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2020 年浙江省高考数学试卷
一、选择题（共10 小题）.
1．已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，则P∩Q＝（ ）
A．{x|1＜x≤2}
B．{x|2＜x＜3}
C．{x|3≤x＜4}
D．{x|1＜x＜4}
2．已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i 为虚数单位）是实数，则a＝（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
3．若实数x，y 满足约束条件
，则z＝x+2y 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4]
B．[4，+∞）
C．[5，+∞）
D．（﹣∞，+∞）
4．函数y＝xcosx+sinx 在区间[﹣π，+π]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A．
B．
C．3
D．6
6．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l 在同一平面”是“m，n，l 两两相
交”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知等差数列{an}的前n 项和Sn，公差d≠0，
≤1．记b1＝S2，bn+1＝Sn+2﹣S2n，
n∈N*，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4＝a2+a6
B．2b4＝b2+b6
C．a42＝a2a8
D．b42＝b2b8
8．已知点O（0，0），A（﹣2，0），B（2，0）．设点P 满足|PA|﹣|PB|＝2，且P 为函数y＝3
图象上的点，则|OP|＝（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知a，b∈R 且ab≠0，若（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0 在x≥0 上恒成立，则（ ）
A．a＜0
B．a＞0
C．b＜0
D．b＞0
10．设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T 中至少有两个元素，且S，T 满足：
①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；
②对于任意x，y∈T，若x＜y，则
∈S；下列命题正确的是（ ）
A．若S 有4 个元素，则S∪T 有7 个元素
B．若S 有4 个元素，则S∪T 有6 个元素
C．若S 有3 个元素，则S∪T 有4 个元素
D．若S 有3 个元素，则S∪T 有5 个元素
二、填空题：本大题共7 小题，共36 分。多空题每小题4 分；单空题每小题4 分。
11．已知数列{an}满足an＝
，则S3＝ ．
12．设 （1+2x）5＝a1+a2x+a3x2+a4x3+a5x4+a6x5，则a5＝ ；a1+a2+a3＝ ．
13．已知tanθ＝2，则cos2θ＝ ；tan（θ﹣
）＝ ．
14．已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为 ．
15．设直线l：y＝kx+b（k＞0），圆C1：x2+y2＝1，C2：（x﹣4）2+y2＝1，若直线l 与C1，C2 都相
切，则k＝ ；b＝ ．
16．一个盒子里有1 个红1 个绿2 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，
设拿出黄球的个数为ξ，则P（ξ＝0）＝ ；E（ξ）＝ ．
17．设
，
为单位向量，满足|2
﹣
|≤
，＝
+
，＝3
+
，设，的夹角
为θ，则cos2θ 的最小值为 ．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝
a．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC 的取值范围．
19．如图，三棱台DEF﹣ABC 中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．
（Ⅰ）证明：EF⊥DB；
（Ⅱ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．
20．已知数列{an}，{bn}，{cn}中，a1＝b1＝c1＝1，cn+1＝an+1﹣an，cn+1＝
•cn
（n∈N*）．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比q＞0，且b1+b2＝6b3，求q 与an 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差d＞0，证明：c1+c2+…+cn＜1+
．
21．如图，已知椭圆C1：
+y2＝1，抛物线C2：y2＝2px（p＞0），点A 是椭圆C1 与抛物线C2
的交点，过点A 的直线l 交椭圆C1 于点B，交抛物线C2 于M（B，M 不同于A）．
（Ⅰ）若p＝
，求抛物线C2 的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．
22．已知1＜a≤2，函数f（x）＝ex﹣x﹣a，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数y＝f（x）在 （0，+∞）上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0 为函数y＝f（x）在 （0，+∞）上的零点，证明：
（ⅰ）
≤x0≤
；
（ⅱ）x0f（
）≥（e﹣1）（a﹣1）a．
参考答案
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，则P∩Q＝（ ）
A．{x|1＜x≤2}
B．{x|2＜x＜3}
C．{x|3≤x＜4}
D．{x|1＜x＜4}
【分析】直接利用交集的运算法则求解即可．
解：集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，
则P∩Q＝{x|2＜x＜3}．
故选：B．
2．已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i 为虚数单位）是实数，则a＝（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
【分析】利用复数的虚部为0，求解即可．
解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i 为虚数单位）是实数，
可得a﹣2＝0，解得a＝2．
故选：C．
3．若实数x，y 满足约束条件
，则z＝x+2y 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4]
B．[4，+∞）
C．[5，+∞）
D．（﹣∞，+∞）
【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象判断目标函
数z＝x+2y 的取值范围．
解：画出实数x，y 满足约束条件
所示的平面区域，如图：
将目标函数变形为﹣
x+
＝y，
则z 表示直线在y 轴上截距，截距越大，z 越大，
当目标函数过点A（2，1）时，截距最小为z＝2+2＝4，随着目标函数向上移动截距越来越
大，
故目标函数z＝2x+y 的取值范围是[4，+∞）．
故选：B．
4．函数y＝xcosx+sinx 在区间[﹣π，+π]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点．
解：y＝f（x）＝xcosx+sinx，
则f（﹣x）＝﹣xcosx﹣sinx＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B，D，
当x＝π 时，y＝f（π）＝πcosπ+sinπ＝﹣π＜0，故排除B，
故选：A．
5．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A．
B．
C．3
D．6
【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
解：由题意可知几何体的直观图如图，下部是直三棱柱，底面是斜边长为2 的等腰直角三
角形，棱锥的高为2，上部是一个三棱锥，一个侧面与底面等腰直角三角形垂直，棱锥的高
为1，
所以几何体的体积为：
＝
．
故选：A．
6．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l 在同一平面”是“m，n，l 两两相
交”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】由m，n，l 在同一平面，则m，n，l 相交或m，n，l 有两个平行，另一直线与之相交，或
三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．
解：空间中不过同一点的三条直线m，n，l，若m，n，l 在同一平面，则m，n，l 相交或m，n，l
有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．
故m，n，l 在同一平面”是“m，n，l 两两相交”的必要不充分条件，
故选：B．
7．已知等差数列{an}的前n 项和Sn，公差d≠0，
≤1．记b1＝S2，bn+1＝Sn+2﹣S2n，
n∈N*，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4＝a2+a6
B．2b4＝b2+b6
C．a42＝a2a8
D．b42＝b2b8
【分析】由已知利用等差数列的通项公式判断A 与C；由数列递推式分别求得b2，b4，b6，
b8，分析B，D 成立时是否满足公差d≠0，
≤1 判断B 与D．
解：在等差数列{an}中，an＝a1+（n﹣1）d，
，
，
b1＝S2＝2a1+d，bn+1＝Sn+2﹣S2n＝
．
∴b2＝a1+2d，b4＝﹣a1﹣5d，b6＝﹣3a1﹣24d，b8＝﹣5a1﹣55d．
A.2a4＝2（a1+3d）＝2a1+6d，a2+a6＝a1+d+a1+5d＝2a1+6d，故A 正确；
B.2b4＝﹣2a1﹣10d，b2+b6＝a1+2d﹣3a1﹣24d＝﹣2a1﹣22d，
若2b4＝b2+b6，则﹣2a1﹣10d＝﹣2a1﹣22d，即d＝0，不合题意，故B 错误；
C．若a42＝a2a8，则
，
即
，得
，
∵d≠0，∴a1＝d，符合
≤1，故C 正确；
D．若
，则
，
即
，则
有两不等负根，满足
≤1，故D 正确．
∴等式不可能成立的是B．
故选：B．
8．已知点O（0，0），A（﹣2，0），B（2，0）．设点P 满足|PA|﹣|PB|＝2，且P 为函数y＝3
图象上的点，则|OP|＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出P 满足的轨迹方程，求出P 的坐标，即可求解|OP|．
解：点O （0，0），A（﹣2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA|﹣|PB|＝2，
可知P 的轨迹是双曲线
的右支上的点，
P 为函数y＝3
图象上的点，即
在第一象限的点，
联立两个方程，解得P（
，
），
所以|OP|＝
＝
．
故选：D．
9．已知a，b∈R 且ab≠0，若（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0 在x≥0 上恒成立，则（ ）
A．a＜0
B．a＞0
C．b＜0
D．b＞0
【分析】设f（x）＝（x﹣a）
（x﹣b）
（x﹣2a﹣b），求得f（x）的零点，根据f（0）≥0 恒成立，讨论
a，b 的符号，结合三次函数的图象，即可得到结论．
解：设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b），可得f（x）的图象与x 轴有三个交点，
即f（x）有三个零点a，b，2a+b 且f（0）＝﹣ab（2a+b），
由题意知，f（0）≥0 恒成立，则ab（2a+b）≤0，a＜0，b＜0，
可得2a+b＜0，ab（2a+b）≤0 恒成立，排除B，D；
我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上．
则有a＝b 或a＝2a+b 或b＝b+2a 三种情况，此时a＝b＜0 显然成立；
若b＝b+2a，则a＝0 不成立；
若a＝2a+b，即a+b＝0，可得b＜0，a＞0 且a 和2a+b 都在正半轴上，符合题意，
综上b＜0 恒成立．
故选：C．
10．设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T 中至少有两个元素，且S，T 满足：
①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；
②对于任意x，y∈T，若x＜y，则
∈S；下列命题正确的是（ ）
A．若S 有4 个元素，则S∪T 有7 个元素
B．若S 有4 个元素，则S∪T 有6 个元素
C．若S 有3 个元素，则S∪T 有4 个元素
D．若S 有3 个元素，则S∪T 有5 个元素
【分析】利用特殊集合排除选项，推出结果即可．
解：取：S＝{1，2，4}，则T＝{2，4，8}，S∪T＝{1，2，4，8}，4 个元素，排除C．
S＝{2，4，8}，则T＝{8，16，32}，S∪T＝{2，4，8，16，32}，5 个元素，排除D；
S＝{2，4，8，16}则T＝{8，16，32，64，128}，S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，7 个元素，排
除B；
故选：A．
二、填空题：本大题共7 小题，共36 分。多空题每小题4 分；单空题每小题4 分。
11．已知数列{an}满足an＝
，则S3＝
10
．
【分析】求出数列的前3 项，然后求解即可．
解：数列{an}满足an＝
，
可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，
所以S3＝1+3+6＝10．
故答案为：10．
13．已知tanθ＝2，则cos2θ＝
；tan（θ﹣
）＝
．
【分析】利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三
角函数转化求解第二问．
解：tanθ＝2，
则cos2θ＝
＝
＝
＝﹣
．
tan（θ﹣
）＝
＝
＝
．
故答案为：﹣
；
．
14．已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为
1
．
【分析】利用圆锥的侧面积，求出母线长，求解底面圆的周长，然后求解底面半径．
解：∵圆锥侧面展开图是半圆，面积为2π，
设圆锥的母线长为a，则
a2π＝2π，∴a＝2，
∴侧面展开扇形的弧长为2π，
设圆锥的底面半径OC＝r，则2πr＝2π，解得r＝1．
故答案为：1．
15．设直线l：y＝kx+b（k＞0），圆C1：x2+y2＝1，C2：（x﹣4）2+y2＝1，若直线l 与C1，C2 都相
切，则k＝
；b＝ ﹣
．
【分析】根据直线l 与两圆都相切，分别列出方程d1＝
＝1，d2＝
＝1，解得
即可．
解：由条件得C1（0，0），r1＝1，C2（4，0），r2＝1，
因为直线l 与C1，C2 都相切，
故有d1＝
＝1，d2＝
＝1，
则有
＝
，故可得b2＝（4k+b）2，整理得k（2k+b）＝0，
因为k＞0，所以2k+b＝0，即b＝﹣2k，
代入d1＝
＝1，解得k＝
，则b＝﹣
，
故答案为：
；﹣
．
16．一个盒子里有1 个红1 个绿2 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，
设拿出黄球的个数为ξ，则P（ξ＝0）＝
；E（ξ）＝
1
．
【分析】由题意知随机变量ξ 的可能取值为0，1，2；分别计算P（ξ＝0）、P（ξ＝1）和P（ξ＝
2），再求E（ξ）的值．
解：由题意知，随机变量ξ 的可能取值为0，1，2；
计算P（ξ＝0）＝
+
＝
；
P（ξ＝1）＝
+
＝
；
P（ξ＝2）＝
+
＝
；
所以E（ξ）＝0×
+1×
+2×
＝1．
故答案为：
，1．
17．设
，
为单位向量，满足|2
﹣
|≤
，＝
+
，＝3
+
，设，的夹角
为θ，则cos2θ 的最小值为
．
【分析】设
、
的夹角为α，由题意求出cosα≥
；
再求，的夹角θ 的余弦值cos2θ 的最小值即可．
解：设
、
的夹角为α，由
，
为单位向量，满足|2
﹣
|≤
，
所以4
﹣4
•
+
＝4﹣4cosα+1≤2，
解得cosα≥
；
又＝
+
，＝3
+
，且，的夹角为θ，
所以• ＝3
+4
•
+
＝4+4cosα，
＝
+2
•
+
＝2+2cosα，
＝9
+6
+
＝10+6cosα；
则cos2θ＝
＝
＝
＝
﹣
，
所以cosα＝
时，cos2θ 取得最小值为
﹣
＝
．
故答案为：
．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝
a．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据正弦定理可得sinB＝
，结合角的范围，即可求出，
（Ⅱ）根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．
解：（Ⅰ）∵2bsinA＝
a，
∴2sinBsinA＝
sinA，
∵sinA≠0，
∴sinB＝
，
∵
＜B＜
，
∴B＝
，
（Ⅱ）∵△ABC 为锐角三角形，B＝
，
∴C＝
﹣A，
∴cosA+cosB+cosC＝cosA+cos（
﹣A）+cos
＝cosA﹣
cosA+
sinA+
＝
cosA+
sinA+
＝sin（A+
）+
，
△ABC 为锐角三角形，0＜A＜
，0＜C＜
，
解得
＜A＜
，
∴
＜A+
＜
，
∴
＜sin（A+
）≤1，
∴
+
＜sin（A+
）+1≤
，
∴cosA+cosB+cosC 的取值范围为（
，
]．
19．如图，三棱台DEF﹣ABC 中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．
（Ⅰ）证明：EF⊥DB；
（Ⅱ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）题根据已知条件，作DH⊥AC，根据面面垂直，可得DH⊥BC，进一步根据直
角三角形的知识可判断出△BHC 是直角三角形，且∠HBC＝90°，则HB⊥BC，从而可证出
BC⊥面DHB，最后根据棱台的定义有EF∥BC，根据平行线的性质可得EF⊥DB；
（Ⅱ）题先可设BC＝1，根据解直角三角形可得BH＝1，HC＝
，DH＝
，DC＝2，DB＝
，然后找到CH 与面DBC 的夹角即为∠HCG，根据棱台的特点可知DF 与面DBC 所成
角与CH 与面DBC 的夹角相等，通过计算∠HCG 的正弦值，即可得到DF 与面DBC 所成
角的正弦值．
解：（Ⅰ）证明：作DH⊥AC，且交AC 于点H，
∵面ADFC⊥面ABC，DH⊂面ADFC，∴DH⊥BC，
∴在Rt△DHC 中，CH＝CD•cos45°＝
CD，
∵DC＝2BC，∴CH＝
CD＝
•2BC＝
•BC，
∴
＝
，即△BHC 是直角三角形，且∠HBC＝90°，
∴HB⊥BC，∴BC⊥面DHB，∵BD⊂面DHB，∴BC⊥BD，
∵在三棱台DEF﹣ABC 中，EF∥BC，∴EF⊥DB．
（Ⅱ）设BC＝1，则BH＝1，HC＝
，
在Rt△DHC 中，DH＝
，DC＝2，
在Rt△DHB 中，DB＝
＝
＝
，
作HG⊥BD 于G，∵BC⊥HG，∴HG⊥面BCD，∵GC⊂面BCD，
∴HG⊥GC，∴△HGC 是直角三角形，且∠HGC＝90°，
设DF 与面DBC 所成角为θ，则θ 即为CH 与面DBC 的夹角，
且sinθ＝sin∠HCG＝
＝
，
∵在Rt△DHB 中，DH•HB＝BD•HG，
∴HG＝
＝
＝
，
∴sinθ＝
＝
＝
．
20．已知数列{an}，{bn}，{cn}中，a1＝b1＝c1＝1，cn+1＝an+1﹣an，cn+1＝
•cn
（n∈N*）．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比q＞0，且b1+b2＝6b3，求q 与an 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差d＞0，证明：c1+c2+…+cn＜1+
．
【分析】本题第（Ⅰ）题先根据等比数列的通项公式将b2＝q，b3＝q2 代入b1+b2＝6b3，计
算出公比q 的值，然后根据等比数列的定义化简cn+1＝
•cn 可得cn+1＝4cn，则可发
现数列{cn}是以1 为首项，4 为公比的等比数列，从而可得数列{cn}的通项公式，然后将通
项公式代入cn+1＝an+1﹣an，可得an+1﹣an＝cn+1＝4n，再根据此递推公式的特点运用
累加法可计算出数列{an}的通项公式；
第（Ⅱ）题通过将已知关系式cn+1＝
•cn 不断进行转化可构造出数列{bnbn+1cn}，且
可得到数列{bnbn+1cn}是一个常数列，且此常数为1+d，从而可得bnbn+1cn＝1+d，再计算
得到cn＝
，根据等差数列的特点进行转化进行裂项，在求和时相消，最后运用放
缩法即可证明不等式成立．
【解答】（Ⅰ）解：由题意，b2＝q，b3＝q2，
∵b1+b2＝6b3，∴1+q＝6q2，
整理，得6q2﹣q﹣1＝0，
解得q＝﹣
（舍去），或q＝
，
∴cn+1＝
•cn＝
•cn＝
•cn＝
•cn＝4•cn，
∴数列{cn}是以1 为首项，4 为公比的等比数列，
∴cn＝1•4n﹣1＝4n﹣1，n∈N*．
∴an+1﹣an＝cn+1＝4n，
则a1＝1，
a2﹣a1＝41，
a3﹣a2＝42，
•
•
•
an﹣an﹣1＝4n﹣1，
各项相加，可得
an＝1+41+42+…+4n﹣1＝
＝
．
（Ⅱ）证明：依题意，由cn+1＝
•cn（n∈N*），可得
bn+2•cn+1＝bn•cn，
两边同时乘以bn+1，可得
bn+1bn+2cn+1＝bnbn+1cn，
∵b1b2c1＝b2＝1+d，
∴数列{bnbn+1cn}是一个常数列，且此常数为1+d，
bnbn+1cn＝1+d，
∴cn＝
＝
•
＝（1+
）•
＝（1+
）（
﹣
），
∴c1+c2+…+cn
＝（1+
）（
﹣
）+（1+
）（
﹣
）+…+（1+
）（
﹣
）
＝（1+
）（
﹣
+
﹣
+…+
﹣
）
＝（1+
）（
﹣
）
＝（1+
）（1﹣
）
＜1+
，
∴c1+c2+…+cn＜1+
，故得证．
21．如图，已知椭圆C1：
+y2＝1，抛物线C2：y2＝2px（p＞0），点A 是椭圆C1 与抛物线C2
的交点，过点A 的直线l 交椭圆C1 于点B，交抛物线C2 于M（B，M 不同于A）．
（Ⅰ）若p＝
，求抛物线C2 的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．
【分析】（Ⅰ）直接由抛物线的定义求出焦点坐标即可；
（Ⅱ）设直线方程y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由
，根据韦达定
理定理求出M（﹣
，
），可得p，再由
，求出点A 的坐标，代入椭圆
方程可得t2＝
，化简整理得p2＝
，
利用基本不等式即可求出p 的最大值．
解：（Ⅰ）p＝
，则
＝
，则抛物线C2 的焦点坐标（
，0），
（Ⅱ）直线l 与x 轴垂直时，此时点M 与点A 或点B 重合，不满足题意，
设直线l 的方程为y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
由
，消y 可得（2k2+1）x2+4kty+2t2﹣2＝0，
∴△＝16k2t2﹣4（2k2+1）（2t2﹣2）≥0，即t2＜1+2k2，
∴x1+x2＝﹣
，∴x0＝
（x1+x2）＝﹣
，
∴y0＝kx0+t＝
，∴M（﹣
，
），
∵点M 在抛物线C2 上，∴y2＝2px，
∴p＝
＝
＝
，
联立
，解得x1＝
，y1＝
，
代入椭圆方程可得
+
＝1，解得t2＝
∴p2＝
＝
＝
≤
＝
，
∴p≤
，当且仅当1＝2k2，即k2＝
，t2＝
时等号成立，
故p 的最大值为
．
22．已知1＜a≤2，函数f（x）＝ex﹣x﹣a，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数y＝f（x）在 （0，+∞）上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0 为函数y＝f（x）在 （0，+∞）上的零点，证明：
（ⅰ）
≤x0≤
；
（ⅱ）x0f（
）≥（e﹣1）（a﹣1）a．
【分析】（Ⅰ）推导出x＞0 时，f′（x）＝ex﹣1＞0 恒成立，f（0）＝＜0，f（2）＞0，由此能证明
函数y＝f（x）在 （0，+∞）上有唯一零点．
（Ⅱ）（i）由f（x）单调增，1＜a≤2，设x0 的最大值为t，则ct＝2+t，f（1）＝c﹣1﹣2＜0，则t
＞1 ，推导出
．要证明
≥a﹣1 ＝
，只需证明
，记h（x）＝ex﹣1﹣x﹣x2（0≤x≤t），则h′（x）＝ex﹣1﹣2x，利用
导数性质能证明
≤x0≤
．
（ii）要证明x0f（e
）≥（e﹣1）（a﹣1）a，只需证明x0f（x0+a）≥（e﹣1）（a﹣1）a，只需证
﹣
≥2（e﹣2），由此能证明x0f（e
）≥（e﹣1）（a﹣1）a．
【解答】证明：（Ⅰ）∵f（x）＝ex﹣x﹣a＝0（x＞0），∴f′（x）＝ex﹣1＞0 恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵1＜a≤2，∴f（2）＝e2﹣2﹣a≥e2﹣4＞0，又f（0）＝1﹣a＜0，
∴函数y＝f（x）在 （0，+∞）上有唯一零点．
（Ⅱ）（i）∵f（x）单调增，1＜a≤2，设x0 的最大值为t，则ct＝2+t，
∴f（1）＝c﹣1﹣2＜0，则t＞1，
右边：由于x≥0 时，ex≥1+x+
，且
﹣x0﹣a＝0，
则a≥1+
，∴
．
左边：要证明
≥a﹣1＝
，只需证明
，
记h（x）＝ex﹣1﹣x﹣x2（0≤x≤t），则h′（x）＝ex﹣1﹣2x，
h“（x）＝ex﹣2，∴h′（x）在（0，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴h′（x）＝ex﹣1﹣2x≤max{h′（0），h′（t）}＝0，
∴h（x）在0≤x≤t 时单调减，h（x）＝ex﹣1﹣x﹣x2≤h（0）＝0，
∴
≤x0≤
．
（ii）要证明x0f（e
）≥（e﹣1）（a﹣1）a，只需证x0f（x0+a）≥（e﹣1）（a﹣1）a，
只需证
﹣
≥（e﹣1）a
，
∵ex≥1+x+
，∴只需证1+
（
）2﹣a≥（e﹣1）a
，
只需证
﹣2（e﹣2）a
≥0，即证
﹣
≥2（e﹣2），
∵
＝
+
∈（2，+∞），
∴
≥
＝
，
∴x0f（e
）≥（e﹣1）（a﹣1）a．
