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模型13、子弹打木块模型
【模型概述】
模型
图例
模型
规律
（1）地面光滑，系统的动量守恒。
（2）系统的机械能有损失，一般应用能量守恒定律。
两种
情况
（1）子弹未穿出木块：两者最终速度相等，机械能损失最多
①动量守恒：mv0＝（m＋M）v
②能量守恒：
（2）子弹穿出木块：两者速度不相等，机械能有损失
①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2
②能量守恒：
【模型解题】
动量守恒定律、机械能守恒定律、动能定理等
解决动力学问题的三大观点:
力学观点:牛顿运动定律、运动学公式
能量观点:动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律、功能关系动量观点:动量守恒定律
【模型训练】
【例1】如图所示，质量为m 的木块固定于轻杆的一端，轻杆的另一端固定在O 点的光滑转轴上，木块可
在竖直平面内绕O 点自由摆动。质量为m 的子弹以某一初速度从右侧水平击中静止于O 点正下方的木块且
未穿出，之后轻杆偏离竖直方向的最大偏角为
。以后的过程中，每当木块向左摆至最低点时，都有一颗
同样质量、同样速度的子弹射入木块并留在木块中。已知木块重心到O 点的距离为L，重力加速度大小为
g。若不计空气阻力及子弹射入木块的时间不考虑子弹射入后整体重心位置的改变，则当第n 颗子弹击中木
块后，n 颗子弹与木块产生的总热量为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设子弹的初速度大小为
，对子弹射入木块后的上升过程，由机械能守恒定律得
解得
由
可知
对所有子弹及木块，由动量守恒定律有
解得
由能量守恒定律可知
解得
故选B。
变式1.1 如图所示，用不可伸长的轻质细绳将木块悬挂于一点
，开始木块自由静止在
点下方的
点。
质量为
的弹丸水平向右射入质量为
的木块，第一次弹丸的速度为
，打入木块后二者
2
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共同摆动的最大摆角为
，当其第一次返回
位置时，第二粒相同的弹丸以水平速度
又击中木块，使木
块向右摆动且最大摆角仍为
，弹丸均未射出木块，木块和弹丸形状大小以及空气阻力均忽略不计，则第
二粒弹丸水平速度
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】第一粒弹丸射入木块中，根据动量守恒可得
解得共同速度为
打入木块后二者共同摆动的最大摆角为
，设绳子长度为
，根据机械能守恒可得
当其第一次返回
位置时，第二粒相同的弹丸以水平速度
又击中木块，使木块向右摆动且最大摆角仍为
，根据动量守恒可得
根据机械能守恒可得
联立可得
，
故选D。
变式1.2 如图所示为冲击摆实验装置，一飞行子弹以速度v 射入静止沙箱后与沙箱合为一体，共同摆起一
3
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定的高度。已知子弹和沙箱的质量分别为m 和M，轻绳长L，重力加速度大小为g，子弹和沙箱均看成质
点，射入时间极短且忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．子弹射入沙箱的过程系统满足动量守恒、机械能守恒
B．子弹和沙箱合为一体的瞬间轻绳的拉力为
C．子弹和沙箱合为一体后一起上升的最大高度与轻绳的长度有关
D．子弹和沙箱合为一体后一起上升的最大高度为
【答案】B
【详解】A．由于作用时间极短，外力的冲量忽略不计，所以过程满足动量守恒。碰撞后二者粘在一起，
发生非弹性碰撞，机械能有损失，故A 错误；
B．设碰撞后瞬间共同速度为
，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得
对AB 整体，有
联立解得
故B 正确；
CD．子弹和沙箱合为一体后一起上升时根据机械能守恒得
结合
解得
4
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可知最大高度与绳长L 无关，故CD 错误。
故选B。
【例2】如图所示，子弹水平射入放在光滑水平地面上静止的木块后不再穿出，此时木块动能增加了10J，
已知木块质量大于子弹质量，则此过程中产生的热量不可能为（ ）
A．20J
B．35J
C．50J
D．120J
【答案】A
【详解】设子弹初速度
，打入木块后速度v，根据动量守恒定律有
解得
打入深度
故
根据功能关系有
，
故
故选A。
变式2.1 如图所示，质量为M 的木块放在光滑水平面上，一颗质量为m 的子弹以一定速度水平击中木块后
留在木块中，此过程木块动能增加了8J，产生的内能可能为（ ）
5
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A．9J
B．7J
C．5J
D．3J
【答案】A
【详解】由动量守恒定律得
木块获得的动能
产生的热量
故选A。
变式2.2 如图所示，质量为
的木块静止于光滑水平面上，一质量为
的子弹以水平速度
打入木块并停在木块中，下列说法正确的是（ ）
A．子弹打入木块后子弹和木块的共同速度为
B．子弹对木块做的功
C．木块对子弹做正功
D．子弹打入木块过程中产生的热量
【答案】D
【详解】A．根据动量守恒
子弹打入木块后子弹和木块的共同速度为
故A 错误；
B．根据动能定理，子弹对木块做的功
6
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故B 错误；
C．子弹动能减小，木块对子弹做负功，故C 错误；
D．根据能量守恒，子弹打入木块过程中产生的热量
故D 正确。
故选D。
【例3】如图所示，静止在光滑水平桌面上的物块A 和B 用轻质弹簧栓接在一起，弹簧处于原长。一颗子
弹沿弹簧轴线方向射入物块A 并留在其中，射入时间极短。下列说法正确的是（ ）
A．子弹射入物块A 的过程中，两物块的动量守恒
B．子弹射入物块A 的过程中，子弹对物块A 的冲量大小大于物块A 对子弹的冲量大小
C．子弹射入物块A 的过程中，子弹和物块B 的机械能守恒
D．两物块运动过程中，弹簧最短时的弹性势能等于弹簧最长时的弹性势能
【答案】D
【详解】A．子弹射入物块A 的过程中，物块A 受到子弹的摩擦力作用，A 的动量增大，所以两物块的动
量不守恒，故A 错误；
B．子弹射入物块A 的过程中，子弹对物块A 的作用力与物块A 对子弹的作用力是一对相互作用力，等大
反向，所以子弹对物块A 的冲量大小等于物块A 对子弹的冲量大小，故B 错误；
C．子弹射入物块A 的过程中，有摩擦生热，子弹和物块B 的机械能不守恒，故C 错误；
D．两物块运动过程中，弹簧最短时与弹簧最长时都是两物体具有共同速度时，有
所以弹簧最短时的弹性势能等于弹簧最长时的弹性势能，故D 正确。
故选D。
变式3.1 如图，水平弹簧右端固定在竖直墙壁上，左端固连在物块上，水平面光滑。开始时物块静止，弹
簧处于原长。一颗子弹以水平速度v0射入物块，并留在物块中。若子弹和物块作用时间极短，下列有关说
7
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法中正确的是（ ）
A．子弹开始打物块到与物块共速，子弹、物块组成的系统动量守恒
B．子弹开始打物块到弹簧压缩至最短，子弹、物块、弹簧组成的系统机械能守恒
C．子弹开始打物块到弹簧压缩至最短，子弹、物块、弹簧组成的系统动量守恒
D．子弹物块以相同速度压弹簧的过程中，物块、子弹、弹簧组成的系统动量守恒
【答案】A
【详解】A．由于子弹和物块作用时间极短，则在打击过程中，内力远远大于外力，可知子弹开始打物块
到与物块共速，子弹、物块组成的系统动量守恒，A 正确；
B．根据上述，子弹开始打物块到与物块共速过程类似完全非弹性碰撞，该过程有一部分动能转化为内
能，则子弹开始打物块到弹簧压缩至最短，子弹、物块、弹簧组成的系统机械能减小，不守恒，B 错误；
C．打击过程子弹与物块动量守恒，打击完成后，子弹与木块向右压缩弹簧，系统所受外力的合力不为0，
该过程动量不守恒，可知子弹开始打物块到弹簧压缩至最短，子弹、物块、弹簧组成的系统动量不守恒，
C 错误；
D．根据上述可知，子弹物块以相同速度压弹簧的过程中，物块、子弹、弹簧组成的系统动量不守恒，D
错误。
故选A。
变式3.2 如图，水平弹簧右端固定在竖直墙壁上，左端连接在物块上，水平面光滑.开始时物块静止，弹簧
处于原长。一颗子弹以水平速度
射入物块，并留在物块中。若子弹和物块作用时间极短，下列有关说法
中正确的是（ ）
A．从子弹开始打物块到弹簧压缩至最短，子弹、物块、弹簧组成的系统动量守恒
B．从子弹开始打物块到弹簧压缩至最短，子弹、物块、弹簧组成的系统机械能守恒
8
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C．从子弹开始打物块到与物块共速，子弹、物块组成的系统动量守恒
D．子弹和物块一起压缩弹簧的过程中，物块、子弹、弹簧组成的系统动量守恒
【答案】C
【详解】A．从子弹开始打物块到弹簧压缩至最短，子弹、物块、弹簧组成的系统所受合外力不为零，所
以动量不守恒，故A 错误；
B．一颗子弹以水平速度
射入物块，并留在物块中，子弹、物块、弹簧组成的机械能损失最多，故B 错
误；
C．子弹开始打物块到与物块共速，子弹和物块作用时间极短，内力远大于外力，子弹、物块组成的系统
动量守恒，故C 正确；
D．子弹和物块一起压缩弹簧的过程中，物块、子弹、弹簧组成的系统合外力不为零，动量不守恒，故D
错误。
故选C。
【例4】如图所示，木块静止在光滑水平面上，两颗不同的子弹A、B 从木块两侧同时射入木块，最终都
停在木块内，这一过程中木块始终保持静止。若子弹A 射入的深度大于子弹B 射入的深度，则（ ）
A．子弹A 的质量一定比子弹B 的质量大
B．入射过程中子弹A 受到的阻力比子弹B 受到的阻力大
C．子弹A 在木块中运动的时间比子弹B 在木块中运动的时间长
D．子弹A 射入木块时的初动能一定比子弹B 射入木块时的初动能大
【答案】D
【详解】BD．由于木块始终保持静止状态，则两子弹对木块的推力大小相等，则两子弹所受的阻力大小相
等。设为f，根据动能定理得对A 子弹
得
对B 子弹
得
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由于
则子弹入射时的初动能
故B 错误，D 正确；
A．对两子弹和木块组成的系统动量守恒，则有
则得
mA < mB
故A 错误；
C．子弹Ａ、Ｂ从木块两侧同时射入木块，木块始终保持静止，分析得知，两子弹在木块中运动时间必定
相等，否则木块就会运动，故C 错误。
故选D。
变式4.1 如图所示，木块静止在光滑水平面上，子弹A、B 从两侧同时水平射入木块，木块始终保持静
止，子弹A 射入木块的深度是B 的3 倍。假设木块对子弹阻力大小恒定，A、B 做直线运动且不会相遇，
则A、B 运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．木块和子弹A、B 系统动量不守恒
B．子弹B 的初速度大小是子弹A 的初速度大小的3 倍
C．子弹B 的质量是子弹A 的质量的3 倍
D．若子弹A 向右射入木块，与木块相对静止后，子弹B 再向左射入木块，最终A 进入的深度仍是B
的3 倍
【答案】C
【详解】A．以木块和子弹A、B 组成的系统为研究对象，系统受合外力是零，则有系统的动量守恒，A
错误；
BC．以木块和子弹A、B 组成的系统为研究对象，取水平向右为正方向，由动量守恒定律可得
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则有
即子弹A 的初动量与子弹B 的初动量大小相等，由于木块始终保持静止，木块受合力是零，可知两子弹对
木块的作用力大小相等，由牛顿第三定律可知，两子弹受木块的阻力大小相等，设为Ff，子弹射入木块的
深度为d，由动能定理，对子弹A 有
可得
对子弹B 有
可得
由于
则有两子弹初动能的关系为
由动能公式可得
解得
即子弹B 的质量是子弹A 的质量的3 倍；由于
可得
即子弹A 的初速度大小是子弹B 的初速度大小的3 倍，B 错误，C 正确；
D．若子弹A 向右射入木块，子弹A 与木块组成的系统动量守恒，子弹A 与木块相对静止时有共同的速
度，由能量守恒定律可知，系统减少的机械能
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可得
子弹B 再向左射入木块，由于子弹A、B 与木块组成的系统动量守恒，由以上分析可知
则有系统的初动量是零，由动量守恒定律可知，最后A、B 与木块都静止，子弹B 射入木块运动中，由能
量守恒定律可知，系统减少的机械能
可得
由以上分析可知
D 错误。
故选C。
变式4.2 如图所示，木块在光滑水平面上，子弹A、B 从木块两侧同时射入木块，最终都停在木块中，这
一过程中木块向右运动，最后静止在水平面上，设子弹A、B 的初动量大小分别为
、
，相对木块运
动时，受到木块的恒定阻力，大小分别为
，由此可判断（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】AB．对A、B 以及木块组成的系统动量守恒，有
则有
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A 正确，B 错误；
CD．因为开始时木块向右运动，知A 对木块的阻力大于B 对木块的阻力，即
C 正确，D 错误。
故选AC。
【例5】如图所示，质量为m 的长木板B 放在光滑的水平面上，质量为
的木块A 放在长木板的左端，
一颗质量为
的子弹以速度v0射入木块并留在木块中，当木块滑离木板时速度为
，木块在木板上滑
行的时间为t，则下列说法错误的是（ ）
A．木块获得的最大速度为
B．木块滑离木板时，木板获得的速度大小为
C．木块在木板上滑动时，木块与木板之间的滑动摩擦力大小为
D．因摩擦产生的热量等于子弹射入木块后子弹和木块减少的动能与木板增加的动能之差
【答案】B
【详解】A．对子弹和木块A 组成的系统，根据动量守恒定律
解得
此后木块A 与子弹一起做减速运动，则此时木块的速度最大，选项A 正确；
B．木块滑离木板时，对木板和木块包括子弹系统
解得
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选项B 错误；
C．对木板，由动量定理：
解得
选项C 正确；
D．由能量守恒定律可知，木块在木板上滑动时，因摩擦产生的热量等于子弹射入木块后子弹和木块减少
的动能与木板增加的动能之差，选项D 正确。
本题选错误的，故选B。
变式5.1 如图所示，质量
的物块（可视为质点）放在质量
的木板左端，木板静止在光
滑水平面上，物块与木板间的动摩擦因数
，质量
的子弹以速度
沿水平方向射入
物块并留在其中（时间极短），物块最后恰好没有滑离木板，取
，则在整个过程中（ ）
A．物块的最大速度为4m/s
B．木板的最大速度为3m/s
C．木板的长度为2m
D．木板的长度为3m
【答案】D
【详解】A．子弹射入物块并留在其中，根据动量守恒
之后，在摩擦力的作用下，物块做减速运动，则两者共同的速度即物块的最大速度，大小为
故A 错误；
B．物块和子弹在木板上滑行时，木板做加速运动，物块最后恰好没有滑离木板，根据动量守恒
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共同速度即木板的最大速度，大小为
故B 错误；
CD．由能量关系
得
故C 错误，D 正确。
故选D。
变式5.2 如图所示，质量m=245g 的物块（可视为质点）放在质量M=0.5kg 的木板左端，木板静止在光滑
水平面上，物块与木板间的动摩擦因数
，质量
的子弹以速度
沿水平方向射入物
块并留在其中（时间极短），物块最后恰好没有滑离木板，取
，则在整个过程中（ ）
A．物块的最大速度为4m/s
B．木板的最大速度为3m/s
C．物块相对于木板滑行的时间为0.75s
D．木板的长度为3m
【答案】D
【详解】A．子弹射入物块并留在其中，根据动量守恒
之后，在摩擦力的作用下，物块做减速运动，则两者共同的速度即物块的最大速度，大小为
故A 错误；
B．物块和子弹在木板上滑行时，木板做加速运动，物块最后恰好没有滑离木板，根据动量守恒
15
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共同速度即木板的最大速度，大小为
故B 错误；
C．物块在木板上做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律
物块相对木板的滑行时间为
得
故C 错误；
D．木板做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律
木板长度为物块和木板的相对位移
得
故D 正确。
故选D。
【例6】如图所示，在光滑的水平地面上，质量为1.75kg 的木板右端固定一光滑四分之一圆弧槽，木板长
2.5m，圆弧槽半径为0.4m，木板左端静置一个质量为0.25kg 的小物块B，小物块与木板之间的动摩擦因数
μ＝0.8。在木板的左端正上方，用长为1m 的不可伸长的轻绳将质量为1kg 的小球A 悬于固定点O。现将小
球A 拉至左下方，轻绳处于伸直状态且与水平方向成θ＝30°角，小球以垂直绳向下的初速度v0释放，到达
O 点的正下方时以速度vA＝5m/s 与物块B 发生弹性正碰。不计圆弧槽质量及空气阻力，重力加速度g 取
10m/s2。求：
（1）释放小球A 时速度的大小；
（2）物块B 上升的最大高度；
（3）物块B 与木板摩擦产生的总热量。
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【答案】（1）
m/s；（2）0.8m；（3）7J
【详解】（1）对小球，从A 到B 的过程应用动能定理得
求得
（2）小球A 与物块B 弹性碰撞，由动量守恒及机械能守恒得
联立求得
物块B 在最高点时，与木板水平共速，木板速度为
，设物块B 升高最大高度为h，板长为L1，由水平方
向动量守恒及能量关系得
联立求得
（3）假设物块B 最终能停在木板上，物块B 与木板速度共同速度仍为
，物块B 在木板上相对木板滑行
路程设为x，由能量关系得
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解得
因3.5m<5m，故物块B 最终能停在木板上，产生总热量为
变式6.1 如图所示，质量为M=100g 的木板左端是一半径为R=10m 的
光滑圆弧轨道，轨道右端与木板上
表面在B 处水平相连。质量为m1=80g 的木块置于木板最右端A 处。一颗质量为m₂=20g 的子弹以大小为
v0=100m/s 的水平速度沿木块的中心轴线射向木块，最终留在木块中没有射出，已知子弹打进木块的时间
极短，木板上表面水平部分长度为L=10m，木块与木板间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g=10m/s²。
（1）求子弹打进木块过程中系统损失的机械能；
（2）若木板不固定，地面光滑，求木块上升的最大高度。
【答案】（1）80J；（2）5m
【详解】（1）子弹打进木块过程，由动量守恒定律有
m2v0＝（m1＋m2）v1
解得
v1＝20m/s
由能量守恒定律有
ΔE1＝
m2v0
2－
（m1＋m2）v1
2
解得
ΔE1＝80J
（2）若木板不固定，地面光滑，从开始至木块在圆弧轨道上滑至最高过程中水平方向系统动量守恒，有
m2v0＝（m2＋m1＋M）v3
得
v3＝10m/s
子弹打进木块后至木块在圆弧轨道上滑至最高过程中，由能量守恒有
（m1＋m2）v1
2＝
（m2＋m1＋M）v3
2＋（m1＋m2）gh＋μ（m1＋m2）gL
解得
18
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h＝5m
19
