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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块5 动量各模块大招
第03 讲 小球—弹簧及子弹打木块模型
（解析版）
目录
【内容一】 小球—弹簧模型..............................................................................................................................1
【内容二】 子弹打木块
有关
动能定理............................................................................................................2
【内容三】 子弹打木块
有关
动量定理..............................................................................................................3
技巧总结
内容一：
小球—弹簧模型
①两小球速度相同时，弹簧最短，弹性势能最大
动量守恒：
能量守恒：
(相当于完全非弹性碰撞)
②弹簧恢复原长时：
动量守恒：
能量守恒：
(相当于完全弹性碰撞)
1
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子弹打木块
模型
子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞：作为一个典型，它的特点是：子弹以水平
速度射向原来静止的木块，并留在木块中跟木块共同运动。下面从动量、能量和牛顿
运动定律等多个角度来分析这一过程。
设质量为m 的子弹以初速度v0 射向静止在光滑水平面上的质量为M 的木块，并留在
木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d 。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程
中木块前进的距离。
要点：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。
从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：mv 0=(M +m)v ……①
从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为
f ，设子弹、木块的位移大小分别为s1、s2 ，如图所示，显然有s1−s2=d
内容二：对子弹用动能定理：
−f⋅s1=1
2 mv 2−1
2 mv 0
2
……②
对木块用动能定理：
f⋅s2=1
2 Mv 2
……③
①、②相减得：
f⋅d=1
2 mv 0
2−1
2
(M +m)v2=
Mm
2(M +m) v0
2
……④
内容三：对子弹用动量定理：−f⋅t=mv −mv 0
……⑤
对木块用动量定理：f⋅t=Mv
……⑥
含义：这个式子的物理意义是：fd 恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系
统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见f⋅d=Q ，即两物体由于相对运动而摩
擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积
2
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（由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位
移）。
由上式不难求得平均阻力的大小：
f =
Mmv 0
2
2(M +m)d
至于木块前进的距离s2 ，可以由以上②、③相比得出：
s2=
m
M +m d
从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。由于子弹和木块都在恒
力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比：
s2+d
s2
=(v0+v)/2
v/2
= v0+v
v
,∴d
s2
= v0
v = M +m
m
, s2=
m
M +m d
一般情况下M >>m ，所以s2<<d。这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，
可以忽略不计。这就为分阶段处理问题提供了依据。象这种运动物体与静止物体相互
作用，动量守恒，最后共同运动的类型，全过程动能的损失量可用公式：
ΔEk=
Mm
2(M +m) v0
2
④
当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但
穿透过程中系统动量仍然守恒，系统动能损失仍然是ΔEk=fd （这里的d 为木块的
厚度），但由于末状态子弹和木块速度不相等，所以不能再用④式计算ΔEk 的大小。
例题演练
例1、如图甲所示，在光滑水平面上的轻质弹簧一端固定，物体A 以速度vo向右运动
压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x；现让该弹簧一端连接另一质量为m 的物体B
（如图乙所示），静止在光滑水平面上。物体A 以2vo的速度向右运动压缩弹簧，测得
弹簧的最大压缩量仍为x，已知整个过程弹簧处于弹性限度内，则（ ）
A．物体A 的质量为6m B．物体A 的质量为3m
C．弹簧压缩量为最大值x 时的弹性势能为
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D．弹簧重新恢复原长时，物体B 的动量大小为
解：ABC．当弹簧固定时，当弹簧压缩量最大时，弹性势能最大，物体A 的动能转化
为弹簧的弹性势能，根据系统的机械能守恒得弹簧被压缩过程中最大的弹性势能等于
A 的初动能，设A 的质量为
，即有
当弹簧一端连接另一质量为
的物体B 时，A 与弹簧相互作用的过程中B 将向右运动，
A、B 速度相等时，弹簧的弹性势能最大，选取A 的初速度的方向为正方向，由动量
守恒定律得
由机械能守恒定律得
联立得
，
故A 错误，BC 正确。
D．弹簧重新恢复原长时，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
物体B 的动量大小为
解得
选项D 错误。故选BC。
例2、如图所示，质量为M 的物块甲，以速度
沿光滑水平地面向前运动，连接有轻
弹簧、质量为m 的物块乙静止在正前方，物块甲与弹簧接触后压缩弹簧，则下列判断
错误的是（ ）
A．仅增大
，弹簧的最大压缩量增大 B．仅增大m，弹簧的最大压缩量增大
C．仅增大M，弹簧的最大压缩量增大
D．
一定，
一定，弹簧的最大压缩量一定
解：根据动量守恒有
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最大压缩量时对应的弹性势能
。
而弹性势能于压缩量之间的关系
由些可以判断，A、B、C 项正确，D 项错误。故选D。
例3．如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m 的光滑弧形槽静止在光滑水
平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m 的小球从槽上高h 处由静止开始自
由下滑，则下列说法正确的是（ ）
A．在下滑过程中，小球和槽组成的系统动量守恒
B．在下滑过程中，小球和槽之间的相互作用力对槽不做功
C．被弹簧反弹后，小球能回到槽上高h 处
D．被弹簧反弹离开弹簧后，小球和槽都做速率不变的直线运动
解：A．在下滑过程中，小球和槽组成的系统在水平方向上所受合外力为零，动量守
恒；在竖直方向上所受合外力不为零，动量不守恒，故A 错误；
B．在下滑过程中，根据动量守恒定律可知槽向左运动，小球和槽之间的相互作用力对
槽做正功，故B 错误；
CD．根据动量守恒定律可知小球滑到斜槽底端时和槽的速度大小相等，小球被弹簧反
弹离开弹簧后，速度大小不变，与槽的速度相等，所以小球和槽都做速率不变的直线
运动，且小球不可能追上槽并回到槽上高h 处，故C 错误，D 正确。故选D。
例4．如图所示，物体
静止在光滑的水平面上，在物体
上固定一个轻弹簧，物体A
以某一速度
沿水平方向向右运动，通过弹簧与物体
发生作用，物体A 的质量为
，
物体
的质量为
，从物体A 刚接触弹簧至弹簧再次恢复原长的过程中，下列说法正
确的是（ ）
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A．弹簧弹性势能的最大值为
B．物体A 克服弹簧弹力做的功为
C．物体A 先做加速度增大的减速运动，再做加速度减小的减速运动
D．弹簧再次恢复原长时物体
的速度大小为
解：D．从A 物体刚接触弹簧和弹簧恢复到原长的两个状态，两物体组成的系统动量
守恒，机械能守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
解得
，
故D 正确；
B．弹簧对A 做功为
则物体A 克服弹簧弹力做的功为
，故B 错误；
A．两物体速度相等时，弹簧压缩量最大，弹簧弹性势能最大，系统动量守恒，以向
右为正方向，由动量守恒定律可得
由能量守恒定律得
解得
故A 错误；
C．物体A 与弹簧接触后做减速运动，B 做加速运动，弹簧压缩量增大，弹簧弹力变大，
A 的加速度变大；当A、B 两物体速度相等时弹簧压缩量最大，然后弹簧逐渐恢复原长，
弹簧弹力减小，A 的加速度减小，A 继续做减速运动，因弹簧恢复原长时速度为负，所
以A 在速度减为0 后继续做负方向上的加速度逐渐减小的加速度运动，因此，整个过
程A 先做加速度增大的减速运动，后做加速度减小的减速运动，再做加速度减小的加
速度运动，故C 错误。故选D。
例5．如图所示，三条完全相同的轻弹簧放在光滑水平面上，一端分别与物块A、B、
C 相连接，图甲、乙中的另一端固定在墙上，图丙中另一端与水平面上的物块D 相连。
物块的质量均为m，弹簧劲度系数为k，给物块A、C 一个水平向右的初速度v0，给物
块B 一个水平向右的恒定推力F。已知弹簧的弹性势能表达式为
（x 为形变
量）。则下列说法正确的是（ ）
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A．甲图弹簧的最大伸长量为
B．乙图物块B 的最大速度为
C．丙图物块D 的最大动量与弹簧最大弹性势能的比为2：v0
D．丙图弹簧的最大伸长量为
解：A．同一个弹簧在压缩量与伸长量相等时，弹性势能相等，甲图中，由机械能守
恒定律可得
，
A 错误；
B．乙图中，在物块B 的最大速度时，有弹簧弹力大小等于外力F，则有F 弹=F=kx
由功能关系可得
，
B
正确；
C．物块C 与物块D 相互作用，动量守恒，因两物块质量相同，两物块相互作用后，
则有C 的动量是零，D 的动量最大为mv0；在两物块相互作用中，当两物块的速度相等
时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒，则有mv0=2mv，
由机械能守恒定律，则为
，
物块D 的最大动量与弹簧最大弹性势能的比为
C 错误；
D．丙图中，弹簧的弹性势能最大时，弹簧的形变量最大，即为C、D 两物块速度相等
时弹簧的形变量最大，则有
，
同一个弹簧在压缩量与伸长量相等时，弹性势能相等，所以丙图弹簧的最大伸长量为
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，D 正确。故选BD。
例6．如图甲所示，物块A、B 的质量分别是
和
，A、B 用轻弹簧
拴接，放在光滑的水平面上，B 右侧与竖直墙壁相接触。
时，另有一物块C 以速
度v 向右运动，在
时与A 相碰，并立即与A 粘在一起不再分开，C 的
图像如图
乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．C 的质量为
B．B 离开墙壁前弹簧具有的最大弹性势能为
C．
时B 将离开墙壁 D．B 离开墙壁后弹簧具有的最大弹性势能为
解：A．取水平向右为正方向，由图知，C 与A 碰前速度为
，碰后速度
，C 与A 碰撞过程动量守恒
得
选项A 正确；
B．AC 整体以
向右挤压弹簧，当速度减为零时弹簧的弹性势能最大，由能量
守恒得
选项B 错误；
C．由能量守恒，当12s 时AC 整体以
向左运动时弹簧恢复原长，B 将离开
墙壁，选项C 正确；
D．B 离开墙壁后AC 通过弹簧带动B 向左加速，当ABC 共速时弹簧最长，设此时速
度大小为
，由动量守恒定律
得
由能量守恒得
选项D 正确。故选
ACD。
例7．如图所示，将质量分别为
、
的A、B 两个物体放在光滑的水平
面上，物体B 处于静止状态，B 的左端与一轻弹簧相连接。现在给物体A 一水平向右
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的初速度
。则下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧压缩到最短时，A、B 两物体的速度大小均为
B．弹簧恢复原长，A 物体的速度大小为
C．整个过程中弹簧储存的最大弹性势能为
D．整个过程中A、B 系统的最小动能为
解：A．当弹簧压缩到最短时，二者速度相同，设共同速度为，取向右为正方向，由
动量守恒定律可得
解得
故A 错误，与题意相符；
B．弹簧恢复原长时，系统能量表现为两物体的动能，设其速度分别为
和
，取向
右为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得
联立，可得
所以A 物体的速度大小为
。故B 正确，与题意不符；
CD．当弹簧压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，系统的动能最小。根据系统的机械
能守恒，有
即弹簧的最大弹性势能为
。
即A、B 系统的最小动能为2J。故C 正确，与题意不符；D 错误，与题意相符。故选
AD。
例8．如图所示，光滑水平地面上质量均为m 的物体A、B，之间用轻弹簧相连，B 紧
靠右侧墙面，另一个质量也为m 的物体C，以一定的初速度v0向右运动（设向右为
正）与A 碰撞后立即结合为一体，则下列说法正确的是（ ）
A．A、C 碰撞引起的机械能损失为
mv0
2 B．弹簧的最大弹性势能为
mv0
2
C．弹簧第一次恢复原长时B 开始与墙分离 D．弹簧第一次拉伸到最长时B 的速度为
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解：A．对A、C，碰撞后的速度为v1，根据动量守恒mv0=2mv1，
碰撞引起的机械能损失为
A 正确；
B．根据能量守恒，最大弹性势能等于碰撞后AC 结合体的初态动能，即
B 错误；
C．当弹簧第一次恢复原长时，AC 结合体的速度为
，弹簧开始拉伸，B 开始与墙分
离，C 正确；
D．弹簧第一次拉伸最长时，A、B、C 三者有共同速度v2，根据动量守恒为
D 正确．
例9、质量为m 的子弹以某一初速度v0击中静止在光滑水平地面上质量为M 的木块，
并陷入木块一定深度后与木块相对静止，甲、乙两图表示了这一过程开始和结束时子
弹和木块可能的相对位置，设木块对子弹的阻力大小恒定，下列说法正确的是
（ ）
A．M 越大，子弹射入木块的时间越短 B．M 越大，子弹射入木块的深度越深
C．无论m、M、v0的大小如何，都只可能是甲图所示的情形
D．若v0较小，则可能是甲图所示情形；若v0较大，则可能是乙图所示情形
解：A．由动量守恒定律
则对木块由动量定理
解得
则M 越大，则t 越大，选项A 错误；
B．由能量关系
解得
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则M 越大，则d 越大，选项B 正确；
CD．对木块由动能定理
解得
则
则d>x
即无论m、M、v0的大小如何，都只可能是甲图所示的情形，选项C 正确，D 错误。选
BC。
例10、如图所示，用长为l 的轻绳悬挂一质量为M 的沙箱，沙箱静止。一质量为m 的
弹丸以速度v 水平射入沙箱并留在其中，随后与沙箱共同摆动一小角度，不计空气阻
力。对子弹射向沙箱到与其共同摆过一小角度的过程，下列说法正确的是（ ）
A．若保持m、v、l 不变，M 变大，则系统损失的机械能变小
B．若保持M、v、l 不变，m 变大，则系统损失的机械能变小
C．若保持M、m、l 不变，v 变大，则系统损失的机械能变大
D．若保持M、m、v 不变，l 变大，则系统损失的机械能不变
解：弹丸击中沙箱过程系统水平方向动量守恒，以弹丸的初速度方向为正方向，由动
量守恒定律得mv=（M+m）v′解得
弹丸与沙箱一起摆动过程系统机械能守恒，由能量守恒定律可知，整个过程系统损失
的机械能为
A．若保持m、v、l 不变，M 变大，系统损失的机械能
变大，故A 错误；
B．若保持M、v、l 不变，m 变大，则系统损失的机械能
变大，故B 错误；
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C．若保持M、m、l 不变，v 变大，则系统损失的机械能
变大，故C
正确；
D．若保持M、m、v 不变，l 变大，则系统损失的机械能
不变，故D
正确。故选CD。
例11、如图所示，子弹以水平速度v0射向原来静止在光滑水平面上的木块，并留在木
块中，和木块一起运动。在子弹和木块相互作用的过程中，下列说法正确的是
（ ）
A．子弹动能的减少量一定等于木块动能的增加量
B．子弹动量的减少量一定等于木块动量的增加量
C．子弹速度的减小一定等于木块速度的增加
D．子弹对木块的冲量与木块对子弹的冲量相同
解：
A．对子弹运用动能定理得
对木块运用动能定理有
可见子弹动能的减小量与木块动能的增加量不等。故A 错误；
BC．子弹和木块组成的系统在运动的过程中动量守恒，则子弹减小的动量等于木块增
加的动量，由于子弹和木块的质量不等，则子弹减小的速度和木块增加的速度不等。
故B 正确，C 错误。
D．系统动量守恒，子弹对木块的冲量与木块对子弹的冲量大小相等，方向相反，故D
错误；
故选B。
例12．如图所示，光滑的水平面上，子弹以速度v0射入木块，最后留在木块中随木块
一起匀速运动，子弹所受阻力恒定不变，下列说法正确的是（ ）
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A．子弹和木块系统动量守恒，机械能守恒B．子弹减少的动能等于木块增加的动能
C．子弹速度的减少一定等于木块速度的增加
D．子弹对木块所做的功小于子弹克服木块阻力所做的功
解：ACD． 将子弹和木块看成一个系统，阻力为内力，则子弹和木块组成的系统在运
动的过程中动量守恒，设子弹的质量为m，木块质量为M，子弹进入木块的深度为d，
木块运动的距离为s，共同运动的速度为v，如图
根据系统动量守恒可得
解得
对子弹根据动能定理得
根据功能关系，系统产生的内能为
带入v 可得
对木块根据动能定理有
则木块增加的动能为
对比可知
AC 错误，D 正确。
B．子弹减少的动能一部分转化为木块增加的动能，一部分转化为内能，所以子弹减少
的动能大于木块增加的动能，B 错误；故选D。
例13．如图，木块静止在光滑水平桌面上，一子弹（可视为质点）水平射入木块的深
度为
时，子弹与木块相对静止，在子弹入射的过程中，木块沿桌面移动的距离为
，
木块对子弹的平均阻力为
，那么在这一过程中，下列说法不正确的是（ ）
A．木块的动能增量为
B．子弹的动能减少量为
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C．产生的内能为
D．系统的机械能减少量为
解：A．子弹对木块的作用力大小为Ff，木块相对于地的位移为x，则子弹对木块做功
为Ffx，根据动能定理得知，木块动能的增加量，即机械能的增量等于子弹对木块做的
功，即为Ffx，A 不符合题意；
B．木块对子弹的阻力做功为-Ff（x+d），根据动能定理得知：子弹动能的减少量等于
子弹克服阻力做功，大小为Ff（x+d），B 不符合题意；
CD．子弹相对于木块的位移大小为d，则系统克服阻力做功为Ffd，根据功能关系可知，
系统机械能的减少量为Ffd，系统产生的内能为
，D 不符合题意，C 符合题意。故
选C。
例14．如图所示为同一型号子弹以相同的初速度射入固定的两种不同防弹材料制成的
物块时，完整的运动径迹示意图。由图可判定，与第一次试验比较，第二次试验（
）
A．防弹材料所受子弹的冲量相等
B．子弹与的产生的总热量更多
C．子弹的动量变化量更大
D．子弹克服阻力做功更少
解：AC．由于两次子弹的初速度相同，则初动量相等，又两次试验的末动量均为零，
则两次试验的子弹的动量变化量相同，根据动量定理可知，两次试验防弹材料所受子
弹的冲量相等，故A 正确，C 错误；
B．由于两次子弹的初速度相同，动能相同，则根据能量守恒可知，两次试验子弹与材
料产生的总热量相同，故B 错误；
D．由于两次子弹的初速度相同，动能相同，则两次试验的动能变化量相同，根据动
能定理可知，两次试验子弹克服阻力做功相同，故D 错误；故选A。
例15．如图所示，冲击摆的小摆块质量为3m，用轻细绳悬于O 点，开始时静止于O
点的正下方。现前、后两次将质量均为m 的弹丸以向右的水平速度射入摆块，第一粒
弹丸的速度为
，进入摆块后随其一起摆动的最大摆角小于90°。当摆块第一次返回到
O 点的正下方时，第二粒弹丸以另一速度打入摆块也留在其中，摆块的最大摆角与第
一次相同。忽略弹丸与摆块的作用时间，不考虑空气阻力，则（ ）
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A．第一个弹丸射入的过程中，弹丸及摆块的机械能减少了
B．第二个弹丸射入摆块时的速度大小为
C．两次摆块和弹丸摆起的最大高度均为
D．前后两次作用的过程中，两弹丸受到摆块的冲量大小之比为
解：A．第一个弹丸射入的过程中，根据动量守恒定律，有
解得
弹丸及摆块的机械能减少了
故A 错误；
B．根据机械能守恒定律
，
因为第二个弹丸射入摆块后，摆块的最大摆角与第一次相同，两次摆块上升的最大高
度相同，则第二个弹丸射入摆块后，整体的速度大小仍为
，根据动量守恒定律
解得
故B 错误；
C．第一个弹丸射入后，根据机械能守恒定律有
解得
故C
错误；
D．第一次作用的过程中，弹丸受到摆块的冲量大小
第二次作用的过程中，弹丸受到摆块的冲量大小
前后两次作用的过程中，两弹丸受到摆块的冲量大小之比为
故D 正确。故选
D。
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例16．如图所示，质量为M 的木块放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度
沿
水平射入木块，并最终留在木块中与木块一起以速度运动。已知当子弹相对木块静
止时，木块前进距离L，子弹进入木块的深度为。若木块对子弹的阻力为f，则下面
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：AD．以木块为研究对象，木块的位移为L，则有
子弹对木块的作用力做的功等于木块动能的变化，子弹相对于地面的位移为
，以
子弹为研究对象，可得
阻力对子弹做的功等于子弹动能的变
化量（动能减少），AD 正确；
BC．将两式相加得到
左边阻力乘以子弹的相对位移，右边是系统机械能的减少量，即转化为内能的数值，B
错误，C 正确。故选ACD。
例17．如图所示，在固定的水平横杆上，套有质量为m 的光滑圆环，轻绳一端拴在环
上，另一端系着质量为M（M>m）的木块，现有质量为m0的子弹以大小为v0的水平速
度射入木块并立刻留在木块中。在以后的摆动过程中，木块不会碰到和超过水平横杆，
重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．子弹射入木块后的瞬间，绳子拉力等于(M＋m0)g
B．子弹射入木块后的瞬间，环对轻杆的压力大于(M＋m＋m0)g
C．子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统动量不守恒
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D．m 不可能向左运动
解：A．子弹射入木块后的瞬间，子弹和木块系统的动量守恒，则m0v0＝(M＋m0)v1
解得速度大小为v1＝
子弹射入木块后的瞬间，根据牛顿第二定律可得T－(M＋m0)g＝(M＋m0)
可知绳子拉力大于(M＋m0)g，选项A 错误；
B．子弹射入木块后的瞬间，对子弹、木块和圆环整体N＝T＋mg> (M＋m＋m0)g，B
正确；
C．子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统只在水平方向动量守恒，选项C
正确；
D．由弹性碰撞公式可知， 从子弹打入木块到木块摆回到最低点时
，
由于M+ m0>m，木块经过最低点时圆环速度有两个解，分别是最大速度
方向向右；最小速度：0，圆环不可能向左运动，选
项D 正确。故选BCD。
例18．如图所示，一物块放在光滑的水平面上，两质量不同的弹丸甲、乙同时由物块
的左、右两侧射入物块，经过一段时间整个系统静止在水平面上，两弹丸进人物块的
深度分别为
、
，已知
，且两进入物块的深度之和小于物块的总长度，整
个过程物块始终没有运动．则下列说法正确的是（ ）
A．弹丸射入物块前，两弹丸的动量大小相等
B．弹丸射入物块前，两弹丸的动能大小相等
C．弹丸射入物块前，弹丸甲的速度大于弹丸乙的速度
D．弹丸甲的质量大于弹丸乙的质量
解：B．由题意可知，弹丸甲、乙从物块两侧同时射入物块，物块始终保持静止，分析
可知，两弹丸对物块的推力大小相等，方向相反，弹丸在物块中运动时间必定相等，
否则物块就会运动．设两弹丸所受的阻力大小均为f，根据动能定理，对弹丸甲有
17
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解得
对弹丸乙有
解得
由于
，则弹丸入射时的初动能
B 错误；
A．两弹丸和物块组成的系统动量守恒，因射入后系统的总动量为零，所以弹丸甲的
动量大小等于弹丸乙的动量大小，A 正确；
CD．根据动量与动能的关系得
则有
又
则得到
根据动能的计算公式
得到初速度
C 正确D 错误。故
选AC。
对应题型精炼
一、单选题
1．如图所示，质量为
的木块静止于光滑水平面上，一质量为
的子弹
以水平速度
打入木块并停在木块中，此过程中下列说法正确的是（ ）
A．子弹打入木块后子弹和木块的共同速度为
B．子弹对木块做的功
C．木块和子弹系统机械能守恒
D．子弹打入木块过程中产生的热量
【答案】A
【详解】A．根据动量守恒可得
解得子弹打入木块后子弹和木块的共同速度为
故A 正确；
B．根据动能定理可知，子弹对木块做的功为
18
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故B 错误；
CD．根据能量守恒可知，子弹打入木块过程中产生的热量为
可知木块和子弹系统机械能不守恒，故CD 错误。
故选A。
2．如图所示，木块放在光滑水平地面上，一颗子弹水平射入木块中，木块受到的平均
阻力为
，射入深度为
，此过程中木块位移为，子弹射入木块的过程中，子弹未穿
透木块，此过程中木块动能增加了
，那么此过程中系统产生的内能可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设子弹的质量为
，初速度为
，木块质量为
，则子弹打入木块过程中，
子弹与木块组成的系统动量守恒，取向右为正方向，即
此过程产生的内能等于系统损失的动能，由能量守恒定律
即产生的内能为
而木块获得的动能为
联立可得
即
19
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故选D。
3．质量为
的木块在光滑水平面上以速度
水平向右运动，质量为
的子弹以速度
水平向左射入木块，要使木块停下来，必须使发射子弹的数目为（子弹留在木块中
不穿出）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意，设发射子弹的数目为
，选择
颗子弹和木块
组成的系统为研
究对象，系统在水平方向所受的合外力为零，满足动量守恒的条件，选子弹运动的方
向即水平向左为正方向，由动量守恒定律有
得
故选C。
4．如图甲所示，物块A、B 静止在光滑水平地面上，中间用一轻质弹簧连接，初始时
弹簧处于原长，给A 一水平向右的瞬时速度
，之后两物块的速度随时间变化的图像
如图乙所示，已知弹簧始终处于弹性限度内，
、
时刻弹簧的弹性势能分别为
、
，则下列说法正确的是（ ）
20
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A．A、B 的质量之比为
B．
时刻B 的速度为
C．
时刻弹簧的弹性势能为
D．
时刻A、B 的速率之比为
【答案】C
【详解】A．根据图乙可知
时刻两物块速度相等，根据动量守恒定律有
解得
故A 错误；
B．根据图乙可知
时刻A 的速度为零，则根据动量守恒定律有
又
可得
时刻B 的速度为
故B 错误；
C．从
时间内，根据能量守恒可得
从
时间内，根据能量守恒可得
21
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联立解得
故C 正确；
D．
时刻，根据动量守恒定律有
根据能量守恒定律有
结合以上分析联立解得
，
或
，
结合图乙可知第二种结果不符合题意，则
时刻A、B 的速率之比为
故D 错误。
故选C。
5．如图所示，在水平光滑地面上有A、B 两个木块，A、B 之间用一轻弹簧连接。A
靠在墙壁上，用力F 向左推B 使两木块之间弹簧压缩并处于静止状态。若突然撤去力
F，则下列说法中正确的是（ ）
A．木块A 离开墙壁前，A、B 和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒
B．木块A 离开墙壁前，A 动量不守恒，机械能守恒
C．木块A 离开墙壁后，弹簧弹性势能最大时，弹簧一定是被压缩了
D．木块A 离开墙壁后，A、B 和弹簧组成的系统动量守恒，机械能守恒
【答案】D
【详解】A．木块A 离开墙壁前，弹簧一直处于压缩状态，所以A 一直受到墙壁对其
的支持力，该力不做功，所以A、B 和弹簧组成的系统动量不守恒，机械能守恒，故
22
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A 错误；
B．木块A 离开墙壁前，A 一直保持静止，故其动量一直为零，若以地面为零势面，
其机械能也一直为零，所以A 动量守恒，机械能也守恒，B 错误；
D．木块A 离开墙壁后，A、B 和弹簧组成的系统在水平方向上不受外力，竖直方向上
所受合力为零，所以该系统动量守恒，机械能守恒，D 正确；
C．木块A 离开墙壁后，A、B 和弹簧组成的系统动量守恒，当A、B 共速时，弹簧的
弹性势能最大，此时弹簧可能处于压缩状态也可能处于拉伸状态。比如A 刚离开墙壁
后，第一次与B 共速时，弹簧处于拉伸状态；它们第二次共速时，弹簧则处于压缩状
态。故C 错误。
故选D。
二、多选题
6．一质量为
的小物块随足够长的水平传送带一起运动，被一水平向左飞来
的子弹击中并留在物块中，子弹质量为
，如图（a）所示。面观察者记录了小物
块被击中后的速度随时间变化的关系如图（b）所示（图中取向右运动的方向为正方
向），已知传送带的速度保持不变，g 取
。下列说法正确的是（ ）
A．物块与传送带间的动摩擦因数为0.2
B．子弹射入物块前的速度大小为
C．物块和传送带作用的过程中，系统产生的内能为
D．由于子弹的射入，电动机对传送带多做的功为
【答案】AC
【详解】A．由速度图像得，物块在滑动摩擦力的作用下做匀变速运动的加速度为
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由牛顿第二定律得
又
，
，解得
得到物块与传送带间的动摩擦因数为
故A 正确；
B．从v-t 图像看出，物块被子弹射后的共同速度
然后一起先向左减速到0，然后向右加速到2.0m/s，以后随传送带一起做匀速运动，所
以传送带的速度方向向右，其速度为
子弹与物块相互作用的过程中，子弹与物块组成的系统的动量守恒，由动量守恒定律
得
解得
故B 错误；
C．由速度图像可知，传送带与物块存在摩擦力的时间只有3 秒，0-2s 内
方向向左
方向向右
2-3s 内
方向向右
24
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方向向右
所以，物块与传送带之间的相对位移
产生的内能
故C 正确；
D．由于子弹的射入，即在0-3s 内
在这段时间内电动机对传送带多做的功为克服摩擦力做的功，即
故D 错误。
故选AC。
7．如图所示，一质量为m 的长方形木板B 放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量
为
的小木块A.现以地面为参考系，同时给A 和B 大小相等、方向相反的初速度，使
木块A 开始向左运动，木板B 开始向右运动，最终木块A 并没有滑离木板B、下列说
法正确的是（ ）
A．最终二者一起向右运动
B．最终二者一起向左运动
C．木块A 的速度某时刻为零
D．木板B 的速度某时刻为零
【答案】AC
【详解】规定向右为正方向，设初速度大小为v，木块和木板组成的系统合外力为零，
由动量守恒有
解得
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方向水平向右，所以木块A 的速度某时刻减为零，后反向加速，最终二者一起向右运
动，B 一直向右减速。
故选AC。
8．如图，光滑水平面上足够长的木板，质量为
，以初速度
向左运动的同时，长
木板左端上方的
也以同样大小的速度
向右运动，最终它们有共同的速度，则（
）
A．若
，最终共同速度一定为零
B．若
，
的即时速度可能为零
C．若
，当
的速度减至零时，木板向左运动
D．若
，
相对
先向右，后向左运动，直至与木板相对静止
【答案】AC
【详解】水平面光滑，系统水平方向动量守恒，取向右为正方向，根据动量守恒得
解得共同速度为
A．若
，可知最终共同速度一定为零，故A 正确；
B．若
，合动量方向向右，
先减速，最后以v 的速度向右匀速运动，即其速
度不可能为零，故B 错误；
CD．若
，合动量方向向左，
先减速，后向左加速，最后以v 的速度向左匀速
运动，所以当m 的速度减至零时，木板向左运动，此过程中m 相对M 一直向右运动，
至与木板相对静止，故C 正确，D 错误。
故选AC。
三、解答题
9．如图，质量m1=1kg 的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系
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数k=30N/m 的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2=2kg 的小物块以水平向右的速度
=3m/s 滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间
的动摩擦因数μ=0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧
的弹性势能Ep与形变量x 的关系为
。取重力加速度g=10m/s2，结果可用根式
表示。
（1）求木板刚接触弹簧时速度
的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1；
（2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时
木板速度
的大小；
（3）已知木板从速度为
时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转
化的内能为
。求木板向右运动的速度从
减小到0 所用时间（用
表示）。
【答案】（1）2m/s，0.5m；（2）0.2m，
；（3）
【详解】（1）由于地面光滑，则m1、m2组成的系统动量守恒，则有
代入数据有
=2m/s
对m1受力分析有
则木板运动前右端距弹簧左端的距离有
代入数据解得
x1=0.5m
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（2）木板与弹簧接触以后，对m1、m2组成的系统有
对m2有
当
时物块与木板之间即将相对滑动，解得此时的弹簧压缩量
x2=0.2m
对m1、m2组成的系统列动能定理有
代入数据有
（3）木板从速度为
时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，由于木板即m1的
加速度大于木块m2的加速度，则当木板与木块的加速度相同时即弹簧形变量为x2时，
则说明此时m1的速度大小为
，共用时2t，且m2一直受滑动摩擦力作用，则对m2有
解得
则对于m1、m2组成的系统有
联立有
10．两端有竖直挡板的“U”型槽C 放置在光滑的水平面上，质量
、槽内长度
，中间位置放上一质量
滑块B，均处于静止状态。在槽左边有一质
28
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量
滑块A，以速度
向右运动，与“U”型槽碰撞后以原来速度的一半
反弹，经过
时，滑块B 与“U”型槽的挡板发生第一次碰撞，A、B 滑块均可视为
质点，“U”型槽的上表面水平，所有的碰撞均为弹性的，重力加速度
，不
计空气阻力。求：
（1）滑块A 与“U”型槽C 碰撞后瞬间“U”型槽C 的速度大小
；
（2）滑块B 与槽间的动摩擦因数
；
（3）“U”型槽最终的速度及B 在槽内的位置。
【答案】（1）
；（2）
；（3）1.8m/s，到U 型槽左边挡板的距离为
0.4m
【详解】（1）A 与“U”型槽弹性碰撞，有
由题意
解得
（2）滑块A 与U 型槽碰撞后，B 做匀加速直线运动
滑块A 与U 型槽碰撞后，U 型槽做匀减速直线运动
由题意
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联立可得
（3）设“U”型槽的最终速度为v。由动量守恒定律
解得
由功能关系
解得
滑块B 最终的位置到U 型槽左边挡板的距离
11．一固定的四分之一光滑圆弧轨道如图所示，从顶端A 由静止释放一质量
的
小物块（可视为质点），运动至圆弧轨道B 点时，恰好沿水平切线方向滑上与B 点等
高、静止在光滑水平面上的长木板上。已知长木板的质量
。圆弧轨道半径
，物块与长木板之间的动摩擦因数
，取重力加速度大小
.
（1）求小物块滑动至B 点时，对圆弧轨道B 点的压力大小；
（2）长木板至少多长，才能保证小物块不滑出长木板；
（3）求在小物块从滑上长木板到与长木板达到共同速度的过程中，长木板对小物块作
用力的冲量大小（结果可用根号表示）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意，由机械能守恒定律有
解得
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小物块在B 点时，根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律得
（2）根据题意，设小物块到达木板右端时恰好和长木板达到共同速度，根据动量守
恒定律有
解得
设此时长木板的长度为L，根据功能关系有
解得
（3）小物块在长木板上的加速度大小
运动时间
长木板对小物块的作用力有向上的支持力、大小
滑动摩擦力、大小
两力方向垂直，长木板对小物块作用力的合力大小
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长木板对小物块作用力的冲量大小
12．如图所示，光滑水平面上有一平板车B 上表面水平，质量
，在其左端放
置一物块A，质量
。开始A、B 均处于静止状态，玩具手枪里面有一颗质量
为
的子弹以初速度
以的水平射向A，瞬间射入并留在木块中，此
后最终物块A 相对地面以
的速度滑离平板车，已知A、B 间动摩擦因数
。
求：
（1）子弹射入物块A 的过程中物块对子弹的冲量；
（2）平板车B 的最大速度
；
（3）物块A 在小车上滑行的时间；
（4）求小车的长度L。
【答案】（1）
，方向水平向左；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）子弹打击物块A 的过程，由动量守恒定律得
解得子弹与物块A 的共同速度大小为
对子弹由动量定理得
所以子弹射入物块A 的过程中物块对子弹的冲量大小为
，方向水平向左。
（2）当物块A 滑离平板车时，平板车的速度最大，由动量守恒定律得
解得平板车B 的最大速度
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（3）对物块A 与子弹由动量定理得
解得物块A 在小车上滑行的时间
（4）物块A 滑离平板车，运动的位移大小
平板车的位移大小
则小车的长度
13．如图所示，B 是放在光滑的水平面上质量为
的一块木板，木板的长为
，右端
紧靠竖直墙壁，木块A（可看成质点）质量为
，以水平初速度
滑上木板B 的左端，
滑到木板的右端时速度恰好为零。
（1）求物块与木板间的摩擦力大小；
（2）现物块以某一速度滑上木板的左端，滑到木板的右端时与竖直墙壁发生弹性碰
撞，然后向左运动，刚好能够滑到木板左端而不从木板上落下，试求
的值。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据题意，设物块与木板间的摩擦力大小为
，对物块，由动能定理有
解得
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（2）根据题意，设物块以速度滑上木板到运动至碰墙时的速度为
，由动能定理有
物块与墙碰撞后至向左运动到木板左端，此时物块、木板的共同速度为
，由动量守
恒定律有
由能量守恒定律有
联立解得
14．如图所示，质量为 m3=2kg 的长木板 C 放在光滑水平面上，其上表面水平，质
量为 m1=2kg 的物块 A 放在长木板上距板右端 L1=4.5m 处，质量为 m2=4kg 的物块
B 放在长木板上左端，物块 A 与物块 B 距离 L2=4m，地面上离板的右端 L3=4.5m
处固定一竖直挡板。开始A、B、C 处于静止状态，现用一水平拉力 F 作用在物块 A
上，使物块 A 相对于长木板滑动， 当长木板刚要与挡板相碰时，物块 A 刚好脱离
木板。已知物块 A 与长木板间的动摩擦因数为μ1=0.3，物块 B 与长木板间的动摩擦
因数为μ2=0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计物块大小，每次长木板与挡板
碰撞后均以与碰撞前大小相同的速度返回，重力加速度 g=10 m/s2，求：
（1）拉力 F 的大小；
（2）长木板 C 第二次与挡板碰撞时的速度；
（3）B 最终能滑离长木板 C 吗？如果能，滑离时 B 的速度是多少？如果不能，则
第 4 次撞击前 B 离板左端的距离。
【答案】（1）10N；（2）1m/s；（3）不能，3.37m
【详解】（1）物块A 在拉力F 的作用下做初速度为零的匀加速运动，设加速度大小为
a1。
根据牛顿第二定律得
F-μ1m1g=m1a1
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设物块A 从开始运动到滑离长木板所用时间为t1，根据运动学公式有
假设开始时物体B 与长木板不会发生相对滑动，一起做加速运动的加速度为a2。
则
μ1m1g=（m2+m3）a2
解得
由于
m2a2=4N＜μ2m2g=8N
假设成立。
根据运动学公式有
联立解得
t1=3s
F=10N
（2）长木板与挡板第1 次碰撞时的速度
然后木块A 脱离木板，木板以3m/s 的速度反弹向左运动，物块B 以3m/s 的速度向右
运动，设向右为正，则达到共速时由动量守恒定律可知
解得
v2=1m/s
由能量关系
解得
即此时物块B 相对木板C 向右滑动3m，则以后两者共同速度向右运动，第2 次与挡板
相碰时的速度为1m/s；
（3）长木板与挡板第2 次碰撞时的速度
碰后木板以1m/s 的速度反弹向左运
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动，物块B 以1m/s 的速度向右运动，设向右为正，则达到共速时由动量守恒定律可知
解得
由能量关系
解得
长木板与挡板第3 次碰撞时的速度
碰后木板以
的速度反弹向左运动，
物块B 以
的速度向右运动，设向右为正，则达到共速时由动量守恒定律可知
解得
由能量关系
解得
因
可得最终木块B 相对木板的位移为
则物块B 不能滑离木板C，第 4 次撞击前 B 离板左端的距离
15．如图所示，两块长度均为
的木块A、B，紧靠着放在光滑水平面上，其质
量均为
。一颗质量为
的子弹（可视为质点且不计重力）以速度
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水平向右射入木块A，当子弹恰水平穿出A 时，测得木块的速度为
，
子弹最终停留在木块B 中。求：
（1）子弹离开木块A 时的速度大小及子弹在木块A 中所受的阻力大小；
（2）子弹穿出A 后进入B 的过程中，子弹与B 组成的系统损失的机械能。
【答案】（1）320m/s，7362N；（2）989J
【详解】（1）设子弹离开木块A 时的速度为
，对子弹和A、B 整体则动量守恒，有
由动能定理有
联立解得
（2）子弹在B 中运动过程中，最后二者共速，速度设为
，对子弹和B 整体，有
解得
由能量守恒有
解得
16．两端有竖直挡板的“U”型槽C 放置在光滑的水平面上，质量M＝3kg、槽内长度L
＝1.0m，中间位置放上一质量
kg 滑块B，均处于静止状态。在槽左边有滑块
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A，以速度
m/s 向右运动，与“U”型槽碰撞后以原来速度的一半反弹，经过t＝1s
时，滑块B 与“U”型槽的挡板发生第一次碰撞，A、B 滑块均可视为质点，“U”型槽
的上表面水平，所有的碰撞均为弹性的，重力加速度
，不计空气阻力。求：
（1）滑块A 的质量
；
（2）滑块B 与槽间的动摩擦因数
﹔
（3）“U”型槽最终的速度及B 在槽内的位置。
【答案】（1）
；（2）
；（3）v＝1.8m/s，B 在“U”型槽左边挡板的
距离为
【详解】（1）A 与“U”型槽弹性碰撞
由题意
解得
（2）由（1）可得，碰撞后瞬间C 的速度
滑块A 与U 型槽碰撞后，B 做匀加速直线运动
滑块A 与U 型槽碰撞后，U 型槽做匀减速直线运动
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由题意
联立可得
（3）设“U”型槽的最终速度为v．由动量守恒定律
解得
v＝1.8m/s
设滑块B 相对于“U”型槽运动的路程为S，由功能关系
解得
滑块B 最终的位置到“U”型槽左边挡板的距离
17．如图所示，质量
、长度
的木板，以速度
沿光滑水平面向右
匀速运动。某时刻一质量
的小木块（可视为质点），以水平向左的速度
从木板的右端滑上木板，最终刚好不能滑离木板。重力加速度g 取
。
求：
（1）木块与木板间的动摩擦因数；
（2）小木块做加速运动过程的过程中，木板运动的距离。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设木块到达木板左端时与木板的共同速度为，以水平向右为正。对木
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块和木板组成的系统，由动量守恒定律有
由能量守恒定律有
且
联立以上各式，代入相关数据可得
（2）当物块的速度等于零时，木板的速度为
，由动量守恒可知
解得
设木块在木板上加速的时间为
对木块由动量定理有
代入相关数据可得
在这段时间内，木板运动的距离
其中
解得
18．如图所示，
是由两部分光滑轨道平滑连接在一起组成的，AB 为水平轨道，
BCD 是半径为R 的半圆弧轨道，
。质量为
的小物块，静止在AB
轨道上，一颗质量为
子弹水平射入物块但未穿出，物块与子弹一起运动，
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恰能贴着轨道内侧通过最高点从D 点飞出．取重力加速度
，求：
（1）子弹击中物块前的速度；
（2）物块与子弹一起刚滑上圆弧轨道B 点时，对轨道的压力。
【答案】（1）500m/s；（2）60N，方向向下
【详解】（1）根据题意，由于物块与子弹一起恰能通过轨道最高点
，在最高点有
又由物块与子弹上滑过程中根据机械能守恒得
代入数据解得
由动量守恒定律有
解得
（2）根据题意，在B 点有
解得
由牛顿第三定律可得，对轨道的压力
方向向下。
19．质量m=10g 的子弹，以v0=300m/s 的速度水平射穿静止在光滑水平桌面上的木块，
已知木块质量M=50g，子弹穿过木块后的速度v1=100m/s，子弹与木块相互作用的时间
t=0.01s。求：
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（1）子弹射出木块后，木块获得速度v2的大小；
（2）子弹对木块的平均作用力F 的大小；
（3）整个过程木块对子弹做的功W 和子弹与木块损失的机械能ΔE。
【答案】（1）40m/s；（2）200N；（3）-400J，360J
【详解】（1）对子弹与木块构成的系统，根据动量守恒有
mv0=mv1＋Mv2
解得
v2=40m/s
（2）对木块进行分析，根据动量定理有
Ft=Mv2
解得
F=200N
（3）木块对子弹做的功，根据动能定理有
解得
W=-400J
整个过程子弹与木块损失的机械能为
解得
ΔE=360J
20．如图所示，在光滑水平长直轨道上，A、B 两小球之间有一处于原长的轻质弹簧，
弹簧右端与B 球连接，左端与A 球接触但不粘连，已知mA= mB= 2m，开始时A、B
均静止。在A 球的左边有一质量为m 的小球C 以初速度v0向右运动，与A 球碰撞后粘
在一起成为一个复合球D，碰撞时间极短，接着逐渐压缩弹簧并使B 球运动。经过一
段时间后，D 球与弹簧分离（弹簧始终处于弹性限度内）。
（1）上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多少？
（2）当弹簧恢复原长时，B 球的速度是多大？
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）C 与A 碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得
将
代入解得
当A、B、C 三者速度相等时弹簧的弹性势能最大，取向右为正方向，由动量守恒定律
得
从C 与A 碰撞结束到弹簧压缩到最短的过程，由机械能守恒定律得
结合
，mB = 2m，解得弹簧的最大弹性势能是
（2）设当弹簧恢复原长时B 球和D 球的速度分别为vB和vD。从C 与A 碰撞结束到弹
簧恢复原长的过程，由动量守恒定律和机械能守恒定律得
联立解得
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