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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块二：相互作用之绳、杆、弹簧模型各模块大招
第03 讲 轻弹簧模型及弹簧两大典型题型（解析版）
目录
【内容一】 质量忽略与不可忽略的弹簧..........................................................................................................1
【内容二】 轻弹簧特性1....................................................................................................................................2
【内容三】 轻弹簧特性2....................................................................................................................................3
【内容四】 轻弹簧特性3....................................................................................................................................4
【内容五】 轻弹簧特性4....................................................................................................................................5
【内容六】 弹簧与绳子的突变问题..................................................................................................................6
技巧总结
在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的
理想化物理模型.由于“轻弹簧”质量不计，选取任意小段弹簧，其两端所受张力一定
平衡，否则，这小段弹簧的加速度会无限大.故轻弹簧中各部分间的张力处处相等，均
等于弹簧两端的受力.弹簧一端受力为
，另一端受力一定也为
。若是弹簧秤，则弹
簧秤示数等于弹簧自由端拉力的大小.
模型剖析：
Ⅰ：如图所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量
不能忽略，弹簧及挂钩
质量不计，施加水平方向的力
、
，且
，则弹簧秤沿水平方向的加速度为
，弹簧秤的读数为 .
破解： 以整个弹簧秤为研究对象，利用牛顿运动定律得：
，即
仅以轻质弹簧为研究对象，则弹簧两端的受力都
，所以弹簧秤的读数为
.
说明:
作用在弹簧秤外壳上，并没有作用在弹簧左端，弹簧左端的受力是由外壳内侧
提供。
Ⅱ ：如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F 的
拉力作用，而左端的情况各不相同：
①弹簧的左端固定在墙上；
②弹簧的左端受大小也为F 的拉力作用；
1
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③弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的
桌面上滑
动；
④弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦
的桌面上滑
动．
若认为弹簧质量都为零，以L1、L2、L3、
L4 依次表示
四个弹簧的伸长量，则有结果__D__．
A．L2>L1
B．L4>L3 C．L1>L3
D．L2＝L4
注意：质量不可忽略的弹簧
Ⅲ：如图所示，一质量为
、长为
的均质弹簧平放在光滑的水平面,在弹簧右端施加
一水平力
使弹簧向右做加速运动.试分析弹簧上各部分的受力情况.
剖析： 弹簧在水平力作用下向右加速运动，据牛顿第二定律得其加速度
,取弹簧
左部任意长度
为研究对象，设其质量为
得弹簧上的弹力为：
轻弹簧特性1：轻弹簧在力的作用下无论是平衡状态还是加速运动状态，各个部分受
到的力大小是相同的。其伸长量等于弹簧任意位置受到的力和劲度系数的比值。两端
与物体相连的轻质弹簧上的弹力不能在瞬间变化——弹簧缓变特性；有一端不与物体
相连的轻弹簧上的弹力能够在瞬间变化为零。
模型剖析：如在图1、2、3、4、中撤出任何一个力的瞬间，弹簧的长度不会变化，弹
力的大小也不会变化；但是在图5 中撤出力F 的瞬时，弹簧恢复原长，弹力变为零。
说明：①上述结论可以通过弹簧和物体组成系统的振动周期公式
加以理
解，弹簧恢复原长需要四分之一个周期，并且物体的质量越大劲度系数越小，恢复时
间就越长。物体的质量非常小时，可以认为无限短的时间就可以恢复原长。
2
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②
重的弹簧可以等价于轻弹簧连接着一个物体，弹簧自由端的恢复也仍然需要一点时
间。
轻弹簧特性2：弹簧的形变有拉伸和压缩两种情形，拉伸和压缩形变对应弹力的方向
相反。分析弹力时，在未明确形变的具体情况时，要考虑到弹力的两个可能的方向。
模型剖析：Ⅰ：如图所示，质量为m 的质点，与三根相同的螺旋形轻弹簧相连静止
时，弹簧c 沿竖直方向，相邻两弹簧间的夹角均为
已知弹簧a、b 对质点的作用力
大小均为F，则弹簧c 对质点的作用力大小可能为
A．F
B．
C．
D．
破解：（一）对小球受力分析并合成如图：假设ab 弹簧是拉力，假设c 弹簧是拉力
弹簧a、b 对质点的作用力大小均为F，所以合力竖直向上且平行四边形为菱形，连接
对角线便可找出直角三角形，在直角三角形中
，解得
，由平衡条件
得：
，所以
：
3
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①当
时：
；
②当
时：
，方向竖直向上；
（二）若弹簧a、b 的合力竖直向下，则c 弹簧的弹力一定竖直向下，由平衡条件得：
，BCD 正确．
注意：在弹簧的力到底是弹力还是拉力，分情况讨论即可．
Ⅱ：如图所示，质量为m 的质点，与三根相同的螺旋形轻弹簧相连．静止时，弹簧c
沿竖直方向，相邻两弹簧间的夹角均为120°．已知弹簧a、b 对质点的作用力大小均为
F，则弹簧c 对质点的作用力大小可能为（ ）
A．F B．F+2mg C．F-mg D．F+mg
破解：假设a、b、c 三根弹簧都是拉力；对小球受力分析，作出a、b 两个弹簧的拉力
F 的合力F′，如图所示．
若弹簧c 对质点的作用力为F，方向向上，物体还受重力和a、b 弹簧的弹力，a、b 弹
簧的弹力的合力为F，若a、b 弹簧的弹力的合力也向上，球是可以平衡的，故A 正
确；
弹簧a、b 对质点的作用力为拉力大小均为F，所以合力竖直向上且平行四边形为菱
形，故：F′=F；由平衡条件得：F=mg+FC，所以弹簧C 的拉力大小为FC=F-mg，故C
正确；
4
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若a、b 弹簧是支持力，故其合力为F 且向下，此时球还受重力和弹簧c 的支持力，根
据平衡条件，有：F+mg=FC，故D 正确；
若弹簧c 对质点的作用力为（F+2mg），物体还受重力和a、b 弹簧的弹力，a、b 弹簧
的弹力的合力为F，不管弹簧的弹力方向如何，球不可能平衡，故B 错误；故选
ACD．
轻弹簧特性3：弹力的大小与形变量成正比，方向与形变的方向相反，即F=-kx ，是
一个线性回复力，物体在弹簧弹力的作用下，通常会做简谐运动。
①一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子．
一般来讲，弹簧振子的回复力是弹力(水平的弹簧振子)或弹力和重力的合力(竖直的弹
簧振子)提供的．弹簧振子与质点一样，是一个理想的物理模型．
②弹簧振子振动周期：
，只由振子质量和弹簧的劲度决定，与振幅无关，
也与弹簧振动情况无关。(如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动或在
地球上或在月球上或在绕地球运转的人造卫星上)
③可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是
。
这个结论可以直接使用。
④在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振
子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。
模型剖析：一根轻弹簧竖直直立在水平面上，下端固定。在弹簧正上方有一个物块从
高处自由下落到弹簧上端O，将弹簧压缩。当弹簧被压缩了x0时，物块的速度减小到
零。从物块和弹簧接触开始到物块速度减小到零过程中，物块的加速度大小a 随下降
位移大小x 变化的图像，可能是下图中的 A
轻弹簧特性4：弹性势能和弹力的功
5
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①弹性势能的大小：弹簧能够储存弹性势能，它储存的弹性势能的大小与弹性形变量
的大小和劲度系数有关，
②弹力的功,弹力的功是变力的功，因为弹力随着位移是线性变化的，所以弹力功的
大小可以用平均力
求得即，
.
③弹性势能与弹力功的关系, 弹力的功等于弹性势能增量的负值即：
.
（前面一讲用
图象以证明）
模型：
剪短瞬间
剪短瞬间
绳子具有突变型，剪短后
做自由落体.弹簧不具有突变型，则
的状态不发生任何
改变而
受两个力的作用，如图所示.
总结：只要有弹簧突变
第一步：在弹簧中间来一刀，突变的另一侧所有状态均未发生改变.
第二步：另一物体反向添加
证明：剪短绳子的瞬间，时间
，则
，但
，小球有非常
小的位移变化
，但
相对弹簧的形变可以忽略，故弹簧的弹力可以认为不变，也
可以从惯性的角度理解：与弹簧相连的物体受力情况变化的瞬间，因与弹簧相连的物
体具有惯性，要保持原来的运动状态，故弹簧的形变来不及改变，因此弹力不变.
对应题型精炼
一、多选题
6
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1．如图甲所示，一轻质弹簧下端固定在水平面上，上端放一个质量为2m 的物块A，
物块A 静止后弹簧长度为l1；若在物块A 上端再放一个质量为m 的物块B，静止后弹
簧长度为l2，如图乙所示。弹簧始终处于弹性限度范围内，则（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．弹簧的劲度系数为
C．弹簧的原长为3l1-3l2
D．弹簧的原长为3l1-2l2
【答案】BD
【详解】AB．设弹簧的劲度系数为
，根据题意，当A 静止时，在物块A 上端再放一
个质量为m 的物块B，弹簧的压缩量增加了
，则有
解得
故A 错误，B 正确；
CD．设弹簧的原长为，则根据题意有
，
联立解得
故C 错误，D 正确。
故选BD。
2．质量为m 的木板与直立的轻质弹簧的上端相连，弹簧下端固定在水平地面上，静止
7
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时弹簧的压缩量为h，如图所示。现将一质量为
的物体从距离木板正上方
处由静
止释放，物体与木板碰撞后，粘在一起向下运动，到达最低点后又向上运动，空气阻
力、木板厚度、物体大小忽略不计。已知弹簧的弹性势能为
（k 为弹簧的劲
度系数，x 为弹簧的形变量），重力加速度大小为g，则（ ）
A．弹簧的劲度系数
B．弹簧的劲度系数
C．物体与木板粘合体不可能运动到弹簧原长处
D．物体与木板粘合体的最大动能为
【答案】AD
【详解】AB．木板静止时弹簧的压缩量为h，由二力平衡得
解得
A 正确，B 错误；
C．物体从距离木板正上方
处由静止释放，由动能定理得：物体与木板碰撞前瞬间
的速度大小为
解得
物体与木板碰撞瞬间，二者动量守恒有
联立可得二者粘在一起向下运动的速度大小为
8
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物体和木板一起以向下运动到向上运动到弹簧原长处时，由能量守恒定律有
联立求得，物体和木板向上运动到弹簧原长处时的动能为
故物体与木板粘合体可以运动到弹簧原长处，C 错误；
D．物体与木板粘合体以向下运动到物体与木板粘合体加速度为零时，动能最大。设
碰后物体与木板粘合体继续下降x 加速度为零
由机械能守恒可得
联立可得
D 正确。
故选AD。
3．如图所示，AB 为固定水平长木板，长为
，C 为长木板的中点，AC 段光滑，CB 段
粗糙，一原长为
的轻弹簧一端连在长木板左端的挡板上，另一端连一物块，开始时
将物块拉至长木板的右端B 点，由静止释放物块，物块在弹簧弹力的作用下向左滑动，
已知物块与长木板CB 段间的动摩擦因数为
，物块的质量为
，弹簧的劲度系数为
，
且
，物块第一次到达C 点时，物块的速度大小为，此时弹簧的弹性势能为
，不计物块的大小，弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
则下列说法正确的是（ ）
A．物块可能会停在CB 面上某处
B．物块最终会做往复运动
9
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C．弹簧开始具有的最大弹性势能为
D．最终物块和弹簧系统损失的总机械能为
【答案】BD
【详解】A．由于
由此
由此，物块不可能停在CB 面上某处，故A 错误；
B．只要物块滑上BC 段，就要克服摩擦力做功，物块的机械能就减小，所以物块最终
会在AC 段做往复运动，故B 正确；
C．物块从开始运动到第一次运动到C 点的过程中，根据能量守恒定律得
故C 错误；
D．物块第一次到达C 点时，物块的速度大小为，物块最终会在AC 段做往返运动，
到达C 点的速度为0，可知物块克服摩擦做的功最大为
故D 正确。
故选BD。
4．如图，在水平地面上，用轻质弹簧相连的物块A 和B 处于静止状态，A 质量为
0.4kg，B 质量为0.8kg，弹簧的劲度系数
。现将一个质量也为0.4kg 的物体
C 从A 的正上方一定高度处由静止释放，C 和A 相碰后立即粘在一起，之后在竖直方
向做简谐运动。在简谐运动过程中，物块B 对地面的最小弹力为6N。则（ ）
A．C 与A 碰前弹簧的压缩量为0.1m
B．弹簧的最大压缩量为0.45m
10
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C．B 对地面的最大压力为20N
D．弹簧压缩量为0.15m 和0.25m 时，物块AC 整体动量一定相等
【答案】AB
【详解】A．设C 与A 碰前弹簧的压缩量为
，以A 为对象，根据受力平衡可得
解得
故A 正确；
BC．物体B 对地面的弹力最小时，B 受到的支持力最小，此时弹簧对B 的作用力为拉
力，对B 有
解得
平衡位置有
解得弹簧被压缩
所以物块AC 做简谐运动的振幅为
根据对称性可知，弹簧的最大压缩量为
B 对地面的最大压力为
故B 正确，C 错误；
D．平衡位置在压缩量为0.2m 处，根据对称性可知，所以弹簧压缩量为0.15m 和
0.25m 时，物块AC 整体的速度大小相等，但方向不一定相同，故物块AC 整体动量大
小相等，但方向不一定相同，故D 错误。
故选AB。
11
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5．如图所示，两个完全相同的小球a、b，用轻弹簧N 连接，轻弹簧M 和轻绳一端均
与a 相连，另一端分别固定在竖直墙和天花板上，弹簧M 水平，当轻绳与竖直方向的
夹角为
时，M、N 伸长量刚好相同。若M、N 的劲度系数分别为
、
，a、b 两
球的质量均为m，重力加速度大小为g，则以下判断正确的是（ ）
A．
B．轻绳上的拉力与弹簧N 上的弹力之比为
C．若剪断弹簧M，则在剪断的瞬间，b 球的加速度大小为g
D．若剪断轻绳，则在剪断的瞬间，a 球的加速度大小为4g
【答案】BD
【详解】AB．以a 球、轻弹簧N、b 球为整体，由受力平衡得
，
以b 球为对象，由受力平衡得
联立可得
，
故A 错误，B 正确；
C．若剪断弹簧M，则在剪断的瞬间，弹簧N 的弹力
保持不变，则b 球受力不变，b
球的加速度为0，故C 错误；
D．若剪断轻绳，则在剪断的瞬间，a 球的重力、弹簧M 和弹簧N 的弹力均保持不变，
则a 球受到的合力大小等于剪断轻绳前绳子的拉力大小，则a 球的加速度大小为
故D 正确。
故选BD。
12
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6．如图所示，质量为
的小球A 与质量为m 的小球B 由绕过定滑轮的轻质细线相连，
小球B 与质量为m 的小球C 通过劲度系数为
的轻质弹簧相连，小球C 放置在水平
地面上，先用手控制A，使细线处于竖直方向刚好拉直但无拉力，系统处于静止状态，
然后释放A。细线与滑轮之间的摩擦力和空气阻力均不计，重力加速度为g，小球均可
视为质点。在小球C 离开地面前，下列说法正确的是（ ）
A．释放A 的瞬间B 的加速度为
B．释放A 的瞬间细线的拉力为
C．释放A 时弹簧的弹性势能与C 刚要离地时弹簧的弹性势能相等
D．A 在向下运动过程中的最大速度为
【答案】BCD
【详解】A．释放
的瞬间，设A、B 组成的整体的加速度为
，由牛顿第二定律可得
解得
A 错误；
B．对
由牛顿第二定律可得
结合
解得
13
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B 正确；
C．当C 刚要离地时，设弹簧的伸长量为
，则有
整体处于静止状态时，设弹簧的压缩量为
，即释放
时弹簧的压缩量为
，则有
可得
则两种状态下弹簧的弹性势能相等，C 正确；
D．释放
到C 刚要离地，弹性势能的变化量为0，对A、B 以及弹簧组成的整体，由
能量守恒定律可得
解得
D 正确。
故选BCD。
7．如图所示，A、B 两小球分别连在轻绳两端，B 球另一端用弹簧固定在倾角为
的
光滑斜面上。A、B 两小球的质量分别均为m，重力加速度为g，若不计弹簧质量，在
轻绳被剪断瞬间（ ）
A．轻绳拉力突变，弹簧弹力不变
B．轻绳拉力不突变，弹簧弹力突变
C．A 的加速度大小为0.5g，B 的加速度大小为0.5g
D．A 的加速度大小为0，B 的加速度大小为0.5g
14
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【答案】AC
【详解】AB．轻绳被剪断瞬间轻绳拉力突变，弹簧弹力不变，故A 正确，B 错误；
CD．对A 球：在剪断绳子之前，A 球处于平衡状态，所以绳子的拉力等于A 球的重力
沿斜面的分力．在剪断绳子的瞬间，绳子上的拉力立即减为零，此时小球A 受到的合
力为
解得
对B 球：在剪断绳子之前，对B 球进行受力分析，B 球受到重力、弹簧对它斜向上的
拉力、支持力及绳子的拉力，在剪断绳子的瞬间，绳子上的拉力立即减为零，此时对
B 球进行受力分析，则B 球受到重力、弹簧斜向上的拉力、支持力，根据牛顿第二定
律得
解得
故选AC。
8．如图所示，质量均为m 的两个小球A 和B，中间用轻质弹簧连接，A 的上端用轻绳
系在天花板上。现将轻绳剪断并开始计时，到第一次弹簧恢复原长时A 球速度为
，B
球速度为
，且方向均向下，重力加速度为g，则（ ）
A．
B．经历时间为
C．剪短轻绳瞬间A 球的加速度为g
D．初始时弹簧的弹性势能为
15
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【答案】AB
【详解】C．剪短轻绳瞬间，弹簧长度不变，弹力不变，B 球的加速度为零，A 球加速
度为
故C 错误；
A．将轻绳剪断并开始计时，到第一次弹簧恢复原长时，A 球加速度始终大于B 球加
速度，则
故A 正确；
B．对小球A 进行分析有
对小球B 进行分析有
由于弹簧对A 的作用力与弹簧对B 的作用力等大反向，则有
解得
故B 正确；
D．第一次弹簧恢复原长时两球和弹簧组成的系统机械能为
从轻绳剪断并开始计时，到第一次弹簧恢复原长时，重力对系统做正功，初始时弹簧
的弹性势能小于
，故D 错误。
故选AB。
9．如图所示，A、B、C 三个物体分别用轻绳和轻弹簧连接，放置在倾角为θ 的光滑斜
面上，当用沿斜面向上的恒力F 作用在物体A 上时，三者恰好保持静止，已知A、
B、C 三者质量相等，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
16
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A．在轻绳被烧断的瞬间，C 的加速度大小为0
B．在轻绳被烧断的瞬间，B 的加速度大小为
C．剪断弹簧的瞬间，C 的加速度大小为
D．突然撤去外力F 的瞬间，A 的加速度大小为0
【答案】AC
【详解】A．在轻绳被烧断瞬间， C 的受力保持不变，所以C 的加速度为零，故A 正
确；
B．对C，根据平衡条件可得
对B，根据牛顿第二定律可得
解得
故B 错误；
C．剪断弹簧的瞬间，对C，根据牛顿第二定律有
解得
故C 正确；
D．突然撤去外力F 的瞬间，对整体AB，由牛顿第二定律可得
解得
故D 错误。
故选AC。
17
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10．如图所示，劲度系数不同的两个轻质弹簧a、b 悬挂了质量为
和
两块橡皮泥，
整个装置保持静止时，弹簧a 的长度与弹簧b 的长度相等；已知
，重力加速
度为g，则（ ）
A．弹簧a 的弹力比弹簧b 的弹力大
B．在
上取
粘在
处，
重心下降
C．剪断弹簧a 瞬间，质量为
的橡皮泥加速度大小为
，方向竖直向下，质量为
的橡皮泥加速度为零
D．剪断弹簧b 瞬间，质量为
的橡皮泥加速度大小为
，方向竖直向下，质量为
的橡皮泥加速度大小为g，方向竖直向下
【答案】AB
【详解】两橡皮泥都静止处于平衡状态，由平衡条件得
故A 正确；
B、若在
上取
粘在
处，由平衡条件得
弹簧a 的弹力不变，弹簧a 的长度不变；
弹簧b 的弹力变大，
重心下降；故B 正确；
C、剪断弹簧a 瞬间，弹簧a 的弹力消失，弹簧b 的弹力不变，对质量为
的橡皮泥，
18
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由牛顿第二定律得
解得
质量为
的橡皮泥受力不变，所受合力为零，加速度为零，故C 错误；
D、剪断弹簧b 瞬间，弹簧a 的弹力不变，弹簧b 的弹力消失，对质量为
的橡皮泥，
由牛顿第二定律得
解得
对质量为
的橡皮泥，由牛顿第二定律得
解得
故D 错误。
故选AB。
11．如图所示，物体a、b 用一根不可伸长的轻细绳相连，再用一根轻弹簧将a 和天花
板相连，已知物体a、b 的质量相等，重力加速度为g。当在P 点剪断绳子的瞬间，下
列说法正确的是（ ）
A．物体a 的加速度大小为g
B．物体b 的加速度大小为零
C．物体b 的加速度与物体a 的加速度大小相等，方向相反
19
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D．物体b 的加速度与物体a 的加速度大小相等，方向相同
【答案】AC
【详解】设ab 物体的质量为m，剪断细绳前，对ab 整体受力分析，受到总重力和弹
簧的弹力而平衡，故
再对物体a 受力分析，受到重力、细绳拉力和弹簧的拉力，剪断细绳后，重力和弹簧
的弹力不变，细绳的拉力减为零，故物体a 受到的的合力等于mg，向上，根据牛顿第
二定律得a 的加速度为
方向向上；
对物体b 受力分析，受到重力、细线拉力，剪断细绳后，重力不变，细绳的拉力减为
零，故物体b 受到的力的合力等于mg，向下，根据牛顿第二定律得b 的加速度为
a=g
方向向下，所以物体a 的加速度与物体b 的加速度大小相等，方向相反。
故选AC。
二、单选题
12．如下图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F
的拉力作用，而左端的情况各不相同：①弹簧的左端固定在左墙上；②弹簧的左端受
大小也为F 的拉力作用；③弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动；④弹
簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动。若认为弹簧的质量都为零，以
l1、l2、l3、l4依次表示四个弹簧的伸长量，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】弹簧一端固定一端用力F 拉和两端都用力F 拉相同，故弹簧的弹力为F，弹
簧的伸长量为
20
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物体在光滑的水平面上加速运动，因为弹簧是轻弹簧质量忽略不计，故弹簧所受合力
为0，即物体对弹簧的拉力等于F，故弹簧的伸长量
物体在粗糙的水平面上运动时，物体的加速度虽然变小，但轻弹簧两端拉力相同，故
物体对弹簧的拉力仍等于F，所以
故选C。
13．如图，四根完全相同的轻质弹簧，它们的上端受到大小均为F 的拉力作用，而下
端的情况各不相同：①弹簧的下端挂物体静止在空中；②弹簧的下端挂物体在空中匀
速下降；③弹簧的下端固定在水平地面上；④弹簧的下端施以同样大小的拉力F。以
、
、
、
依次表示四根弹簧的伸长量，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由于四根轻质弹簧完全一致，且一端拉力均为F，根据弹簧弹力的决定式
F=kx，四根弹簧形变量均相同。
故选C。
14．如图所示，四个完全相同的轻弹簧都呈竖直状态，它们的上端受到大小都为F 的
拉力作用，而下端的情况各不相同．a 中弹簧下端固定在地面上，b 中弹簧下端受大小
也为F 的拉力作用，c 中弹簧下端拴一个质量为m 的物块且在竖直方向向上运动，d 中
弹簧下端拴一质量为2m 的物块且在竖直方向向上运动．以L 1、L 2、L 3、L 4依次表示
a、b、c、d 四个弹簧的伸长量，则以下关系正确的有（ ）
21
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A．L1> L 3
B．L 4> L 2
C．L 1= L 4
D．L3>L4
【答案】C
【详解】因为弹簧的质量不计，所以四根弹簧的弹力大小都等于F，根据胡克定律知，
弹簧的形变量相等，故C 正确，ABD 错误．
15．如图所示，光滑水平面上放置着四个相同的木块，其中木块B 与C 之间用一轻弹
簧相连，轻弹簧始终在弹性限度内。现用水平拉力F 拉B 木块，使四个木块以相同的
加速度一起加速运动，则以下说法不正确的是（ ）
A．一起加速过程中，C 木块受到五个力的作用
B．一起加速过程中，D 木块受到的静摩擦力大小为
C．一起加速过程中，A、D 木块所受摩擦力大小和方向相同
D．当F 撤去瞬间，A、D 木块所受静摩擦力的大小和方向都不变
【答案】D
【详解】A．一起加速过程中，C 木块受到重力、D 对C 的压力、地面对C 的支持力、
D 对C 向左的静摩擦力和弹簧对C 的拉力五个力的作用，故A 正确；
B．以A、B、C、D 整体为研究对象，根据牛顿第二定律，有
得
对D 受力分析，所受到的静摩擦力
故B 正确；
C．一起加速过程中，根据牛顿第二定律知，A、D 两木块受到的摩擦力方向相同，均
水平向右，大小
故C 正确；
D．撤去F 的瞬间，弹簧的弹力不能突变，对DC 整体合力水平向右，加速度水平向右，
再隔离D，根据牛顿第二定律知，D 受到的摩擦力大小方向均不变；对AB 整体，合力
水平向左，A 所受摩擦力大小不变，方向相反，故D 错误。
22
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本题选不正确的，故选D。
16．如图所示，竖直弹簧固定在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，原长为。质量为
m 的铁球从弹簧正上方h 处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当压缩量为
时，铁球
下落到最低点，不计空气阻力，重力加速度为g，下面关于在铁球下落过程的分析正
确的是（ ）
A．铁球接触弹簧便开始减速
B．铁球先做匀加速运动（自由落体）后做匀减速运动
C．铁球离地
时动能最大
D．弹簧的弹性势能最大值为
【答案】D
【详解】A．铁球接触弹簧时，弹力为零，铁球继续做加速运动，直到弹力大小等于
重力后，铁球才开始做减速运动，故A 错误；
B．铁球在未接触到弹簧前做自由落体运动，接触到弹簧后，由于弹力逐渐增加，铁球
做加速度逐渐减小的加速运动，直到弹力大于重力后，铁球继续向下运动，做加速度
逐渐增大的减速运动直到最低点，故B 错误；
C．当铁球的加速度为零时，铁球的速度达到最大，动能最大，即
解得
此时铁球离地高度为
故C 错误；
D．铁球整个运动过程由动能定理可得
23
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解得
故D 正确。
故选D。
17．如图所示，A、B、C 三个物体的质量是
，
，A、B 两物体通
过绳子绕过定滑轮相连，B、C 用劲度系数为
的弹簧相连，劲度系数为
的弹簧一端
固定在天花板上，另一端与滑轮相连。开始时，A、B 两物体在同一水平面上，各物体
处于静止状态，不计滑轮、绳子、弹簧的重力和一切摩擦。现用竖直向下的力缓慢拉
动A 物体，在拉动过程中，弹簧、与A、B 相连的绳子始终竖直，到C 物体刚要离开
地面（A 尚未落地，B 没有与滑轮相碰），此时A、B 两物体的高度差为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】开始时，弹簧
处于压缩状态，压缩量为
弹簧
处于伸长状态，伸长量为
24
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用竖直向下的力缓慢拉动A 物体，当C 物体刚要离开地面时，弹簧
处于伸长状态，
伸长量为
弹簧
处于伸长状态，伸长量为
A 下降的距离为
B 上升的高度为
则A、B 的高度差为
故选C。
18．如图所示，被压缩的轻质弹簧推动木块向右运动到恢复原长的过程中，弹簧的（
）
A．弹力不变
B．弹力增大
C．弹性势能不变
D．弹性势能减小
【答案】D
【详解】被压缩的轻质弹簧推动木块向右运动到恢复原长的过程中，弹簧形变量在减
小，根据F = kx，可知弹力也在减小，且弹力做正功，弹性势能减小。
故选D。
19．如图所示，某同学将一轻质弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端与物块连接，物
块置于水平面上，物块与水平面间的动摩擦因数为
，弹簧与地面平行。改变物块在
水平面上的位置，发现物块只能在A、B 两点间保持静止，测得A、B 两点到竖直挡板
的距离分别为
、
，物块的质量为m，当地重力加速度为
，最大静摩擦力等于滑
动摩擦力，则该弹簧的劲度系数为（ ）
25
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意，设弹簧的原长为
，劲度系数为
，在
点时，有
在
点时，有
联立解得
故选A。
20．如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧下端固定，质量为m 的物块P 紧压在弹簧上端
但不拴接，开始时用轻绳系住物块，绳的拉力大小为
，此时弹簧的弹性势能为
，剪断轻绳，则物块P 离开弹簧后上升到最高点的时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】开始时弹簧弹力为
26
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F=mg+2mg=3mg
弹簧的压缩量为
剪短细绳后到最高点的过程由能量关系
解得
即物块离开弹簧时上升的高度为
根据
可得
故选D。
21．如图甲所示，外力F 作用在A 端，可拉可压，取水平向左为正方向，则外力F 随
弹簧长度的变化关系如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧原长为
B．弹簧的劲度系数为
C．
时，弹簧对墙壁的弹力方向水平向右
D．
时，弹簧对墙壁的弹力大小为
【答案】D
【详解】A．根据图像可知，当
时，弹簧处于自然伸长状态，即自然长度
27
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故A 错误；
B．由胡克定律可得
故B 错误；
C．由题意知，弹簧长度为10 cm 时，F 方向向左，弹簧处于压缩状态，弹簧对墙壁的
弹力水平向左，故C 错误；
D．由题意知，弹簧长度为20 cm 时，F 方向向右，弹簧处于伸长状态，弹簧对墙壁的
弹力水平向右，大小为
故D 正确。
故选D。
22．如图所示，轻弹簧一端连接小球，另一端固定于O 点，现将球拉到与O 点等高处，
弹簧处于自然状态，小球由静止释放，轨迹如虚线所示，上述运动过程中（ ）
A．小球的机械能守恒
B．小球的重力势能先减小后增大
C．当球到达O 点的正下方时，弹簧的张力最大
D．当球到达O 点的正下方时，重力的瞬时功率为0
【答案】B
【详解】A．以小球、弹簧和地球组成的系统为研究对象，由于只有重力和弹力做功，
故系统的机械能守恒；小球运动过程中受到弹簧弹力做功，则小球的机械能不守恒，
故A 错误；
B．下摆过程中小球的重力做正功，重力势能减小；通过最低点后小球上升时重力做负
功，重力势能增大，故B 正确；
C．下摆过程中，弹簧的伸长量逐渐增大，小球运动的最低点在O 点正下方左侧，即
张力最大位置在O 点正下方左侧，故C 错误；
D．当小球到达O 点的正下方时，小球的速度方向为左下方，速度方向与重力方向不
垂直，则重力的瞬时功率不为零，故D 错误。
28
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故选B。
三、解答题
23．如图甲所示，劲度系数为k、足够长的轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，
一质量为m 的小球，从离弹簧上端高h 处由静止释放，落在弹簧上与弹簧连接在一起
不再分开，以后继续向下运动到最低点的过程中，小球的速度v 随时间t 的变化图像如
图乙所示，其中OA 段为直线，AB 段是与OA 相切于A 点的曲线，BCD 是平滑的曲线。
不计空气阻力，重力加速度为g，试分析：
（1）作出弹簧弹力F 与x 的图像，并由图像求弹力做功的表达式；
（2）求乙图中B 点对应的弹簧形变量x1和小球到达B 点状态时的动能EkB。
（3）D 点对应的弹簧弹力大小FD。
【答案】（1）图见详解，
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）根据胡克定律
作图如下
图线与坐标轴所围面积大小等于弹力做功大小，则
（2）乙图中B 点速度达到最大值，有
29
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解得
小球下落到B 点对应位置由动能定理可得
解得
（3）D 点时有
解得
所以弹力为
24．如图所示，在水平地面上有三个质量分别为m1、m2、m3的木块1、2、3，木块1
和2、2 和3 间分别用一原长为l、劲度系数为k 的轻弹簧连接起来，木块1、2 与水平
面间的动摩擦因数为μ，木块3 和水平面之间无摩擦。现用一水平恒力向右拉木块3，
求当木块一起匀速运动时木块1 和3 间的距离（木块视为质点，施加恒力前两轻弹簧
均处于原长）。
【答案】
【详解】对木块1 受力分析，木块1 受重力、支持力、拉力和摩擦力，根据平衡条件，
有
kx1=μm1g
对木块1 和木块2 整体受力分析，木块1 和木块2 整体受重力、支持力、摩擦力和右侧
弹簧的拉力，根据平衡条件有
kx2=μ（m1＋m2）g
木块1 与木块3 之间的总长度为
x=2l＋x1＋x2
30
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联立解得
25．如图所示，两块小磁铁质量均为
，A 磁铁用轻质弹簧吊在天花板上，B 磁铁
在A 正下方的地板上，弹簧的原长
，劲度系数
。当A、B 均处
于静止状态时，弹簧的长度为
。不计地磁场对磁铁的作用和磁铁与弹簧间相
互作用的磁力，
取
求：
（1）对B 的磁力的大小和方向；
（2）对地面的压力大小。
【答案】（1）
，方向竖直向下；（2）
【详解】（1）假设B 对A 的磁力竖直向上，对A 受力分析，如图甲所示
由平衡条件得
解得
故B 对A 的磁力大小为
，方向竖直向上。由牛顿第三定律得A 对B 的磁力
方向竖直向下。
（2）对B 受力分析，如图乙所示
31
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由平衡条件得
解得
由牛顿第三定律得B 对地面的压力大小为
。
26．如图所示，质量分别为m1、m2、m3的小物块A、B、C 用两根相同的自然长度为
l、劲度系数为k 的轻弹簧连接起来，在竖直向上的外力F 的作用下静止。小物块A、
B、C 可视为质点，重力加速度为g，则A、C 之间的距离是多少？
【答案】
【详解】设下面弹簧的伸长量为
，以C 为对象，根据受力平衡可得
解得
设上面弹簧的伸长量为
，以B、C 整体为对象，根据受力平衡可得
解得
32
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则A、C 之间的距离为
27．一根大弹簧内套一根小弹簧如图乙所示，大弹簧比小弹簧长0.2 m，如图甲所示，
它们的下端平齐并固定，另一端自由，当压缩此组合弹簧时，测得弹力与弹簧压缩量
的关系如图丙所示。试求这两根弹簧的劲度系数k1和k2。
【答案】10 N/m，20 N/m
【详解】据题意，当压缩量只有0.2m 的过程，只有大弹簧发生形变。从图中读出
x=0.2m 时，F=2N，根据
F=k1x
解得
k1 =10N/m
其中OO′图线的斜率就是k1，弹簧组合形变量为0.3m 时，大弹簧的形变量为
x1=0.3m，小弹簧的形变量x2=0.1m，根据
F1＋F2=5 N
即有
k1x1＋k2x2=5 N
则有
k2=20N/m
28．如图所示，一根原长为
的轻弹簧套在一长为
的光滑直杆
上，其
下端固定在杆的
端，质量为
的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。小球和
杆一起绕经过杆
端的竖直轴
匀速转动，且杆与水平面间始终保持
角。已
知杆处于静止状态时弹簧长度为
，重力加速度为
，
，
，
，求：
（1）弹簧的劲度系数
；
33
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（2）弹簧为原长时，小球的角速度
；（结果可含根号）
（3）当杆的角速度满足什么条件时小球会从
端飞走。（结果可含根号）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）杆处于静止状态时，对小球受力分析，由平衡条件得
根据胡克定律得
解得
（2）弹簧为原长时，小球只受到重力和杆的支持力，由它们的合力提供向心力，则
可得
（3）当弹簧伸长长度为
时，小球会从
端飞走，设弹簧的伸长量为
，弹簧
的弹力为
，对小球由受力分析可得，竖直方向
水平方向
根据胡克定律得
代入
后，解得
34
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所以，当杆的角速度
时，弹簧长度大于
，小球会从
端飞走。
29．如图所示，两个轻质弹簧劲度系数分别是K1、K2，原长分别是l1、l2，K1一端固定
在天花板上另一端连接m1，K2一端和m1连接另一端连接 m2，开始处于平衡状态。求
（1）此时两个弹簧的总长度；
（2）在下面用一质量为M 木板向上托着m2，直到两个弹簧的总长度等于两个弹簧原
长之和时，求M 受到的压力多大？
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）假设这时劲度系数为K2的轻质弹簧它的伸长量为x2，对B 物体受力分
析有
解得
则K2长度为
假设这时劲度系数为K1的轻质弹簧它的伸长量为x1，对AB 两物体整体受力分析有
解得
这时两个弹簧的总长度为
（2）用一个平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹
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簧的原长之和时，下面的弹簧应被压缩
，上面的弹簧应被拉伸
，以
为研究对象，
根据平衡关系有
解得
以
为研究对象，根据平衡关系有
30．如图甲所示，质量分别为
、
的A、B 两物体用轻弹簧连接后竖
直放置在水平地面上并处于静止，此时A、B 间的距离
，轻弹簧的自然长度
，重力加速度
。求：
（1）轻弹簧的劲度系数是多少？
（2）如图乙所示，若把A 物体用细绳悬挂，使A、B 两物体都处于静止时，两物体之
间的距离是多少？
【答案】（1）1000N/m；（2）0.12m
【详解】（1）由于A、B 静止，对A 分析，根据受力平衡可得
解得
（2）设弹簧的伸长量为x，以B 物体为对象，根据受力平衡可得
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解得
A、B 间距为
31．一轻质弹簧的一端拴一个质量
的物块，另一端按图1、2 两种方式固定，
物体静止时，弹簧的长分别为
和
，弹簧未超出弹性限度，重力加速
度取
。
（1）求弹簧的原长
；
（2）求弹簧的劲度系数；
（3）如图3，将装置置于水平面上，用水平力拉弹簧，物体沿水平面匀速运动，已知
物体与水平面间的动摩擦因数
，求弹簧的长度。
【答案】（1）8cm；（2）200N/m；（3）9cm
【详解】（1）图1 中弹簧处于拉伸状态，则有
图2 中弹簧处于压缩状态，则有
解得
（2）根据上述可解得
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（3）物体沿水平面匀速运动，对物体分析有
，
弹簧此时的弹力
解得
32．如图所示，质量为
的薄塑料平板A 置于水平桌面上，原长为
、劲度系数为k
的水平轻弹簧左端固定，右端连接放在A 上的质量为
的物块B。塑料平板A 在大小
为F 的水平恒力作用下，向右做匀速直线运动，物块B 处于静止状态。已知A 与B 间、
A 与桌面间的动摩擦因数相等，当地的重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内。求：
（1）A、B 间的动摩擦因数；
（2）在该过程中轻弹簧的长度。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）A 与B 间、A 与桌面间的动摩擦因数相等，设为
；以木板A 为对象，
根据受力平衡可得
解得
（2）设该过程中轻弹簧的长度为，以物块B 为对象，根据受力平衡可得
联立解得
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