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考点29 动量和能量的综合应用
1. 3 年真题考点分布
题型
选择题、解答题（居多）
高考考点
1、应用动量、能量观点解决“子弹打木块问题”；
2、应用动量、能量观点解决“弹簧碰撞”模型；
3、应用动量、能量观点解决“板块”模型；
新高考
2023
海南卷18 题、全国甲卷25 题、浙江卷21 题、
2022
福建卷14 题、河北卷13 题、全国乙卷25 题、
2021
海南卷17 题、湖北卷15 题、天津卷11 题、湖南卷8 题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】近3 年新高考卷对于运动的描述考查共计10 次，主要考查：
1. 应用动量、能量观点解决“子弹打木块问题”；
2. 应用动量、能量观点解决“弹簧碰撞”模型；
3. 应用动量、能量观点解决“板块”模型；
【备考策略】理解动能定理和动量定理的差别，掌握动能定理和动量定理解决复杂的物理模型；掌握机
械能守恒和能量守恒对全过程和分过程建立方程；熟练掌握动力学和运动学两种不同的解
题思路处理物体题型，并掌握它们的差异；
【命题预测】本节内容综合性较强，难度较大，在各省高考题中，常以压轴题的形式出现，板块模型考
察居多。此类题型对运动状态要求较高，可以从运动学或动力学角度解决此类题型。想获
得高分的2024 年考生，务必熟练掌握本节内容。
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考法
1 应用动量、能量观点解决“子弹打木块”模型
子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。作为一个典型，它的特点是：子弹以水平速度射向原来静止
的木块，并留在木块中跟木块共同运动。下面从动量、能量和牛顿运动定律等多个角度来分析这一过程。
设质量为m 的子弹以初速度v0 射向静止在光滑水平面上的质量为M 的木块，并留在木块中不再射出，
子弹钻入木块深度为d 。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。
要点诠释：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。
从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：mv 0=(M +m)v ……①
从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f ，设子弹、木块
的位移大小分别为s1、s2 ，如图所示，显然有s1−s2=d
对子弹用动能定理：
−f⋅s1=1
2 mv 2−1
2 mv 0
2
……②
对木块用动能定理：
f⋅s2=1
2 Mv 2
……③
②相减得：
f⋅d=1
2 mv 0
2−1
2
(M +m)v2=
Mm
2(M +m) v0
2
……④
对子弹用动量定理：−f⋅t=mv −mv 0
……⑤
对木块用动量定理：f⋅t=Mv
……⑥
v0
s1
s2 d
2
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【典例1】（多选）（2023 春·天津和平·高一天津市第二十一中学校考期中）如图所示，质量为M 木块
静止在光滑的水平面上，一颗质量为m 的子弹以速度v0水平射入木块并留在木块中，木块获得的速度为
v1，子弹受到的平均阻力为f，射入深度为d，此过程中木块位移为s，下列说法正确的是（ ）
A．子弹损失的动能等于fd
B．子弹损失的动能等于
C．子弹损失的动能为
D．子弹、木块组成的系统损失的动能等于fd
1．（2018 秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学周测）如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为m 的光
滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量为M 的木块，现有质量为m0的子弹以大小为v0的水平速
度射入木块并立刻留在木块中，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．子弹射入木块后的瞬间，速度大小为
B．木块摆至最高点时，速度大小为
C．子弹射入木块后的瞬间，环对轻杆的压力等于（M+m+m0）g
D．子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒
2．（2022·浙江宁波·统考模拟预测）如图所示，质量为m 的子弹，以初速度
射入静止在光滑水平面上
的木块，并留在其中。木块质量为M，长度为L，子弹射入木块的深度为d，在子弹射入木块的过程中
木块移动距离为s。假设木块对子弹的阻力始终保持不变，下列说法正确的是（ ）
A．d 可能大于s，也可能小于s
3
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B．s 可能大于L，也可能小于L
C．s 一定小于d，s 一定小于L
D．若子弹质量减小，d 和s 不一定同时变小
考法二 应用动量、能量观点解决“弹簧碰撞”模型
两个物体在极短时间内发生相互作用，这种情况称为碰撞。由于作用时间极短，一般都满足内力远
大于外力，所以可以认为系统的动量守恒。碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三种。
仔细分析一下碰撞的全过程：设光滑水平面上，质量为m1的物体A 以速度v1向质量为m2的静止物
体B 运动，B 的左端连有轻弹簧。在Ⅰ位置A、B 刚好接触，弹簧开始被压缩，A 开始减速，B 开始加速；
到Ⅱ位置A、B 速度刚好相等（设为v），弹簧被压缩到最短；再往后A、B 开始远离，弹簧开始恢复原
长，到Ⅲ位置弹簧刚好为原长，A、B 分开，这时A、B 的速度分别为v1
' 和v2
'
。全过程系统动量一定是守
恒的；而机械能是否守恒就要看弹簧的弹性如何了。
（1）弹簧是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为弹性势能，Ⅱ状态系统动能最小而弹性
势能最大；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少全部转化为动能；因此Ⅰ、Ⅲ状态系统动能相等。这种碰撞叫做弹性碰
撞。由动量守恒和能量守恒可以证明
A 、B
的最终速度分别为：
v1
' = m1−m2
m1+m2
v1, v2
' =
2m1
m1+m2
v1
。（这个结论最好背下来，以后经常要用到。）
（2）弹簧不是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少，一部分转化为弹性势能，一部分转化为内能，
Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同，弹性势能仍最大，但比⑴小；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少，部分转化为动能，部
分转化为内能；因为全过程系统动能有损失（一部分动能转化为内能）。这种碰撞叫非弹性碰撞。
（3）弹簧完全没有弹性。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为内能，Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同，但
没有弹性势能；由于没有弹性，A、B 不再分开，而是共同运动，不再有Ⅱ→Ⅲ过程。这种碰撞叫完全非
弹性碰撞。可以证明，A、B 最终的共同速度为
v1
' =v2
' =
m1
m1+m2
v1
。在完全非弹性碰撞过程中，系统
的动能损失最大，为：
ΔEk=1
2 m1v1
2−1
2 (m1+m2)v¿= m1m2v1
2
2(m1+m2) 。
【典例2】（2023·河北邯郸·统考三模）如图光滑水平面上有a、b、c、d 四个弹性小球，质量分别为
m、9m、3m、m。小球a 一端靠墙，并通过一根轻弹簧与小球b 相连，此时弹簧处于原长。小球b 和c
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
v2
/
v1
/
v
v1
A
A
B
A
B
A
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接触但不粘连。现给小球d 一个向左的初速度
，与小球c 发生碰撞，整个碰撞过程中没有能量损失，
弹簧始终处于弹性限度之内。以下说法正确的是（ ）
A．整个过程中小球a、b、c、d 和弹簧组成的系统动量守恒
B．整个过程中四个弹性小球a、b、c、d 的机械能守恒
C．小球a 速度的最大值为
D．弹簧弹性势能最大值为
1．（多选）（2021 秋·江西南昌·高三进贤县第一中学校考阶段练习）如图所示，在光滑水平面上，质量
为m 的小球A 和质量为
的小球B 通过轻弹簧拴接并处于静止状态，弹簧处于原长；质量为m 的小球
C 以初速度
，沿A、B 连线向右匀速运动，并与小球A 发生弹性碰撞。在小球B 的右侧某位置固定一块
弹性挡板（图中未画出），当小球B 与挡板发生正碰后立刻将挡板撤走。不计所有碰撞过程中的机械能
损失，弹簧始终处于弹性限度内，小球B 与挡板的碰撞时间极短，碰后小球B 的速度大小不变，但方向
相反。则B 与挡板碰后弹簧弹性势能的最大值
可能（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（2021 秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图所示，在光滑水平面上有质量为
的小球A 和质量为
的小球B 通过轻弹簧栓接并处于静止状态，质量也为
的小球C 以速度
水
平向左匀速运动并与B 发生弹性碰撞。已知在小球A 的左端某处（图中未画出）固定有一弹性挡板（指
小球与挡板碰撞时不计机械能损失），且当小球A 与挡板发生正碰后立即撤去挡板，碰撞时间极短．则
小球A 与挡板碰撞后的运动过程中，弹簧弹性势能的最大值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
考法三 应用动量、能量观点解决“板块”模型
1．用动力学观点分析“滑块——木板”模型时要抓住一个转折和两个关联。
5
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(1)一个转折——滑块与木板达到相同速度或者滑块从木板上滑下是受力和运动状态变化的转折点。
(2)两个关联——转折前、后受力情况之间的关联和滑块、木板位移和板长之间的关联。
2．用动量和功能观点分析“滑块——木板”模型要抓住一个条件和两个分析及一个规律。
(1)一个条件——滑块和木板组成的系统所受的合外力为零是系统动量守恒的条件。
(2)两个分析——分析滑块和木板相互作用过程的运动分析和作用前后的动量分析。
(3)一个规律——能量守恒定律是分析相互作用过程能量转化必定遵守的规律，且牢记摩擦生热的计算公
式Q＝f·d 相对。
【典例3】（2023·海南·统考高考真题）如图所示，有一固定的光滑
圆弧轨道，半径
，一质量
为
的小滑块B 从轨道顶端滑下，在其冲上长木板C 左端时，给木板一个与小滑块相同的初速度，
已知
，B、C 间动摩擦因数
，C 与地面间的动摩擦因数
，C 右端有一个挡板，C 长
为
。
求：
（1）
滑到
的底端时对
的压力是多大？
（2）若
未与
右端挡板碰撞，当
与地面保持相对静止时，
间因摩擦产生的热量是多少？
（3）在
时，B 与C 右端挡板发生碰撞，且碰后粘在一起，求
从滑上
到最终停止所
用的时间。
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（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图所示，滑块A（可视为质点）位于小车B 的最左端，二者
一起以
的初速度向右匀速运动，木块C 静止在小车B 的正前方，所有碰撞均为弹性碰撞，且碰
撞时间极短可忽略不计。已知A、B、C 的质量分别为
，A 与B 之间、C 与
水平地面之间的摩擦因数均为
，不计小车B 与地面之间的摩擦，小车的表面水平且足够长，重力
加速度
。求：
（1）小车B 和木块C 第1 次碰撞后，A、B、C 的加速度大小；
（2）小车B 和木块C 第2 次碰撞前，滑块A 与小车B 摩擦产生的热量
；
（3）小车B 和木块C 第3 次碰撞前，木块C 运动的位移
的大小。
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【基础过关】
1．（2023 春·安徽滁州·高一安徽省定远中学校考阶段练习）如图所示，水平面左侧有一足够长的、相对
水平面高为H 的光滑平台，质量为M 的滑块与质量为m 的小球之间有一个处于压缩且锁定状态的轻弹
簧（弹簧不与滑块和小球连接），系统处于静止状态。某时刻弹簧解除锁定，小球离开平台后做平抛运
动，落到水平面上时落点到平台的距离为s，重力加速度为g，则滑块的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）如图所示，光滑水平面的同一直线上放有n 个
质量均为m 的小滑块，相邻滑块之间的距离为L，某个滑块均可看成质点。现给第一个滑块水平向右的
初速度
，滑块间相碰后均能粘在一起，则从第一个滑块开始运动到第
个滑块与第n 个滑块相碰时
的总时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 春·陕西西安·高二长安一中校考期末）如图（a），质量分别为
、
的A、B 两物体用轻弹
簧连接构成一个系统，外力
作用在A 上，系统静止在光滑水平面上（B 靠墙面），此时弹簧形变量为
。撤去外力并开始计时，A、B 两物体运动的
图像如图（b）所示，
表示0 到
时间内
的
图线与坐标轴所围面积大小，
、
分别表示
到
时间内A、B 的
图线与坐标轴所围面积大小。A
在
时刻的速度为
。下列说法正确的是（ ）
A．0 到
时间内，墙对B 的冲量大于
B．
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C．B 运动后，弹簧的最大形变量等于
D．
4．（多选）（2023 春·云南大理·高一大理白族自治州民族中学校考阶段练习）如图所示，质量分别为m
和2m 的A、B 两个木块间用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，A 靠紧竖直墙。用水平力F 将B 向左压，
使弹簧被压缩一定长度，静止后弹簧储存的弹性势能为E。这时突然撤去F，关于A、B 和弹簧组成的系
统，下列说法中正确的是（ ）
A．撤去F 后，机械能守恒
B．撤去F 后，A 离开竖直墙前，机械能守恒
C．撤去F 后，A 离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为
D．撤去F 后，A 离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E
5．（多选）（2023 春·四川成都·高一棠湖中学校联考期末）如图，一质量为1 kg 的滑块A 从固定光滑
斜面顶端由静止开始下滑，斜面顶端距离光滑水平面的高度为5 m，斜面底端与水平面平滑连接。滑块
B 和滑块C 通过轻弹簧相连且均静止于水平面上，滑块B 的质量为1kg，滑块C 的质量为2 kg。开始时，
弹簧处于原长状态，滑块A 滑到水平面与滑块B 碰撞后粘在一起，滑块A、B、C 均可视为质点，重力加
速度大小取
。下列说法正确的是（ ）
A．滑块A 滑至斜面底端时，其速度大小为10 m/s
B．滑块A 与滑块B 碰撞后的速度大小为2.5 m/s
C．弹簧的弹性势能最大时，滑块A、B、C 的速度大小均为2.5 m/s
D．滑块A 与滑块B 碰撞的过程中，滑块A、B、C 和弹簧组成的系统损失的机械能为37.5 J
6．（2023 春·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）质量为
的箱子静止在光滑水平面上，箱子
内侧的两壁间距为
，另一质量也为
且可视为质点的物体从箱子中央以
的速度
开始运动，如图所示。已知物体与箱底的动摩擦因数为
，物体与箱壁间发生的是完全弹性碰撞，
。试求：（ ）
9
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A．物体与箱子最多发生3 次碰撞
B．物体最终停在距离箱子左壁
处
C．整个过程中系统产生的内能为
D．箱子对物体的总冲量大小为
7．（多选）（2023 春·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）如图所示，倾角为
、足够长的光
滑斜面固定在水平地面上，下端有一垂直斜面的固定挡板。质量均为
的小球
用劲度系数为
的轻
质弹簧连接并放置在斜面上，小球
靠在挡板上，两小球均保持保持静止。现对小球a 施加一平行斜面
向上、大小为
的恒力。已知弹簧的弹性势能E 弹与其形变量x 满足
，弹簧与斜面平行
且形变始终处于弹性限度内，重力加速度分析正确的是（ ）
A．小球
和弹簧组成的系统机械能守恒
B．小球
脱离挡板后，系统的总动量保持不变
C．小球
刚要运动时，小球
的动能为
D．小球
脱离挡板以后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能为
8．（多选）（2023 春·四川眉山·高一校联考期末）一带有半径足够大的光滑圆弧轨道的小车的质量
，小车静止在光滑水平地面上，圆弧下端水平。有一质量
的小球以水平初速度
从圆弧下端滑上小车，如图所示，取水平向左为正方向。
，则（ ）
A．在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统动量守恒
10
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B．小球沿圆弧轨道上升的最大高度为0.4m
C．小球离开小车时的速度为
D．小球从滑上小车到离开小车的过程中对小车做的功为
9．（2023 春·河南驻马店·高二河南省驻马店高级中学校考阶段练习）如图所示，光滑水平面上，小物体
A 以1.2v 的速度向右运动，在其运动正前方有一与A 大小相同的物体B 静止。A 和B 发生弹性碰撞。已
知物体B 的质量为m，碰后物体A 的速度大小为0.8v，方向不变。求：
（1）物体A 的质量和碰后物体B 的速度；
（2）若物体A 以相同速度碰物体B 时，B 的左侧连有一个处于原长状态的轻弹簧，如图所示，则弹簧弹
性势能的最大值。
10．（2023 春·河北石家庄·高一统考期末）如图甲所示，质量均为
的长板A 和滑块C 静置在光滑水
平地面上，长板A 上表面左端有一小部分光滑、其余部分粗糙，滑块B（可视为质点）置于A 的左端。
现使A、B 一起以速度
向右运动，A 与C 发生碰撞（碰撞时间极短），经过一段时间后A、B 再
次一起向右运动，且恰好不再与C 相碰。以A 与C 发生碰撞时为计时起点，B 的速度时间图像如图乙所
示，重力加速度g 取
，求：
（1）滑块B 的质量
；
（2）长板A 与滑块C 发生碰撞过程中损失的机械能
；
（3）长板A 的最小长度L。
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【能力提升】
1．（2023·陕西西安·校考三模）如图所示，质量为m 的长木板B 放在光滑的水平面上，质量为
的木
块A 放在长木板的左端，一颗质量为
的子弹以速度v0射入木块并留在木块中，当木块滑离木板时速
度为
，木块在木板上滑行的时间为t，则下列说法错误的是（ ）
A．木块获得的最大速度为
B．木块滑离木板时，木板获得的速度大小为
C．木块在木板上滑动时，木块与木板之间的滑动摩擦力大小为
D．因摩擦产生的热量等于子弹射入木块后子弹和木块减少的动能与木板增加的动能之差
2．（多选）（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）如图所示，光滑水平面上放置滑块A 和左侧固
定轻质竖直挡板的木板B，滑块C 置于B 的最右端，三者质量分别为mA=2kg、mB=3kg、mC=1kg。开始时
B、C 静止，A 以v0=7.5m/s 的速度匀速向右运动，A 与B 发生正撞（碰撞时间极短），经过一段时间，
B、C 达到共同速度一起向右运动，且此时C 再次位于B 的最右端。已知所有的碰撞均无机械能损失，木
板B 的长度为L=0.9m，B、C 之间的动摩擦因数为μ，取g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．A 与B 碰撞后瞬间，B 的速度大小为5m/s
B．A 与B 碰撞后瞬间，B 的速度大小为6m/s
C．C 与B 左侧的挡板相撞后的一小段时间内，C 对B 摩擦力的冲量水平向左
D．μ=0.75
3．（多选）（2023·河南开封·统考三模）如图所示，一辆质量
的小车静止在光滑水平面上，小
车左边部分为半径
的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道末端平滑连接一长度
的水平粗
粘面，粗糙面右端是一挡板。有一个质量为
的小物块（可视为质点）从小车左侧圆弧轨道顶端A
点由静止释放，小物块和小车粗糙区域的动摩擦因数
，重力加速度取
，则（ ）
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A．小物块滑到圆弧末端时的速度大小为
B．小物块滑到圆弧末端时小车的速度大小为
C．小物块与右侧挡板碰撞前瞬间的速度大小为
D．小物块最终距圆弧轨道末端的距离为
4．（多选）（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，有一个质量为
的物体A 和一个质量为M 的物体B
用轻弹簧连接，放在光滑的水平地面上。二者初始静止，弹簧原长为
，劲度系数为k，弹性势能表达
式
（x 为弹簧的形变量）。现用一质量为m 的子弹沿水平方向以初速度
打中物体A，并留在
物体A 中（子弹与物体A 达到相对静止的时间极短），然后压缩弹簧至最短，之后弹簧恢复原长，最后
被拉长至最长。则下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中子弹、物体A、物体B 三者组成的系统动量守恒、机械能守恒
B．弹簧被压缩至最短时物体B 的速度大小为
C．整个过程中弹簧的最大弹性势能为
D．物体B 的最大加速度大小为
5．（多选）（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）如图甲所示，物块A、B 的质量分别
是
和
，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B 右侧与竖直墙相接触。另
有一物块C 在
时刻以一定速度向右运动，在
时与物块A 相碰，并立即与A 粘在一起不再分开，
物块C 的
图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．物块B 离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为48J
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B．4s 到12s 的时间内，墙壁对物块B 的冲量大小为
，方向向右
C．物块B 离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能为10J
D．物块B 离开墙壁后，物块B 的最大速度大小为
6．（多选）（2023·黑龙江·统考模拟预测）如图所示，一足够长的圆筒竖直固定放置，物块A、B、C 的
质量均为m，B、C 之间用劲度系数为k 的轻质弹簧连接，物块B、C 静止。现将A 从B 的正上方
处静
止释放，之后A、B 碰撞时间极短并粘合在一起。已知C 与圆筒间最大静摩擦力为
，最大静摩擦力
等于滑动摩擦力；弹簧的弹性势能表达式为
，式中x 为弹簧的形变量；重力加速度大小为g。
下列说法正确的是（ ）
A．A、B 碰撞结束时速度的大小为
B．A、B 碰后整体第一次达到的最大速率为
C．从A 静止释放到最终A、B、C 及弹簧组成的系统共损失机械能为
D．A、B 碰后整体将做简谐运动
7．（多选）（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，质量为1kg 的
小物块B 置于轻弹簧上端并处于静止状态，另一质量为3kg 的小物块A 从小物块B 正上方h=0.8m 处由静
止释放，与小物块B 碰撞后（碰撞时间极短）一起向下压缩弹簧到最低点，已知弹簧的劲度系数
k=100N/m，弹簧的弹性势能表达式
（x 为弹簧的形变量），重力加速度g=10m/s2，弹簧始终
在弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
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A．碰撞结束瞬间，小物块A 的速度大小为1m/s
B．碰撞结束瞬间，小物块A 的加速度大小为7.5m/s2
C．小物块A 与B 碰撞之后一起下落0.5m 时的加速度大小为2.5m/s2
D．小物块A 与B 碰撞之后一起下落过程中，系统的最大动能为22.5J
8．（多选）（2023·山东济南·统考三模）如图所示，光滑水平面上有两个质量均为m 的物体A、B，B 上
连接一劲度系数为k 的轻弹簧。物体A 以初速度v0向静止的物体B 运动。从A 接触弹簧到第一次将弹簧
压缩到最短的时间为
，弹簧弹性势能为
（x 为弹簧的形变量），弹簧始终处于弹性
限度内，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的最大压缩量为
B．弹簧的最大压缩量为
C．从开始压缩弹簧到弹簧第一次压缩最短的过程中，物体A 的位移为
D．从开始压缩弹簧到弹簧第一次压缩最短的过程中，物体B 的位移为
9．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）如图，一水平轻弹簧左端固定，右端与一质量为m
的小物块a 连接，a 静止在水平地面上的A 处，此时弹簧处于原长状态，A 左侧地面光滑；另一质量为
的小滑块b 静止在B 处，b 与地面间的动摩擦因数为μ。现对b 施加一水平向左、大小为
的恒定推力，经时间t 后b 与a 发生弹性正碰（碰撞时间极短），碰前瞬间撤去推力，a 与b 不再相碰。
已知重力加速度大小为g。求；
（1）b 与a 碰撞前瞬间的速度大小v 以及A 与B 间的距离x0；
（2）弹簧的最大弹性势能Epm以及碰后b 运动的路程L。
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10.（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）如图所示，质量
的长木板C 静止在光滑的
水平面上，长木板C 右端与竖直固定挡板相距
，左端放一个质量
的小物块B（可视为质
点），与长木板C 间的动摩擦因数为
。在小物块B 的正上方，用不可伸长、长度
的轻绳
将质量
的小球A 悬挂在固定点O。初始时，将轻绳拉直并处于水平状态，使小球A 与O 点等
高，由静止释放。当小球A 下摆至最低点时恰好与小物块B 发生碰撞（碰撞时间极短），之后二者没有
再发生碰撞。已知A、B 之间以及C 与挡板之间的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度取
。
（1）小球A 与小物块B 碰后瞬间，求小物块B 的速度大小；
（2）为保证长木板C 与竖直挡板碰撞时B、C 能共速，求
应满足的条件；
（3）在（2）问的前提下，即与竖直挡板碰撞到B、C 能共速，求长木板的最短长度。
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【真题感知】
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M 的静止薄圆盘，圆盘与
管的上端口距离为l，圆管长度为
。一质量为
的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘
中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘
始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为
g。求
（1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；
（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；
（3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。
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2．（2023·浙江·高考真题）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角
的
直轨道
、螺旋圆形轨道
，倾角
的直轨道
、水平直轨道
组成，除
段外各段轨
道均光滑，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道
、
相切于
处．凹槽
底面
水平光
滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁
处，摆渡车上表面与直轨道下
、平台
位于
同一水平面。已知螺旋圆形轨道半径
，B 点高度为
，
长度
，
长度
，摆渡车长度
、质量
。将一质量也为
的滑块从倾斜轨道
上高度
处
静止释放，滑块在
段运动时的阻力为其重力的0.2 倍。（摆渡车碰到竖直侧壁
立即静止，滑块视
为质点，不计空气阻力，
，
）
（1）求滑块过C 点的速度大小
和轨道对滑块的作用力大小
；
（2）摆渡车碰到
前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数
；
（3）在（2）的条件下，求滑块从G 到J 所用的时间。
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3．（2022·海南·高考真题）有一个角度可变的轨道，当倾角为
时，A 恰好匀速下滑，现将倾角调为
，从高为h 的地方从静止下滑，过一段时间无碰撞地进入光滑水平面，与B 发生弹性正碰，B 被一根
绳子悬挂，与水平面接触但不挤压，碰后B 恰好能做完整的圆周运动，已知A 的质量是B 质量的3 倍，
求：
①A 与轨道间的动摩擦因数
；
②A 与B 刚碰完B 的速度大小；
③绳子的长度L。
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4．（2022·浙江·统考高考真题）如图所示，在竖直面内，一质量m 的物块a 静置于悬点O 正下方的A 点，
以速度v 逆时针转动的传送带MN 与直轨道AB、CD、FG 处于同一水平面上，AB、MN、CD 的长度均为
l。圆弧形细管道DE 半径为R，EF 在竖直直径上，E 点高度为H。开始时，与物块a 相同的物块b 悬挂
于O 点，并向左拉开一定的高度h 由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与a 发生弹性正碰。
已知
，
，
，
，
，物块与MN、CD 之间的动摩擦因数
，轨
道AB 和管道DE 均光滑，物块a 落到FG 时不反弹且静止。忽略M、B 和N、C 之间的空隙，CD 与DE
平滑连接，物块可视为质点，取
。
（1）若
，求a、b 碰撞后瞬时物块a 的速度
的大小；
（2）物块a 在DE 最高点时，求管道对物块的作用力
与h 间满足的关系；
（3）若物块b 释放高度
，求物块a 最终静止的位置x 值的范围（以A 点为坐标原点，
水平向右为正，建立x 轴）。
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5．（2022·广东·高考真题）某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型。竖直放置
在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态。当滑块从A 处以初速度
为
向
上滑动时，受到滑杆的摩擦力f 为
，滑块滑到B 处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一
起竖直向上运动。已知滑块的质量
，滑杆的质量
，A、B 间的距离
，重力加
速度g 取
，不计空气阻力。求：
（1）滑块在静止时和向上滑动的过程中，桌面对滑杆支持力的大小
和
；
（2）滑块碰撞前瞬间的速度大小v1；
（3）滑杆向上运动的最大高度h。
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