文档文本内容
理科数学-第 1 页
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若
为第四象限角，则
A．
B．
C．
D．
3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200 份订单配货，由于订单量
大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500
份订单未配货，预计第二天的新订单1600 份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50 份订单的配货，
为使第二天 积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
A．10 名
B．18 名
C．24 名
D．32 名
4．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），
环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9 块，下一层的第一环比上一层的最后
一环多9 块，向外每环依次也增加9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则三层共有扇面
形石板（不含天心石）
理科数学-第 2 页
A．3699 块
B．3474 块
C．3402 块
D．3339 块
5．若过点
的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线
的距离为
A．
B．
C．
D．
6．数列
中，
，
，若
，则
A．2
B．3
C．4
D．5
7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为
，在俯视图
中对应的点为
，则该端点在侧视图中对应的点为
M
N
E
F
G
H
A．
B．
C．
D．
8．设
为坐标原点，直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
两点，若
的面积为8，则
的焦距的最小值为
A．4
B．8
C．16
D．32
9 设函数
，则
A．是偶函数，且在
单调递增
B．是奇函数，且在
单调递减
C．是偶函数，且在
单调递增
D．是奇函数，且在
单调递减
10. 已知
是面积为
的等边三角形，且其顶点都在球
的表面上，若球
的表面积为
，
则球
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
11. 若
，则（ ）
A.
B．
C．
D．
理科数学-第 3 页
12．0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列
满足
，且存
在正整数
，使得
成立，则称其为0-1 周期序列，并称满足
的最小正整数
为这个序列的周期．对于周期为
的0-1 序列
，
是描述其性质的重要指标．下列周期为5 的0-1 序列中，满
足
的序列是
A．11010…
B．11011…
C．10001…
D．11001…
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知单位向量
的夹角为45°，
与垂直，则
_______．
14．4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个小区，每个小区至少安排1 名同学，
则不同的安排方法共有______种．
15．设复数
满足
，则
______．
16．设有下列四个命题：
：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
：若直线
平面
，直线
平面
，则
．
则下述命题中所有真命题的序号是________．
①
②
③
④
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60 分．
理科数学-第 4 页
17．（12 分）
中，
．
（1）求
；
（2）若
，求
周长的最大值．
18．（12 分）
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加． 为调查该地区某种野生动
物的数量，将其分成面积相近的200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20 个作为样
区，调查得到样本数据
，其中
和
分别表示第个样区的植物覆盖面积（单
位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得
，
，
，
，
．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量
的平均数乘以地块数）；
（2）求样本
的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种
野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数
，
．
理科数学-第 5 页
19．（12 分）
已知椭圆
:
的右焦点
与抛物线
的焦点重合，
的中心与的
的顶点重
合． 过
且与轴垂直的直线交
于
，
两点，交
于
，
两点，且
．
（1）求
的离心率；
（2）设
是
与
的公共点，若
，求
与
的标准方程．
20．（12 分）
如图，已知三棱柱
的底面是正三角形，侧面
是矩形，
，
分别为
，
的中点，
为
上一点，过
和
的平面交
于
，交
于
．
（1）证明：
，且平面
；
（2）设
为△
的中心，若
，且
，求直线
与平面
所
成角的正弦值．
21．（12 分）
理科数学-第 6 页
已知函数
．
（1）讨论
在区间
的单调性；
（2）证明：
；
（3）设
，证明：
．
（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知曲线
，
的参数方程分别为
：
（
为参数），
：
（为参数）．
（1）将
，
的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设
，
的交点为
，求圆心在极轴
上，且经过极点和
的圆的极坐标方程．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
理科数学-第 7 页
已知函数
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
，求
的取值范围．
理科数学-第 8 页
理科数学-第 9 页
理科数学-第 10 页
理科数学-第 11 页
理科数学-第 12 页
理科数学-第 13 页
理科数学-第 14 页
理科数学-第 15 页
理科数学-第 16 页
理科数学-第 17 页
理科数学-第 18 页
理科数学-第 19 页
理科数学-第 20 页
