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专题16 动量能量在各类模型中的应用
目录
题型一 碰撞模型.............................................................................................................................1
类型1 一动一静的弹性碰撞..................................................................................................1
类型2 弹性碰撞中的“子母球”模型..................................................................................4
题型二 非弹性碰撞中的“动能损失”问题.................................................................................6
类型1 非弹性小球碰撞中的动能损失..................................................................................6
类型2 滑块木板模型中的动能损失......................................................................................7
类型3 滑块-曲面模型中的动能损失问题.............................................................................8
类型4 小球-弹簧模型中的动能损失问题.............................................................................9
类型5 带电系统中动能的损失问题....................................................................................10
类型6 导体棒“追及”过程中的动能损失问题................................................................11
类型7 连接体绳子绷紧瞬间能量损失................................................................................12
题型三 碰撞遵循的规律...............................................................................................................14
类型1 碰撞的可能性............................................................................................................15
类型2 碰撞类型的识别........................................................................................................15
题型四 “滑块—弹簧”碰撞模型中的多过程问题...................................................................17
题型五 “滑块—斜(曲)面”碰撞模型........................................................................................20
题型六 滑块模型中的多过程.......................................................................................................22
题型七 子弹打木块模型中的能量动量问题...............................................................................24
题型八 两体爆炸（类爆炸）模型中的能量分配.......................................................................25
题型九 人船模型及其拓展模型的应用.......................................................................................28
题型十 悬绳模型...........................................................................................................................32
题型一 碰撞模型
类型1 一动一静的弹性碰撞．
以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生弹性碰撞为例，则有
m1v1＝m1v1′＋m2v2′
m1v1
2＝m1v1′2＋m2v2′2
联立解得：v1′＝v1，v2′＝v1
1
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讨论：①若m1＝m2，则v1′＝0，v2′＝v1(速度交换)；
②若m1>m2，则v1′>0，v2′>0(碰后两小球沿同一方向运动)；当m1≫m2时，v1′≈v1，v2′≈2v1；
③若m1<m2，则v1′<0，v2′>0(碰后两小球沿相反方向运动)；当m1≪m2时，v1′≈－v1，v2′≈0.
【例1】（2024·广西·高考真题）如图，在光滑平台上有两个相同的弹性小球M 和N。M
水平向右运动，速度大小为v。M 与静置于平台边缘的N 发生正碰，碰撞过程中总机械能
守恒。若不计空气阻力，则碰撞后，N 在（ ）
A．竖直墙面上的垂直投影的运动是匀速运动
B．竖直增面上的垂直投影的运动是匀加速运动
C．水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v
D．水平地面上的垂直投影的运动速度大小大于v
【例2】（2023·重庆·高考真题）如图所示，桌面上固定有一半径为R 的水平光滑圆轨道，
M、N 为轨道上的两点，且位于同一直径上，P 为MN 段的中点。在P 点处有一加速器（大
小可忽略），小球每次经过P 点后，其速度大小都增加v0。质量为m 的小球1 从N 处以初
速度v0沿轨道逆时针运动，与静止在M 处的小球2 发生第一次弹性碰撞，碰后瞬间两球速
度大小相等。忽略每次碰撞时间。求：
（1）球1 第一次经过P 点后瞬间向心力的大小；
（2）球2 的质量；
（3）两球从第一次碰撞到第二次碰撞所用时间。
【变式演练1】如图所示，物块A 的质量
，与水平面间的动摩擦因数
，用
2
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不可伸长的细线悬挂的小球的质量均为
，沿水平方向一字排列，物块A 与第1 个
小球及相邻两小球间的距离均为
，细线长度分别为L1，L2，L3，…，Ln（图中只画
出三个小球）。开始时，A 以大小
的速度向右运动，物块A 与小球发生的碰撞均
为弹性碰撞（碰撞时间极短），碰后小球均恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动并再次
与物块A 发生弹性碰撞，取重力加速度大小
，物块A 和所有小球均可视为质点，
不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．物块A 能与8 个小球碰撞
B．物块A 最多能与小球碰撞12 次
C．第5 个小球的悬线长为1m
D．第5 个小球的悬线长为0.62m
【变式演练1】在一个水平桌面上固定一个内壁光滑的半径为R 的管形圆轨道，俯视如图
所示，a、b、c、d 为圆上两条直径的端点，且ac 与bd 相互垂直。在内部放置A、B 两个小
球（球径略小于管径，管径远小于R），质量分别为
、
，开始时B 球静止于a 点，A
球在其左侧以
的初速度向右与B 球发生第一次碰撞且被反弹。已知小球之间的碰撞均为
对心弹性碰撞，第二次碰撞发生在b 点。则下列说法中正确的是（ ）
A．A、B 两球的质量比为
B．若只增大A 球的初速度
则第二次碰撞点可能在
之间某处
C．若只增大A 球的质量
则第二次碰撞点可能仍在b 处
D．若只增大A 球的质量
则第一、二次碰撞时间间隔不可能大于
【变式演练2】如图所示，小球1 从固定光滑斜面上某处由静止释放，滑过光滑水平桌面
3
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后，落在水平地面上的N 点。若在水平桌面的边缘处放置另一小球2，再将小球1 从斜面
上同一位置由静止释放，使两小球发生弹性正碰，两小球在地面上的落点分别为M、P 点。
已知小球1 的质量为
，小球2 的质量为
，且
，O 点为桌面边缘在地面上的投
影，不计转弯处的机械能损失，两小球均可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．碰撞后小球1 的落点为M 点
B．碰撞后小球1 的落点为P 点
C．图中点间距离满足的关系为
D．图中点间距离满足的关系为
【变式演练3】弹珠游戏对同学们稍显陌生，但它却是许多80 后难忘的童年记忆。其示意
图如图所示，水平地面上相距x=3 m 的地方分别有可视为质点、大小相同的球形弹珠A、
B，两者质量关系为mA=3mB，假设两弹珠在水平地面上行进时受到的阻力（包括空气阻力
和摩擦力等）均恒为其重力的k 倍。现给弹珠A 一个v0=4 m/s 的初速度，使其与静止的弹
珠B 发生弹性碰撞，碰撞前后A、B 均沿同一直线运动。已知k=0.2，g=10 m/s2。求：
（1）弹珠A 与弹珠B 碰撞前瞬间，弹珠A 的速度大小vA；
（2）在碰撞刚结束时弹珠A 和弹珠B 的速度大小
、
；
（3）弹珠A 和弹珠B 之间最终的距离。
类型2 弹性碰撞中的“子母球”模型
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
m1v＋m2v＝m1v1′2＋m2v2′2
v1′＝
4
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v2′＝
【例1】如图所示，将两个质量分别为m1=60g、m2=30g 的小球A、B 叠放在一起，中间留
有小空隙，从初始高度h0=1.8m 处由静止释放。A 球与地面碰撞后立即以原速率反弹，A
球与B 球碰撞的时间为0.01s，不计空气阻力，取向上为正方向，B 球的速度时间图象如图
乙所示，g 取10m/s2（ ）
A. B 球与A 球碰前的速度大小为6m/s
B. 两球碰撞过程中，B 球的重力冲量与A 对B 球的冲量大小比值为1：101
C. A、B 两球发生的是弹性碰撞
D. 若m2<m1，第一次碰撞后，m2球上升的最大高度可能大于17m
【例2】物理课堂上，老师带同学们做了一个有趣的实验：如图甲所示，老师让某同学将
一个网球叠放在一个充足气的篮球上，举到头顶附近，然后一起由静止释放，发现网球和
篮球碰撞后，被反弹的网球能打到教室的天花板。若将该实验简化为如图乙所示模型，网
球和篮球均可视为质点，篮球和地面碰撞完成后恰与网球碰撞，所有碰撞均为弹性碰撞。
已知网球的质量为
，篮球的质量为
，初始释放高度为
，篮球和网
球的球心始终在同一竖直线上，不计空气阻力，取重力加速度
，求：
（1）篮球落地前瞬间，网球和篮球共同的速度大小；
（2）网球反弹后能达到的最大高度
；
（3）若用一个质量远远小于篮球质量的弹性小球替代网球重复该实验，其他条件不变，求
弹性小球反弹后能够上升的最大高度。
5
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【变式演练1】伽利略大炮是一种极为简易的机械发射装置，由伽利略于1590 年左右发明。
现我们共同研究伽利略大炮的实验，先将500g 的弹性大球单独自由释放，落地反弹高度为
下落高度的0.64 倍。现在弹性大球上将弹性小球逐个叠放，并将它们从距地面0.8m 高处
自由释放，如图所示。已知各球相互接触且重心在同一竖直线上，每个弹性球的质量为该
球下面接触球质量的一半，各球之间均发生弹性碰撞，作用时间极短，无论弹性大球上面
是否叠放弹性小球及叠放几个弹性小球，弹性大球与地面碰撞过程中能量损失均保持不变，
重力加速度g 取
，忽略空气阻力。
（1）若将弹性大球单独从距地面0.8m 高处自由释放，求地面对弹性大球所做的功；
（2）若弹性大球上端只放一个弹性小球，求两球碰撞过程中弹性大球对弹性小球的冲量大
小；
（3）若要使最上端的弹性小球上升高度不低于45m，求至少需要叠放多少个弹性小球？
【变式演练2】如图所示为大球和小球叠放在一起、在同一竖直线上进行的超级碰撞实验，
可以使小球弹起并上升到很大高度。将质量为3m 的大球（在下），质量为m 的小球（在
上）叠放在一起，从距地面高h 处由静止释放，h 远大于球的半径，不计空气阻力。假设
大球和地面、大球与小球的碰撞均为完全弹性碰撞，且碰撞时间极短。下列说法正确的是
（ ）
6
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A．两球一起下落过程中，小球对大球的弹力大小为mg
B．大球与地面碰撞前的速度大小为
C．大球与小球碰撞后，小球上升的高度仍为h
D．若大球的质量远大于小球的质量，小球上升的最大高度为3h
题型二 非弹性碰撞中的“动能损失”问题
1.非弹性碰撞
碰撞结束后，动能有部分损失。
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
m1v＋m2v＝m1v1′2＋m2v2′2＋ΔEk 损
3.完全非弹性碰撞
碰撞结束后，两物体合二为一，以同一速度运动，动能损失最大。
m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v
m1v＋m2v＝(m1＋m2)v2＋ΔEk 损max
类型1 非弹性小球碰撞中的动能损失
【例1】某次冰壶运动训练中，甲壶与静止的乙壶发生正碰。已知冰面粗糙程度处处相同，
不计空气阻力，两壶完全相同且均可视为质点，碰撞时间极短可不计，碰撞前、后两壶运
动轨迹始终在同一水平直线上。从开始碰撞到两壶都静止过程中，测得乙壶位移是甲壶位
移的k 倍，则（ ）
A．k<1
7
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B．k 值越大，两壶碰撞过程中损失机械能越大
C．k 值越大，两壶碰撞过程中损失机械能越小
D．碰撞后瞬时，乙壶速度为零
【变式演练】在光滑水平面上甲、乙两个小球发生碰撞后粘在一起，两球运动的位移时间
变化如图所示，已知甲球的质量
，则碰撞过程中损失的能量为（ ）
A.
B.
C.
D.
类型2 滑块木板模型中的动能损失
【例2】(多选)长木板A 放在光滑的水平面上，质量为m＝2 kg 的另一物体B 以水平速度v0
＝2 m/s 滑上原来静止的长木板A 的上表面，由于A、B 间存在摩擦，之后A、B 速度随时
间变化情况如图所示，g＝10 m/s2.则下列说法正确的是( )
A．木板获得的动能为1 J
B．系统损失的机械能为2 J
C．木板A 的最小长度为2 m
D．A、B 间的动摩擦因数为0.1
【变式演练】质量为m 的矩形木板ae，放在光滑水平面上，b、c、d 是ae 的4 等分点。质
量为M 的物块以一定的初速度从a 点水平滑上粗糙木板，物块的宽度不计，且
，经
过一段时间物块停在木板上。若图是物块刚滑上木板时的物块与板的位置状态，下图是物
块刚与木板达到共同速度时的位置，下列示意图正确的是（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
类型3 滑块-曲面模型中的动能损失问题
【例3】（2024·青海海南·一模）如图所示，一个质量为M 的滑块放置在水平面上，滑块
的一侧是一个四分之一圆弧
圆弧半径
。E 点与水平面相切。另有一个质量为m
的小球以
的初速度水平向右从E 点冲上滑块，若小球刚好没越过圆弧的上端，已
知重力加速度大小
不计一切摩擦。则滑块与小球质量的比值
为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式演练1】如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道M 静止在光滑水平面上，一个物块m
在水平地面上以大小为v0的初速度向右运动并无能量损失地滑上圆弧轨道，当物块运动到
圆弧轨道上某一位置时，物块向上的速度为零，此时物块与圆弧轨道的动能之比为1 2∶，则
此时物块的动能与重力势能之比为(以地面为参考平面)( )
A．1 2
∶
B．1 3
∶
C．1 6
∶
D．1 9∶
【变式演练2】如图所示，一带有半径足够大的光滑圆弧轨道的小车的质量
，小车
静止在光滑水平地面上，圆弧下端水平。有一质量
的小球以水平初速度
从圆弧下端滑上小车，重力加速度
取
。下列说法正确的是（ ）
9
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A．在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统机械能守恒
B．在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统动量守恒
C．小球沿圆弧轨道上升的最大高度时的速度大小为1m/s
D．小球沿圆弧轨道上升的最大高度为0.6m
类型4 小球-弹簧模型中的动能损失问题
【例4】如图所示，光滑水平地面上的P、Q 两物体质量均为m，P 以速度v 向右运动，Q
静止且左端固定一轻弹簧。当弹簧被压缩至最短时（ ）
A．P 的动量为0
B．Q 的动量达到最大值
C．P、Q 系统总动量小于mv
D．弹簧储存的弹性势能为
【变式演练1】A、B 两小球静止在光滑水平面上，用轻弹簧相连接，A、B 两球的质量分
别为m 和
。若使A 球获得瞬时速度v（如图甲），弹簧压缩到最短时，A 球的
速度为
，B 球的速度为
，弹簧的长度为L；若使B 球获得瞬时速度v（如图乙），弹簧
压缩到最短时，A 球的速度为
，B 球的速度为
，弹簧的长度为L'。则（ ）
A．
B．
C．
D．
10
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【变式演练2】如图甲所示，光滑水平地面上有A、B 两物块，质量分别为2kg、6kg，B 的
左端拴接着一劲度系数为
的水平轻质弹簧，它们的中心在同一水平线上。A 以速
度v0向静止的B 方向运动，从A 接触弹簧开始计时至A 与弹簧脱离的过程中，弹簧长度l
与时间t 的关系如图乙所示，弹簧始终处在弹性限度范围内，已知弹簧的弹性势能
（x 为弹簧的形变量），则（ ）
A．在0~2t0内B 物块先加速后减速
B．整个过程中，A、B 物块构成的系统机械能守恒
C．v0=2m/s
D．物块A 在t0时刻时速度最小
类型5 带电系统中动能的损失问题
【例5】如图所示，在倾角为
的足够长的绝缘固定斜面上，静止放置有质量分别为
、
的两金属块A、B，其中A 带电量为
，B 不带电。现让金属块A 以初速度
沿斜面
向下运动，一段时间后与金属块B 发生弹性正碰，且碰撞后A、B 带电荷量均为
。已知
金属块与斜面间的滑动摩擦因数为
，下列说法正确的是（ ）
A．碰撞前，A 沿斜面做匀加速直线运动
B．碰撞后，A、B 都沿斜面向下运动的过程中总动量守恒
C．碰撞后，当A 的速度为
时，B 的速度为
D．碰撞后，A、B 系统的电势能先减小后不变
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【变式演练1】如图所示，在光滑绝缘水平面上，A、B 两小球质量分别为2m、m，带电荷
量分别为＋q、＋2q。某时刻A 有指向B 的速度v0，B 球速度为零，之后两球在运动中始终
未相碰，当两小球从该时刻开始到第一次相距最近的过程中( )
A．任意时刻A、B 两小球的加速度大小之比均为1 2∶
B．两小球构成的系统动量守恒，电势能减少
C．A 球减少的机械能大于B 球增加的机械能
D．电场力对A 球做功的大小为mv
【变式演练2】如图(a)所示，光滑绝缘水平面上有甲、乙两个带电小球，t＝0 时，甲静止，
乙以v＝6 m/s 的初速度向甲运动。它们仅在静电力的作用下沿同一直线运动(整个运动过
程中没有接触)，它们运动的v－t 图象分别如图(b)中甲、乙两曲线所示。则由图线可知(
)
A.两小球带电的电性一定相反
B.甲、乙两球的质量之比为2 1∶
C.t2时刻，乙球的电势能最大
D.在0～t3时间内，甲的动能一直增大，乙的动能一直减小
类型6 导体棒“追及”过程中的动能损失问题
【例6】（2024·河北·三模）如图所示，两根电阻不计、足够长的平行光滑金属导轨MN、
PQ 固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，导轨所在空间存在方向竖直向上、磁感应强度大
小为B 的匀强磁场，两根金属杆a、b 间隔一定距离静止于导轨上，两杆与导轨垂直且接触
良好，杆a、b 的电阻分别为R 和3R，杆a、b 的质量分别为3m 和m。现使杆a 获得一个
大小为
、水平向右的初速度。
（1）当杆b 的速度大小为
时（两杆未相撞），求此时杆b 受到的安培力大小F；
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（2）若整个运动过程中两杆未相撞，求整个运动过程中杆a 产生的焦耳热
；
（3）若初始位置时两杆之间的距离
，通过计算判断两杆在整个运动过程中是否
相撞。
【变式演练1】如图所示，在绝缘水平面上固定两根足够长的间距为L 的光滑平行金属导
轨，导轨间有方向竖直向下的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。质量均为m，接入
电路的阻值均为R 的金属棒ab 和cd 垂直于导轨放置，均处于静止状态。现同时给金属棒
ab、cd 一个水平方向的初速度，ab 棒的初速度大小为
，方向水平向左，cd 棒的初速度大
小为
，方向水平向右。金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻，下列说法
正确的是（ ）
A．整个运动过程，ab 棒上产生的焦耳热为
B．整个运动过程，ab 棒上产生的焦耳热为
C．最终金属棒ab、cd 间的距离比初始时的距离增大
D．最终金属棒ab、cd 间的距离比初始时的距离增大
【变式演练2】如图，水平面上有两条相距为L 的足够长光滑平行金属导轨，在导轨上相
隔某一距离垂直导轨静置长度均为L 的金属棒a 和b，垂直导轨的虚线MN 右侧存在垂直导
轨平面向上的匀强磁场，匀强磁场磁感应强度为B，导轨左端接有电压传感器。现让金属
棒a、b 分别以速度
、
向右运动，
时刻金属棒b 经过MN 进入磁场区域，当金属
棒a 刚进入磁场时，电压传感器的示数
。已知金属棒a、b 材质相同，a、b 棒的
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质量分别为2m、m，a 棒电阻为R。导轨电阻不计，不考虑电压传感器对电路的影响，磁
场区域足够大，下列说法正确的是（ ）
A．从
时刻开始，电压传感器的示数逐渐减小
B．改变a、b 两棒间初始距离，不会改变两棒的最终速度
C．当金属棒a 刚进入磁场时，a、b 两棒间的距离为
D．整个过程中金属棒a 上产生的焦耳热为
类型7 连接体绳子绷紧瞬间能量损失
【例题】如图所示，质量均为
的物块A、B 用绕过光滑轻质定滑轮的不可伸长的刚性
轻绳连接，A 与地面接触，B 离地面的高度为，质量为
的圆环C 套在轻绳上，C 在B
上方
处。由静止释放圆环C，C 下落后与B 碰撞并粘在一起，碰撞时间极短，不计C 与
绳之间的摩擦和空气阻力，A、B、C 均可视为质点，重力加速度为
，求：
（1）B、C 碰撞后瞬间，共同速度为多大；
（2）碰撞后，B 经过多长时间到达地面；
（3）若C 与B 发生的是弹性碰撞，则碰撞后当B 运动到地面时C 离地面的高度为多少。
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【例2】（2024·广东·二模）如图所示，可视为质点的完全相同的A、B 两小球分别拴接在
一轻弹性绳的两端，两小球质量均为m，且处于同一位置（离地面足够高）。弹性绳原长
为L，始终处于弹性限度内，且满足胡克定律。
时刻，让A 球自由下落的同时B 球以
速度
水平向右抛出，弹性绳从开始出现弹力到第一次恢复原长所用时间为
。已知重力
加速度为g，两个小球发生的碰撞为弹性碰撞，碰撞时间极短忽略不计，不计一切阻力，
下列说法正确的是（ ）
A．当弹性绳第一次最长时，B 球的动量大小为
B．弹性绳的最大弹性势能为
C．从0 时刻到弹性绳第一次恢复原长时，重力的冲量为
D．两小球碰撞的时刻为
【变式演练1】如图所示，不可伸长的轻质细线跨过轻质滑轮连接两个质量分别为
、
的物体A、B，质量为
的物体C 中间有孔，套在细线上且可沿细线无摩擦滑动。初始时
使三个物体均处于静止状态，此时A、B 离地面的高度均为。物体C 在B 上方处。同时
由静止释放三个物体，一段时间后，C 与B 发生碰撞并立即粘在一起。已知重力加速度大
小为
，整个过程中细线未断裂，物体均可视为质点，不计阻力的影响。下列说法正确的
是（ ）
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A．从释放三个物体到C 与B 发生碰撞经历的时间为
B．碰撞结束后A 的速度为零
C．A 最终离地面的高度为
D．碰撞过程中，三个物体损失的机械能为
【变式演练2】如图所示，在光滑的水平面上，有一质量为m 的木板A，通过不可伸长的
轻绳与质量2m 的足够长的木板B 连接。质量为m 可看成质点的物块C 静止在木板B 右端。
开始时，A、B、C 均静止，绳未拉紧。现在使木板A 以
的速度向右运动，经过一段时间
后系统达到稳定状态。绳子拉直绷紧后瞬间，A、B 同速，在绳子绷紧后瞬间，下列说法中
正确的是（ ）
A．木板A 的速度大小为
B．木板B 的速度大小为
C．物块C 的速度大小为0
D．木板A、B、C 共速
题型三 碰撞遵循的规律
1．碰撞问题遵守的三条原则
(1)动量守恒：p1＋p2＝p1′＋p2′.
(2)动能不增加：Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′.
16
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(3)速度要符合实际情况
①碰前两物体同向运动，若要发生碰撞，则应有v 后>v 前，碰后原来在前的物体速度一定增
大，若碰后两物体同向运动，则应有v 前′≥v 后′.
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向至少有一个改变．
2．物体A 与静止的物体B 发生碰撞，当发生完全非弹性碰撞时损失的机械能最多，物体B
的速度最小，vB＝v0，当发生弹性碰撞时，物体B 速度最大，vB＝v0.则碰后物体B 的速度范
围为：v0≤vB≤v0.
类型1 碰撞的可能性
【例1】两质量分别为
、
的小球P、Q 在光滑水平面上沿同一直线同
向运动，已知小球P、Q 的动量大小均为
，经过一段时间小球P 追上小球Q 且发生
碰撞，则碰后小球P、Q 的动量可能为（ ）
A．
、
B．
、
C．
、
D．
、
【变式演练1】在光滑水平面上，有两个小球A、B 沿同一直线同向运动，B 在前，A 在后。
已知碰前两球的动量分别为pA＝12 kg·m/s、pB＝13 kg·m/s，碰撞前后，它们动量的变化量
分别为ΔpA、ΔpB。下列数值可能正确的是（ ）
A．ΔpA＝－4 kg·m/s、ΔpB＝4 kg·m/s
B．ΔpA＝4 kg·m/s、ΔpB＝－4 kg·m/s
C．ΔpA＝－24 kg·m/s、ΔpB＝24 kg·m/s
D．ΔpA＝24 kg·m/s、ΔpB＝－24 kg·m/s
【变式演练2】质量为m 的小球A 以速度
在光滑水平面上运动，与质量为2m 的静止小球
B 发生正碰，则碰撞后小球A 的速度大小
和小球B 的速度大小
可能为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
类型2 碰撞类型的识别
碰撞的分类
动量是否守恒
机械能是
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否守恒
弹性碰撞
守恒
守恒
非弹性碰撞
守恒
有损失
完全非弹性碰撞
守恒
损失最大
【例2】质量为m 和 m 的两个物体在光滑的水平面上正碰，碰撞时间不计，其位移—时间
图像如图所示。
（1）碰撞后
和
的速度
、
；
（2）若
，则
等于多少；
（3）在第（1）（2）问基础上，通过计算判断两个物体的碰撞是弹性碰撞还是非弹性碰撞？
【变式演练1】某次训练中使用的冰壶A 和冰壶B 的质量均为
，初始时两冰壶之间的
距离
，运动员以
的初速度将冰壶A 水平掷出后，与静止的冰壶B 碰撞，
碰后冰壶A 的速度大小变为
，方向不变，碰撞时间极短．已知两冰壶与冰面间
的动摩擦因数均为
，重力加速度
。求：
（1）冰壶A 与B 碰撞碰撞前的速度大小
；
（2）两冰壶碰撞后瞬间B 的速度大小
；
（3）计算碰撞前后系统的总动能，判断是否为弹性碰撞。
【变式演练2】如图所示，在水平冰面上，质量
的冰壶A 以大小为
的速
度与静止的质量为
的冰壶B 发生正碰。碰撞可能是弹性碰撞也可能是非弹性碰撞，
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不计一切摩擦和空气阻力。关于碰后冰壶A 的运动情况描述正确的是（ ）
A．碰后冰壶A 可能会被弹回，速度大小为
B．碰后冰壶A 可能继续向前运动，速度大小为
C．碰后冰壶A 可能继续向前运动，速度大小为
D．碰后冰壶A 不可能静止不动
【变式演练3】如图1 所示，在水平地面上有甲、乙两物块（均可视为质点）相向运动，
运动一段时间后发生碰撞，碰撞后两物块继续运动直到均停止在地面上。整个过程中甲、
乙两物块运动的速度—时间图像如图2 所示，
时刻甲、乙间距为
，均停止后间距为
，已知重力加速度
。下列说法正确的是（ ）
A．两物块与地面间的动摩擦因数相同
B．乙在整个过程中的位移大小
C．两物块的质量之比为
D．两物块间的碰撞为弹性碰撞
题型四 “滑块—弹簧”碰撞模型中的多过程问题
1．模型图示
2．模型特点
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(1)两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系
统动量守恒，类似弹性碰撞。
(2)在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统
所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非
弹性碰撞拓展模型)。
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(完全弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结
束时)。
【例1】（2024·湖南邵阳·三模）如图（a），一质量为
的物块A 与轻质弹簧连接，静止
在光滑水平面上，物块B 向A 运动，
时与弹簧接触，到
时与弹簧分离，碰撞结
束，A、B 的
图像如图（b）所示。已知从0 到
时间内，物块A 运动的距离为
。
碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。则下列说法中正确的是（ ）
A．物块B 的质量为
B．碰撞过程中弹簧的最大弹性势能为
C．
时间内物块B 运动的距离为
D．弹簧压缩量的最大值为
【变式演练1】如图甲所示，物块A、B 静止在光滑水平地面上，中间用一轻质弹簧连接，
初始时弹簧处于原长，给A 一水平向右的瞬时速度
，之后两物块的速度随时间变化的图
像如图乙所示，已知弹簧始终处于弹性限度内，
、
时刻弹簧的弹性势能分别为
、
，则下列说法正确的是（ ）
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A．A、B 的质量之比为
B．
时刻B 的速度为
C．
时刻弹簧的弹性势能为
D．
时刻A、B 的速率之比为
【变式演练2】如图甲所示，在光滑水平面上，小球A 以初动量
沿直线运动，与静止的
带轻质弹簧的小球B 发生正碰，此过程中，小球A 的动量p 随时间t 变化的部分图像如图
乙所示，
时刻图线的切线斜率最大，此时纵坐标为
，
时刻纵坐标为零。已知小球
A、B 的直径相同，则（ ）
A．小球A、B 的质量之比为
B．
时刻弹簧的弹性势能最大
C．小球A 的初动能和弹簧最大弹性势能之比为
D．0~
时间内，小球B 的动量变化量为
【变式演练2】如图所示，在足够长的光滑水平地面MN 上固定一光滑的竖直半圆形轨道
NP，NP 的半径为
，N 点处切线水平且与地面平滑连接。质量
的物块A
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与轻弹簧一端连接，以速度
沿水平地面向右运动，物块B 静止，在物块A 运动的
前方。与物块A 连接的轻弹簧从接触B 到弹簧被压缩到最短的过程中，物块B 运动的距离
为0.15m，经历的时间为
。在此后的运动中，B 与弹簧分离后，滑上轨道NP，沿
NP 运动时恰能经过最高点P。物块A、B 均可视为质点，弹簧始终处于弹性限度内，重力
加速度为
。求：
（1）物块B 在N 点的速度大小；
（2）物块B 的质量；
（3）弹簧的最大压缩量。
【变式演练3】如图（a），一质量为m 的物块A 与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上：
物块B 向A 运动，
时与弹簧接触，到
时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B 的
图像如图（b）所示。已知从
到
时间内，物块A 运动的距离为
。A、
B 分离后，A 滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B 再次碰撞，之后A 再
次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为
，与水平面光滑连接。
碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）物块A 与斜面间的动摩擦因数。
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题型五 “滑块—斜(曲)面”碰撞模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)最高点：m1与m2具有共同水平速度v 共，m1不会从此处或提前偏离轨道。系统水平方向
动量守恒，m1v0＝(m2＋m1)v 共；系统机械能守恒，m1v＝(m2＋m1)v＋m1gh，其中h 为滑块上
升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模型)。
(2)最低点：m1与m2分离点。水平方向动量守恒，m1v0＝m1v1＋m2v2；系统机械能守恒，m1v
＝m1v＋m2v(完全弹性碰撞拓展模型)。
【例1】如图所示，光滑水平地面上放置一质量为m 的上表面光滑的四分之一圆弧形斜劈，
圆弧与水平地面间平滑连接，一固定桩置于斜劈右侧固定斜劈。另一质量也为m 的小物块
（可视为质点）以初速度
冲向斜劈，恰能上升到斜劈最高点，不计一切阻力。
（1）求圆弧半径R；
（2）若撤去固定桩，小物块仍以初速度
冲向斜劈，求此时小物块所能上升的最高点与水
平地面间的高度差；
（3）若撤去固定桩，改变小物块的初速度大小，使小物块所能上升的最大高度为2R，求
此时小物块的初速度大小和斜劈最终的末速度大小。（结果均用
表示）
【变式演练1】如图所示，固定光滑曲面轨道在O 点与光滑水平地面平滑连接，地面上静
止放置一个表面光滑、质量为3m 的斜面体C。一质量为m 的小物块A 从高h 处由静止开
始沿轨道下滑，在O 点与质量为2m 的静止小物块B 发生碰撞，碰撞后A、B 立即粘连在
一起向右运动（碰撞时间极短），平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的高度小于斜面体
高度，重力加速度为g，求：
（1）A 到达O 点时的速度；
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（2）A、B 碰撞过程中损失的机械能；
（3）A 和B 沿C 能上升的最大高度。
【变式演练1】如图所示，在光滑足够长水平面上有半径R=0.8m 的
光滑圆弧斜劈B，斜
劈的质量是M=3kg，底端与水平面相切，左边有质量是m=1kg 的小球A 以初速度v0=4m/s
从切点C（是圆弧的最低点）冲上斜劈，重力加速度g 取10m/s2，下列说法正确的是（
）
A．小球A 不能从斜劈顶端冲出
B．小球A 能从斜劈顶端冲出后还会再落入斜劈
C．小球A 冲上斜劈过程中经过最低点C 时对斜劈的压力大小是30N
D．小球A 从斜劈上返回最低点C 时速度大小为2m/s，方向向左
【变式演练2】如图所示，光滑水平面上有一质量为
、半径为R（R 足够大）的
光滑
圆弧曲面C，质量为M 的小球B 置于其底端，另一个小球A 质量为
，小球A 以
的速度向B 运动，并与B 发生弹性碰撞，不计一切摩擦，小球均可视为质点，
则（ ）
A．B 的最大速率为
B．B 运动到最高点时的速率为
C．B 能与A 再次发生碰撞
D．B 不能与A 再次发生碰撞
【变式演练3】如图所示，质量
的物块C 静置在光滑水平面上，其左侧为半径
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的四分之一光滑圆弧，圆弧底端和水平面平滑连接。一质量
的小物块A
被压缩的轻质弹簧弹出后与静止在水平面上的物块B 发生正碰，此后两物块粘在一起运动。
A、B 均可视为质点，不计空气阻力。已知物块B 的质量为1.5kg，A、B 碰撞后瞬间B 的
速度大小为6m/s，取
。求：
（1）最初弹簧上储存的弹性势能。
（2）A、B 整体碰后能达到的最大高度。
（3）A、B 整体第一次与C 分离时C 速度的大小。
（4）从A、B 整体第一次与C 分离瞬间至A、B 整体第二次与C 分离瞬间的过程，A、B
整体对C 的冲量大小。
【变式演练4】如图所示，A、B、C 的质量分别为
、
、
，轻弹
簧的左端固定在挡板上，C 为半径
的
圆轨道，静止在水平面上。现用外力使小球
A 压缩弹簧（A 与弹簧不连接），当弹簧的弹性势能为
时由静止释放小球A，小球
A 与弹簧分离后与静止的小球B 发生正碰，小球B 到圆轨道底端的距离足够长，经过一段
时间小球滑上圆轨道，一切摩擦均可忽略，假设所有的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度取
。求：
（1）小球B 能达到的最大高度；
（2）通过计算分析，小球B 能否第二次进入圆轨道。
题型六 滑块模型中的多过程
【例1】（2024·辽宁朝阳·三模）如图所示，一块质量
的长木板A 静止放置于光
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滑水平地面上，其左端放置一个质量
的物块B。在物块B 的上方高
处有
一悬挂点O，通过轻绳悬挂质量
的小球C，小球C 静止时与物块B 等高且恰好无
相互作用力接触。现将小球C 拉至轻绳与竖直方向的夹角
处由静止释放，小球C 下
摆至最低点时与物块B 发生碰撞并粘在一起（C 不与A 接触），同时轻绳被刀片割断。已
知物块B 与长木板A 间的动摩擦因数
，物块B 不会从A 上滑离，取重力加速度大
小
，物块B、小球C 均可看成质点，不计空气阻力。求：
（1）小球C 与物块B 碰后瞬间的速度大小；
（2）长木板A 的最小长度。
【变式演练1】如图，质量为3m，足够长的长木板A 放在光滑水平面上，质量为3m 的铁
块B 放在长木板A 的上表面左端，质量为m 的小球C 用长为R 的细线悬于O 点。将小球C
拉至与O 等高的位置，细线伸直，由静止释放，小球C 运动到最低点时刚好沿水平方向与
铁块B 发生弹性碰撞，碰撞后铁块B 在长木板上表面向右滑动。已知铁块B 与长木板A 上
表面的动摩擦因数为0.3，铁块B、小球C 均看作质点，重力加速度为g。求：
（1）小球C 与铁块B 碰撞前一瞬间，细线对小球的拉力大小；
（2）小球C 与铁块B 碰撞后一瞬间，铁块B 的速度大小；
（3）最终铁块B 与长木板A 相对静止时因摩擦产生的热量Q。
【变式演练2】如图所示，两个完全相同的质量为m 的木板A、B 置于水平地面上，它们
的间距
，质量为2m，大小可忽略的物块C 置于A 板的左端，C 与A 之间的动摩
擦因数为
，A、B 与水平地面之间的动摩擦因数为
，最大静摩擦力等于
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滑动摩擦力。开始时，三个物体处于静止状态。现给C 施加一个水平向右、大小为
的恒力作用，木板A、B 碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起。（取重力加速度
，计算结果用根式表示，其中
）。求：
（1）A 与B 相撞前A 的速度
是多少？
（2）A 与B 相撞后向右做加速运动的位移
是多少？
（3）要使C 最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少？
【变式演练3】如图所示，质量
的长木板C 静止在光滑的水平面上，长木板C 右
端与竖直固定挡板相距
，左端放一个质量
的小物块B（可视为质点），与长
木板C 间的动摩擦因数为
。在小物块B 的正上方，用不可伸长、长度
的轻
绳将质量
的小球A 悬挂在固定点O。初始时，将轻绳拉直并处于水平状态，使
小球A 与O 点等高，由静止释放。当小球A 下摆至最低点时恰好与小物块B 发生碰撞（碰
撞时间极短），之后二者没有再发生碰撞。已知A、B 之间以及C 与挡板之间的碰撞均为
弹性碰撞，重力加速度取
。
（1）小球A 与小物块B 碰后瞬间，求小物块B 的速度大小；
（2）为保证长木板C 与竖直挡板碰撞时B、C 能共速，求
应满足的条件；
（3）在（2）问的前提下，即与竖直挡板碰撞到B、C 能共速，求长木板的最短长度。
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题型七 子弹打木块模型中的能量动量问题
1．模型图示
2．模型特点
(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒．
(2)系统的机械能有损失．
3．两种情景
(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)
动量守恒：mv0＝(m＋M)v
能量守恒：Q＝Ff·s＝mv0
2－(M＋m)v2
(2)子弹穿透木块
动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2
能量守恒：Q＝Ff·d＝mv0
2－(Mv2
2＋mv1
2)
【例1】如图所示，子弹以某一水平速度击中静止在光滑水平面上的木块并留在其中。对
子弹射入木块的过程，下列说法正确的是（ ）
A. 木块对子弹的冲量等于子弹对木块的冲量
B. 因子弹受到阻力的作用，故子弹和木块组成的系统动量不守恒
C. 子弹和木块组成的系统损失的机械能等于子弹损失的动能减去子弹对木块所做的功
D. 子弹克服木块阻力做的功等于子弹的动能减少量和摩擦产生的热量之和
【变式演练】如图所示，质量为
的木板静止在足够大的光滑水平地面上，质量为
的
滑块静止在木板的左端，质量为
的子弹以大小为
的初速度射入滑块，子弹射入滑块后
未穿出滑块，且滑块恰好未滑离木板。滑块与木板间的动摩擦因数为
，重力加速度大小
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为
，子弹与滑块均视为质点，不计子弹射入滑块的时间。求：
（1）木板的长度
；
（2）滑块在木板上相对木板滑动的过程中系统克服摩擦力做功（产生热量）的平均功率
。
题型八 两体爆炸（类爆炸）模型中的能量分配
爆炸现象的三个规律
动量守恒
爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统
的总动量守恒
动能增加
在爆炸过程中，有其他形式的能量(如化学能)转化为机械能，所以系统的
机械能增加
位置不变
爆炸的时间极短，因而作用过程中物体产生的位移很小，可以认为爆炸后
各部分仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动
【例1】（2024·辽宁·高考真题）如图，高度
的水平桌面上放置两个相同物块A、
B，质量
。A、B 间夹一压缩量
的轻弹簧，弹簧与A、B 不栓接。
同时由静止释放A、B，弹簧恢复原长时A 恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程
；B 脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离
后停止。A、B 均视为质点，取
重力加速度
。求：
（1）脱离弹簧时A、B 的速度大小
和
；
（2）物块与桌面间的动摩擦因数μ；
（3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能
。
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【例2】（2024·云南·一模）如图所示，光滑水平面上有静止的物块A、B 和长木板C，在
木板中点静置一小物块D（可视为质点）。A、B 间有少量炸药，某时刻炸药爆炸，使A、
B 沿水平方向运动，爆炸过程中有27J 的能量转化成了A、B 的动能。一段时间后，B 与C
发生弹性正碰且碰撞时间极短，最终D 刚好不滑离C。已知A 的质量为2kg，B 的质量为
1kg，C 的质量为3kg，D 的质量为1.5kg，木板C 的长度为1m，重力加速度大小取
。求
（1）B 与C 碰撞前瞬间B 的速度大小；
（2）C 与D 之间的动摩擦因数。
【变式演练1】如图所示，光滑水平轨道MN 左端与倾角θ = 37°的足够长的斜面PM 连接，
右端与半径为R 的
光滑圆弧轨道QN 连接。质量分别为m1= 2kg 和m2= 3kg 的滑块A、B
之间夹有少量炸药，静止在MN 上（滑块A、B 均可视为质点，炸药的质量忽略不计）。
炸药引爆后释放的化学能E = 30J 全部转化为两滑块的动能，之后滑块B 冲上圆弧轨道，
滑块A 冲上斜面PM，A 与斜面间的动摩擦因数为μ = 0.5，g 取10m/s2，sin37° = 0.6，
cos37° = 0.8。求：
（1）炸药引爆后A、B 到达M、N 点时的动能EA、EB各为多大；
（2）已知B 恰好能到达圆弧轨道的最高点Q，圆弧轨道的半径R 是多大；
（3）A 沿斜面上滑的最大距离x。
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【变式演练2】一枚在空中水平飞行的玩具火箭质量为m，在某时刻距离地面的高度为h，
速度为v。此时，火箭突然炸裂成A、B 两部分，其中质量为
的B 部分速度恰好为0。忽
略空气阻力的影响，重力加速度为g。求：
（1）炸裂后瞬间A 部分的速度大小v1；
（2）炸裂后B 部分在空中下落的时间t；
（3）在爆炸过程中增加的机械能
。
【变式演练2】如图所示的水平地面上有a、b、O 三点。将一条轨道固定在竖直平面内，
粗糙的ab 段水平，bcde 段光滑，cde 是以O 为圆心，R 为半径的一段圆弧，可视为质点的
物块A 和B 紧靠在一起，中间夹有少量炸药，静止于b 处，A 的质量是B 的2 倍。某时刻
炸药爆炸，两物块突然分离，分别向左、右沿轨道运动。B 到最高点d 时速度沿水平方向，
此时轨道对B 的支持力大小等于B 所受重力的
，A 与ab 段的动摩擦因数为μ，重力加速
度g，求：
（1）物块B 在d 点的速度大小；
（2）物块A 滑行的距离s；
（3）物块B 从脱离轨道后到落到水平地面所用的时间。
【变式演练3】双响爆竹是民间庆典使用较多的一种烟花爆竹，其结构简图如图所示，纸
筒内分上、下两层安放火药。使用时首先引燃下层火药，使爆竹获得竖直向上的初速度，
升空后上层火药被引燃，爆竹凌空爆响。一人某次在水平地面上燃放双响爆竹，爆竹上升
至最高点时恰好引燃上层火药，立即爆炸成两部分，两部分的质量之比为1︰2，获得的速
度均沿水平方向。已知这次燃放爆竹上升的最大高度为h，两部分落地点之间的距离为L，
重力加速度为g，不计空气阻力，不计火药爆炸对爆竹总质量的影响。
（1）求引燃上层火药后两部分各自获得的速度大小。
（2）已知火药燃爆时爆竹增加的机械能与火药的质量成正比，求上、下两层火药的质量比。
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题型九 人船模型及其拓展模型的应用
人船模型
(1)模型图示
(2)模型特点
①两物体满足动量守恒定律：mv 人－Mv 船＝0
②两物体的位移大小满足：m－M＝0，
x 人＋x 船＝L，
得x 人＝L，x 船＝L
(3)运动特点
①人动则船动，人静则船静，人快船快，人慢船慢，人左船右；
②人船位移比等于它们质量的反比；人船平均速度(瞬时速度)比等于它们质量的反比，即
＝＝.
【例1】如图所示，质量为M=2m 的小木船静止在湖边附近的水面上，船身垂直于湖岸，
船面可看做水平面，并且比湖岸高出h。在船尾处有一质量为m 的铁块，将弹簧压缩后再
用细线将铁块拴住，此时铁块到船头的距离为L，船头到湖岸的水平距离
，弹簧原
长远小于L。将细线烧断后该铁块恰好能落到湖岸上，忽略船在水中运动时受到水的阻力
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以及其它一切摩擦力，重力加速度为g。下列判断正确的有（ ）
A．铁块脱离木船后在空中运动的水平距离为
B．铁块脱离木船时的瞬时速度大小为
C．小木船最终的速度大小为
D．弹簧释放的弹性势能为
【例2】如图，质量为M，半径为R 的圆弧槽，置于光滑水平面上．将一可视为质点的滑
块从与圆心等高处无初速度地释放，滑块的质量为m，且
，重力加速度大小为g。
下列说法正确的是（ ）
A．若圆弧面光滑，则圆弧槽与滑块组成的系统动量守恒
B．若圆弧面光滑，则滑块运动至水平面时速度大小为
C．若圆弧面粗糙，滑块能运动至水平面，则圆弧槽的位移大小为
D．若圆弧面粗糙，滑块能运动至水平面，则滑块的位移大小为
【变式演练1】如图，棱长为a、大小形状相同的立方体木块和铁块，质量为m 的木块在上、
质量为M 的铁块在下，正对用极短细绳连结悬浮在在平静的池中某处，木块上表面距离水
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面的竖直距离为h。当细绳断裂后，木块与铁块均在竖直方向上运动，木块刚浮出水面时，
铁块恰好同时到达池底。仅考虑浮力，不计其他阻力，则池深为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式演练2】如图所示，质量为M、半径为R 的光滑半圆形曲面放置在光滑水平地面上，
其直径AB 水平。某时刻一质量为m 的小球从距曲面最左端A 点的正上方高h 处自由下落，
不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）小球第一次运动到最低点时速度的大小；
（2）半圆形曲面在水平面上的最大位移。
【变式演练3】如图，质量为M 的小车静止在光滑水平面上，小车AB 段是半径为R 的四
分之一光滑圆弧轨道，BC 段是长为L 的粗糙水平轨道，两段轨道相切于B 点。一质量为m
的滑块从小车上的A 点由静止开始沿轨道下滑，然后滑入BC 轨道，最后从C 点滑出小车。
已知滑块质量
，滑块与轨道BC 间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。
（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力。
（2）若不固定小车，滑块仍从A 点由静止下滑，求：
①滑块运动过程中，小车的最大速度大小
；
②滑块从B 到C 运动过程中，小车的位移大小s。
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【变式演练4】如图所示，一辆质量
的小车静止在光滑水平面上，小车左边部分为
半径
的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道末端平滑连接一长度
的水平粗
粘面，粗糙面右端是一挡板。有一个质量为
的小物块（可视为质点）从小车左侧圆
弧轨道顶端A 点由静止释放，小物块和小车粗糙区域的动摩擦因数
，重力加速度取
，则（ ）
A．小物块滑到圆弧末端时的速度大小为
B．小物块滑到圆弧末端时小车的速度大小为
C．小物块与右侧挡板碰撞前瞬间的速度大小为
D．小物块最终距圆弧轨道末端的距离为
【变式演练5】如图所示，四分之一圆槽AB 的半径为R、质量为3m，静止放在水平地面上，
圆槽底端B 点的切线水平，距离B 点为R 处有一质量为3m 的小球2，其左侧连有轻弹簧。
现将质量为m 的小球1（可视为质点）从圆槽顶端的A 点由静止释放，重力加速度为g，不
计一切摩擦。则下列说法正确的是（ ）
A．在整个过程中，系统（三个物体）动量守恒、总动量为0
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B．弹簧弹性势能的最大值为
C．小球1 刚与弹簧接触时，与圆槽底端B 点相距
D．小球1 最终的速度大小为
题型十 悬绳模型
【例1】（2024·湖南·三模）某科技馆内有一用来观察摆球与牵连配重滑块运动规律的装置，
如图所示，用一足够长的水平轨道杆，将质量为
的带孔滑块穿套之后水平固定在
水平地面上方，再用一不可伸长的轻质细绳一端固定在滑块下方A 点，另一端连接质量为
m 的小球，已知绳长为L，水平杆距地面足够高，当地重力加速度为g，忽略空气阻力。将
轻质细绳伸直，小球从B 点（B 点与A 点等高且在水平杆正下方）静止释放。
（1）若水平杆光滑，当小球第一次摆动到最低点时，求滑块的位移大小和此时细绳对小球
的拉力大小?
（2）若水平杆粗糙，滑块所受最大静摩擦等于滑动摩擦力，要求小球摆动过程中滑块始终
保持静止，则滑块与水平杆之间的动摩擦因数
最小为多大?在此过程中，当小球所受重力
的功率最大时，小球的动能大小为多少?
【变式演练1】如图所示，质量M=0.2kg 的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=0.1kg 的
小球通过长L=0.5m 的轻质细杆与滑块上的光滑轴O 连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕
O 轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度
=4m/s，不计空
气阻力，重力加速度g 取
。
（1）若锁定滑块，求小球通过最高点P 时对轻杆的作用力F 的大小和方向；
（2）若解除对滑块的锁定，求从小球开始运动至到达最高点过程中，滑块移动的距离x；
（3）若解除对滑块的锁定，求小球运动至最高点时的速度v 和此时滑块的速度v。
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【变式演练2】如图所示，质量均为
的木块A 和B，并排放在光滑水平面上，A 上
固定一竖直轻杆，轻杆上端的O 点系一长为
的细线，细线另一端系一质量为
的球C。现将C 球拉起使细线水平伸直，并由静止释放C 球，重力加速度为
。
从开始释放C 到A、B 两木块恰好分离的过程，下列说法正确的是（ ）
A．两物块A 和B 分离时，A、B 的速度大小均为
B．两物块A 和B 分离时，C 的速度大小为
C．C 球由静止释放到最低点的过程中，木块移动的距离为
D．C 球由静止释放到最低点，A 对B 的弹力的冲量大小为
【变式演练3】如图所示，质量为2m 的滑块套在光滑水平杆上，质量为m 的小球与滑块由
一根不可伸长的轻绳相连，轻绳的长为L，开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块
均静止，现将小球由静止释放，重力加速度为g，求：
（1）滑块相对初始位置向右运动的最大位移x；
（2）小球运动到最低点时，轻绳对小球的拉力F；
（3）若小球第一次运动到最低点时，滑块与一个固定在水平杆上的弹性挡板（图中未画
出）发生碰撞，碰撞后滑块的速度大小不变，方向与碰撞前相反，小球在随后的运动中相
对最低点上升的最大高度h。
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【变式演练4】如图所示，A、B 两小车间夹有少量炸药，并静置于足够大的光滑水平地面
上，轻杆竖直固定在A 上，长为L 的轻绳一端系在轻杆的顶端，另一端系有质量为m 的小
球（视为质点）。现将A 锁定，将小球从图示位置（轻绳水平伸直）由静止释放，小球通
过最低点后继续向左摆动。已知A、B 的质量均为
，轻杆与炸药的质量均不计，重力加
速度大小为g。
（1）求小球通过最低点时轻绳对小球的拉力大小F；
（2）若将A 解锁，仍将小球从图示位置由静止释放，求小球通过最低点时两车的速度大
小v；
（3）若将A 解锁，仍将小球从图示位置由静止释放，当小球通过最低点时炸药爆炸，两
车瞬间分离，爆炸后瞬间A 的速度大小为
、方向水平向左，求系统因炸药爆炸而增
加的机械能
及爆炸后A 的最大速度
。
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