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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块5 动量各模块大招
第02 讲 碰撞三原则
、
小球—曲面模型
（解析版）
目录
【内容一】 碰撞模型三原则模型....................................................................................................................1
【内容二】 【妙招】临界法............................................................................................................................2
【内容三】 小球—曲面
模型
..............................................................................................................................3
技巧总结
碰撞模型三原则
(1)动量守恒：即
.
(2)动能不增加：即
或
.
(3)速度要合理
①若碰前两物体同向运动，则应有
，碰后原来在前的物体速度一定增大，若
碰后两物体同向运动，则应有
。
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。
【妙招】临界法
弹性碰撞没有动能损失，完全非弹性碰撞动能损失最多，计算出这两种情况下的临界
速度，那么其他碰撞应该介于二者之间。[来源:学科网
模型如图所示：
⑴小球上升至最高点时，小球的重力势能最大
水平方向动量守恒：
能量守恒：
(相当于完全非弹性碰撞)
⑵小球返回曲面底端时
1
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动量守恒：
能量守恒：
(相当于弹
性碰撞)
例题演练
例1．如图所示，带有四分之一光滑圆弧轨道的斜劈A 和滑块B、C 均静止在光滑水平
地面上，斜劈A 的末端与水平地面相切。一滑块D 从斜劈A 的圆弧轨道的最高点由静
止释放，滑块D 滑到水平地面后与滑块B 碰撞并粘在一起向前运动，再与滑块C 碰撞
又与C 粘在一起向前运动。已知斜劈A 和三个滑块的质量均为m，斜劈A 的圆弧轨道
半径为R，重力加速度大小为g。滑块B、C、D 均可视为质点，则下列说法正确的是
（ ）
A．滑块D 在圆弧轨道上滑动的过程中对斜劈A 做的功为0
B．与滑块B 碰撞前瞬间，滑块D 的速度大小为
C．滑块B 与滑块C 碰撞后的速度大小为
D．滑块D 与滑块B 碰撞过程中损失的机械能为
解：A．D 在A 上滑动时，A 与D 组成的系统水平方向上动量守恒，且系统机械能守
恒，则当D 滑到水平地面上时
且
两式联立解得A、D 分离时的速度为
即A 与D 的速度大小相等，方向相反，下滑过程对A 由动能定理得
解得
故A 错误；
B．D 与B 碰撞前的速度即为A、D 分离时D 的速度大小，为
，故B 错误；
C．B 与C 碰撞过程中，B、C、D 组成的系统动量守恒，有
2
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则B 与C 碰撞后的速度大小为
故C 错误。
D．D 与B 碰撞过程动量守恒，有
则碰撞后B、D 整体的速度大小为
损失的机械能
计算可得滑块D 与滑块B 碰撞过程中损失的机械能
故D 正确。故选D。
例2．如图所示，一半径为R、质量为M 的1/4 光滑圆弧槽D，放在光滑的水平面上，
有一质量为m 的小球由A 点静止释放，在下滑到B 点的过程中，下述说法正确的是（
）
A．以地面为参考系，小球到达B 处时相对于地的速度v 满足
mv2＝mgR
B．以槽为参考系，小球到达B 处时相对于槽的速度v’满足
mv′2＝mgR
C．以地面为参考系，以小球、槽和地球为系统，机械能守恒
D．不论以槽或地面为参考系，以小球、槽和地球为系统的机械能均不守恒
解：A.小球在向下运动的过程中，小球与槽组成的系统在水平方向的动量守恒，所以
小球获得向右的速度，同时槽也获得向左的速度，选取向右为正方向，以地面为参考
系，则：mv+Mv″＝0；二者动能的和与小球减小的机械能是相等的，则：
．故A 错误；
B.以槽为参考系，小球、槽、地球组成的系统的机械能守恒，槽向左运动，则地球相
对于槽也向右运动，所以小球到达B 处时相对于槽的速度v′不满足
mv′2＝mgR，还要
考虑地球的动能．故B 错误；
CD.不论以槽或地面为参考系，以小球、槽和地球为系统的机械能均守恒．故C 正确，
D 错误．
3
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例3．如图所示，质量为2m 的
圆弧曲面B 静置在光滑的水平面上，质量为m 的小球
A 以v0冲向曲面，恰好运动到圆弧曲面的最高点不计一切摩擦，重力加速度为g，小球
可视为质点。则圆弧曲面的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：恰好运动到圆弧曲面的最高点时小球和曲面共速，由动量守恒及能量守恒可得
，
解得
故选A。
例4．如图所示，光滑水平面上有一质量为M=2.0kg 的滑块，滑块左侧是四分之一光
滑圆弧轨道，圆弧半径为R=1m，E 点切线水平．一个质量为m=0.5kg 的小球以初速度
v0从A 点冲上滑块，若小球刚好没跃出圆弧的上端，g=10m/s2，不计空气阻力．则小球
的初速度v0和滑块获得的最大速度v 的大小分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
解：当小球上升到滑块上端时，小球与滑块水平方向速度相同，设为
根据水平方向动量守恒有
根据机械能守恒定律有
联立两式解得
；
小球到达最高点以后又滑回，滑块又做加速运动，当小球离开滑块后滑块速度最大，
研究小球开始冲上滑块一直到离开滑块的过程，根据动量守恒和能量守恒有
，
联立两式解得
选项A 正确，BCD 错误．
4
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故选A。
例5．两质量分别为
和
的劈
和
，高度相同，放在光滑水平面上，
、B 不连
接，
和
的倾斜面都是半径为
的光滑
圆弧，圆弧的下端与水平面相切。如图所
示，一质量为
的物块位于劈
的弧面顶端，物块从静止滑下，然后又滑上劈B。则
（ ）
A．物块沿劈
弧面下滑的过程，物块与
组成的系统动量守恒
B．物块沿劈
弧面下滑的过程，
向左运动的位移为
C．物块滑上
时的动能为
D．物块在
上能滑到的最大高度为
解：A．物块沿劈
弧面下滑的过程中，水平方向上动量守恒，竖直方向上动量不守
恒，故系统动量不守恒，A 错误；
B．设A 向左的位移为x，则物体下滑到A 的最低点时的位移为
，由水平方向动
量守恒得
即
解得
B 正确；
C．物块滑上B 的动能即在A 的最低点与A 分离时的动能，则有
，
解得
C 正确；
D．当物块滑到B 的最高点第，物块与B 的速度相等，且都水平向右，此时高度为h，
5
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由动量及能量守恒得
，
解得
D 错误。故选BC。
例6．如图所示，光滑水平面上静放着一个有光滑
圆弧的凹槽，凹槽的半径为
R=0.25m，质量为M=0.2kg，另有一质量为m=0.05kg 的小球从凹槽的左侧最高点由静
止释放，小球滑到最低点B。则（ ）
A．小球和凹槽组成的系统满足动量守恒 B．该过程中凹槽向左移动的最大距离0.05m
C．小球滑至凹槽的最低点B 时，小球速度大小为2m/s
D．小球滑至凹槽的最低点B 时，小球对凹槽的压力为1.75N
解：A．球和凹槽组成的系统在水平方向不受外力的作用，在水平方向满足动量守恒，
故A 错误；
B．由人船模型结论可得该过程中凹槽向左移动的最大距离
故B 正
确；
CD．当小球滑至凹槽的最低点B 时，设小球和凹槽的速度大小分别为
和
，由动量
守恒定律有
由机械能守恒定律有
联立解得
此时小球相对于凹槽的速度为
根据牛顿第二定律
解得
由牛顿第三定律知小球对凹槽的压力为1.75N，故CD 正确。故选BCD。
例7．如图所示，光滑水平面上，静止放置了一个
圆弧槽B，圆弧槽没有固定，圆弧
面光滑，最低点与水平面相切，半径R=40cm、质量为m。一个质量为2m 可视为质点
的光滑小球A，某时刻以初速度v0=6m/s 从水平面冲上圆弧槽B，g 取10m/s2，则下列
说法正确的是（ ）
6
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A．小球A 与圆弧槽B 组成的系统动量守恒 B．小球A 不能从圆弧槽B 最高点飞出
C．小球A 上升的最大高度为60cm D．小球A 再次回到水平面后，圆弧槽B 的速度为
8m/s
解：A．小球A 与圆弧槽B 组成的系统水平方向不受外力，因此水平方向上系统动量
守恒，但竖直方向上合外力不为零，因此系统动量不守恒，故A 错误；
B．假设小球A 不能从圆弧槽B 最高点飞出，当A 沿B 的圆弧面上升至最高点时，设A
与B 达到共同速度v1，根据动量守恒定律有
解得
此过程中系统动能的减少量为
系统重力势能的增加量为
所以
不满足机械能守恒定律，则假设不成立，由此可知小球A 能从圆弧槽B 最高点飞出，
故B 错误；
C．小球A 上升至圆弧槽B 最高点时，A 与B 水平速度相等，均为v1，此时A 还有竖直
速度，因此A 离开B 最高点后将做斜抛运动，其水平速度始终与B 的水平速度相等，
当A 上升至最高点时，竖直速度为零。设A 上升的最大高度为h，对A 从冲上B 到上
升至最高点的过程中，根据机械能守恒定律有
解得
故C 正确；
D．根据前面分析可知，A 做斜抛运动过程中将始终与B 保持在同一竖直平面内，所以
A 最终还会落至B 的最高点并沿圆弧滑动至水平面上。设最终A 和B 的速度分别为v2
和v3，对A 从冲上B 到最终回到水平面的过程中，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得
故D 正确。故选CD。
例8．如图所示，半圆槽M 置于光滑的水平面上．现从半圆槽右端入口处静止释放一
质量为m 的小球，则小球释放后，以下说法中正确的是（ ）
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A．若圆弧面光滑，则系统动量守恒
B．若圆弧面光滑，则小球能滑至半圆槽左端入口处
C．若圆弧面不光滑，则小球不能滑至半圆槽左端入口处，且小球到达最左端时，系统
有向右的速度
D．若圆弧面不光滑，则小球不能滑至半圆槽左端入口处，但小球到达最左端时，系
统速度为零
解：A．以半圆槽与小球组成的系统为研究对象，不论圆弧面是否光滑，在整个过程
中，系统在水平方向受到的合力为零，在水平方向动量守恒，在竖直方向所受合外力
不为零，在竖直方向动量不守恒，即对系统来说，系统受到的合外力不为零，系统动
量不守恒，故A 错误；
B．如果圆弧面光滑，在整个过程中，半圆槽与小球组成的系统只有重力做功，系统机
械能守恒，小球能滑到半圆槽左端入口处，故B 正确；
CD．如果圆弧面不光滑，以半圆槽与小球组成的系统为研究对象，在整个过程中，系
统在水平方向受到的合力为零，在水平方向动量守恒，由于系统初状态动量为零，小
球到达最左端时，系统动量也为零，系统速度为零；由于圆弧面不光滑，小球在运动
过程中受到摩擦力作用，要克服摩擦力做功，使系统机械能减少，小球不能滑至半圆
槽左端入口处，故C 错误，D 正确。故选BD。
例9、两球A、B 在光滑水平面上沿同一直线，同一方向运动，mA=1kg，mB=2kg，
vA=6m/s，vB=2m/s。当A 追上B 并发生碰撞后，两球A、B 速度的可能值是（ ）
A. vA′=5m/s，vB′=2. 5m/s
B. vA′=－4m/s，vB′=7m/s
C. vA′=2m/s，vB′=4m/s
D. vA′=7m/s，vB′=1. 5m/s
解：AD．考虑实际运动情况，碰撞后两球同向运动，A 球速度应不大于B 球的速度，
故AD 错误；两球碰撞过程，系统不受外力，故碰撞过程系统总动量应守恒．碰撞前
总动量为
p=pA+pB=mAvA+mBvB=（1×6+2×2）kg•m/s=10kg•m/s
总动能
B．碰撞后，总动量为p′=pA′+pB′=mAvA′+mBvB′=1×(-4)+2×7=10kg•m/s
8
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总动能
则p′=p，
，符合动量守恒，但是不符合能量关系；故B 错误；
C．碰撞后，总动量为p′=pA′+pB′=mAvA′+mBvB′=（1×2+2×4）kg•m/s=10kg•m/s
符合动量守恒定律，能量关系
则p′=p，
，则碰后符合动量和能量关系，则C 正确。故选C。
例10、如图所示，光滑水平面上有大小相同的A、B 两球在同一直线上运动．两球质
量分别为mA＝1 kg，mB＝2 kg，规定向右为正方向，碰撞前A、B 两球的动量均为6
kg·m/s，运动中两球发生碰撞，碰撞前后A 球动量变化量为－4 kg·m/s，则下列说法正
确的是( )
A．左方是A 球 B．B 球动量的变化量为4 kg·m/s
C．碰撞后A、B 两球速度大小之比为5 2∶
D．经过验证两球发生的碰撞是弹性碰撞
解：由题意知A、B 两球碰前均向右运动，vA＝6 m/s，vB＝3 m/s，故左方是A 球，A 正
确．由动量守恒定律知ΔpB＝4 kg·m/s，pB′＝10 kg·m/s，故B 正确．碰后A 球动量pA′＝
2 kg·m/s，vA′＝2 m/s，vB′＝5 m/s，vA′∶vB′＝2 5∶，故C 错误．由能量守恒定律知，两球碰
撞前后机械能总量相等，故两球发生的碰撞是弹性碰撞，D 正确．
例11．质量为m 的小球A，沿光滑水平面以速度v0与质量为2m 的静止小球B 发生正
碰。碰撞后，A 球的动能变为原来的
，那么小球B 的速度可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：根据碰后A 球的动能恰好变为原来的
，可得
解得
碰撞过程中A、B 球组成的系统动量守恒，则有
解得
或
故选A。
例12．如图所示，A、
两个大小相同、质量不等的小球放在光滑水平地面上，A 以
的速率向右运动，
以
的速率向左运动，发生正碰后A、
两小球都以
的速率反弹，则
、
两小球的质量之比为（ ）
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A．
B．
C．
D．
解：向右为正方向，则由动量守恒可知
即
解得
故选B。
例13．南北向公路上，一辆质量为
的小汽车向北以
的速度行驶迎面与质
量为
的小货车正碰，碰后两辆车接在一起向北行驶一段距离，然后停止。据此
可判断碰前小货车的速率满足（ ）
A．小于
B．大于
小于
C．大于
小于
D．大于
小于
解：碰撞过程内力远大于外力，动量近似守恒，以向北为正方向，有
且满足
解得
故选A。
例14．在光滑水平面上，有一质量为m、速度为v 的A 球跟质量为2m 的静止的B 球
发生正碰。碰撞后A 球的速度为
，B 球的速度为
，则
、
可能是（ ）
A．
、
B．
、
C．
、
D．
、
解：A．碰后A 球速度没有反向的话，速度要小于B 球速度。A 错误；
BC．碰后A 球速度为零时，根据动量守恒得
解得
B 正确，C 错误；
D．根据能量守恒，碰后系统的机械能不大于碰前系统的机械能。D 错误。故选B。
例15．小球A 以速度v0向右运动，与静止的小球B 发生正碰，碰后A、B 的速率分别
是
和
，则A、B 球的质量比可能是（ ）
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A．3:8
B．3:5
C．3:2
D．3:1
解：设向右为正，由动量守恒可知
解得
能量关系满足
或者
解得
能量关系满足
则AB 两球质量之比为3:4 或3:8；故选A。
对应题型精炼
一、多选题
1．如图所示，一带有半径足够大的光滑圆弧轨道的小车的质量M=3kg，小车静止在光
滑水平地面上，圆弧下端水平。有一质量m=1kg 的小球以水平初速度v0=4m/s 从圆弧
下端滑上小车，重力加速度g 取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统机械能守恒
B．在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统动量守恒
C．小球沿圆弧轨道上升的最大高度时的速度大小为1m/s
D．小球沿圆弧轨道上升的最大高度为0.5m
【答案】AC
【详解】A．在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统机械能守恒，故A
正确；
B．在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统水平方向不受外力，水平方向
动量守恒，故B 错误；
C．小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，设小球沿圆弧轨道上升的最大高度为
h，两者共同速度大小为v，则
解得
11
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故C 正确；
D．小球与小车组成的系统机械能守恒，有
解得
故D 错误。
故选AC。
2．如图所示，半径为R=0.4m 的凹槽Q 置于光滑水平面上，小球Р 和凹槽Q 的质量均
为m=1kg，将小球P 从凹槽的右侧最顶端由静止释放，一切摩擦均不计，重力加速度g
取10
。则以下说法正确的是（ ）
A．当小球第一次到达凹槽最左端时，凹槽向右的位移大小为0.4m
B．P、Q 组成的系统动量守恒
C．释放后当小球P 向左运动到最高点时，又恰与释放点等高
D．因为P、Q 组成的系统机械能守恒，小球P 运动到凹槽的最低点时速度为
m/s
【答案】AC
【详解】AC．P、Q 水平方向动量守恒，且水平分速度始终大小相等，方向相反，故P
可到达凹槽左侧最高点，此时Q 的位移为
，故AC 正确；
B．系统竖直方向动量不守恒，故B 错误；
D．由题意可得
解得
故D 错误。
故选AC。
3．一带有半径足够大的光滑圆弧轨道的小车的质量
，小车静止在光滑水平地
12
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面上，圆弧下端水平。有一质量
的小球以水平初速度
从圆弧下端滑
上小车，如图所示，取水平向左为正方向。
，则（ ）
A．在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统动量守恒
B．小球沿圆弧轨道上升的最大高度为0.4m
C．小球离开小车时的速度为
D．小球从滑上小车到离开小车的过程中对小车做的功为
【答案】CD
【详解】A．小球与小车组成的系统在水平方向受合外力是零，在竖直方向受合外力
不是零，因此系统只在水平方向动量守恒，故A 错误；
B．系统在水平方向动量守恒，由动量守恒定律可得
系统的机械能守恒
当
时，
最大，则有高度h 最大，联立解得
故B 错误；
C．设小球离开小车时的速度为v3，小车的速度为v4，取水平向左为正方向，系统在水
平方向动量守恒和系统的机械能守恒，则有
联立解得
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小球的速度方向向右，故C 正确；
D．小球离开小车时小车在水平方向的速度为
，由动能定理可得小球对小车做的
功为
故D 正确。
故选CD。
4．如图所示，将一质量
、半径为
的光滑半圆形槽静置于光滑水平面上，今让一
质量为
小球自左侧槽口从
点静止开始落下，则以下结论中正确的是（ ）
A．小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽构成的系统动量守恒
B．小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽构成的系统机械能守恒
C．小球到达最低点时，小球的速度大小是
D．小球到达右边最高点时，小球通过的水平位移是
【答案】BD
【详解】A．小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽构成的系统水平方向受
力为零，所以水平方向动量守恒，故A 错误；
B．小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽构成的系统只有重力做功，所以系
统机械能守恒，故B 正确；
C．球到达最低点时,根据系统水平方向动量守恒，可得
由系统机械能守恒，可得
联立，可得
14
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故C 错误；
D．根据人船模型结论，可得
又
解得
故D 正确。
故选BD。
二、单选题
5．如图所示将一光滑的半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧有一固定在水平面上的物
块。今让一小球自左侧槽口A 的正上方从静止开始落下，与圆弧槽相切自A 点进入槽
内，则以下结论中正确的是（ ）
A．小球在运动的全过程中，只有重力对它做功，对于整个系统而言，机械能守恒
B．小球在运动的全过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒.
C．小球有可能不能冲出C 点，若无水平面上的物块后，小球每次离开槽面的最高
点能到达最初的高度
D．小球离开C 点以后，一定做竖直上抛运动，且能无碰撞的回到槽中
【答案】C
【详解】A．小球从A 点到B 点，只有重力做功；从B 点到C 点除重力做功外还有圆
槽的弹力做功；对于整个系统而言，只有重力做功，机械能守恒，选项A 错误；
B．小球在到达B 点之前，圆槽不动，小球动量增加，系统动量不守恒；小球到达B
点之后，圆槽会一起向右运动，小球与圆槽水平方向受合外力为零，则在水平方向动
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量守恒，选项B 错误；
C．若小球下落的高度较低，则小球有可能不能冲出C 点；若无水平面上的物块后，
则小球进入槽中到到达最低点B 的过程中，槽向左运动；当小球从B 点上滑到离开槽
的过程中，槽做减速运动，当小球离开槽的时候，槽的速度减为零，此时由能量关系
可知，小球离开槽的速度等于进入槽时的速度，则小球每次离开槽面的最高点能到达
最初的高度，选项C 正确；
D．小球离开C 点以后，既有水平速度，也有竖直速度，则小球做斜抛运动，因小球
的水平速度等于槽的水平速度，则小球能无碰撞的回到槽中，选项D 错误。
故选C。
6．如图所示一个半径为r=0.3m 的光滑
圆弧轨道B 静止在光滑的水平面上，且圆弧
轨道的底端与水平面相切，一可视为质点的物块A 以水平向左的速度v0冲上木块，经
过一段时间刚好运动到轨道的最高点，随后再返回到水平面。已知两物体的质量为
mA=1kg，mB=2kg，重力加速度g=10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．物块A 的初速度大小为4m/s
B．物块A 的初速度大小为1m/s
C．物块A 返回水平面时速度大小为1m/s
D．轨道B 的最大速度为1m/s
【答案】C
【详解】AB．物块A 刚好运动到轨道B 的最高点时，两者共速为v，对物块A 和轨道
B 组成的系统，由机械能守恒和水平方向动量守恒得
解得
故AB 错误；
CD．当物块A 返回到水平面时，轨道B 的速度达到最大，由机械能守恒定律和水平方
16
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向动量守恒得
解得
故C 正确，D 错误。
故选C。
7．如图所示，小车由弧形段AB 和水平段BC 组成，静止在光滑水平面上。一物块从A
点由静止滑下，最后跟小车相对静止，下列说法正确的是（ ）
A．物块与小车组成的系统动量守恒
B．物块与小车组成的系统机械能守恒
C．最终物块与小车速度都为0
D．最终物块与小车的共同速度水平向右
【答案】C
【详解】A．在AB 段，系统水平方向合外力为零，系统水平方向动量守恒，竖直方向
合外力不为零，系统竖直方向动量不守恒；在BC 段，系统合外力为零，系统动量守恒，
所以，在AC 段系统动量不守恒，A 错误；
CD．设最终物块与小车的共同速度为v，根据动量守恒定律得
解得
C 正确，D 错误；
B．最终物块和小车的速度都第等于0，小车的机械能不变，物块的机械能减少，所以
系统的机械能不守恒，B 错误。
故选C。
8．如图所示，质量为m、半径为R 的半圆槽轨道置于光滑水平面上，左端紧靠墙壁，
一质量同为m 的物块从半圆轨道的顶端a 点无初速度释放，b 点为半圆轨道的最低点，
c 点为半圆轨道另一侧与a 等高的点，不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
17
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A．物块在运动的过程中机械能守恒
B．物块在弧形槽内上升的最大高度为
C．物块第二次通过b 点时的速度为0
D．半圆槽的最大速度为
【答案】C
【详解】A．物块由a 到b 的过程机械能守恒，通过b 点后槽对物块的支持力做功，物
块机械能不守恒，故A 错误；
B．物块由a 到b 根据机械能守恒定律可得
解得
当物块在弧形槽内上升到最大高度时，物块与槽共速，有
解得
故B 错误；
CD．物块第一次经过b 点到第二次经过b 点，根据水平方向动量守恒和机械能守恒可
得
解得
18
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，
故C 正确，D 错误。
故选C。
9．如图所示，质量为3kg 的光滑轨道静置于足够大的光滑水平地面上，光滑轨道的
BC 部分为半径为R 的四分之一圆弧，CD 部分水平。质量为1kg 的小球（可视为质
点）从圆弧轨道顶端B 正上方的A 点由静止自由落下，与圆弧相切于B 点并从B 点进
入圆弧。已知AB=CD=R=0.3m，取重力加速度大小g=10m/s2，下列说法正确的是（
）
A．轨道对小球做正功
B．轨道的最大速度为3m/s
C．轨道对地面的最大压力为70N
D．两者分离时轨道移动了0.15m
【答案】D
【详解】A．小球对轨道做正功，轨道对小球做负功，故A 错误；
B．系统在水平方向动量守恒，有
根据能量守恒有
解得
，
由此可知，轨道的最大速度为1m/s，故B 错误；
C．小球在C 点时对物块的压力最大，此时物块没有加速度，以物块为参考系（此时
为惯性系），小球此时相对圆心的速度为
，对整体应用牛顿运动定律有
故C 错误；
19
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D．对小球和轨道组成的系统，有
所以二者分离时轨道移动的距离为
故D 正确；
故选D。
三、解答题
10．如图所示，光滑水平面上有一质量为
、带有半径为
的
光滑
圆弧的小车A，圆弧的下端出口切线水平，紧靠着小车A 的左侧有质量为
的木板B。一质量为
、可以视为质点的滑块C，从圆弧最高点无初速度释放，
圆弧下端出口到B 上表面的高度差为
。若滑块C 落到木板B 上不反弹只相对
滑动，且最终二者共速，已知C 与B 之间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为
。求：
（1）当滑块C 碰到木板B 时，小车A 和木板B 之间的距离是多少；
（2）木板B 和滑块C 之间产生了多少热量。
【答案】（1）
；（2）0.225J
【详解】（1）滑块在小车上下滑过程，由于滑块和小车在水平方向不受外力作用，所
以滑块和小车组成的系统在水平方向动量守恒，有
运动过程，由于水平面和圆弧光滑，故小车和滑块组成的系统机械能守恒，有
20
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联立解得滑块到小车最低点时，小车及滑块的速度大小分别为
由
，且运动时间相同，变形可得
其中
、
是A、C 的水平位移，由几何关系可知
解得A 向右后退的距离
由
，解得滑块从小车落到木板上的过程做平抛运动，运动时间
这段时间，小车以速度
做匀速直线运动，位移为
当滑块C 碰到木板B 时，小车A 和木板B 之间的距离是
（2）由题可知，滑块落到木板上后竖直方向的速度为零，那么滑块落到木板上后的速
度为
滑块的加速度大小为
方向与速度方向相反，木板的加速度大小为
21
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滑块刚落到木板上时在木板上向左做匀减速直线运动，木板做向左的加速直线运动，
当滑块和木板速度相同时有
解得滑块和木板共速时的速度为
共速时滑块的位移为
共速时木板的位移为
滑块相对木板发生的位移为
木板B 和滑块C 之间产生的热量
11．如图所示，两个半径均为
的四分之一光滑圆弧形槽
放在足够长的光滑
水平面上，两槽相对放置且距离足够远，处于静止状态，圆弧底端与水平面相切。
槽的质量为
，另一质量为
可视为质点的小球，从
槽
点的正上方
处由静止释放，恰可无碰撞切入槽
距离
，重力加速度为
。求：
（1）小球第一次从
槽滑到地面时，球的速度和
槽的速度；
（2）小球不会从
槽最高点冲出，
槽的质量应满足什么条件。
22
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【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）
从
槽滑下时，球的速度为
，槽的速度为
，由水平方向动量守恒，
机械能守恒
，
解得
（2）小球沿着
槽上升到最高点时，高度为
，两者具有共同速度
，根据题意
根据机械能守恒
且
解得
12．如图所示，光滑水平面ab 上静止放置着质量分别为
、
的物块
A、B（均可视为质点），右侧放置一个不固定的光滑弧形滑块C（足够高），质量
，C 的弧面与水平面相切。水平面左侧的光滑水平地面上停着一质量为M、
长
的小车，小车上表面与ab 等高。用轻质细绳将A、B 连接在一起，A、B
间夹着一根被压缩的轻质弹簧（与A、B 不拴接）。现将细绳剪断，与弹簧分开之后
A 向左滑上小车，B 向右滑动冲上弧形滑块C，B 在C 上可达到的最大高度
。
23
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物块A 与小车之间的动摩擦因数
，小车质量M 满足
，重力加速度
g 取
。求：
（1）刚与弹簧分开时物块B 的速度大小；
（2）细绳剪断之前弹簧的弹性势能；
（3）物块A 在小车上滑动过程中产生的热量（计算结果可含有M）。
【答案】（1）4m/s；（2）10J；（3）当
时，
，当
时，
【详解】（1）物块B 与弹簧分离后，对B、C，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得
（2）对物块A、B 构成的系统，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得
（3）若A 没有飞离小车，对A 与小车，根据动量守恒定律有
令相对位移为x，则有
24
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解得
可知，当小车质量M 增大时，相对位移x 增大，当x=L 时，解得
M=4kg
可知，当
时，物块A 飞离小车，相对位移为L，则有
当
时，物块A 没有飞离小车，则有
解得
13．如图所示，小物块甲紧靠轨道BCD 静置于光滑水平面上，轨道BCD 由水平轨道
CD 及与CD 相切于C 的光滑
圆弧轨道组成，圆弧轨道的半径为R。现将小物块乙
（视为质点）从B 点正上方到B 点高度为R 的P 点由静止释放，乙从B 点沿切线方向
进入圆弧轨道，恰好不会从水平轨道CD 的左端D 点掉落。已知甲、乙以及轨道BCD
的质量相同，乙与CD 间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度大小为g。求：
（1）乙通过B 点时的速度大小vB；
（2）乙通过C 点时甲的速度大小v1；
（3）CD 的长度L。
【答案】（1）
；（2）
；（3）3R
【详解】（1）当乙滑到B 点时，有
25
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得
（2）当乙滑到C 点时，轨道BCD 与甲的共同速度大小为v1，系统水平方向动量守恒，
有
系统机械能守恒
解得
（3）乙滑到C 点后，轨道BCD 与甲分离，乙从C 点滑到D 点的过程中，对乙和轨道
BCD，动量守恒有
能量守恒
解得
14．如图所示，质量为m2= 2kg 的滑块静止在光滑的水平面上，滑道的AB 部分是半
径为R = 0.4m 的四分之一圆弧，圆弧底部与滑道水平部分相切，滑道水平部分右端
固定一个轻弹簧，滑道CD 部分粗糙，其长度为L = 0.5m，动摩擦因数μ = 0.4，其
他部分均光滑。现让质量为m1= 2kg 的物块（可视为质点）自A 点由静止释放，取g
= 10m/s2。求：
（1）物块到达最低点时的速度大小；
（2）在整个运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能。
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【答案】（1）2m/s；（2）4J
【详解】（1）
从释放到最低点，由系统水平方向动量守恒可得
由机械能守恒可得
联立解得
，
（2）当弹簧的弹性势能最大时，它们有共同的速度，因为系统的水平初动量为零，根
据水平方向动量守恒可知，它们共速时的速度为零，由能量守恒得到
解得
Epm=4J
15．如图所示，在竖直平面内，某一游戏轨道由倾斜直轨道AB、圆弧细管道BCD、水
平直轨道AD 组成，轨道光滑，圆弧半径R＝0.4m，AB、AD 与圆弧相切。轨道AB 底
端装有弹射系统，（弹簧质量不计，长度很短，可以认为小球从A 点射出）。某次弹
射系统将尺寸略小于管道内径的小球1 弹出，小球1 进入光滑圆管道后，与处在圆弧
细管道最低点的小球2 发生弹性碰撞后反弹回管道。已知小球1、2 大小相同，小球1
的质量为
，小球2 的质量为
。
（1）若小球1 恰好沿原路径返回，求两球碰撞后小球1 的速度大小；
（2）若小球1 能够沿原路径返回，弹簧具有初始弹性势能至少多大。
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【答案】（1）4m/s；（2）1.6J
【详解】（1）若小球1 恰好沿原路径返回，可知小球1 到达C 点时的速度为零，则从
D 到C 由能量关系
解得求两球碰撞后小球1 的速度大小
v1=4m/s
（2）当弹簧弹性势能最小时，小球1 恰好沿原路径返回，经过最高点C 的速度为零，
在最低点与2 相碰时满足（向左为正）
解得
v0=8m/s
v2=4m/s
弹簧具有初始具有的弹性势能至少为
16．如图所示，质量m = 2kg 可视为质点的小物块P 以v0= 2m/s 从水平传送带左端滑
上传送带，传送带长L = 5.25m。传送带右侧水平面上静置一质量M = 8kg 的光滑四
分之一圆弧槽Q，与传送带平滑连接，且圆弧槽不固定。光滑圆弧槽的半径为R =
0.64m，物块与传送带间的动摩擦因数为μ = 0.2，其他一切摩擦不计，重力加速度g
取10m/s2，求：
（1）若传送带以v1= 3m/s 的速度顺时针转动，求物块在运动过程中离地的最大高度；
（2）若传送带以v2= 6m/s 的速度顺时针转动，求物块在运动过程中离地的最大高度。
【答案】（1）0.36m；（2）1m
【详解】假设物块滑上传送带后可以一直加速，则有
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假设物块刚好能够到达圆弧槽最高点，有
解得
（1）若传送带
的速度顺时针转动，则物块在传送带上先加速后匀速，最终以
的速度冲上圆弧槽；且由
可知，物块到不了最高点，则有
解得
（2）若传送带
的速度时针转动，
，物块在传送带上一直加速，最终
的速度冲上圆弧；且由
可知，物块能到达圆弧最高点。
则P 滑到Q 的最高点时，设二者的水平速度为
，P 的竖直速度为
，P 的速度为
水平方向动量守恒
系统机械能守恒
设P 离开Q 后在竖直方向上升的高度为h，则有
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解得
h = 0.36m
物块在运动过程中的最大高度
17．如图所示，轻质弹簧的左端固定在光滑平台的挡板P 上，质量
的物块A
处于弹簧的右端，两者无连接，有一紧靠在平台处的小车，上表面NQ 水平且与平台
等高，NQ 的长度L=2.0m，小车的右端为半径R=0.1m 的
光滑圆弧，小车的左端有一
可视为质点的滑块B，其质量为
，与NQ 间的动摩擦因数μ=0.1，现缓慢向
左推滑块A 到M 点，使弹簧压缩，静止释放后，滑块A 沿平台向右运动，与滑块B 发
生弹性碰撞，测得碰后滑块B 的速度大小
，已知M 点到平台边缘足够远，
重力加速度g 取10m/s²，求：
（1）刚释放时，弹簧具有的弹性势能
；
（2）为使滑块B 不能从小车右端滑离小车，小车的最大质量
；
（3）在满足（2）的条件下，小车的最大速度
及滑块B 最终距Q 端的距离
。
【答案】（1）
；（2）6kg；（3）
，
【详解】（1）设滑块A 和B 碰撞前A 的速度大小为
，则有
联立解得
30
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代入数据解得
刚释放时，弹簧具有的弹性势能为
（2）在保证B 不能从右端滑离小车，小车质量取最大时，对应的情况是B 刚好滑到圆
弧的顶端时，B 与小车共速，对B 和小车有
联立解得
，
（3）当滑块B 返回至Q 点时，小车的速度最大，设此时B 的速度大小为
，则有
联立解得
设B 最终没有滑离小车，B 滑下后相对小车滑行
，据能量守恒可有
解得
故假设成立，B 最终距Q 端
18．如图所示，在光滑水平面上有一质量M=3kg 的小车，由水平部分AB 和光滑
圆
轨道BC 组成，圆弧BC 的半径R=0.4m 且与水平部分相切于B 点，小物块Q 与AB 段
的滑动摩擦因数μ=0.2，在A 点正上方用一根不可伸长的轻质细绳悬挂质量为m1=0.5kg
的小球P，现将小球P 拉离竖直方向由静止释放，当小球P 摆到最低点时与静止在小车
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左端的质量为m2=1kg 的小物块Q（可视为质点）发生弹性碰撞，已知小球P 与小物块
Q 碰撞前的瞬时速度为v0=6m/s，碰撞时间极短，除了小车AB 段粗糙外，其余所有接
触面均光滑，重力加速度g=10m/s2。
（1）求碰撞后瞬间小物块Q 的速度；
（2）求物块Q 在小车上运动1s 内相对于小车运动的距离s（此时Q 未到B 点且速度大
于小车的速度）；
（3）要使物块Q 既可以到达B 点又不会脱离小车，求小车左侧水平长度AB 的取值范
围。
【答案】（1）4m/s，方向水平向右；（2）
；（3）
【详解】（1）小球P 与小物块Q 碰撞，取向右为正，碰后P、Q 速度分别为v1、v2，
由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
解得
，
故碰撞后瞬间物块Q 的速度为4m/s，方向水平向右；
（2）物块Q 与小车相对运动，可由牛顿第二定律求得两者的加速度
物块Q 的位移
小车的位移
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解得
（3）AB 段最长，则物块Q 刚好到达B 点时就与木板共速，根据动量守恒定律有
可得共同速度为
由能量守恒定律得
解得
AB 段最短，则物块Q 刚好回到A 点时与木板共速，根据动量守恒定律可得共同速度仍
为
由能量守恒定律得
解得
当AB 段最短时物块Q 在圆弧上共速时上升高度需要验证是否超过R，由能量守恒定律
得
解得
所以不会从圆弧轨道上滑出，则AB 段的长度范围为
19．如图所示，质量为M 的物体静止于光滑水平面上，其上有一个半径为R 的光滑半
圆形轨道，现把质量为m 的小球自轨道左侧最高点静止释放，以向右为正方向。求：
（1）小球运动的最低点时，小球与轨道的速度；
（2）轨道的振幅。
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【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）当小球滚至凹槽的最低时，小球和凹槽的速度大小分别为v1和v2，根据
据水平方向动量守恒有
另根据机械能守恒得
解得
（2）当小球滚到最右端时，凹槽向左移动的距离最大，设此过程中小球水平位移的大
小为s1，凹槽水平位移的大小为s2.在这一过程中，由系统水平方向总动量守恒得
又
解得
即轨道的振幅为
20．质量为
的滑板静止在光滑水平地面上，滑板上表面
段水平长度为
段
是半径为
的四分之一光滑圆弧，如图所示。质量为
的小物块（小物块可视为质
点）以初速度
冲上滑板，已知
，其中
为重力加速度。小物块与滑板
段的动摩擦因数为
，在以后的运动过程中：
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（1）若滑板固定在地面上，小物块不能从C 点飞出，则
应满足什么条件；
（2）若解除对滑板的固定，小物块不能从C 点飞出，则
应满足什么条件；
（3）若解除对滑板的固定，小物块相对滑板向右运动的过程中，相对地面也有向右的
运动，则
应满足什么条件。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）若滑板固定，设小物块刚好能运动到
点时，由机械能守恒可知
可解得
所以小物块不能从C 点飞出，
应满足的条件为
（2）若解除对滑板的固定，设小物块运动至C 点时，小物块与滑板速度相等为
，由
动量守恒和机械能守恒可知：
上面两式联立，可解得
所以小物块不能从C 点飞出，
应满足的条件为：
（3）设小物块相对滑块向右返回到B 点时，小物块、滑板的速度分别为
。以向
左为正方向。由动量守恒和能量守恒可知：
上面两式联立，可得
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此方程求根判别式
可解得
解上面方程可得
若要满足题中条件，则
，可解得
综合以上分析可知，
应满足的条件为
。
36
