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秘籍 08 碰撞类模型和动量守恒中的七大力学综合问题
碰撞类模型和动量守恒中的七大力学综合问题
1 弹性碰撞
1.碰撞三原则：
(1)动量守恒：即p ＋p ＝p ′＋p ′.
1 2 1 2
(2)动能不增加：即E ＋E ≥E ′＋E ′或＋≥＋.
k1 k2 k1 k2
(3)速度要合理
①若碰前两物体同向运动，则应有v >v ，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后
后 前
两物体同向运动，则应有v ′≥v ′。
前 后
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。
2. “动碰动”弹性碰撞
v v’ v’
1 1 2
m m
1 2
发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为m 和m ，
1 2
碰前速度为v ，v ，碰后速度分别为v ˊ，v ˊ，则有：
1 2 1 2
(1) (2)
联立（1）、（2）解得：
m v +m v m v +m v
2 1 1 2 2 −v 2 1 1 2 2 −v
m +m 1 m +m 2
v ’= 1 2 ，v ’= 1 2 .
1 2
特殊情况： 若m =m ，v ˊ= v ，v ˊ= v .
1 2 1 2 2 1
3. “动碰静”弹性碰撞的结论
两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。以质量为 m 、速度为v 的小球与质量为
1 1
m 的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有m v ＝m v ′＋m v ′ （1）
2 1 1 1 1 2 2
m v＝m v ′2＋m v ′2 （2）
1 1 1 2 2
解得：v ′＝，v ′＝
1 2
结论：(1)当m ＝m 时，v ′＝0，v ′＝v (质量相等， )
1 2 1 2 1
(2)当m ＞m 时，v ′＞0，v ′＞0，且v ′＞v ′(大碰小，一起跑)
1 2 1 2 2 1
(3)当m ＜m 时，v ′＜0，v ′＞0(小碰大，要反弹)
1 2 1 2
(4)当m ≫m 时，v ′＝v ，v ′＝2v (极大碰极小，大不变，小加倍)
1 2 1 0 2 1(5)当m ≪m 时，v ′＝－v ，v ′＝0(极小碰极大，小等速率 ，大不变)
1 2 1 1 2
2 非弹性碰撞和完全非弹性碰撞
1.非弹性碰撞
介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞。动量守恒，碰撞系统动能损失。
根据动量守恒定律可得：m v +m v =m v ˊ+m v ˊ (1)
1 1 2 2 1 1 2 2
损失动能ΔE 根据机械能守恒定律可得： m v 2+ m v 2= m v ˊ2+ m v ˊ 2 + ΔE .
k， 1 1 2 2 1 1 2 2 k
(2)
2.完全非弹性碰撞
v v
1 共
m m
1 2
碰后物体的速度相同， 根据动量守恒定律可得：
m v +m v =(m +m )v （1）
1 1 2 2 1 2 共
完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能：
ΔE = ½m v 2+ ½ m v 2- ½(m +m )v 2 （2）
k 1 1 2 2 1 2 共
m v +m v 1 m m
1 1 2 2 1 2 (v −v ) 2
m +m 2 m +m 1 2
联立（1）、（2）解得：v 共 = 1 2 ；ΔE k = 1 2
3 人船模型
1. 适用条件
①系统由两个物体组成且相互作用前静止，系统总动量为零；
②动量守恒或某方向动量守恒．
2. 常用结论
设人走动时船的速度大小为v ,人的速度大小为v ,以船运动的方向为正方向,则m v -
船 人 船 船
m v =0,可得m v =m v ；因人和船组成的系统在水平方向动量始终守恒，故有m v
人 人 船 船 人 人 船 船
t=m v t,
人 人
即：m x =m x ，由图可看出x +x =L，
船 船 人 人 船 人
可解得： ；
3. 类人船模型类型一 类型二 类型三 类型四 类型五
4 爆炸和反冲问题
1． 对反冲现象的三点说明
(1)系统内的不同部分在强大内力作用下向相反方向运动，通常用动量守恒来处理。
(2)反冲运动中，由于有其他形式的能转变为机械能，所以系统的总机械能增加。
(3)反冲运动中平均动量守恒。
2． 爆炸现象的三个规律
(1)动量守恒：由于爆炸是在极短的时间内完成的，爆炸物体间的相互作用力远远大于受
到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒。
(2)动能增加：在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，所以爆炸前
后系统的总动能增加。
(3)位置不变：爆炸的时间极短，因而作用过程中，物体产生的位移很小，一般可忽略不
计，可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动。
5. 子弹打木块模型
1．模型特点
(1)子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒．
(2)在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化．
2．两种类型
(1)子弹留在木块中(未穿出)
①动量守恒：mv ＝(m＋M)v
0
②机械能损失(摩擦生热)
Q ＝F·d＝mv 2－(m＋M)v2
热 f 0
其中d为子弹射入木块的深度．
(2)子弹穿出木块
①动量守恒：mv ＝mv ＋Mv
0 1 2
②机械能的损失(摩擦生热)Q ＝F·L＝mv 2－mv 2－Mv 2
热 f 0 1 2
其中L为木块的长度，注意d≤L.
6. 弹簧模型
条件与模型
情况一：从原长到最短（或最长）时
① ；②
m v =(m +m )v
A 0 A B
规律与公式
情况二：从原长先到最短（或最长）再恢复原长时
① m v =m v' +m v' ；②
A 0 A 1 B 2
7. 板块模型
板块模型
v
0 v
v 共
m 共
1
过程简图 m
2
x x
2 相对
x
1
；
动力学常用关系
；
功能常用关系
动量常用关系【题型】碰撞类模型和动量守恒中的七大力学综合问题
【典例1】（2024·北京平谷·模拟预测）A、B两小球静止在光滑水平面上，用轻弹簧相连
接，A、B两球的质量分别为m和 。若使A球获得瞬时速度v（如图甲），弹簧压
缩到最短时，A球的速度为 ，B球的速度为 ，弹簧的长度为L；若使B球获得瞬时速度v
（如图乙），弹簧压缩到最短时，A球的速度为 ，B球的速度为 ，弹簧的长度为L'。则
（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·安徽芜湖·二模）如图所示，质量均为m的物块A、B放在光滑的水平面
上，中间用轻弹簧相连，弹簧处于原长，一颗质量为 的子弹以水平速度 射入木块A
并留在物块中（时间极短），则下列说法正确的是（ ）
A．子弹射入物块A的过程中，子弹的动量变化量为
B．子弹射入物块A的过程中，物块A的动能增加量为
C．在弹簧第一次被压缩到最短的过程中，物块B的动量大小最大值为
D．弹簧第一次压缩到最短的过程中，弹簧具有的最大弹性势能为
【典例3】（2024·湖北·二模）如图所示，质量分别为m、3m、nm 的 圆弧槽、
小球B、小球C均静止在水平面上，圆弧槽的半径为R，末端与水平面相切。现将质量为m
的小球A从圆弧槽上与圆心等高的位置由静止释放，一段时间后与B发生弹性正碰，已知重力加速度为g，不计A、B、C大小及一切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．小球A通过圆弧槽最低点时对圆弧槽的压力大小为mg
B．若BC发生的是完全非弹性碰撞，n取不同值时，BC碰撞损失的机械能不同
C．若BC发生的是弹性正碰，当 时，碰撞完成后小球C的速度为
D．n取不同值时，C最终的动量不同，其最小值为
【典例4】（2024·四川宜宾·二模）如图所示，圆筒C可以沿足够长的水平固定光滑杆左右滑
动，圆筒下方用不可伸长的轻绳悬挂物体B，开始时物体B和圆筒C均静止，子弹A以
的水平初速度在极短时间内击穿物体B后速度减为 ，已知子弹A、物体B、圆筒
C的质量分别为 、 、 ，重力加速度 。下列说法正确的
是（ ）
A．物体B能上升的最大高度为0.6m B．物体B能上升的最大高度为1.8m
C．物体C能达到的最大速度为 D．物体C能达到的最大速度为
【典例5】（2024·河北石家庄·二模）如图所示，水平地面上有一轻质弹簧自然伸长，左端固
定在墙面上，右端位于O点。地面上M点右侧有一传送带，其上表面与地面齐平，传送带以
的速度逆时针转动。现用力推动置于O点、质量 的小物块A，使弹簧缓慢压
缩到Q点后由静止释放，物块A运动到O点时的速度 。现将物块A换成质量
的物块B，重复以上过程，发现物块B刚好运动到M点速度减为0，此时将质量 的物
块C在传送带上与M距离为l（未知）的位置由静止释放，物块B、C碰撞后粘在一起，形成
结合体P，P第一次到达O点时的速度大小为v（未知）。已知地面O点左侧光滑，物块B、
C与传送带、O点右侧水平地面间的动摩擦因数均为 ，M、N之间的距离 ，重力
加速度g取 ，物块A、B、C均可视为质点。
（1）求O、M两点间的距离s；（2）若 ，求l的大小；
（3）求v与l的关系表达式。
1．（2024·贵州·模拟预测）如图，光滑水平地面上，动量为 的小球1向右运动，与同向运
动且动量为 的小球2发生弹性碰撞， ，碰撞后小球1的速率为 、动能为 、动量
大小为 ，小球2的速率为 、动能为 、动量大小为 。下列选项一定正确的是（ ）
A． B．碰撞后球2向右运动，球1向左运动
C． D．
2．如图所示，气球下面有一根长绳，一个质量为 的人抓住气球下方的长绳，气球和
长绳的总质量为 ，长绳的下端刚好和水平面接触，当系统静止时人离地面的高度为
。如果这个人开始沿绳向下滑，当他滑到绳下端时，气球上升的距离大约是（可以把人
看作质点）（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，一个质量为4m的半圆槽形物体P放在光滑水平面上，半圆槽半径为R，一小
物块Q质量为m，从半圆槽的最左端与圆心等高位置无初速释放，然后滑上半圆槽右端，接
触面均光滑，Q从释放到滑至半圆槽右端最高点的过程中，下列说法正确的是（ ）A．P、Q组成的系统满足动量守恒
B．P、Q的水平位移大小之比为
C．Q滑到半圆槽最低点时，半圆槽的速率为
D．Q运动到半圆槽右端最高点时，半圆槽由于惯性的缘故还会继续运动
4．（2024·陕西商洛·模拟预测）“世界上第一个想利用火箭飞行的人”是明朝的士大夫万
户，他把47个自制的火箭绑在椅子上，自己坐在椅子上，双手举着大风筝，设想利用火箭的
推力，飞上天空，然后利用风筝平稳着陆。假设万户及所携设备[火箭（含燃料）、椅子、风
筝等]总质量为M，点燃火箭后在极短的时间内，质量为m的炽热燃气相对地面以 的速度竖
直向下喷出。忽略此过程中空气阻力的影响，重力加速度为g，下列说法中正确的是
（ ）
A．火箭的推力来自空气对它的作用力
B．在燃气喷出后的瞬间，火箭的速度大小为
C．喷出燃气后万户及所携设备能上升的最大高度为
D．在燃气喷出后上升过程中，万户及所携设备动量守恒
5．（2020·山东潍坊·一模）光滑水平面上放有一上表面光滑、倾角为α的斜面A，斜面质量
为M，底边长为 L，如图所示。将一质量为m的可视为质点的滑块B从斜面的顶端由静止释
放，滑块B经过时间t刚好滑到斜面底端。此过程中斜面对滑块的支持力大小为 ，则下列
说法中正确的是（ ）A．
B．滑块下滑过程中支持力对B的冲量大小为
C．滑块到达斜面底端时的动能为
D．此过程中斜面向左滑动的距离为
6．（2024·陕西西安·一模）如图，质量 的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙
面固定一劲度系数 的轻弹簧，处于自然状态。质量 的小物块以水平向右的
速度 滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间
的动摩擦因数 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性
势能 与形变量 的关系为 （ ）。则下列说法正确的是（ ）
A．木板刚接触弹簧时速度为1m/s
B．木板运动前右端距弹簧左端的距离0.125m
C．木板与弹簧接触后弹簧的最大压缩量为0.5m
D．木板与弹簧接触到弹簧再次恢复原长的过程中系统机械能守恒
7．（2024·广东江门·模拟预测）烟花飞上天后在天空中爆炸。当烟花从水平地面斜飞向天空
且恰好沿水平方向运动的瞬间，突然炸裂成一大一小P、Q两块，且质量较大的P仍沿原来方
向飞出去，下列说法正确的是（ ）
A．炸裂时，质量较大的P受到的内力更大
B．炸裂过程烟花水平方向动量守恒
C．炸裂后，P飞行的水平距离较大
D．炸裂后，P、Q两块同时落地
8．（2024·湖南长沙·一模）如图所示，质量为2m、长为L的长木板c静止在光滑水平面上，质量为m的物块b放在c的正中央，质量为m的物块a以大小为 的速度从c的左端滑上c，
a与b发生弹性正碰，最终b刚好到c的右端与c相对静止，不计物块大小，物块a、b与c间
动摩擦因数相同，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．a与b碰撞前b与c保持相对静止 B．a与b碰撞后，a与b都相对c滑动
C．物块与木板间的动摩擦因数为 D．整个过程因摩擦产生的内能为
9．（2024·福建·一模）如图（a），质量均为m的小物块甲和木板乙叠放在光滑水平面上，
甲到乙左端的距离为L，初始时甲、乙均静止，质量为M的物块丙以速度 向右运动，与乙
发生弹性碰撞。碰后，乙的位移x随时间t的变化如图（b）中实线所示，其中 时刻前后的
图像分别是抛物线的一部分和直线，二者相切于P，抛物线的顶点为Q。甲始终未脱离乙，
重力加速度为 。下列说法正确的是（ ）
A．碰后瞬间乙的速度大小为
B．甲、乙间的动摩擦因数为
C．甲到乙左端的距离
D．乙、丙的质量比
10．（2024·河北保定·一模）如图所示，粗糙的水平面上放置一轻质弹簧，弹簧的右端固
定，左端与质量为m的滑块甲（视为质点）连接，小球乙（视为质点）静止在C点，让甲在
A点获得一个水平向左的初速度 ，且甲在A点时弹簧处于压缩状态，此时弹簧所蕴含的弹
性势能为 ，当甲运动到B点时弹簧正好恢复到原长，甲继续运动到C点时与乙发生弹性
碰撞。已知甲与水平面之间的动摩擦因数为 ，A、B两点间距与B、C两点间距均为
L，下列说法正确的是（ ）A．甲刚到达B点时的速度大小为
B．甲刚到达C点时，弹簧的弹性势能为
C．甲刚到达C点时（与乙发生碰撞前）的动能为
D．若甲、乙碰撞刚结束时，乙的速度为 ，则乙的质量为
11．（2024·河北·一模）如图所示，两个均可视为质点的小球A、B用长为 的轻质细绳连
接，B球穿在水平固定的光滑细杆上，小球A的质量为 ，小球B的质量为3m。初始时细绳
处于水平状态，现将两小球由静止释放，小球A在竖直平面内摆动的轨迹为如图所示的半椭
圆。已知半长轴为 、半短轴为 的椭圆在最低点的曲率半径 ，向心加速度大小
，不计空气阻力，重力加速度大小为 。下列说法正确的是（ ）
A．图中椭圆的半短轴为
B．小球B的最大速度为
C．小球A到达最低点时的速度大小为
D．小球A到达最低点时细绳中的张力大小为
12．（2024·天津·一模）静止在水平地面上可视为质点的两小物块A、B的质量分别为
， 。两者之间有一被压缩的轻质微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离
，如图所示。某时刻将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬间分离，A沿着与墙壁垂直
的方向运动，恰好不会与墙壁发生碰撞。A、B与地面之间的动摩擦因数为 ，取
。求：
（1）弹簧释放后A获得的速度大小 ；
（2）弹簧释放后B获得的速度大小 ；（3）弹簧释放前储存的弹性势能 。
13．（2024·安徽黄山·二模）如图所示，a、b、c均为质量为m的物块，其中b、c通过轻弹
簧连接并静置在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，a物块从距离b高为h处由静止释放，与
b碰撞后黏在一起，碰撞时间极短。重力加速度为g，则：
（1）求a、b碰撞后瞬间a、b整体的速度和加速度大小；
（2）若a物块从距离b高为h 处由静止释放，弹簧恰好能恢复原长，求初始时弹簧的弹性势
0
能（结果用含h 的式子表示）；
0
（3）若a物块从距离b高为h 处由静止释放，c恰好能离开地面，求h 为多少？
x x
14．（2024·重庆·模拟预测）如题图所示，光滑斜面与水平面平滑连接，水平面上O点左侧
光滑，右侧动摩擦因数为μ。B、C、D三个物块处于静止状态且刚好相互接触，B的左端与
O点对齐。A从光滑斜面的某一高度处由静止滑下，在光滑水平面运动一段时间，与B发生
碰后粘在一起形成组合体AB，碰撞过程中AB的机械能损失了50%，然后AB与C发生弹性
碰撞，C又与D发生弹性碰撞，所有碰撞时间极短。C、D碰撞结束后瞬间，AB的动量、C
的动量、D的动量都相同。质量为m的物块D停止运动时，右端距离O点12l。所有物块的
宽度均为l，高度相同，均不翻转，重力加速度为g。求：
（1）D碰后瞬间的速度大小；
（2）A、B和C的质量；
（3）A下滑的高度以及所有物块都停止运动时B右侧与C左侧的间距。15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，质量 、半径 的四分之一光滑圆
孤abc静止在足够长的光滑水平面上，末端与水平面相切，圆弧右侧有一质量为 的小物块
B，B的左侧固定一水平轻弹簧，将质量为 的小物块A从圆弧顶端由静止释放，在小物
块B的右侧有一竖直挡板（图中未画出，挡板和B的间距可调），当小物块B与挡板发生一
次弹性正碰后立刻将挡板撤去，且小物块A与弹簧接触后即与弹簧固定连接，已知重力加速
度 ，不计空气阻力，A、B均可视为质点。求：
（1）若圆弧固定，小物块A到达圆弧底端时的速度的大小；
（2）若圆弧不固定，小物块A到达圆弧底端的速度的大小以及圆弧体的位移大小；
（3）若圆弧不固定，小物块B与挡板发生碰撞后的运动过程中，当弹簧最短时弹簧弹性势能
的范围。
16．（2024·河南·一模）如图甲所示，质量 的长木板B上表面放置一质量 的
物块A，另有一质量 的物块C以某一初速度 从长木板最左端滑上长木板，物块C与
物块A发生弹性碰撞后恰好能从长木板左端滑落，物块A最终未从长木板滑离。物块A、C
与长木板B之间的动摩擦因数均为 ，长木板B与地面之间的动摩擦因数为 ，两物块碰撞
前长木板与地面相对静止。从两物块碰撞后瞬间开始计时，物块A的 图像如图乙所示，
重力加速度g取 。求：
（1）两物块碰撞后瞬间C的速度大小；
（2）动摩擦因数 、 的大小；
（3）长木板B与地面之间由于摩擦产生的热量大小。
