= �的两根为�−�i,�+ �i,
所以(�−�i) + (�+ �i) =−�
(�−�i) × (�+ �i) = �,解得�=−�,�= �.
(2)设模为1 的虚根为�= �+ �i,�, �∈R,�≠�,且��+ ��= �,
则实系数一元二次方程��+ ��+ �= �的两根为�−�i,�+ �i,
所以(�−�i) + (�+ �i) =−�
(�−�i) × (�+ �i) = �,解得�=−��,�= ��+ ��= �.
又�≠�,所以�∈−�, �,故�∈−�, �,�= �.
(3)若�= �= �,则方程��+ ��+ �= �的根为−�−i,−�+ i.
若��=−�−i,则���= �i,��−���=−�−�i,则�( −�, −�),�(�, �),�( −�, −�).
所以��
→
+ ��
→
⋅��
→
= ( −�, �) ⋅( −�, −�) =−�;
若��=−�+ i,则���=−�i,��−���=−�+ �i,则�( −�, �),�(�, −�),�( −�, �).
所以��
→
+ ��
→
⋅��
→
= ( −�, −�) ⋅( −�, �) =−�.
故��
→
+ ��
→
⋅��
→
=−�.
7.在①�2�2 = 10(�> 0);②复平面上表示
�1
�2的点在直线�+ 2�= 0 上;③�1(�−i) > 0 这三个条件中任选
一个,补充在下面问题中的横线上,并解答:
已知复数�1 = 1 + i,�2 = �+ 3i;(i 为虚数单位),满足.
(1)若�=
1
�1 +
1
�2,求复数�以及|�|;
(2)若�2是实系数一元二次方程�2 + ��+ 4 −3�= 0 的根,求实数�的值
【解题思路】选条件①,根据����= ��+ �= ��求出a 的值;
选条件②,求出
��
��在复平面上表示点的坐标,代入直线方程求出a 的值;
选条件③,计算��(�−i),根据��(�−i) > �求出a 的值;
(1)计算�和�的值;
(2)根据��是实系数一元二次方程的根,��也是方程的根,利用根与系数的关系求出m 的值.
【解答过程】选条件①:����= ��(�> �).
因为��= �+ i,��= �+ �i,所以����= ��+ �= ��,
解得��= �,又�> �,所以�= �;
选条件②:复平面上表示
��
��的点在直线�+ ��= �上.
因为��= �+ i,��= �+ �i,
所以
��
��=
�+i
�+�i =
�+�
��+�+
�−�
��+�i,其表示的点为(
�+�
��+�,
�−�
��+�),
有
�+�
��+�+ �×
�−�
��+�= �,解得�= �;
选条件③:��(�−i) > �.
因为��= �+ i,所以��(�−i) = (�+ i)(�−i) = (�+1)+(�−�)i > �,
所以�+ �> �
�−�= �,解得�= �.
(1)�=
�
��+
�
��=
�
�+i +
�
�+�i =
�
�−
�
�i,�=
(
�
�)�+ ( −
�
�)�= �;
(2)��是实系数一元二次方程��+ ��+ �−��= �的根,
则��也是该方程的根,所以m=-(��+��)=−(�+ �i+1-3i)=-2.
8.已知关于�的实系数一元二次方程2�2 −4 �−1 �+ �2 + 1 = 0
(1)若�= 2,求方程的两个根;
(2)若方程有两虚根�1, �2,�1 + �2 = 4,求�的值;
(3)若方程的两根为�1, �2,其在复平面上所对应的点分别为�, �,点�关于�轴的对称点为�(不同于点�),
如果��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ≤−1,求�的取值范围.
【解题思路】(1)利用求根公式计算可得;
(2)由�< �求出�的取值范围,依题意可得��、��互为共轭复数,则��= �,即可求出�的值;
(3)分�≥�和�< �两种情况讨论,结合求根公式及数量积的坐标表示,即可得到不等式,解得即可.
【解答过程】(1)当�= �时方程为���−��+ �= �,则�= −��−�× �× �=−��,
所以方程的根为��=
�+ ��i
�
=
�+ �i
�
、��=
�−��i
�
=
�−�i
�
(2)因为方程有两虚根��, ��,所以�= ���−��−�× �× ��+ �= ���−��+ �< �,
解得�−
�< �< �+
�,
此时方程有两个共轭复根��、��,故��= ��,又��+ ��= �,所以��= �,
所以���= ����=
��+�
�
= �,解得�=
�或�=−
�(舍去).
(3)若�≥�,即�≤�−
�或�≥�+
�时,
此时��=
��−�+ �
�
,��=
��−�−�
�
,
则�
��−�+ �
�
, �,�
��−�−�
�
, �,�−
��−�+ �
�
, �,
显然��=
��−�+ �
�
≠�,
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ=
��−�−�
�
, �,��Ԧ
ሬሬሬሬ= −
��−�+ �
�
, �
则��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=−
��−�−�
�
⋅
��−�+ �
�
=
�−���−��
��
=
���−��+�−���−��
��
≤−�,
即��−�≥�,解得�≥�或�≤−�,
所以�> �+
�或�≤−�;
若�< �,即�−
�< �< �+
�时,
设��= �+ �i,��= �−�i(�, �∈R),
则��, �,��, −�,�−�, �,
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ= �, −�,��Ԧ
ሬሬሬሬ= −�, �,
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=−��−��≤−�,即��+ ��≥�,又��+ ��= ��= ��−�,��⋅��= �−�i
�+ �i =
��+ ��=
��+�
�,
所以
��+�
�
≥�,解得�≥�或�≤−�,所以�≤�< �+
�;
综上可得�的取值范围为−∞, −�∪�, + ∞.
题型三:复数的四则运算与复数特征的综合应用
1.已知z 为复数,�−6 和
i�
3+i均为纯虚数,其中i 是虚数单位.
(1)求复数z 的共轭复数�ത;
(2)若复数
1
2 �ത−
1
�−1 +
2
�−2 i 在复平面内对应的点位于实轴下方,求实数m 的取值范围.
【解题思路】(1)设�= �+ �i
�, �∈�,可知�= �,根据复数的除法运算,化简根据题意,即可得出
�= �,根据共轭复数的概念,即可得出答案;
(2)代入化简可得复数为�−
�
�−�+
�
�−�−�i,根据复数的几何意义,结合已知可得
�−�≠�
�
�−�−�< �,求
解即可得出答案.
【解答过程】(1)设�= �+ �i
�, �∈�,
则�−�= �−�+ �i.
因为�−�为纯虚数,所以�= �,且�≠�,
所以�= �+ �i,
所以
i�
�+i =
6i−�
�+i =
6i−�
�−i
�+i
�−i
=
�−��
��+
��+�
��i.
因为
i�
�+i为纯虚数,所以�−��= �,所以�= �,
所以,�= �+ �i,所以�= �−�i.
(2)由(1)知
�
��ത−
�
�−�+
�
�−�i =3 −i −
�
�−�+
�
�−�i = �−
�
�−�+
�
�−�−�i,
所以,复数在复平面内对应的点为�−
�
�−�,
�
�−�−�.
由题意可知,
�−�≠�
�−�≠�
�
�−�−�< �
,解得�< �或�> �,且�≠�,
所以,实数m 的取值范围为−∞, �∪�, �∪�, + ∞.
2.复数�= (1 + i)�2 −(8 + i)�+ 15 −6i(�∈R),求实数m 的取值范围使得:
(1)z 为纯虚数;
(2)z 在复平面上对应的点在第四象限.
【解题思路】(1)根据z 为纯虚数,列出方程,即可求解;
(2)根据z 在复平面上对应的点在第四象限,列出不等式组,即可求解;
【解答过程】(1)�= (�+ i)��−(�+ i)�+ ��−�i= ��−8�+ ��+ ��−�−�i,
若z 为纯虚数,则��−8�+ ��=�
��−�−�≠�,解得:�= �.
(2)由题意知,��−8�+ ��>�
��−�−�< �,解得:−�< �< �.
3.已知复数�1 = 1 + �2 −10 i,�2 = (2�−5)i(�> 0),�1 + �2 ∈�.
(1)求实数�的值;
(2)若�∈�,�−�2 = 2,求�的取值范围.
【解题思路】(1)由已知求得��+ ��,再由虚部为�求解实数�的值;
(2)数形结合求解�的取值范围.
【解答过程】(1)因为��= �+ ��−��i,��= (��−�)i,
所以��+ ��= �+ ��−��i + (��−�)i = �+ ��+ ��−��i.
又因为��+ ��∈�,所以��+ ��−��= �,
解得�=−�或�= �.又因为�> �,所以�= �.
(2)由(1)知��= i,设�= �+ �i,
由�−��= �⇒�+ �−�i = �,所以��+ (�−�)�= �,
得��+ �−��= �,而�−��= �−��,
∴�≤(�−�)�≤�,∴−�≤�−�≤�,故�∈−�, �.
∴�=
��+ ��=
�−(�−�)�+ ��=
��+ �,
∵−�≤�≤�,∴��+ �∈�, �,故�∈�, �.
4.已知i 是虚数单位,复数z 的共轭复数是�,且满足�+ 2�= 3 −2i.
(1)求复数z 的模�;
(2)若复数�2 −�i 在复平面内对应的点在第二象限,求实数m 的取值范围.
【解题思路】(1)利用复数及其共轭复数、复数的相等、复数的模运算即可得解.
(2)利用复数的运算、复数的相等、复数的几何意义运算即可得解.
【解答过程】(1)解:设�= �+ �i �, �∈�,则�= �−�i,
∴�+ ��= �+ �i + ��−�i = ��−�i = �−�i,
∴�= �,�= �,
∴�= �+ �i,则�=
��+ ��=
�;
(2)解:由(1)知,�= �+ �i,
∴��−�i = �+ �i
�−�i = �+ ��+ �−�i,
由题意,复数��−�i 在复平面内对应的点在第二象限,
∴�+ ��< �
�−�> �,解得:�<−�,
即实数m 的取值范围为−∞, −�.
5.已知复数�1 = �+ i,�2 = 1 −i,其中�是实数.
(1)若�1
2 =−2i,求实数�的值;
(2)若
�1
�2是纯虚数,求
�1
�2 +
�1
�2
2
+
�1
�2
3
+ ⋯+
�1
�2
2023
.
【解题思路】(1)根据给定的条件,利用复数乘方运算及复数相等求出a 的值.
(2)利用复数除法结合纯虚数的定义,求出
��
��,再利用i 乘方的周期性求解作答.
【解答过程】(1)复数��= �+ i,则��
�= (�+ i)�= (��−�) + ��i =−�i,
又a 是实数,因此��−�= �
��=−�,解得�=−�,
所以实数a 的值是−�.
(2)复数��= �+ i,��= �−i,�∈R,则
��
��=
�+i
�−i =
(�+i)(�+i)
(�−i)(�+i) =
(�−�)+(�+�)i
�
=
�−�
�+
�+�
�i,
因为
��
��是纯虚数,于是
�−�
�= �
�+�
�≠�
,解得�= �,因此
��
��= i,
又i�= i, i�=−�, i�=−i, i�= �,
则�∈N∗, i��−�= i, i��−�=−�, i��−�=−i, i��= �,即有�∈N∗, i��−�+ i��−�+ i��−�+ i��= �,
所以
��
��+ (
��
��)�+ (
��
��)�+ ⋯+ (
��
��)����= ���(i + i�+ i�+ i�) + i + i�+ i�= i −�−i =−�.
6.已知复数z 满足
1+i
�−1 =
1−i
2 (i 是虚数单位)
(1)求z 的值;
(2)若复数�−�2 −5�在复平面内对应的点在第三象限,求实数m 的取值范围.
【解题思路】(1)利用复数的除法运算求出�即可.
(2)由(1)的结论,结合复数的乘方运算,再利用复数的几何意义列出不等式组求解作答.
【解答过程】(1)由
�+i
�−�=
�−i
�,得�= �+
�(�+i)
�−i = �+
�(�+i)(�+i)
(�−i)(�+i) = �+ �i.
(2)由(1)知,(�−�)�−��= (�−�+ �i)�−�(�−�i) = (�−�)�−�+ �(�−�)i + ��i
= (��−��−�) + �(�−��)i,由复数�−��−��在复平面内对应的点在第三象限,
得��−��−�< �
�(�−��) < �
,解得
�
�< �< �,
所以实数m 的取值范围为(
�
�, �).
7.在①复数z 满足�+ i 和
�
2−i均为实数;②�为复数z 的共轭复数,且�1 + i = �+ 1;③复数�= �+ �i �∈
�, �< 0 是关于x 方程�2 −4�+ 5 = 0 的一个根,这三个条件中任选一个(如果选择多个条件分别解答,
按第一个解答计分),并解答问题:
(1)求复数z;
(2)在复平面内,若�1 = �+
1
�+ �2 + �−3 i 对应的点在第四象限,求实数m 的取值范围.
【解题思路】(1)若选①:设�= �+ �i �, �∈�,根据复数的相关概念与运算求解;若选②:设�= �+
�i �, �∈�,根据复数的乘法运算结合复数相等运算求解;若选③:直接求解方程即可得结果;
(2)由(1)可得�= �+ i,根据复数的几何意义列式求解.
【解答过程】(1)若选①:设�= �+ �i �, �∈�,
则�+ i = �+ �+ �i,
�
�−i =
�+�i
�+i
�−i
�+i
=
��−�
�
+
�+��
�
i,
若�+ i 和
�
�−i均为实数,则
�+ �= �
�+��
�
= �,解得�= �
�=−�,
所以�= �−i;
若选②:设�= �+ �i �, �∈�,则�= �−�i,
因为��+ i = �+ �,则�+ �i
�+ i = �−�i + �,
整理得�−�+ �+ �i = �+ �−�i,
则�−�= �+ �
�+ �=−�,解得�= �
�=−�,
所以�= �−i;
若选③:因为��−��+ �= �,则�−��=−�,解得�= �± i,
且�= �+ �i �∈�, �< �,所以�= �−i.
(2)由(1)可得�= �+ i,
则��= �+
�
�+ ��+ �−�i = �+ i +
�
�+ ��+ �−�i = �+
�
�+ ��+ �−�i,
若��对应的点在第四象限,则
�+
�
�> �
��+ �−�< �
,解得−�< �<−
�
�或�< �< �,
所以实数m 的取值范围为−�, −
�
�∪�, �.
8.已知i 是虚数单位,a,�∈�,设复数�1 = 2�−
3i,�2 = 2�+ i,�3 = �+ �i,且�3 = 1.
(1)若�1 −�2为纯虚数,求�3;
(2)若复数�1,�2在复平面上对应的点分别为A,B,且O 为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a,b,使向量��Ԧ
ሬሬሬሬ逆时针旋转90°后与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ重合,如果存在,求实数a,b 的值;如果不
存在,请说明理由;
②若O,A,B 三点不共线,记△���的面积为��, �,求��, �及其最大值.
【解题思路】(1)计算��−��,然后使其实部为零,虚部不为零,再结合��= �可求出�, �的值,从而
可求出求��;
(2)①方法一:由题意可得
��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= �
��= �
,然后解关于�, �的方程组可得结果,方法二:设��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= �,
则sin�=
�
�,cos�=
��
�,再由题意得
�����+
π
2 = ��
�����+
π
2 =−
�
,从而可求得结果,
②设向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ的夹角为θ,�≤�≤�,设复数��所对应的向量为��Ԧ
ሬሬሬሬ,则��,�=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬsin�,化简
后再利用�Ԧሬ⋅�Ԧሬ
≤�Ԧሬ
⋅�Ԧሬ可求得其最大值.
【解答过程】(1)因为复数��= ��−
�i, ��= ��+ i, �, �∈�,
所以��−��= ��−��−
�+ �i,
而��−��为纯虚数,因此��−��= �,即�= �.
又因为��= �+ �i,且��= �,所以��+ ��= �,
由��+ ��= �
�= �
,解得
�=−
�
�
�=−
�
�
或
�=
�
�
�=
�
�
,
所以��=−
�
�−
�
�i 或��=
�
�+
�
�i.
(2)①存在,理由如下:
法一:由题意知:
��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= �
��= �
,得
���+ �=
���+ �
���−
�= �
��+ ��= �
,
解得
�=−
�
�
�=−
�
�
或
�=
�
�
�=
�
�
,
因为OB 逆时针旋转��°后与OA 重合,所以�=−
�
�, �=−
�
�;
法二:设��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= �, �是以x 轴正半轴为始边,OB 为终边的角,则sin�=
�
�,cos�=
��
�,
所以
�����+
π
2 = ��
�����+
π
2 =−
�
即−�����= ��
�����=−
�,
所以
−�⋅
�
�= ��
�⋅
��
�=−
�
,所以
�=−
�
�
�=−
�
�
,
且�=−
�
�, �=−
�
�时,满足��=
��+ ��= �.
所以�=−
�
�, �=−
�
�.
②因为复数��,��对应的向量分别是��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ(为坐标原点),且O,A,B 三点不共线,
所以设向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ的夹角为θ,�≤�≤�,设复数��所对应的向量为��Ԧ
ሬሬሬሬ,
则��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��, −
�, ��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��,�, ��Ԧ
ሬሬሬሬ= �,�且��Ԧ
ሬሬሬሬ
= �,
因此△���的面积��,�=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬሬsin�,
= �
���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
�−cos��
= �
�
��Ԧ
ሬሬሬሬ
�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
�−
��Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ����
�
= �
�
��Ԧ
ሬሬሬሬ
�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
�−
��Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
�
= �
�
���+ �⋅���+ �−���−
�
�
= �+
��
,
设�Ԧሬ= �, �,则��,�= �Ԧሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
≤�Ԧሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
= �,
当且仅当�=
��且��+ ��= �,即
�=−
�
�
�=−
�
�
或
�=
�
�
�=
�
�
时等号成立,
所以��,�= �+
��,其最大值为2.
题型四:复数与其他模块综合
1.已知:对于任意的多项式��与任意复数z,��= 0 ⇔�−�整除��.利用上述定理解决下列问题:
(1)在复数范围内分解因式:�2 + �+ 1;
(2)若�2 + �+ 1 = 0,求�21 + �22 + �23的值;
(3)求所有满足�2 + �+ 1 整除�2�+ ��+ 1 的正整数n 构成的集合A.
【解题思路】(1)令��+ �+ �= �求得复数范围内的两个根为−
�
�±
�
�i,即可因式分解;(2)根据��+ �+
�= �求出复数根,找到根的次方的规律性变化的特点即可求解;(3)分�= ��, �= ��+ �, �= ��+
�, �∈�三种情况讨论求解.
【解答过程】(1)令��+ �+ �= �解得两个根�, ��,
这里�=−
�
�+
�
�i,��=−
�
�−
�
�i,
所以��+ �+ �= (�+
�
�−
�
�i)(�+
�
�+
�
�i).
(2)由(1)知��+ �+ �= �解得两个根��=−
�
�+
�
�i,��=−
�
�−
�
�i,
��=−
�
�+
�
�i,���=−
�
�−
�
�i,���= �, ���=−
�
�+
�
�i, ⋯,
所以����= ���= �,同理��
��= ��
�= �,
所以���+ ���+ ���= �����+ �+ �= �.
(3)记�(�) = ���+ ��+ �,��+ �+ �= �有两个根�, ��,这里�=−
�
�+
�
�i,
��= �,
当�= ��+ �, �∈�时,
�(�) = ���+ ��+ �= �, �(��) = ���+ ���+ �= ��+ �+ �= �,
故在这种情形有��+ �+ �整除���+ ��+ �,
当�= ��+ �, �∈�时,
�(�) = ���+ ��+ �= �, �(��) = ���+ ���+ �= ��+ �+ �= �,
故在这种情形有��+ �+ �整除���+ ��+ �,
当�= ��, �∈�时,
�(�) = ���+ ��+ �= �≠�,
故��+ �+ �不整除���+ ��+ �,
所以�= �|�= ��+ �或�= ��+ �, �∈�.
2.已知复数z 满足|z|= 2,z2 的虚部为﹣2,且z 所对应的点在第二象限.
(1)求复数z;
(2)若复数ω满足|ω﹣1|≤
�
�+�,求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积.
【解题思路】(1)设出复数z,利用已知列出方程组,求解可得复数z;
(2)把复数z=﹣1+i 代入
�
�+�,利用复数代数形式的乘除运算化简,由复数求模公式计算|
�
�+�|,由复数ω满
足|ω﹣1|≤
��
�,由复数的几何意义得出ω在复平面内对应的点的集合构成图形是什么,从而计算出对应面
积.
【解答过程】解:(1)设z=x+yi(x,y∈R),则z2=x2﹣y2+2xyi,
由|z|= �,z2 的虚部为﹣2,且z 所对应的点在第二象限,
得
��+ ��=
�
���=−�
�< �, �> �
,解得:�=−�
�= �,
∴z=﹣1+i;
(2)由(1)知:复数z=﹣1+i,
∴
�
�+i =
−�−i
−�+�i =
(−�−i)(−�−�i)
(−�+�i)(−�−�i) =
−�+�i
�
=−
�
�+
�
�i,
∴
�
�+�=
( −
�
�)�+ (
�
�)�=
��
�,
∴复数ω满足|ω﹣1|≤
��
�,由复数的几何意义得:
ω在复平面内对应的点的集合构成图形是以(1,0)为圆心,
��
�为半径的圆面,
∴其面积为�⋅(
��
�)�=
��
�.
3.(1)计算:
3 2−i
1+3 2i +
2
1−i
10
+ −
1
2 i +
3
2
10
;
(2)若复数z 满足
�−1
�
=
1
2,arg
�−1
�
=
�
3,求复数
3
2 (�−2|�| −�) +
3的三角形式.
(3)利用复数证明余弦定理.
【解题思路】(1)由
�
�(�+ i) = ���
�
�+ isin
�
�,−
�
�i +
�
�= ���−
�
�+ isin −
�
�,结合复数的三角形式
的乘方运算即可求值;
(2)由题意得
�−�
�=
�
�(���
�
�+ isin
�
�),进而得到�、�代入目标式化简后转化为三角形式即可.
(3)在复平面内建立直角坐标系,利用坐标法证明.
【解答过程】解:(1)因为
�
�(�+ i) = ���
�
�+ isin
�
�,−
�
�i +
�
�= ���−
�
�+ isin −
�
�,
所以
��−i
�+��i +
�
�−i
��
+ −
�
�i +
�
�
��
=−i +
�
�(�+ i)
��
+ −
�
�i +
�
�
��
,
=−i +
�
�
�+ i
��
+ −
�
�i +
�
�
��
=−i + ���
�
�+ isin
�
�
��
+ ���−
�
�+ isin −
�
�
��
=−i +
���
��
�+ isin
��
�
+ ���−
��
�
+ isin −
��
�
=
�
�+
�
�i;
(2)由题意知:
�−�
�=
�
�(���
�
�+ isin
�
�),所以�= �+
�
�i,�ത= �−
�
�i,
∴
�
��−��−�ത+
�=
�i −
�=
����
��
�+ isin
��
�
(3)如图,已知△���是复平面内的任意三角形,角�, �, �对应的边分别为�, �, �.
证明:��= ��+ ��−�������.
证明:如图,以�点为坐标原点,��所在直线为�轴,建立复平面内的直角坐标系,
则点�, �, �对应的复数分别为�, ��, ��,
则复数��的模��= �,复数��的模��= �,幅角为�,
因为��−��= ��= �,��= �, ��= �����+ isin�,
所以��−��= �����+ isin�−�= �����−�+ i�����,
所以��−���= �����−��+ ������= �������+ ��−�������+ �������
= �������+ �����+ ��−�������= ��+ ��−�������= ��,
所以��= ��+ ��−�������,证毕.
4.对一般的实系数一元三次方程��3 + ��2 + ��+ �= 0 �≠0 ,由于总可以通过代换�= �−
�
3�消去其二
次项,就可以变为方程�3 + ��+ �= 0.在一些数学工具书中,我们可以找到方程�3 + ��+ �= 0 的求根
公式,这一公式被称为卡尔丹公式,它是以16 世纪意大利数学家卡尔丹(J.Cardan)的名字命名的.
卡尔丹公式的获得过程如下:三次方程�3 + ��+ �= 0 可以变形为�3 =−��+ −�,把未知数x 写成两数
之和�= �+ �,再把等式�3 = �+ �3的右边展开,就得到�3 = �3 + �3 + 3���+ �,即�3 = 3���+
�3 + �3 .将上式与�3 =−��+ −�相对照,得到
3��=−�
�3 + �3 =−�,把此方程组中的第一个方程两边同时
作三次方,�3�3 = −
�
3
3
�3 + �3 =−�
,并把�3与�3看成未知数,解得
�3 =−
�
2 +
�
2
2
+
�
3
3
�3 =−
�
2 −
�
2
2
+
�
3
3 ,于是,方程�3 + ��+
�= 0 一个根可以写成�=
3
−
�
2 +
�
2
2
+
�
3
3
+
3
−
�
2 −
�
2
2
+
�
3
3
.
阅读以上材料,求解方程�3 −3�2 −12�+ 10 = 0.
【解题思路】根据给定的材料,把方程化成没有二次项的三次方程,再求出其中的一个根即可求解作答.
【解答过程】令�= �+ �,方程��−���−���+ ��= �化为:��= ���+ �,令�= �+ �,
则有����+ ��+ ��= ���+ �,于是得��+ ��= �
��= �
,即��+ ��= �
����= ���,
��, ��是关于�的方程��−��+ ���= �的二根,解��−��+ ���= �得�= �± ��i,
即��= �+ ��i
��= �−��i 或��= �−��i
��= �+ ��i ,而�+ ��i = (�+ i)�, �−��i = (�−i)�,因此�= �+ i
�= �−i 或
�= �−i
�= �+ i ,
于是得�= �,方程��= ���+ �化为(�−�)(��+ ��+ �) = �,解得�= �或�=−�±
�,
因此�= �或�=−�±
�,
所以方程��−���−���+ ��= �的解为�= �或�=−�−
�或�=−�+
�.
5.已知复数�0 = 1 −�i �> 0 , �= �+ �i 和�= �′ + �′i,其中�, �, �′, �′均为实数,i 为虚数单位,且对于
任意复数z,有�= �0 ⋅�ത, |�| = 2|�|.
(1)试求m 的值,并分别写出�′和�′用x、y 表示的关系式;
(2)将(�, �)作为点P 的坐标,�′, �′ 作为点Q 的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换:它
将平面上的点P 变到这一平面上的点Q,已知点P 经该变换后得到的点Q 的坐标为
3, 2 ,试求点P 的
坐标;
(3)若直线�= ��上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上,试求k 的值.
【解题思路】(1)由共轭复数的概念,复数的运算法则,复数的模长公式和复数相等的条件求解即可;
(2)由(1)和题意可知
3 = �+
3�
2 =
3�−�
,解出�, �即可;
(3)直线�= ��上的任一点��, �经上述变换后得到的点��+
��,
��−�仍在该直线上,可知
��−�= ��+
��,进而
��+�
�
=
�−�
�,求出�即可
【解答过程】(1)因为��= �−�i �> �, �= �+ �i,
所以�= ��⋅�ത= �+ �i
�−�i = �+ ��+ ��−�i,
�=
�+ ���+ ��−��,�=
��+ ��
又|�| = �|�|,
所以
�+ ���+ ��−��= ���+ ��,
所以�+ ����+ �+ ����= ���+ ���,
所以�+ ��= �,且�> �,
解得�=
�,
所以�= ��⋅�ത= �+ ��+ ��−�i = �+
��+
��−�i,
又因为�= �′ + �′i,
所以�′ = �+
3�
�′ =
3�−�
;
(2)由(1)和题意可知
3 = �+
3�
2 =
3�−�
,
解得
�=
��
�
�=
�
�
,
所以点�的坐标为
��
�,
�
�
(3)直线�= ��上的任一点��, �经上述变换后得到的点��+
��,
��−�仍在该直线上,
所以��−�= ��+
��,即
��+ ��=
�−��,
当�= �时,�= 0 与�=
��不是同一条直线,
所以�≠�,
于是
��+�
�
=
�−�
�,
即���+ ��−
�= �,
解得�=
�
�或�=−
�.
6.对于一组复数�1,�2,�3,…,���∈�, �≥3 ,令��= �1 + �2 + �3 +⋅⋅⋅+ ��,如果存在���∈1,2,3, ⋅⋅⋅, �
,
使得��≥��−��,那么称��是该复数组的“�复数”.
(1)设��= �+ �−�i �∈1,2,3
,若�3是复数组�1,�2,�3的“�复数”,求实数�的取值范围;
(2)已知�1 = i,�2 = 1 + i,是否存在复数�3使得�1,�2,�3均是复数组�1,�2,�3的“�复数”?若存在,
求出所有的�3,若不存在,说明理由;
(3)若��=
5
9
�−1
+ i ⋅−1 ��∈�, �≥1 ,复数组�1,�2,�3,…,��是否存在“�复数”?给出你的结
论并说明理由.
【解题思路】
(1)��= �+ (�−�)i,��= �+ (�−�)i,��= �+ (�−�)i,由��是复数组��,��,��的“�复
数”,从而|��|⩾|��−��| = |��+ ��|,由此能求出结果.
(2)由��= i,��= �+ i,存在复数��使得��,��,��均是复数组��,��,��的“�复数”,列不等式组求
出结果.
(3)|��| =
[(
�
�)�−�]�+ �严格减.推导出当�为奇数时,复数组��,��,��,⋅⋅⋅,��存在“�复数”,当�
为偶数时,复数组��,��,��,…,��不存在“�复数”.
【解答过程】解:(1)��= �+ �−�i,��= �+ �−�i,��= �+ �−�i,∵��是复数组��,��,��
的“�复数”,��+ ��= �+ �−�i + �+ �−�i=3 + �−��i
∴��≥��−��= ��+ ��,代入得��+ �−��≥
��+ �−���,化简得��−�≤�,∴�≤
�≤�.
(2)若��,��,��均是复数组��,��,��的“�复数”,则
��≥��+ ��
��≥��+ ��
��≥��+ ��
,设��= ��+ ��i,�= �,2,
3,则
��
�+ ��
�≥��+ ���+ ��+ ���
��
�+ ��
�≥��+ ���+ ��+ ���
��
�+ ��
�≥��+ ���+ ��+ ���
,
相加得��+ ��+ ���+ ��+ ��+ ���≤�,所以��+ ��+ ��= �,所以��=−�−�i.
(3)因为��=
�
�
�−��
+ �严格递减
当�为奇数时,��= �−i,��+ ��+⋅⋅⋅+ ��=
�
�+
�
�
�
+⋅⋅⋅+
�
�
�−�
=
�
��−�
�
�−�
�−�
�
=
�
��−
�
�
�−�
<
�
�<
�,∴��=
�, ��+ ��+⋅⋅⋅+ ��=
�
��−
�
�
�−�
<
�
�<
�= ��,
所以当�为奇数时,复数组��,��,��,…,��存在“�复数”,��是复数组��,��,��,…,��的“�复数”.
��≥�为偶数时,�����= ��=
�,��−�����= ��−�����= ��+ ��+⋅⋅⋅+ ��
=
�
�+ �
�
�
+⋅⋅⋅+ �
�
�−�
+ �=
�
��−�
�
�−�
�
+ �=
��
���−�
�
�−�
�
+ �
≥
��
���−
�
�
�−��
+ �>
�= ��= �����,
∴�����< ��−�����,所以当�为偶数时,复数组��,��,��,…,��不存在“�复数”.
7.利用平面向量的坐标表示,可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”,即可将有序复数对
�1, �2 (其中�1, �2 ∈�)视为一个向量,记作�Ԧሬ= �1, �2 .类比平面向量可以定义其运算,两个复向量�Ԧሬ=
�1, �2 ,�Ԧሬ= �1
' , �2
' 的数量积定义为一个复数,记作�Ԧሬ⋅�Ԧሬ,满足�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= �1�1
' + �2�2
' ,复向量�Ԧሬ的模定义为�Ԧሬ
=
�Ԧሬ⋅�Ԧሬ.
(1)设�Ԧሬ= 1 −i,i ,�Ԧሬ= 3,4 ,i 为虚数单位,求复向量�Ԧሬ、�Ԧሬ的模;
(2)设�Ԧሬ、�Ԧሬ是两个复向量,
①已知对于任意两个平面向量�Ԧሬ= �1, �1 ,�Ԧሬ= �2, �2 ,(其中�1, �2, �1, �2 ∈�),�Ԧሬ⋅�Ԧሬ
≤�Ԧሬ
�Ԧሬ成立,证
明:对于复向量�Ԧሬ、�Ԧሬ,�Ԧሬ⋅�Ԧሬ
≤�Ԧሬ
�Ԧሬ也成立;
②当�Ԧሬ⋅�Ԧሬ
= �Ԧሬ
�Ԧሬ时,称复向量�Ԧሬ与�Ԧሬ平行.若复向量�Ԧሬ= 1 + i, 1 −2i 与�Ԧሬ= i, �平行(其中i 为虚数单
位,�∈�),求复数�.
【解题思路】(1)根据题目中复向量的模长公式计算即可;
(2)①利用模长公式和复数的三角不等式,以及�Ԧሬ⋅�Ԧሬ
≤�Ԧሬ
�Ԧሬ的坐标表示,即可证明结论成立;
②根据①中等号成立的条件,结合题意即可求出�ത和�的值.
【解答过程】
(1)因为�Ԧሬሬ= (�−i,i),所以�Ԧሬሬ⋅�Ԧሬሬ= (�−i) �−i + i ⋅i = (�−i)(�+ i) + i ⋅( −i) = �+ �= �,
可得�Ԧሬሬ的模为|�Ԧሬሬ| =
�;
因为�Ԧሬሬ= (�, �),所以�Ԧሬሬ⋅�Ԧሬሬ= �× �ഥ+ �× �ഥ= �× �+ �× �= ��,
所以�Ԧሬሬ的模为|�Ԧሬሬ| = �;
(2)因为�Ԧሬሬ= ��, ��, �Ԧሬሬ= ��
' , ��
' ,所以�Ԧሬሬ⋅�Ԧሬሬ
= ����
' + ����
' ,
由复数的三角不等式����
' + ����
'
≤����
'
+ ����
'
= ��
��
'
+ ��
��
' ,
由�Ԧሬ⋅�Ԧሬ
≤�Ԧሬ
�Ԧሬ,得
����+����
��
�+��
�⋅��
�+��
�≤�,所以����+ ����≤
��
�+ ��
�⋅
��
�+ ��
�,
所以��
��
'
+ ��
��
'
≤
���+ ���⋅
��
'
�
+ ��
'
�
=
����+ ����⋅
��′��
' + ��′��
' = ��,
综上所知,|�Ԧሬ⋅�Ԧሬሬ| ≤|�Ԧሬ||�Ԧሬሬ|.
②考虑①中等号成立的条件知,对于复数的三角不等式,复向量各分量均不为零时,其等号成立的条件是
存在非负实数�,使得��
' =
�����
'
��,
若复向量�Ԧሬሬ= �+ i, �−�i 与�Ԧሬሬ= i, �平行,则�ത=
�(�+i)⋅i
�−�i = �
�
�+
�
�i ,
根据��
��
'
+ ��
��
'
≤
���+ ���⋅
��
'
�
+ ��
'
�
中等号成立的条件,应有��
��
'
= ��
��
' ,
则�ത=
|�−�i||i|
|�+i|
=
��
�,
结合�ത= �
�
�+
�
�i ,得�
�
�
�
+
�
�
�
=
��
�,解得�=
�
�;
所以�ത=
�
�
�
�+
�
�i =
�
�+
�
�i,所以�=
�
�−
�
�i.
8.通过平面直角坐标系,我们可以用有序实数对表示向量.类似的,我们可以把有序复数对�1, �2
�1, �2 ∈C
看作一个向量,记�Ԧሬ= �1, �2 ,则称�Ԧሬ为复向量.类比平面向量的相关运算法则,对于�Ԧሬ= �1, �2 ,�Ԧሬ= �3, �4 ,
�1、�2、�3、�4、�∈C,我们有如下运算法则:
①�Ԧሬ± �Ԧሬ= �1 ± �3, �2 ± �4 ;
②��Ԧሬ= ��1, ��2 ;
③�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= �1�3 + �2�4;
④�Ԧሬ
=
�Ԧሬ⋅�Ԧሬ.
(1)设�Ԧሬ= (i, 1 + i),�Ԧሬ= (2,2 −i),求�Ԧሬ+ �Ԧሬ和�Ԧሬ⋅�Ԧሬ.
(2)由平面向量的数量积满足的运算律,我们类比得到复向量的相关结论:
①�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= �Ԧሬ⋅�Ԧሬ
②�Ԧሬ⋅(�Ԧሬ+ �Ԧሬ) = �Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ �Ԧሬ⋅�Ԧሬ
③(��Ԧሬ) ⋅�Ԧሬ= �Ԧሬ⋅(��Ԧሬ).
试判断这三个结论是否正确,并对正确的结论予以证明.
(3)若�Ԧሬ= (2i, 1),集合Ω = �Ԧሬ�Ԧሬ= (�, �), �= 2�+ 1, �, �∈C ,�Ԧሬ∈Ω.对于任意的�Ԧሬ∈Ω,求出满足条件(�Ԧሬ−
�Ԧሬ) ⋅(�Ԧሬ−�Ԧሬ) = 0 的�Ԧሬ,并将此时的�Ԧሬ记为�0Ԧ
ሬሬሬ,证明对任意的�Ԧሬ∈Ω,不等式�Ԧሬ−�Ԧሬ
≥�Ԧሬ−�0Ԧ
ሬሬሬ恒成立.
根据对上述问题的解答过程,试写出一个一般性的命题(不需要证明).
【解题思路】(1)根据所给定义计算可得;
(2)根据所给定义及复数代数形式的运算法则计算可得;
(3)设满足条件的�Ԧሬ= ��, ���+ �,�Ԧሬ= ��, ���+ �,��、��∈C,根据所给条件求出��Ԧ
ሬሬሬ,再证明对任
意的�Ԧሬ∈�,不等式�Ԧሬ−�Ԧሬ
≥�Ԧሬ−��Ԧ
ሬሬሬ恒成立,则只需计算�Ԧሬ−�Ԧሬ的最小值,不妨令�Ԧሬ= �+ �i, ��+ �+
��i ,表示出�Ԧሬ−�Ԧሬ,即可得到�Ԧሬ−�Ԧሬ,根据完全平方数的性质计算可得.
【解答过程】(1)因为�Ԧሬ= (i, �+ i),�Ԧሬ= (�, �−i),
所以�Ԧሬ+ �Ԧሬ= i, �+ i + �, �−i = �+ i, �,
�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= �i + �+ i
�+ i = �i + �+ i + �i + i�= �+ �i
(2)设�Ԧሬ= ��, ��,�Ԧሬ= ��, ��,�Ԧሬ= ��, ��,��、��、��、��、��、��、�∈C,
则�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= ����+ ����,�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= ����+ ����,故①�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= �Ԧሬ⋅�Ԧሬ不成立,
�Ԧሬ+ �Ԧሬ= ��+ ��, ��+ ��,�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= ����+ ����,�Ԧሬ⋅�= ����+ ����
�Ԧሬ⋅(�Ԧሬ+ �Ԧሬ) = ����+ ��+ ����+ ��,
因为��+ ��= ��+ ��,��+ ��= ��+ ��,
所以�Ԧሬ⋅(�Ԧሬ+ �Ԧሬ) = ����+ ��+ ����+ ��
= ����+ ����+ ����+ ����= ����+ ����+ ����+ ����= �Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ �Ԧሬ⋅�Ԧሬ,故②正确;
��Ԧሬ= ���, ���,��Ԧሬ= ���, ���,
(��Ԧሬ) ⋅�Ԧሬ= �����+ �����,�Ԧሬ⋅(��Ԧሬ) = �����+ �����,
设�= �+ �i,��= �+ �i,�, �, �, �∈R,
则���= �+ �i
�+ �i = ��−��+ ��+ ��i,���= ��−��−��+ ��i,
���= �+ �i
�−�i = ��+ ��−��−��i,
所以���≠���,故(��Ԧሬ) ⋅�Ԧሬ≠�Ԧሬ⋅(��Ԧሬ),即③错误;
(3)设满足条件的�Ԧሬ= ��, ���+ �,�Ԧሬ= ��, ���+ �,��、��∈C,
则�Ԧሬ−�Ԧሬ= �i −��, −���,�Ԧሬ−�Ԧሬ= ��−��, ���−���,
因为��−��为任意的复数,不妨设��= ��−��且��∈C,
由定义可得�i −����+ −���× ���= �,即���−�i ��= �,则���−�i = �,
所以��=
�
�i,则��Ԧ
ሬሬሬ=
�
�i,
�
�i + �,
以下证明对任意的�Ԧሬ∈�,不等式�Ԧሬ−�Ԧሬ
≥�Ԧሬ−��Ԧ
ሬሬሬ恒成立,只需计算�Ԧሬ−�Ԧሬ的最小值,
不妨令�Ԧሬ= �+ �i, ��+ �+ ��i ,则�Ԧሬ−�Ԧሬ= −�−�−�i, −��−��i ,
则�Ԧሬ−�Ԧሬ
=
−�−�−�i −�+ �−�i + −��−��i
−��+ ��i
=
��+ �−��+ ���+ ���=
���+ ���−��+ �,
当�= �,�=
�
�时取得最小值,此时�Ԧሬ=
�
�i,
�
�i + �与之前得到的��Ԧ
ሬሬሬ相同,结论得证;
推广结论:对于任意复向量�Ԧሬ∉�,�Ԧሬ∈�,若对于任意的�Ԧሬ∈�,当且仅当(�Ԧሬ−�Ԧሬ) ⋅(�Ԧሬ−�Ԧሬ) = �时,�Ԧሬ−�Ԧሬ
取到最小值.