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2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学
第一部分（选择题共40 分）
一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 在复平面内，复数
满足
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 已知
是定义在上
的函数，那么“函数
在
上单调递增”是“函数
在
上的最
大值为
”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A
B. 4
C.
D. 2
5. 双曲线
过点
，且离心率为
，则该双曲线的标准方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.
和
是两个等差数列，其中
为常值，
，
，
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
7. 函数
，试判断函数
奇偶性及最大值（ ）
A. 奇函数，最大值为2
B. 偶函数，最大值为2
C. 奇函数，最大值为
D. 偶函数，最大值为
8. 定义：24 小时内降水在平地上积水厚度（
）来判断降雨程度．其中小雨（
），中雨（
），大雨（
），暴雨（
），小明用一个圆锥形容器接了24 小时
雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A. 小雨
B. 中雨
C. 大雨
D. 暴雨
9. 已知圆
，直线
，当
变化时，截得圆
弦长的最小值为2，则
（
）
A.
B.
C.
D.
10. 数列
是递增的整数数列，且
，
，则
的最大值为（ ）
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
第二部分（非选择题共110 分）
二、填空题5 小题，每小题5 分，共25 分．
11.
展开式中常数项为__________．
12. 已知抛物线
，焦点为
，点
为抛物线
上的点，且
，则
的横坐标是
_______；作
轴于
，则
_______．
13.
，
，
，则
_______；
_______．
14. 若点
与点
关于
轴对称，写出一个符合题意的
___．
15. 已知函数
，给出下列四个结论：
①若
，则
有两个零点；
②
，使得
有一个零点；
③
，使得
有三个零点；
④
，使得
有三个零点．
以上正确结论得序号
_______．
三、解答题共6 小题，共85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知
中，
，
．
（1）求
的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，并求出
边上的中线的长度．
①
；②周长为
；③面积为
；
17. 已知正方体
，点
为
中点，直线
交平面
于点
．
（1）证明：点
为
的中点；
（2）若点
为棱
上一点，且二面角
的余弦值为
，求
的值．
18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1 检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为
阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100 人，已
知其中2 人感染病毒．
（1）①若采用“10 合1 检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10 人分成一组，分10 组，两名感染患者在同一组的概率为
，定义随机变量X 为总检测次数，求
检测次数X 的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5 合1 检测法”，检测次数Y 的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
19. 已知函数
．
（1）若
，求
在
处切线方程；
（2）若函数
在
处取得极值，求
的单调区间，以及最大值和最小值．
20. 已知椭圆
过点
，以四个顶点围成的四边形面积为
．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l 斜率为k，交椭圆E 于不同的两点B，C，直线AB，AC 交y=-3 于点M、N，直
线AC 交y=-3 于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k 的取值范围．
21. 定义
数列
：对实数p，满足：①
，
；②
；③
，
．
（1）对于前4 项2，-2，0，1 的数列，可以是
数列吗？说明理由；
（2）若
是
数列，求
的值；
（3）是否存在p，使得存在
数列
，对
？若存在，求出所有这样的p；若不存在，
说明理由．
