4.3 等差数列的前n 项和公式
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：等差数列的前n 项和公式.................................................2
考点二：等差数列前n项和公式的函数特征.......................................2
考点三：等差数列前n 项和性质....................................................2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：等差数列前n 项和的基本量计算........................................ 3
题型二：利用等差数列前n 项和公式判断........................................ 5
题型三：等差数列片段和性质....................................................... 7
题型四：两个等差数列前n 项和之比的问题..................................... 9
题型五：等差数列前n 项和的最值问题......................................... 11
题型六：有限制条件的最值问题...................................................13
题型七：求数列{|an|}的前n 项和问题.......................................... 16
题型八：等差数列奇数项偶数项和................................................20
题型九：根据等差数列前n 项的最值求参数................................... 22
题型十：数列求和基础：倒序相加法.............................................23
题型十一：数列求和基础：裂项相消法..........................................25
模块三：综合巩固....................................................................... 28
4.3 等差数列的前n 项和公式
模块一：基础知识
考点一：等差数列的前n 项和公式
1、首项为
1a ，末项为
n
a 的等差数列的前n 项和公式
1
(
)
2
n
n
n a
a
S
2、首项为
1a ，公差为d 的等差数列的前n 项和公式
1
(
1)
2
n
n n
S
na
d
考点二：等差数列前n 项和公式的函数特征
等差数列前n 项和公式可变形为
2
1
(
)
2
2
n
d
d
S
n
a
n
.当
0
d
时，它是关于n 的二次函数，表示为
2
n
S
An
Bn
( A ，B 为常数)．
考点三：等差数列前n 项和性质
(1)若数列{
}
na
是公差为d 的等差数列,则数列{
}
n
S
n
也是等差数列,且公差为2
d
(2)设等差数列{
}
na
的公差为d ,
n
S 为其前n 项和,则
m
S ，
2m
m
S
S
，
3
2
m
m
S
S
，
4
3
m
m
S
S
,…组成公差
为
2
m d 的等差数列
(3)在等差数列{
}
n
a
，{ }
nb
中，它们的前n 项和分别记为
,
n
n
S T 则
2
1
2
1
n
n
n
n
a
S
b
T
(4)若等差数列{
}
n
a
的项数为2n ,则
2
1
(
)
n
n
n
S
n a
a
=
S
S
nd
奇
偶
，
1
=
n
n
S
a
S
a
偶
奇
。
(5)若等差数列{
}
n
a
的项数为2
1
n ,则
(
1)
n
S
n
a
偶
，
=
n
S
na
奇
，
=
n
S
S
a
奇
偶
，
=
1
S
n
S
n
奇
偶
模块二：题型分类
题型一：等差数列前n 项和的基本量计算
1.已知数列
na
均为等差数列．
(1)设
1
50
a
，
8
15
a
，求
8S ；
(2)设
1
0.7
a
，
2
1.5
a
，求
7
S ；
(3)设
4
7
a
，求
7
S ．
【答案】(1)260
(2)21.7
(3)49
【详解】（1）依题意，
8
8
50 15
260
2
S
．
（2）
2
1
0.8
d
a
a
，于是
7
0.7
7 1
0.8
5.5
a
，从而
7
7
0.7
5.5
21.7
2
S
.
（3）设公差为d ，则
1
4
3
a
a
d
，
7
4
3
a
a
d
，于是
1
7
4
2
a
a
a
，
所以
1
7
7
4
7
7
49
2
a
a
S
a
．
2．已知等差数列
na
的前n项和为
n
S ，且
3
24
S
，
4
5
6
168
a
a
a
，则
7a （
）
A．81
B．86
C．88
D．192
【答案】C
【分析】利用等差数列前n 项和、通项公式求基本量，再由通项公式求对应项.
【解析】设等差数列
na
的公差为d .
因为
3
1
2
3
24
S
a
a
a
，
4
5
6
168
a
a
a
，
所以两式相减得9
144
d
，所以
16
d
.
又
3
1
1
1
2
24
S
a
a
d
a
d
，所以
1
8
a ，
所以
7
1
6
8
6 16
88
a
a
d
.
故选：C
3.已知数列
na
为等差数列，前n 项和为
n
S ，求解下列问题：
(1)若
2
5
19
a
a
，
5
40
S
，求
1a ；
(2)若
12
84
S
，
20
640
S
，求
28
S ；
(3)若
10
30
a
，
20
50
a
，
242
n
S
，求n．
【答案】(1)2
(2)1596
(3)11
【详解】（1）由题意知数列
na
为等差数列，
2
5
19
a
a
，
5
40
S
，
设
na
公差为d，故
1
1
2
5
19
5
5 1
5
40
2
a
d
a
d
，
解得
1
2
a
；
（2）数列
na
为等差数列，
12
84
S
，
20
640
S
，
设
na
公差为d，故
1
1
12
12 1
12
84
2
20 (20 1)
20
640
2
a
d
a
d
，解得
1
219
8
25
4
a
d
，
则
28
1
1
28
28 1
219
25
28
28
378
28
378
1596
2
8
4
S
a
d
a
d
；
（3）由题意知数列
na
为等差数列，
10
30
a
，
20
50
a
，
设
na
公差为d，则
1
1
9
30
19
50
a
d
a
d
，解得
1
12
2
a
d
，
由
242
n
S
，得
(
1
12
2
242
2
n n
n
）
，
解得
11
n
或
22
n
（舍去），
故
11
n
.
4.等差数列
na
中，
10
20
30,
50
a
a
.
(1)求数列的通项公式；
(2)若
242
n
S
，求n.
【答案】(1)
10
2
na
n
，
N
n
.
(2)11
【详解】（1）设公差为d ，则由题意可得
20
10
10
20
2
a
a
d
d
，
又
10
1
1
1
9
30
18
12
a
a
d
a
a
，
所以
1
1
12
2
1
10
2
na
a
n
d
n
n
，
N
n
；
（2）由（1）可知
1
2
12
10
2
11
242
2
2
n
n
n a
a
n
n
S
n
n
，
即
2
11
242
11
22
0
n
n
n
n
N
n
，所以
11
n
.
5.一个物体第1s 下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m．
(1)如果它从山顶下落，经过5s 到达地面，那么这山的高度是多少米？
(2)如果它从1960m 的高空下落到地面，要经过多长时间？
【答案】(1)122.5m
(2) 20s
【详解】（1）由题意可知，物体每秒下落的高度构成等差数列，
设该等差数列为
na
，前n 项和为
n
S ，则
1
4.9
a
，公差
9.8
d
，
所以
5
5 4
5 4.9
9.8
122.5
2
S
，
故这山的高度是122.5m .
（2）由（1）可得，
(
1)
4.9
9.8
1960
2
n
n n
S
n
，解得
20
n
（负值舍去），
所以要经过20s落地.
6.已知数列
na
是等差数列．
(1)若
1
7
a
，
50
101
a
，求
50
S ；
(2)若
1
2
a
，
2
5
2
a
，求
10
S ；
(3)若
1
1
2
a
，
1
6
d
，
5
n
S ，求n．
【答案】(1)2700
(2) 85
2
(3)
12
n
．
【详解】（1）因为
1
7
a
，
50
101
a
，根据公式
1
2
n
n
n a
a
S
，
可得
50
50 (7 101)
2700
2
S
．
（2）因为
1
2
a
，
2
5
2
a
，所以
1
2
d
．根据公式
1
(
1)
2
n
n n
S
na
d
，
可得
10
10 (10 1)
1
85
10 2
2
2
2
S
．
（3）把
1
1
2
a
，
1
6
d
，
5
n
S 代入
1
(
1)
2
n
n n
S
na
d
，
得
1
(
1)
1
5
2
2
6
n n
n
．
整理，得
2
7
60
0
n
n
．
解得
12
n
，或
5
n （舍去）．
所以
12
n
．
题型二：利用等差数列前n 项和公式判断
1.已知数列
na
的前n 项和
2
25
2
n
n
n
S
.
（1）求证：
na
是等差数列；
【答案】（1）证明见解析；
【详解】（1）由题意得
①若
2
n
，则
2
2
1
25
2
25
1
2
1
4
27
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
，
②若
1
n ，则
1
1
23
a
S
，经检验满足上式.
故
4
27
na
n
，
由
1
4
n
n
a
a
可知，数列
na
是首项为23，公差为4
的等差数列.
2.已知数列
na
的前n 项和
2
*
3
4
.
n
S
n
n n
N
1 求数列
na
的通项公式
na ；
2 求证：数列
na
是等差数列．
【答案】（1）
6
1
na
n
；（2）见解析
【详解】
1 解：当
2
n
时，
2
2
1
3
4
3(
1)
4
1
6
1
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
，
当
1
n 时，
1
1
3
4
7
a
S
，满足
6
1
na
n
，
即数列
na
的通项公式
6
1
na
n
．
2 证明：
6
1
na
n
，
当
2
n
时，
1
6
1 6
1
1
6
n
n
a
a
n
n
为常数，
则数列
na
是等差数列．
3.设数列
na
的前n 项和为
n
S ，点
,
N
n
S
n
n
n
均在函数
2
3
y
x
的图象上，则数列
na
的通项公式
na
．
【答案】4
5
n
【详解】解：依题意得
2
3
n
S
n
n
，即
2
2
3
n
S
n
n
，
所以数列
na
为等差数列，且
1
1
1
a
S
，
2
2
1
3
a
S
S
，
设其公差为d ，则
4
d
，
所以
*
4
5
N
na
n
n
．
故答案为：4
5
n .
4.已知一个数列
na
的前n 项和
2
25
2
n
S
n
n
r
．
(1)当
0
r
时，求证：该数列
na
是等差数列；
(2)若数列
na
是等差数列，求r 满足条件．
【答案】(1)证明见解析
(2)
0
r
【详解】（1）当
0
r
时，
2
25
2
n
n
n
S
，令
1
n ，
1
25
2
23
S
，
所以
2
n
时，
2
1
25
1
2
1
n
S
n
n
，
所以
2
2
1
25
2
25
1
2
1
27
4
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n，
此时
1
27
4
23
a
，
所以
27
4
na
n
，
所以
1
27
4
27
4
1
4
n
n
a
a
n
n
，
可得数列
na
是公差为4
的等差数列.
（2）
2
25
2
n
S
n
n
r
，
令
1
n ，得
1
25
2
23
S
r
r ，
所以
2
n
时，
2
1
25
1
2
1
n
S
n
n
r ，
所以
2
2
1
25
2
25
1
2
1
27
4
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n，
所以
1
27
4
27
4
1
4
n
n
a
a
n
n
，
可得
2
n
时，数列
na
是公差为4
的等差数列，
若数列
na
是等差数列，则
1
27
4
23
23
a
r ，
所以
0
r
．
题型三：等差数列片段和性质
1．等差数列
na
中，
3
6
3,
9
S
S
，则
9
S （
）
A．12
B．18
C．24
D．30
【答案】B
【分析】利用等差数列片段和的性质求解即可.
【解析】等差数列
na
中，
3
6
3
9
6
,
,
S S
S S
S
成等差数列，
所以
3
9
6
6
3
=2
,
S
S
S
S
S
即
9
9
3
9=2
9
3 ,
=18
S
S
.
故选：B
2．设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
14
7
7
S
S
，则
21
14
S
S
（
）
A．18
7
B．3
2
C．11
7
D．11
6
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解.
【解析】在等差数列
na
中，
7
S ，
14
7
S
S
，
21
14
S
S
成等差数列，即
14
7
7
21
14
2 S
S
S
S
S
，
设
7
0
S
m m
，则
14
7
S
m
，于是
21
12
7
m
m
S
m
，解得
21
18
S
m
，所以
21
14
18
7
S
S
．
故选：A
3.设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
S
，
8
20
S
，则
9
10
11
12
a
a
a
a
等于（
）
A．12
B．8
C．20
D．16
【答案】D
【详解】因为等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，则
4
S 、
8
4
S
S
、
12
8
S
S
为等差数列，
其公差为
8
4
4
20
8
8
4
S
S
S
，
因此，
9
10
11
12
12
8
8
4
4
20
8
4
16
a
a
a
a
S
S
S
S
.
故答案为：16 .
4.等差数列
na
的前n 项和
n
S ，若
3
1,
5
n
n
n
S
S
S
，则
4n
S
（
）
A．10
B．20
C．30
D．15
【答案】A
【详解】由等差数列
na
有
2
3
2
4
3
,
,
,
n
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
S
成等差数列，设为d，
则
3
3
2
2
2
2
3
5
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
S
d
S
d
S
d
d
，
故
4
4
3
3
2
2
4
6
10
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
S
S
S
d
.
故选：A
5.在等差数列
na
中，已知
6
10
S
，
12
30
S
，则
18
S
（
）
A．90
B．40
C．50
D．60
【答案】D
【详解】因为
na
为等差数列，所以
6
12
6
18
12
,
,
S
S
S
S
S
成等差数列，
6
10
S
，
12
6
20
S
S
，故
18
12
12
6
6
2
30
S
S
S
S
S
，
18
30
30
60
S
.
故选：D
6.等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
3
16
S
，
6
8
S
，则
12
S
（
）
A．50
B．60
C．70
D．80
【答案】D
【详解】解：由等差数列的性质可知，
3S 、
6
3
S
S
、
9
6
S
S
、
12
9
S
S
成等差数列，
且该数列的公差为
6
3
3
8 16
24
S
S
S
，则
9
6
6
3
24
32
S
S
S
S
，
所以，
12
9
9
6
24
56
S
S
S
S
，
因此，
12
3
6
3
9
6
12
9
80
S
S
S
S
S
S
S
S
.
故选：D.
7.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
30
m
S
，
2
100
m
S
，则
3m
S
.
【答案】210
【详解】因为
na
是等差数列，所以
m
S ，
2m
m
S
S
，
3
2
m
m
S
S
成等差数列，
则
2
3
2
2
m
m
m
m
m
S
S
S
S
S
，
因为
30
m
S
，
2
100
m
S
，所以
3
2
100
30
30
100
m
S
，解得
3
210
m
S
.
故答案为：210 .
题型四：两个等差数列前n 项和之比的问题
1.等差数列
na
，
nb
的前n 项和分别是
n
S 与
nT ，且
*
3
1,
1
n
n
S
n
n
T
n
N
，则
6
6
a
b
；
9
7
a
b
.
【答案】
17
6 /
5
2 6
26
7 /
5
3 7
【详解】空1：由等差数列的前n 项和公式，可得
1
1
(
)
(
)
,
2
2
n
n
n
n
n a
a
n b
b
S
T
，
又由等差数列的性质，可得
1
11
1
11
6
6
,
2
2
a
a
b
b
a
b
，
因为
*
3
1,
N
1
n
n
S
n
n
T
n
，可得
6
11
6
11
3 11+1
34
17
=
11 1
12
6
a
S
b
T
.
空2：设
=
3
1 ,
1
,
0
n
n
S
kn
n
T
n n
k k
，
所以
9
9
8
9
28
8
25
52
a
S
S
k
k
k
，
7
7
6
56
42
14
b
T
T
k
k
k
，所以
9
7
52
26
14
7
a
k
b
k
.
故答案为：17
6 ；26
7 .
2.等差数列
,
n
n
a
b
的前n 项和分别是
n
S 与
nT ，且
*
3
1,
1
n
n
S
n
n
T
n
N
，则
6
6
a
b
.
【答案】17
6 /
5
2 6
【详解】由等差数列的前n 项和公式，得
1
1
(
)
(
)
,
2
2
n
n
n
n
n a
a
n b
b
S
T
，
又由等差数列的性质，得
1
11
1
11
6
6
,
2
2
a
a
b
b
a
b
，而
*
3
1,
N
1
n
n
S
n
n
T
n
，
所以
1
11
1
11
1
11
1
6
11
6
1
1
1
1
3 11+1
34
17
=
11 1
12
6
11(
)
2
2
11(
)
2
2
a
a
a
a
b
b
b
a
S
b
T
b
.
故答案为：17
6
3.设等差数列
na
、
nb
的前n 项和分别为
n
S 、
nT ，若对任意的
*
N
n
，都有
2
3
4
3
n
n
S
n
T
n
，则
2
14
3
13
5
11
a
a
b
b
b
b
．
【答案】9
19
【详解】
8
8
2
14
2
14
2
14
3
13
5
11
8
8
8
8
8
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
，
由于
1
15
15
1
15
1
8
15
15
1
15
8
15
2 15
3
9
2
4 15
3
19
15
2
S
a
a
b
a
a
a
b
b
T
b
b
，
故答案为：9
19
4.已知等差数列{
}
na
和{ }
nb
的前n 项和为分别为
n
S 和
nT ，若
5
2
3
1
n
n
S
n
T
n
，则
11
20
a
b
的值为（
）
A．103
64
B．103
118
C．193
64
D．193
118
【答案】B
【详解】
5
2
3
1
n
n
S
n
T
n
，
令
5
2
n
S
An
n
，则
3
1
nT
An
n
，
所以
11
11
10
103
a
S
S
A
，
20
20
19
118
b
T
T
A
，
所以
11
20
103
103
118
118
a
A
b
A
，
故选：B
5.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
A ，等差数列
nb
的前n 项和为
n
B ，且
2
3
3
2
n
n
A
n
B
n
，求
8
8
a
b
.
【答案】33
47
【详解】因为等差数列
na
的前n 项和为
n
A ，等差数列
nb
的前n 项和为
n
B ，且
2
3
3
2
n
n
A
n
B
n
，
所以
8
8
1
15
8
8
1
15
2
2
a
a
a
a
b
b
b
b
1
15
1
15
15
2
15
2
a
a
b
b
15
15
2 15
3
33
3 15
2
47
A
B
，
故答案为：33
47
6.已知等差数列
na
，
nb
的前n 项和分别为
n
S ，
nT ，且
3
5
4
6
n
n
S
n
T
n
，则
7
8
a
b （
）
A．2
3
B．3
4
C．10
13
D．13
19
【答案】A
【详解】由已知得
3
5
4
6
n
n
S
n
T
n
，可设
3
5
nS
kn
n
，
4
6
n
T
kn
n
，
则
7
7
6
182
138
44
a
S
S
k
k
k
，
8
8
7
304
238
66
b
S
S
k
k
k
，
即
7
8
44
2
66
3
a
k
b
k
，
故选：A .
题型五：等差数列前n 项和的最值问题
1.记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
5
a ，
3
5
3
0
a
a
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)求
n
S 以及
n
S 的最小值．
【答案】(1)
2
7
n
a
n
；
(2)
2
6
n
S
n
n
，
n
S 的最小值为9
.
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为d ，由
1
5
a ，
3
5
3
0
a
a
，得3( 5
2 )
( 5
4 )
0
d
d
，
解得
2
d
，于是
1
(
1)
2
7
na
a
n
d
n
，
所以数列
na
的通项公式是
2
7
n
a
n
.
（2）由（1）知，
2
1
5
(2
7)
6
2
2
n
n
a
a
n
n
n
n
n
S
，
显然
2
(
3)
9
9
n
n
S
，当且仅当
3
n
时取等号，
所以
2
6
n
S
n
n
，
n
S 的最小值为9
.
2.记
n
S 为等差数列{
}
na
的前n 项和，已知
2
27
a
，
7
17
a
.
(1)求等差数列{
}
na
的通项公式；
(2)求
n
S 的最小值及对应的n 值．
【答案】(1)
2
31
na
n
；
(2)
n
S 的最小值为225
，对应
15
n
.
【详解】（1）等差数列{
}
na
中，
2
27
a
，
7
17
a
，则{
}
na
的公差
7
2
17
( 27)
2
7
2
5
a
a
d
，
所以等差数列{
}
na
的通项公式
2
(
2)
2
31
na
a
n
d
n
.
（2）由（1）知，等差数列{
}
na
单调递增，由
0
n
a
，得2
31
0
n
，解得
31
2
n
，
因此数列{
}
na
前15 项均为负数，从第16 项起均为正数，
所以当
15
n
时，
n
S 取得最小值
1
15
15
8
15(
)
15
15(2 8
31)
225
2
a
a
S
a
.
3.等差数列
na
中，已知
1
0
a
，前n 项和为
n
S ，且
7
17
S
S
，则
n
S 最小时n 的值为（
）
A．11
B．11 或12
C．12
D．12 或13
【答案】C
【详解】根据题意由
7
17
S
S
可得
1
1
7 6
17 16
7
17
2
2
a
d
a
d
，
整理可得
1
23
2
a
d
.
所以
2
2
2
1
1
12
24
12
144
2
2
2
2
n
S
d
n n
d
d
na
d
n
dn
n
n
n
，
由
1
0
a
，
1
23
2
a
d
可得
0
d
；
由二次函数性质可知，当
12
n
时，
n
S 取最小时.
故选：C
4.（多选）设数列
na
是公差为d 的等差数列，
n
S 是其前n 项和，
1
0
a
且
6
9
S
S
，则（
）
A．
0
d
B．
8
0
a
C．
7
S 或
8S 为
n
S 的最大值
D．
5
8
S
S
【答案】BCD
【详解】根据题意可知
2
1
1
1
2
2
2
n
n n
d
d
S
na
d
n
a
n
，
由
6
9
S
S
可得
7
8
9
8
3
0
a
a
a
a
，即
8
0
a
，又
1
0
a
，所以可得公差
0
d
；
所以A 错误，B 正确；
易知
n
S 是关于
*
N
n n
的一元二次函数，且二次函数图象的对称轴为直线
6
9
15
2
2
n
，开口向下，
又因为n 为整数，所以当
*
N
n
且
7
n
时，
n
S 是单调递增的，当
*
N
n
且
8
n
时，
n
S 是单调递减的；
又
7
n
和
8
n 关于对称轴对称，所以可得
7
8
S
S
，且为
n
S 的最大值，即C 正确；
根据二次函数性质可知，距离对称轴越近
n
S 的值越大，易知15
15
5
8
2
2
>
，
即5 距离对称轴比8 距离对称轴远，所以可得
5
8
S
S
，即D 正确.
5.设等差数列
na
的前n 项和为
n
S .若
1
4
8
,
10
2
a
S
，则
n
S 的最大值为
.
【答案】30
【详解】设等差数列
na
的公差为d ，则
4
1
=4
6 =40
6 =28, =
2
S
a
d
d
d
，
所以
2
1
1
=
11
2
n
n n
d
S
na
n
n
，
对称轴为
11
2
n
，开口向下，
所以当
5
n
或
6
n
时，
n
S 最大，最大值为
25
11 5=30
.
故答案为：30
6.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
5
9
2
a
a
，
3=57
S
.
(1)求数列
na
的通项公式
na ；
(2)求
n
S 的最大值.
【答案】(1)
27
4
na
n
(2)78
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为d ，
∴
5
9
1
3
1
2
12
2
3
3
57
a
a
a
d
S
a
d
，解得
1
23
4
a
d
，
∴数列
na
的通项公式为
1
(
1)
27
4
na
a
n
d
n
.
（2）由（1）知，
27
4
na
n
.
所以
2
2
23
27
4
25
625
2
25
2
2
4
8
n
n
n
n
n
S
n
.
由二次函数的性质知，对称轴方程为
25
4
n
，开口向下，
所以，当n 取与25
4 最近的整数即6时，
n
S 最大值，最大值为
2
6
2 6
25 6
78
S
.
题型六：有限制条件的最值问题
1.（多选）设等差数列
na
的公差为d，前n 项和为
n
S ，若
3
12
13
12,
0,
0
a
S
S
，则下列结论正确的是（
）
A．数列
na
是递增数列
B．
5
60
S
C．
24 , 3
7
d
D．数列
n
S
中最大项为第6 项
【答案】BCD
【详解】对于选项A、C：因为
1
12
12
6
7
12(
)
6
0
(
2
)
a
a
S
a
a
，
1
13
13
7
13(
)
13
0
2
a
a
S
a
，
则
7
0
a
，
6
7
0
a
a
，
又因为
3
12
a
，则
24
7
0
12
4
0
d
d
，解得
24
3
7
d
所以等差数列
na
是递减数列，故A 错误，C 正确；
对于选项B：因为
3
12
a
，所以
1
5
5
3
5
5
5 12
60
2
a
a
S
a
，故B 正确；
对于选项D：因为等差数列
na
是递减数列，且
7
0
a
，
6
7
0
a
a
，
则
6
7
0
a
a
，所以数列
n
S
中最大项为第6 项，故D 正确；
故选：BCD.
2.设等差数列{
na }的前n 项和为
n
S ，若
19
7
14
0,
0
S
a
a
，则当
n
S 取得最大值时，n ＝（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【详解】在等差数列{
na }中，由
19
0
S
，得
1
19
19
0
2
a
a
，
则
1
19
10
2
0
a
a
a
，又
7
14
10
11
0
a
a
a
a
，
∴
10
0
a
，
11
0
a
，则当
n
S 取得最大值时，
10
n
．
故选：C
3.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
2023
2024
0,
0
S
S
，则下列结论正确的是（
）
A．数列
na
是递增数列
B．
1013
1012
a
a
C．当
n
S 取得最大值时，
1013
n
D．
1013
1010
S
S
【答案】B
【详解】ABC 选项，
2023
2024
0,
0
S
S
，
∴
1
2023
1012
1012
2023
2023 2
2023
0
2
2
a
a
a
a
＝
＞，
1
2024
1012
1013
1012
1013
2024
2024
1012
0
2
2
a
a
a
a
a
a
＝
，
∴
1012
1012
1013
0,
0
a
a
a
，
∴
1012
1013
0,
0
a
a
，且
1012
1013
a
a
，B 正确；
∴公差
0
d
，等差数列
na
是递减数列，A 错误；
1012
n
时，
n
S 取得最大值，C 错误；
D 选项，
1013
1010
1011
1012
1013
1010
1012
1010
3
S
S
a
a
a
S
a
S
，D 错误.
故选：B．
4.已知等差数列
na
的前n项和为
n
S 有最小值，且
9
10
1
0
a
a
，则使
0
n
S
成立的正整数n的最小值为（
）
A．9
B．10
C．17
D．18
【答案】D
【详解】由题意可知：等差数列
na
的前n 项和为
n
S 有最小值，则
1
0
a
且
0
d
，
所以数列
na
是递增数列，可得
n
S 是过原点的二次函数式，且开口向上，
因为
9
10
0
a
a
，可得
9
10
0,
0
a
a
，则
17
9
19
10
17
0,
19
0
S
a
S
a
又因为
9
10
1
a
a
，可得
9
10
0
a
a
，则
18
9
10
9
0
S
a
a
，
所以使
0
n
S
成立的正整数n 的最小值为18.
故选：D.
5.（多选）设
na
是公差为d 的等差数列，
n
S 是其前n 项的和，且
1
0
a
，
1999
2023
S
S
，则（
）
A．
0
d
B．
2011
0
a
C．
4022
0
S
D．
2012
n
S
S
【答案】AC
【详解】
1999
2023
S
S
，则
2001
2022
2000
2001
2002
2022
2023
2023
1999
24
0
2
a
a
a
a
a
a
a
S
S
，
所以
2001
2022
0
a
a
，所以
2011
2012
2001
2022
0
a
a
a
a
，
1
2
4021
0
a
d
，
1
4021
2
a
d
，
因为
1
0
a
，则
0
d
，故A 正确；
2011
1
4021
1
2010
2010
0
2
2
a
a
d
d
d
d
，故B 错误；
1
4022
4022
1
4022
2011
2012
4022(
)
2011(
)
2011(
)
0
2
a
a
S
a
a
a
a
，故C 正确；
1
4021
2
a
d
，{
}
na
是递增数列，
2011
1
1
2010
0
2
a
a
d
d
，
2012
1
1
2011
0
2
a
a
d
d
，
所以
n
S 中，只有
2011
S
最小，故D 错误.
故选：AC．
6.（多选）设
na
是等差数列，
n
S 是其前n 项和，且
5
6
S
S
，
6
7
8
S
S
S
，则下列结论正确的是（
）.
A．
0
d
B．
7
0
a
C．
9
5
S
S
D．
6
S 与
7
S 均为
n
S 的最大值
【答案】BD
【详解】因为
5
6
S
S
，
6
7
8
S
S
S
，
则
6
6
5
7
7
6
8
8
7
0,
0,
0
a
S
S
a
S
S
a
S
S
，故B 正确；
设等差数列
na
的公差为d ，则
7
6
0
d
a
a
，故A 错误；
可知数列
na
为递减数列，可得
1
2
7
8
0
a
a
a
a
，
可得
6
7
8
9
7
8
8
2
2
0
a
a
a
a
a
a
a
，
所以
9
5
6
7
8
9
5
S
S
a
a
a
a
S
，故C 错误；
因为
6a 为最后一项正数，根据加法的性质可知：
6
S 为
n
S 的最大值，
又因为
6
7
S
S
，所以
6
S 与
7
S 均为
n
S 的最大值，故D 正确；
故选：BD.
题型七：求数列{|an|}的前n 项和问题
1．已知数列
na
的前n项和
2
14
1
n
S
n
n
，若
1
2
3
n
n
T
a
a
a
a
，则
30
T
（
）
A．578
B．579
C．580
D．581
【答案】B
【分析】由
,
n
n
a
S 的关系得出通项公式，再讨论
7
n
，
8
n
两种情况，结合求和公式得出
30
T .
【解析】当
1
n 时
1
1
14
a
S
，
当
2
n
时，
1
15
2
2
n
n
na
n n
S
S
，经检验
1
n 时，不成立.
故得到
14,
1
15
2 ,
2
n
n
a
n n
.
令
0
na
，则15
2
0
n
，解得
15
2
n
，且
2
n
，
*
nN
当
7
n
时，
1
2
3
1
2
n
n
n
T
a
a
a
a
a
a
a
13 15
2
1
14
1
2
n n
n n
，
当
8
n
时，
1
2
3
1
7
8
9
....
n
n
n
T
a
a
a
a
a
a
a
a
a
7
7
n
S
S
S
2
2
7
2
100
(14
1)
14
99
n
S
S
n
n
n
n
，
故：
2
14
1,
7
14
99,
8
n
n n
n
T
n
n
n
，
30
579
T
.
故选：B.
2.若等差数列
na
的首项
1
13
a
，
4
d ，记
1
2
n
n
T
a
a
a
，则
nT
．
【答案】
2
*
2
15
2
,
4
,
2
15
56,
5
n
n n
n
n
n
n
N
【详解】因为
1
13
a
，
4
d ，则
13
4
1
17
4
na
n
n ，
可得等差数列
na
的前n 项和
1
2
15
2
2
n
n
n a
a
S
n
n ，
令
17
4
0
na
n
，解得
17
4
n
，且
*
n N ，
当
4
n
时，则
1
2
1
2
n
n
n
a
a
T
a
a
a
a
2
15
2
n
n
n
S
；
当
5
n
时，
1
2
n
n
T
a
a
a
1
2
3
4
5
6
4
4
4
2
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
S
S
S
S
S
2
56
2
15
n
n；
综上所述：
2
*
2
15
2
,
4
,
2
15
56,
5
n
n
n n
T
n
n
n
n
N .
故答案为：
2
*
2
15
2
,
4
,
2
15
56,
5
n
n n
n
n
n
n
N .
3.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
1
15
2
2
n
S
n
n
.
(1)求
na
的通项公式
(2)若
n
n
c
a
，求
nc
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
8
n
a
n
(2)
2
2
15
,
8,
N
2
2
1
15
56,
9,
N
2
2
n
n
n
n
n
T
n
n
n
n
【详解】（1）由
2
1
15
2
2
n
S
n
n
，
当
2
n
时，可得
2
2
1
1
15
1
15
(
1)
(
1)
8
2
2
2
2
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
，
当
1
n 时，
1
1
1
15
7
2
2
a
S
，适合上式，
所以数列
na
的通项公式为
8
n
a
n
.
（2）由
8
n
a
n
，可得
8
n
n
c
a
n
，则
1
2
n
n
T
a
a
a
，
令
0
n
a
，可得
8
n
，
当
8
n
时，可得
2
1
2
1
2
15
2
2
n
n
n
n
n
T
a
a
a
a
a
a
，
当
9
n
时，可得
1
2
1
2
8
9
10
n
n
n
T
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
2
8
9
10
8
8
8
(
)
(
)
2
n
n
n
a
a
a
a
a
a
S
S
S
S
S
，
因为
8
32
60
28
S
，所以
2
1
15
56
2
2
nT
n
n
，
所以
2
2
15
,
8,
N
2
2
1
15
56,
9,
N
2
2
n
n
n
n
n
T
n
n
n
n
.
4.从①
10
5
5
10
5
S
S
，②
8
4
8
S
S
，③
5
1
a 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
9
S
，且__________，求数列
na
的前100项和
100
T
．
【答案】9050
【详解】若选条件①，
设等差数列
na
的公差为d ，则
1
1
(
1)
1
2
2
n
n n
na
d
S
n
a
d
n
n
，
10
5
5
5,
5,
2,
10
5
2
S
S
d
d
1
1
9,
9
2
1
11
2
n
a
S
a
n
n
.
当
5
n
时，
0
n
a
，当
6
n
时，
0
n
a
，
所以
0
1
2
3
1
100
10
0
2
3
4
5
6
0
1
T
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
100
1
2
3
4
5
1
3
4
5
6
2 a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
5 4
100 99
2
5 9
2
100 9
2
9050
2
2
；
若选条件②，
设等差数列
na
的公差为d ，且
1
1
9
a
S
，
则
8
4
8
S
S
可化为
8 7
4 3
8 9
4 9
8
2
2
d
d
，解得
2
d ，
故
11 2
na
n
，
当
5
n
时，
0
n
a
，当
6
n
时，
0
n
a
，
所以
0
1
2
3
1
100
10
0
2
3
4
5
6
0
1
T
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
100
1
2
3
4
5
1
3
4
5
6
2 a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
5 4
100 99
2
5 9
2
100 9
2
9050
2
2
；
若选条件③，
设等差数列
na
的公差为d ，且
1
1
9
a
S
，
则
5
1
1 9
2
5 1
5 1
a
a
d
，
11
2
na
n
，
当
5
n
时，
0
n
a
，当
6
n
时，
0
n
a
，
所以
0
1
2
3
1
100
10
0
2
3
4
5
6
0
1
T
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
100
1
2
3
4
5
1
3
4
5
6
2 a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
5 4
100 99
2
5 9
2
100 9
2
9050
2
2
.
5.在公差为d 的等差数列
na
中，已知
1
10
a
，且
2
3
1
2
5
2
2
a
a
a
.
(1)求,
n
d a ；
(2)若
0
d
，求
1
2
3
15
a
a
a
a
.
【答案】(1)当
4
d
时，
10
4(
1)
4
6
na
n
n
，
当
1
d 时，
10
(
1)
11
na
n
n
；
(2)65
【详解】（1）由
2
3
1
2
5
2
2
a
a
a
，(
)
[ (
)
]
a
d
a
a
d
2
1
1
1
5
2
2
2 ，
(
)
(
)
d
d
2
5 10
2
10
4 11
，解得
4
d 或
1
d ，
当
4
d 时，
10
4(
1)
4
6
na
n
n
，
当
1
d 时，
10
(
1)
11
na
n
n
；
（2）由
0
d
，
11
na
n
，
所以数列前10 项为正数，第11 项为0，从第12 项起为负数，
所以
1
2
3
15
a
a
a
a
= S
S
15
11
2
=
1（
5 10
4）
1（
1 10
0）
2
65
2
2
.
6.设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
5
3
a ，
5
35
S
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
2
13
na
n
(2)
2
2
12 ,
6
12
72,
7
n
n
n n
T
n
n
n
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为d ，
则
5
1
5
1
4
3
5 4
5
35
2
a
a
d
S
a
d
，解得：
1
11
2
a
d
，
11
2
1
2
13
na
n
n
.
（2）由（1）知：当
6
n
时，
2
13
0
na
n
；当
7
n
时，
2
13
0
na
n
；
当
6
n
时，
2
1
11
2
12
2
n
n
n n
T
S
n
n
n
；
当
7
n
时，
2
2
6
7
8
6
2
2
36
72
12
12
72
n
n
n
T
S
a
a
a
S
S
n
n
n
n
；
2
2
12 ,
6
12
72,
7
n
n
n n
T
n
n
n
.
7.已知数列
na
满足
2
2024
na
n
，求数列
na
的前n 项和
n
S ．
【答案】
2
2
2023
1011
2023
2046264
1012
n
n
n
n
S
n
n
n
，
，
【详解】因为
2
2024
na
n
，
所以当
1011
n
时，
0
n
a
，
2024
n
n
a
a
2n
，
当
1012
n
时，
0
n
a
，
2
2024
n
n
a
a
n
.
当
1011
n
时，
2
(2022
2024
2 )
2023
2
n
n
n
S
n
n
，
当
1012
n
时，
1
2
1011
1012
n
n
S
a
a
a
a
a
1
2
1
2
1011
(
)
2
n
a
a
a
a
a
a
( 2022
2
2024)
2
n
n
1011 ( 2022
2)
2
2
2
2023
1011 2024
n
n
.
综上所述，
2
2
2023
1011
2023
2046264
1012.
n
n
n
n
S
n
n
n
，
，
，
题型八：等差数列奇数项偶数项和
【注意参照公式，自己总结技巧】
1.已知等差数列
na
共有
*
2n n
N
项，若数列
na
中奇数项的和为190，偶数项的和为210 ，
1
1
a ，则
公差d 的值为（
）
A．2
B．4
C．5
4
D．5
2
【答案】A
【详解】由题意
1
2
1
190
2
n
n
n a
a
S
na
奇
，
2
2
1
210
2
n
n
n a
a
S
na
偶
，
所以，
1
210 190
20
n
n
S
S
n a
a
nd
奇
偶
，
1
2
1
1
1
1
20
1
190
2
n
n
n a
a
S
na
n
n
d
n
n n
d
n
n
奇
，
所以，
10
n
，
2
d
.
故选：A.
2.一个等差数列共100 项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（
）
A．1
4
B．2
C．1
3
D．2
5
【答案】D
【详解】设等差数列的公差为d ，则由条件可知：
数列的奇数项之和为
1
3
5
99
30
a
a
a
a
，①
偶数项之和为
2
4
6
100
80
30
50
a
a
a
a
，②
由②-①，得50
20
d
，所以
2
5
d
，即该数列的公差为2
5 .
故选：D.
3.已知等差数列
na
中，前m（m 为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且
1
18
m
a
a
，求通项
公式．
【答案】
3
23
na
n
【详解】∵等差数列{
}
na
中，前m（m 为奇数）项的和为77，
∴
1
1
77
2
m m
d
ma
，①
∵其中偶数项之和为33，由题意可得偶数项共有
1
2
m 项，公差等于2d ，
1
2
m
1
(
)
a
d
+
1
3
2
2
2
m
m
×2d =33，②
∵
1
18
m
a
a
，
∴
1
18
(
1)
m
a
a
m
d
，③
由①②③，解得
1
7,
3,
20
m
d
a
，
故
1
(
1)
20
(
1)
( 3)
3
23
na
a
n
d
n
n
．
数列{
}
na
的通项公式为
3
23
na
n
．
4.已知等差数列
na
的前30 项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且
45
B
A
，2
615
A
B
，则
na
（
）
A．3
2
n
B．3
1
n
C．3
1
n
D．3
2
n
【答案】B
【详解】设等差数列的公差为d ，首项为
1a ，
则
15
45
B
A
d
，所以
3
d
，
因为2
615
A
B
，即2
45
615
A
A
，则
660
A
，
等差数列的奇数项是以
1a 为首项，2d 为公差的等差数列，等差数列
na
的前30 项中奇数项有15 项，所
以
1
15 14
15
6
660
2
A
a
，得
1
2
a
，
所以
1
1
2
3
1
3
1
na
a
n
d
n
n
.
故选：B
5.已知等差数列
na
共有2
1
n + 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则
1
na 的值为（
）．
A．30
B．29
C．28
D．27
【答案】B
【详解】奇数项共有
1
n
项，其和为
1
2
1
1
2
1
1
290
2
2
n
n
a
a
a
n
n
，
∴
1
1
290
n
n
a
．
偶数项共有n 项，其和为
2
2
1
1
2
261
2
2
n
n
n
a
a
a
n
n
na
，
∴
1
290
261
29
na
．
故选：B．
6.已知等差数列
na
的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则
5a （
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】A
【详解】解：设等差数列{
}
na
有奇数项2
1
k ，
*
(
)
k
N
．公差为d ．
奇数项和为40，偶数项和为32，
1
3
2
1
40
k
a
a
a
，
2
4
2
32
k
a
a
a
，
1
2
1
1
(2
1)(
)
72
(2
1)
2
k
k
k
a
a
k
a
，
2
1
1
1
8
k
k
a
kd
a
kd
a
，
9
2
1
k
，即等差数列{
}
na
共9项，且
1
9
9
5
9
9
72
5
a
a
S
a
5
8
a
故选：A ．
题型九：根据等差数列前n 项的最值求参数
1.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
23
24
0,
0
S
S
，则下列结论正确的是（
）
A．数列
na
是递增数列
B．
13
0
a
C．当
n
S 取得最大值时，
13
n
D．
13
12
a
a
【答案】D
【分析】由已知
23
24
0,
0
S
S
，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：
12
0
a
，
12
13
0
a
a
+
<
，进
而判断选项即可.
【解析】因为
na
是等差数列，且
23
24
0,
0
S
S
，
所以
(
)
1
23
12
23
23
0
2
a
a
a
+
=
>
，
(
)
(
)
(
)
1
24
1
24
12
13
24
24
12
0
2
2
a
a
a
a
a
a
+
+
=
=
+
<
，
即
12
13
0
a
a
+
<
，所以
12
0
a
，
13
0
a
，且
13
12
a
a
，所以B 错误，D 正确；
因为
13
12
0
d
a
a
=
-
<
，所以等差数列
na
是递减数列，所以A 错误；
所以当
12
n
时，
n
S 取得最大值，所以C 错误.
故选：D
2．已知数列
na
是公差不为0 的无穷等差数列，
n
S 是其前n 项和，若
n
S 存在最大值，则（
）
A．在
3
2023
2
1,
,
,
,
2
3
2023
S
S
S
S
中最大的数是
1S
B．在
3
2023
2
1,
,
,
,
2
3
2023
S
S
S
S
中最大的数是
2023
2023
S
C．在
1
2
3
2023
,
,
,
,
S S S
S
中最大的数是
1S
D．在
1
2
3
2023
,
,
,
,
S S S
S
中最大的数是
2023
S
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得
0
d
，由
n
S
n
是以
1S 为首项，2
d 为公差的等差数列，即可判断AB，由
0
d
可得在
1
2
3
2023
,
,
,
,
S S S
S
中最大的数是不确定的，即可判断CD.
【解析】设等差数列
na
的公差为d ，则
0
d
，由
n
S 存在最大值可知，
0
d
，
因为
2
1
1
1
2
2
2
n
n n
d
d
d
S
na
n
a
n
，则
1
2
2
n
d
d
n
a
n
S
，所以数列
n
S
n
是以
1S 为首项，2
d 为公
差的等差数列，且
0
d
，则
n
S
n
是递减数列，所以在
3
2023
2
1,
,
,
,
2
3
2023
S
S
S
S
中最大的数是
1S ，故A 正确，B
错误；
在
1
2
3
2023
,
,
,
,
S S S
S
中最大的数是不确定的，比如
9
2
na
n
，由
1
0
0
n
n
a
a
，可得7
9
2
2
n
，所以
4
n
，即
4
S 为最大值，故CD 错误；
故选：A
题型十：数列求和基础：倒序相加法
【注意：针对这个知识点，在后面会有专题练习】
1.已知函数
( )
y
f x
满足
( )
(1
)
1
f x
f
x
，若数列
na
满足
1
2
1
(0)
(1)
n
n
a
f
f
f
f
f
n
n
n
，
则数列
na
的前20 项和为（
）
A．100
B．105
C．110
D．115
【答案】D
【详解】因为函数
( )
y
f x
满足
( )
(1
)
1
f x
f
x
，
1
2
1
(0)
(1)
n
n
a
f
f
f
f
f
n
n
n
①，
1
2
1
(1)
(0)
n
n
n
a
f
f
f
f
f
n
n
n
②，
由①+ ②可得2
1
n
a
n
，
1
2
n
n
a
，
所以数列
na
是首项为1，公差为1
2 的等差数列，其前20 项和为
20
1
20 1
2
115
2
.
故选：D.
2.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对1 2
3
100
L
的求和运算中，提
出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为
高斯算法.现有函数
4
( )
4
2
x
x
f x
，则
1
2
3
2018
(
)
(
)
(
)
(
)
2019
2019
2019
2019
f
f
f
f
等于（）
A．1008
B．1009
C．2018
D．2019
【答案】B
【详解】解：因为
4
( )
4
2
x
x
f x
，
且
1
1
4
4
4
4
( )
(1
)
1
4
2
4
2
4
2
2
4
4
x
x
x
x
x
x
x
f x
f
x
，
令
1
2
3
2018
(
)
(
)
(
)
(
)
2019
2019
2019
2019
S
f
f
f
f
,
又
2018
2017
2016
1
(
)
(
)
(
)
(
)
2019
2019
2019
2019
S
f
f
f
f
，
两式相加得：2
1 2018
S
，
解得
1009
S
，
故选：B
3.已知
2
2
1
x
f x
x
，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得
1
2
2022
2023
2023
2023
f
f
f
．
【答案】2022
【详解】解：由
2 1
2 2
1
2
1
2
2
1
2 1
1
2
1
x
x
x
f x
f
x
x
x
x
，
令
1
2
2022
2023
2023
2023
f
f
f
S
，
则
2022
2021
1
2023
2023
2023
f
f
S
f
，
两式相加得：2
2022 2
S
，
∴
2022
S
．
故答案为：2022
4.已知函数
R
1
2
2x
x
f x
x
，等差数列
na
满足
2022
0
a
，则
1
2
3
(
)
f a
f a
f a
4043
f a
．
【答案】4043
2
/ 2011.5
【详解】
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
f x
f
x
.
依题意
na
是等差数列，
令
1
2
3
4043
(
)
f a
f a
f a
S
f a
，
4043
4042
4041
1
(
)
S
f a
f a
f a
f a
，
结合等差数列的性质，两式相加得
4043
2
1 4043,
2
S
S
.
故答案为：4043
2
.
题型十一：数列求和基础：裂项相消法
【注意：针对这个知识点，在后面会有专题练习】
1.数列
na
中，
1
1
na
n
n
，
9
n
S
，则n （
）
A．97
B．98
C．99
D．100
【答案】C
【详解】
1
1
1
na
n
n
n
n
，
故
1
2
2
1
3
2
1
1 1
9
n
n
S
a
a
a
n
n
n
，
解得
99
n
.
故选：C
2.记
n
S 为等差数列
na
的前n 项和，已知
2
5
a
，
6
12
S
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
1
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
*
9
2 ,
N
na
n n
(2)
7 7
2
n
n
T
n
【详解】（1）设
na
的公差为d ，因为
2
5
a
，
6
12
S
，
所以
1
1
5
5 6
6
12
2
a
d
a
d
，解得
1
7
2
a
d
由等差数列通项公式可得
1
9
2
1
na
a
n
n
d
．
即
na
的通项公式为
*
9
2 ,
N
na
n n
（2）因为
1
1
1
1
1
1
9
2
7
2
2 7
2
9
2
n
n
n
b
a a
n
n
n
n
，
因此
1
1
1
1
1
1
1
2
5
7
3
5
7
2
9
2
nT
n
n
，
所以
1
1
1
2 7
2
7
7 7
2
n
n
T
n
n
．
即数列
nb
的前n 项和
7 7
2
n
n
T
n
.
3.已知
*
2 ,
N
na
n n
，若数列
4
2
n
n
a
a
的前n 项和为
nT ，则
nT 的取值范围为
.
【答案】
,
N
1
n
n
n
T T
n
n
【详解】因为
*
2 ,
N
na
n n
，
所以
4
4
1
1
1
=
2
2
2
2
1
1
n
n
a
a
n
n
n n
n
n
，
因此
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
1
1
1
n
n
T
n
n
n
n
，
所以
nT 的取值范围为
,
N
1
n
n
n
T T
n
n
故答案为：
,
N
1
n
n
n
T T
n
n
4.已知数列
na
的前n 项和为
1
,
1
n
S
a ，且当
2
n
时，
2
1
2
n
n
S
n
a
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足：
2
1
n
n
b
n
a
，求
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
1,
1
2 ,
2
n
n
a
n n
(2)
3
1
2
1
nT
n
【详解】（1）因为当
2
n
时，
2
1
2
n
n
S
n
a
，且
1
1
a ，
若
2
n
，则
2
2
2
2
2 1
3
2
S
a
a
，解得
2
4
a
，
若
3
n
，则
1
1
2
2
n
n
S
na
，
两式相减可得：
1
2
1
n
n
n
a
n
a
na
，整理得
1
1
n
n
a
a
n
n
，
即
1
2
2
1
2
n
n
a
a
a
n
n
，可得
2
na
n
；
可知
1
n 不符合上式，
2
n
符合上式，
所以
1,
1
2 ,
2
n
n
a
n n
.
（2）由（1）可得：
1,
1
2
1
1
1 ,
2
1
1
1
n
n
n
b
n
n
a
n n
n
n
，
当
1
n 时，则
1
1
nT
b
；
当
2
n
时，则
1
2
3
1
1
1
1
1
1
3
1
1
2
3
3
4
1
2
1
n
n
T
b
b
b
b
n
n
n
；
可知
1
n 符合上式，所以
3
1
2
1
nT
n
.
5.记递增的等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
5
85
S
，且
6
1
7
a
a
．
(1)求
na 和
n
S ；
(2)设
1
5
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
6
1
na
n
，
2
3
2
n
S
n
n
(2) 6
5
n
n
【详解】（1）设
na
的公差为d（
0
d
）．
因为
1
5
5
3
5(
)
5
85
2
a
a
S
a
，所以
3
17
a
，
由
6
1
7
a
a
得
17
3
7 17
2
d
d
，解得
6
d
，
所以
1
17
12
a
，得
1
5
a
，
所以
3
3
17
3
6
6
1
na
a
n
d
n
n
，
1
2
5
6
1
3
2
2
2
n
n
n a
a
n
n
S
n
n
．
（2）由（1）得，
1
5
5
5
1
1
6
1
6
5
6 6
1
6
5
n
n
n
b
a a
n
n
n
n
，
所以
5 1
1
1
1
1
1
1
1
6 5
11
11
17
6
7
6
1
6
1
6
5
nT
n
n
n
n
5 1
1
6 5
6
5
6
5
n
n
n
．
6.已知等差数列
na
的前n 项和为
*
2
4
,
3,
16,
n
S
a
S
n
N
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
1
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
*
2
1(
N )
na
n
n
(2)
2
1
n
n
T
n
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为d ，因为
2
4
3,S
16
a
，
所以
1
1
3
4
6
16
a
d
a
d
，解得
1
1
2
a
d
，
所以
1
2(
1)
2
1
na
n
n
，
所以数列
na
的通项公式为
*
2
1(
N )
na
n
n
（2）因为
1
1
1
1
1
1
(2
1)(2
1)
2 2
1
2
1
n
n
n
b
a a
n
n
n
n
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
2
1
2
1
2
2
1
2
1
n
n
T
n
n
n
n
.
所以数列
nb
的前n 项和
2
1
n
n
T
n
.
模块三：综合巩固
1.已知等差数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
S
，
7
35
S
，则
5a （
）
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】C
【详解】由题意得
1
1
4
6
8
7
21
35
a
d
a
d
，解得
1
1
2
a
d
，
5
1
4
7
a
a
d
，
故选：C.
2.明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，
n
S 和d 求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九
个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该
问题中老人的长子的岁数为（
）
A．35
B．32
C．29
D．26
【答案】A
【详解】根据题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为3
的等差数列，设长子的岁数为
1a ，
则
1
9 8
207
9
3
2
a
，解得
1
35
a
．
故选：A
3.数列
na
的前n 项和
2
4
N
n
S
n
n
m n
，则
n
S 取最大值时n 的值为（
）
A．2
B．2
C．4
D．4
【答案】B
【详解】对于函数
2
4
f
x
x
x
m
对称轴为
2
x
，开口向下，
所以当
2
x
时函数
f
x 取得最大值，
所以当
2
n
时
2
4
N
n
S
n
n
m n
取得最大值.
故选：B
4.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
3
9
12
a
a
，则
11
S
（
）
A．66
B．72
C．132
D．144
【答案】A
【详解】
1
11
1
1
3
9
12 11
66
2
2
2
11
11
a
a
S
a
a
，
故选：A
5.设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
10
20
S
，
20
10
S
，则
30
S
（
）
A．0
B．10
C．30
D．40
【答案】C
【详解】由等差数列{
}
na
的前n 项和的性质可得：
10
S ，
1
20
0
S
S
，
30
20
S
S
也成等差数列，
20
10
10
30
20
2(
)
(
)
S
S
S
S
S
，
30
2
(10
20)
20
10
S
，解得
30
30
S
．
故选：C.
6．已知等差数列
na
，
1
1
a ，
1
d ，则数列
1
1
n
n
a a
的前100 项和（
）
A．100
101
B．99
101
C．99
100
D．101
100
【答案】A
【分析】先求出
na
的通项，再利用裂项相消法可求前100 项和.
【解析】因为
na
为等差数列且
1
1
a ，
1
d ，
故
na
n
，故
1
1
1
1
1
1
1
n
n
a a
n n
n
n
，
故数列
1
1
n
n
a a
的前100 项和为1
1
1
1
1
1
1
100
1
1
2
2
3
100
101
101
101
，
故选：A.
7．已知数列
na
，
2 sin 2
n
n
a
n
，则数列
na
的前100 项和为（
）
A．5000
B．5000
C．5050
D．5050
【答案】B
【分析】由题意结合三角函数的性质可得
2
0
k
a
、
2
2
1
2
1
(2
1) sin
2
k
k
a
k
，再由并项求和、等差数列的
前n 项和公式即可得解.
【解析】由题意知，当
*
2 ,
n
k k
N
时，
2
2
(2 ) sin
0
k
a
k
k
；
当
*
2
1,
n
k
k
N
时，
2
2
1
2
1
(2
1) sin
2
k
k
a
k
，
所以数列
na
的前100 项和
2
2
2
2
2
100
1
2
3
100
1
3
5
99
1 3
5
7
97
99
S
a
a
a
a
a
a
a
a
(1 3) (1 3)
(5
7) (5
7)
(97
99) (97
99)
50
49
2 (1
3
5
7
97
99)
2
50
2
5000
2
.
故选：B.
【点睛】本题考查了三角函数的性质及等差数列前n 项和公式的应用，考查了并项求和法的应用及运算求
解能力，属于中档题.
8．在等差数列
na
中，
n
S 为其前n 项和.若
2020
0
S
，
2021
0
S
，则下列判断错误的是（
）
A．数列
na
递增B．
1010
0
a
C．数列
na
前2020 项和最小
D．
1011
0
a
【答案】C
【分析】利用等差数列的前n 项和公式，等差数列下角标性
和公差判断数列单调性即可求解.
【解析】因为
2020
0
S
，
2021
0
S
，即
1
2020
2020
0
2
a
a
，
1
2021
2021
0
2
a
a
，
所以
1
2020
0
a
a
，
1
2021
0
a
a
.
因为
1010
1011
1
2020
0
a
a
a
a
，
1011
1
2021
2
0
a
a
a
，
所以
1010
0
a
，
1011
0
a
，所以公差
1011
1010
0
d
a
a
，
所以数列
na
是递增数列，其前1010 项和最小，所以C 错误.
故选：C.
9.已知等差数列
na
和等差数列
nb
的前n 项和分别为
n
S 和
nT ，且
5
63
3
n
n
S
n
T
n
，则使得
n
n
a
b 为整数的正整
数n 的个数为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【详解】由于
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
n
n
n
n
a
a
n
a
n
S
n
a
所以
2
1
2
1
5 2
1
63
5
29
24
5
2
1 3
1
1
n
n
n
n
n
S
a
b
n
T
n
n
n
，
要使
n
n
a
b 为整数，则
1
n 为24 的因数，由于
1
2
n
，故
1
n 可以为2,3,4,6,8,12,24 ，故满足条件的正整数
n 的个数为7 个，
故选：B
10.已知
na
为等差数列，前n 项和为
n
S ，
1
10
a
，公差
2
d ，则数列
na
的前10 项和为（
）
A．10
B．50
C．60
D．70
【答案】B
【详解】由题意可知
1
1
12
2
n
a
d n
n
a
，
所以
na
单调递减，且有
2
6
10 12
2
0,
11
2
n
n n
a
S
n
n
，
记数列
na
的前10 项和为
nT ，
故
10
1
2
6
7
8
10
10
5
2
50
T
a
a
a
a
a
a
S
S
，
故选：B
11.在数列
na
中，
1
2
1
1
1
n
n
a
n
n
n
n
N
，
1
1
n
n
n
b
a a
，则数列
nb
的前n 项和
10
S
（
）
A．10
11
B．20
11
C．30
11
D．40
11
【答案】D
【详解】
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
2
n
n n
n
n
n
a
n
n
n
n
n
，
1
4
1
1
4
1
1
1
4
nb
n n
n n
n
n
，
10
1
1
1
1
1
1
40
4
1
4
1
2
2
3
10
11
11
11
S
.
故选：D.
12.(多选)公差为d 的等差数列
na
，其前n 项和为
11
12
,
0,
0
n
S
S
S
，下列说法正确的有（
）
A．
0
d
B．
7
0
a
C．
n
S
中
6
S 最大
D．
4
9
a
a
【答案】CD
【详解】由
1
11
11
6
11
11
0
2
a
a
S
a
，得
6
0
a
，
又
1
12
12
6
7
12
6
0
2
a
a
S
a
a
，得
6
7
0
a
a
，
6
0
a
，
7
0
a
，
0
d
，
数列
na
是递减数列，其前6 项为正，从第7 项起均为负数，因此前六项和最大，
4
0
a
，
9
0
a
，
4
9
4
9
6
7
0
a
a
a
a
a
a
，即
4
9
a
a
，
故A，B 错误；C，D 正确.
故选：CD.
13.(多选)已知
na
为等差数列，前n 项和为
n
S ，
1
10
a
，公差d = −2 ，则（
）
A．
4
S =
7
S
B．当n = 6 或7 时，
n
S 取得最小值
C．数列
na
的前10 项和为50
D．当n≤2023 时，
na
与数列
3
10
m
（mN）共有671 项互为相反数．
【答案】AC
【详解】对于A，等差数列{
}
na
中，
1
10
a
，公差
2
d ，则
1
(
1)
2
12
n
a
a
n
d
n
，
7
4
5
6
7
6
3
0
S
S
a
a
a
a
，故A 正确；
对于B，由A 的结论，
2
12
na
n
，则
6
0
a
，由d = −2 当
6
n
时，
0
n
a
，
6
0
a
，当
6
n
时，
0
n
a
，
则当
5
n
或6 时，
n
S 取得最大值，且其最大值为(10
0)
6
30
2
，B 错误；
对于C,
1
2
10
1
2
6
7
8
9
10
6
2
4
6
8
30
20
50
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
S
,故C 正确，
对于D，由
2023
n≤
，则
2023
4034
n
a
a
，
则数列{
}
na
中与数列{3
10}
m
中的项互为相反数的项依次为：16
，22
，28
，，4030
，
可以组成以16
为首项，6
为公差的等差数列，设该数列为{ }
nc
，则
10
6
nc
n
，
若
10
6
4030
nc
n
，解可得
670
n
，即两个数列共有670 项互为相反数，D 错误．
故选：AC．
14.已知等差数列
na
中，
1
10
a
，当且仅当
5
n
时，前n 项和
n
S 取得最小值，则公差d 的取值范围
是
.
【答案】
5
2, 2
【详解】由题意可得
5
6
0
0
a
a
，即
10
4
0
10
5
0
d
d
，解得
5
2
2
d
，即公差d 的取值范围是
5
2, 2
.故答案为：
5
2, 2
.
15.数列
na
的通项为
1
1
n
n
a
n
，其前n 项和为
n
S ，若
9
n
S
，则项数n
．
【答案】99
【详解】依题意，
1
1
1
na
n
n
n
n
，
因此
2
1
3
2
4
3
1
1 1
n
S
n
n
n
，
而
9
n
S
，则
1 1
9
n
，解得
99
n
，
所以项数
99
n
.
故答案为：99
16.已知
n
S 是等差数列
na
的前n 项和，且
7
9
4
3,
3
a
S
a
.
(1)求数列
na
的通项公式与前n 项和
n
S ；
(2)若
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
2
11
2
10
n
n
a
n
S
n
n
，
(2)
2
2
10
,
5
10
50,
6
n
n
n n
T
n
n
n
【详解】（1）设等差数列{
}
na
的公差为d ，则
1
1
1
6
3
9
36
3(
3 )
a
d
a
d
a
d
，解得
1
9
2
a
d
.
所以数列{
}
na
的通项公式为
9
(
1) ( 2)
11
2
na
n
n
，
数列{
}
na
的前n 项和
2
9
11
2
10
2
n
n
S
n
n
n
.
（2）由
11 2
0
na
n
得
11
2
n
，所以当
5
n
时，
0
n
a
，
n
n
n
b
a
a
；
由
11 2
0
na
n
得
11
2
n
，所以当
6
n
时，
0
n
a
，
n
n
n
b
a
a
.
所以，当
5
n
时，
2
10
n
n
T
S
n
n
；
当
6
n
时，
1
2
1
2
5
6
7
(
)
n
n
n
T
b
b
b
a
a
a
a
a
a
1
2
5
1
2
5
2(
)
(
)
2
n
n
a
a
a
a
a
a
S
S
2
2
2
2(10
5
5 )
(10
)
10
50
n
n
n
n
.
所以，
2
2
10
,
5
10
50,
6
n
n
n n
T
n
n
n
.
17.已知数列
na
是等差数列，且
2
3
5
25,2
50
a
a
a
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
na
的前n 项和为
n
S ，求
n
S 的最小值．
【答案】(1)
5
35
na
n
(2)-105
【详解】（1）设
na
的公差为d ，则
1
1
1
25
2
2
4
50
a
d
a
d
a
d
，解得
1
30
5
a
d
，
所以
1
1
5
35
na
a
n
d
n
；
（2）由（1）知
1
30
a
，
5
d
，得
1
2
30
5
35
5
65
5
65
2
2
2
2
2
n
n
n a
a
n
n
n
n
S
n
n
．
当
6
7
n
n
或
时，
n
S 有最小值-105．
18．设
na
为等差数列，
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
7
7
S
，
15
75
S
．
(1)证明：数列
n
S
n
为等差数列；
(2)求数列
n
S
n
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
1
9
4
4
nT
n
n
【分析】（1）待定系数法求解出
na
的首项和等差，进而求出
1
5
2
2
n
S
n
n
，从而计算出
1
1
1
2
n
n
S
S
n
n
，得
到结论；
（2）在第一问的基础上，利用等差数列求和公式求解.
【解析】（1）设等差数列
na
的公差为d，则
1
1
1
2
n
S
na
n
n
d
．
因为
7
7
S
，
15
75
S
，
所以
1
1
7
21
7
15
105
75
a
d
a
d
，解得:
1
2
a ，
1
d ．
所以
1
1
1
1
5
1
2
1
2
2
2
2
n
S
a
n
d
n
n
n
．
因为
1
1
1
2
n
n
S
S
n
n
，又
1
1
2
1
S
a
，
所以数列
n
S
n
是等差数列，其首项为2
，公差为
1
2 ．
（2）由等差数列求和公式可知：
2
1
5
2
1
9
2
2
2
4
4
n
n
n
T
n
n
.
19．记数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
7
a ，
2
6
a ，
1
1
N ,
R
n
n
a
ka
n
k
.
(1)证明数列
na
为等差数列，并求通项公式
na ；
(2)记
1
2
3
n
n
T
a
a
a
a
，求
20
T .
【答案】(1)证明见解析，
8
n
a
n
(2)
20
106
T
【分析】（1）由
2
1
1
a
ka
可得出
1
k ，结合等差数列的定义可证明结论成立，确定数列
na
的首项和公
差，即可求得数列
na
的通项公式；
（2）求得
8
,
8
8
8,
9
n
n n
a
n
n
n
，利用等差数列的求和公式可求得
20
T 的值.
【解析】（1）证明：
1
7
a
Q
，
2
6
a ，
1
1
n
n
a
ka
，则
2
1
1
a
ka
，即6
7
1
k
，解得
1
k ，
所以，
1
1
n
n
a
a
，即
1
1
n
n
a
a
，
所以，数列
na
是以7
为首项，以1为公差的等差数列，故
7
1
8
na
n
n
.
（2）解：
8
,
8
8
8,
9
n
n n
a
n
n
n
，
所以，
20
1
2
3
20
8 7
0
12 1 12
28
78
106
2
2
T
a
a
a
a
.
