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人教A版数学--数列专题十四
知识点一等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,数列不等式
能成立（有解）
典例1、已知S是数列{a}的前n项和，且S ＝ S－ － ，a＝－1.
n n n＋1 n 1
（1）求证：{2nS＋2n}是等差数列；
n
（2）若{a}中，只有三项满足 ，求实数λ的取值范围.
n
随堂练习：设数列 的前n项和为 ．数列 为等比数列，且
成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求 的最小值．典例2、在数列 中，已知 ， ( )．
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）记 ，数列 的前n项和为 ，求使得 的整数n的最小值．
随堂练习：已知数列 中， .
（1）求证：数列 是常数数列；
（2）令 为数列 的前 项和，求使得 的 的最小值.典例3、已知数列 的前n项和 ，数列 满足 ．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，求满足 的n的最大值．
随堂练习：已知单调递减的等比数列 满足 ，且 是 ， 的等差
中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的前 项和为 ，求满足不等式 成立的所有正整数 ，组成的有序实数对 ．
知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应
用,
利用an与sn关系求通项或项
典例4、已知数列 的前n项和 .
（1）求 的通项公式．
（2） 的前多少项和最大？
（3）设 ，求数列 的前n项和 .随堂练习：已知数列 满足 ，设 .
（1）证明：数列 为等差数列，并求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 的最小值.
典例5、已知数列 的前 项和为 ，点 在直线 上．
（1）求数列 的前 项和 ，以及数列 通项公式；
（2）若数列 满足： ，设数列 的前 项和为 ，求 的最小值．随堂练习：已知等差数列 的前n项和为 .
（1）若数列 为等差数列，且 ，求 ；
（2）若 ，求公差d的取值范围.
典例6、已知数列 的前 项和为 ， ，______.指出 、 、… 中
哪一项最大，并说明理由.从① ， ，② 是 和 的等比中项这两
个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.随堂练习：已知正项数列 的前n项和为 ， ，当 且 时，
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）请判断是否存在三个互不相等的正整数p，q，r成等差数列，使得 ， ，
也成等差数列.
人教A版数学--数列专题十四答案
典例1、答案：（1）证明见解析；（2） ．
解:（1）证明：∵ ，
∴ ，∴ ．
∵ ， 所以， 是以 为首项，以 为公差的等差数
列．
（2）由（1）可知， ， ∴ ．
当 时， ，
∵ ，所以， 的通项公式为 ．
∴ ， ， ， ， ， ．
当 时， ，即 ，
也就是说，数列 从第 项起，是递减数列．
所以，实数 的取值范围是 ．
随堂练习：答案： （1） （2）4
解：（1）由题意得： 设数列 的公比为 ．由 ，得
，即
成等差数列
，即 ，解得 ，或 （舍去）
．
（2）由 ，当 时， ，两式相减得， ，
对 也成立 所以
设
当n为奇数时， 可递减数列，所以
当n为偶数时， 为递增数列，所以
所以 的最小值为4．
典例2、答案： （1）证明见解析；（2）10．
解:（1）证明：由 ，得 ，从而 ，∴ ，又 ， 故数列 为等比数列；
（2）解：由（1）得 ，故 ，
∴ ，
，
令 ，则 ，解得 ，
∵ ， ∴ ．
故使得 的整数n的最小值为10；
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）最小值为 .
解: （1）由 得： ，即
，即有 数列 是常数数列；
（2）由（1）知：
即 ，
当 为偶数时， ，显然
无解；
当 为奇数时， ，令 ，解得：
，
结合 为奇数得： 的最小值为 所以 的最小值为
典例3、答案：（1）证明见解析；（2）n的最大值为4．
解:（1）证明：∵ ，
∴当 时， ，即 ，
当 时， ，则 ，整理得，
∵ ，即 ．
当 时， ，又 ∴数列 是首项和公差均为1的等差
数列．
（2）由（1）得 ， ∴ ．
∴
∴
由 ，得 ，故 ， ∴n的最大值为4．
随堂练习：答案：（1） ；
（2）正整数m，n组成的有序实数对为(1，1)，(2，1)，(2，2).
解：（1）依题意，有 ，代入 ，
得 ，解得 ，所以 ，
设等比数列 的公比为q，则 ， 解得 或 .
又 单调递减，所以 ， ，于是 ．
（2）由（1）知， ，所以 ．
则
因为 ，所以 又 ，
所以 ，所以m=1，2．
当m=1时，由 ，解得n=1；当m=2时，由 ，解得n=1，2．
综上，满足不等式的所有正整数m，n组成的有序实数对为(1，1)，(2，1)，
(2，2)．
典例 4、答案：（1） （2）前 16 项或前 17 项的和最大 （3）
解：（1）因为 ，当 时 ，
当 时 ，所以
，
经检验当 时 也成立，所以 ；
（2）令 ，即 ，所以 ，
故数列 的前17项大于或等于零．
又 ，故数列 的前16项或前17项的和最大．
（3）由（2）知，当 时， ；
当 时， ，
所以当 时，
．
当 时，
．故 ．
随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）因为 ，所以 ，由 ，
所以 ，且 ，
所以数列 以 为首项，以1为公差的等差数列， 所以 ；
（2）由（1）可知 ，所以 ，
所以当 或 时 取得最小值，且
典例5、答案：（1） ， ， （2）-15
解：（1） ，则 ， 当 时， ；当 时，
；
而 ，∴ ， .
（2） ，当 时， ，当 时， ，
故 .
随堂练习：答案：（1） ；（2） 或 .
解: （1）∵数列 为等差数列，设其公差为 ，
∴ ， ∴ ，
∴当 时，当 时也应成立，此时 ，故
此时 ， .
（2）∵ 为等差数列，首项为 ，
∴ ， ，
∴ ， ∴ ，
整理得， ，
上述方程对 有解，故 ， ∴ .
典例6、答案： ①②均能得到 最大.
解: 因为 ，故 ， 故 .
当 时， 即 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，
所以 ，故 ，也即是
故 ，所以 为等差数列.
若选①，
因为 ， ，故 ，
故 ， ，故 最大.
若选②，则 ，故 ，解得 ，故 ，故 ，故 最大.
随堂练习：答案： （1） ；（2）不存在.
解：（1）当 且 时，有 ，可得 ，
由 ，满足该式，
可得当 时，有 ，平方后可得
当 且 时，有
可化为 有
由 ，有 ，可得数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
有 故数列 的通项公式为
（2）由题意有
又由（1）可知
有
由 ，有 ， ，有
可得
故不存在三个互不相等的正整数p，q，r成等差数列，使得 ， ， 也成等差数列.
