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4.9 数列求和13 种归类（高考版）
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：等差等比数列求和.......................................................... 2
题型二：分组求和......................................................................3
题型三：倒序求和......................................................................5
题型四：错位相消求和................................................................ 7
题型五：裂项相消常规型............................................................. 9
题型六：分段求和.................................................................... 11
题型七：正负相间求和.............................................................. 13
题型八:
λ(an+1−an)
an+1⋅an
型裂项相消.......................................................14
题型九:
λan
(an−t)(an+1−t)⋅型裂项相消................................................. 16
题型十:( −1)�−1 λ(an+1+an)
an+1⋅an 型裂项相消............................................ 18
题型十一:( −1)�−1 λ(an+1−an)
an+1⋅an 型裂项相消......................................... 20
题型十一：“分子分母有理化”型裂项........................................... 20
题型十二：
��+�
(��+�)[�(�+1)+�] ⋅
1
��型裂项相消........................................ 22
模块二：高考真题....................................................................... 24
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模块三：各地模拟....................................................................... 31
4.9 数列求和13 种归类（高考版）
模块一：题型分类
题型一：等差等比数列求和
1.已知数列
na
是等差数列，其前n 项和为
n
S ，且
3
6
a
,
3
12
S
，设
2
n
a
nb
.
（1）求
na ；（2）求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】（1）
2
na
n
（2）
1
4
4
3
n
n
T
试题解析：（1）
3
1
1
3
1
6
2
6
2
{
{
{
2
12
3
3
12
2
n
a
a
d
a
a
n
S
a
d
d
；
（2）
2
2
2
4
n
a
n
n
nb
，
1
2
3
...
n
n
T
b
b
b
b
2
3
4
4
4
...
4n
1
4
4 4
4
4
1
4
3
n
n
.
【提分笔记】
基本规律
等差等比求和公式：
等差：前n 项和公式：Sn＝na1＋nn－1
2
d＝na1＋an
2
.
等比：前n 项和公式：Sn＝
na1，q＝1，
a11－qn
1－q
＝a1－anq
1－q
，q≠1.
2.在等差数列
na
中，
2
4
7
4,
15
a
a
a
.（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设
2
2
n
a
nb
，求
1
2
3
10
b
b
b
b
的值.
【答案】(1)
2
na
n
;（2) 2046
试题解析：(1)设等差数列
na
的公差为d ，由已知得
1
1
1
4
{
3
6
15
a
d
a
d
a
d
解得
1
3
{
1
a
d
3
1
1
na
n
，即
2
na
n
（2)由(1)知
2n
nb
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1
2
3
10
b
b
b
b
=
1
2
2
2
…+
10
2
=
10
2 1
2
1
2
2046
3.已知等差数列
na
的公差不为零，
1
25
a
，且
1
11
13
,
,
a a
a 成等比数列．
（1）求
na
的通项公式；（2）求
1
4
7
3
2
n
a
a
a
a
．
【答案】（Ⅰ）
2
27
na
n
；（Ⅱ）
2
3
28
n
n
．
试题解析：（1）设数列
na
的公差为d ，由题意得
2
11
1 13
a
a a
，即
2
1
1
1
10
12
a
d
a
a
d
，于是
1
2
25
0
d
a
d
，又因为
1
25
a
，所以
0
d
（舍去），
2
d ，所以
2
27
na
n
．
（2）令
1
4
7
3
2
n
n
S
a
a
a
a
，由（1）知
3
2
6
31
n
a
n
，故
3
2
n
a
是首项为25，公差为－6
的等差数列．从而
2
1
4
7
3
2
3
28
n
n
S
a
a
a
a
n
n
．
题型二：分组求和
1.已知在等比数列
na
中，
1
1
a
，且
2a 是
1a 和
3
1
a 的等差中项.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）若数列
nb
满足
*
2
n
n
b
n
a
n
N
，求
nb
的前n 项和
n
S .
【答案】（1）
1
2n
na
-
=
；（2）
2
2
1
n
n
S
n
n
.
【解析】
【分析】
（1）利用等差中项的性质列方程，由此求得q，进而求得数列
na
的通项公式；
（2）利用分组求和法求得
n
S .
【详解】
（1）设等比数列
na
的公比为q，则
0
q
，则
2
1
a
a q
q
，
2
2
3
1
a
a q
q
，
由于
2a 是
1a 和
3
1
a 的等差中项，即
2
1
3
2
1
a
a
a
，即
2
2q
q
，解得
2
q =
.
因此，数列
na
的通项公式为
1
1
1
1
1 2
2
n
n
n
n
a
a q
；
（2）
1
2
2
2n
n
n
b
n
a
n
，
0
1
2
1
1
2
3
2
2
4
2
6
2
2
2n
n
n
S
b
b
b
b
n
2
1
2
(2
2 )
1
2
(2
4
6
2 )
1
2
2
2
2
1
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
.
【提分笔记】
基本规律
分组求和法：
1.形如an＝b
c
n
n
（等差）（等比），用分组求和法，分别求和而后相加减
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2.形如an＝b
c
n
n
（等差比）（裂项），用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如an＝b
c
b
c
n
n
n
n
，（，为可以求和的常见数列），用分组求和法，分别求和而后相加减
2.已知正项等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足关于x 的不等式
2
1
2
2
0
a x
S x
的解集为(1,2).
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）若数列
nb
满足
2
2log
2
1
n
n
n
b
a
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】（1）
1
*
2
,
N
n
n
a
n
；（2）
1
2
2
2
n
n
T
n
.
【分析】
（1）设等比数列
na
的公比为q，由不等式
2
1
2
2
0
a x
S x
的解集为
1,2 得到
1a 和q的值，进而求得
数列
na
的通项公式；
（2）由（1）中
na
的通项公式得到
nb
的通项公式，由
nb
的通项公式的特点进行等差数列和等比数
列分组求和，进而得到
nb
的前n 项和
nT .
【详解】（1）设等比数列
na
的公比为q.
因为关于x 的不等式
2
1
2
2
0
a x
S x
的解集为(1,2)，所以
1
1
2
2,
1
a
a
，又
2
1
1
2
3
S
a
，得
2
3
S
，
所以
2
1
2
1
3
S
a
a
q
，解得
2
q =
.所以数列
na
的通项公式为
1
*
2
,
N
n
n
a
n
.
（2）由（1）可得，
1
2n
na
-
=
.
因为
2
2log
2
1
n
n
n
b
a
a
，所以
2
2
1
n
nb
n
，所以数列
nb
的前n 项和
1
2
2
2
2
2(1 2
)
n
nT
n
n
2 1 2
(
1)
2
1 2
2
n
n n
n
1
2
2
2
n
n
.
所以
1
2
2
2
n
n
T
n
.
3.已知正项数列
na
满足：
1a
a
，
2
2
1
1
4
2
0
n
n
n
n
a
a
a
a
，n
N .
（1）判断数列
na
是否是等比数列，并说明理由；
（2）若
2
a
，设
n
n
a
b
n
，n
N ，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）
1
1
2
2
1
2
n
n n
.
【解析】
【分析】（1）把已知等式左边因式分解，由数列为正项数列得
1
2
n
n
a
a
，但需对
1a 讨论，
1
0
a
，不是
等比数列，否则是等比数列；
（2）由（1）求得
na ，即可得
nb ，用分组求和法求和
n
S ．
【详解】
解：（1）∵
2
2
1
1
1
1
4
2
0
2
2
1
0
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
，
又
na
是正项数列，可得
12
1
0
n
n
a
a
，∴
1
2
n
n
a
a
，
∴当
0
a
时，数列
na
不是等比数列；当
0
a
时，易知
0
na
，故
1
2
n
n
a
a
，
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所以数列
na
是等比数列，首项为a ，公比为2.
（2）由（1）知，
2n
n
a
，
2n
nb
n
，
∴
2
1
1
1
2
3
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
S
n
n n
L
L
.
题型三：倒序求和
1.已知函数
3
3
( )
log 1
x
f x
x
．
（1）证明函数
( )
f x 的图像关于点1
(
,1)
2
对称;
（2）若
1
2
1
( )
( )
...
(
)(
,
2)
n
n
S
f
f
f
n
N
n
n
n
n
，求
n
S ；
【答案】（1）证明：见解析；（2）
1
n
S
n
；
【解析】
试题分析：（1）证明：因为函数
3
3
( )
log 1
x
f x
x
的定义域为(0,1) ，设
1
1
( ,
)
M x y
、
2
2
(
,
)
N x
y
是函数
( )
y
f x
图像上的两点, 其中
1
2
,
(0,1)
x x
且
1
2
1
x
x
+
,
则有
1
2
1
2
1
2
3
3
1
2
3
3
(
)
(
)
log
log
1
1
x
x
y
y
f x
f x
x
x
1
2
3
1
2
1
2
9
log
2
1 (
)
x x
x
x
x x
因此函数图像关于点1
(
,1)
2
对称4 分
（2）由（1）知当
1
2
1
x
x
+
时，
1
2
( )
(
)
2
f x
f x
1
2
1
( )
( )
(
)
n
n
S
f
f
f
n
n
n
①
1
2
1
(
)
( )
( )
n
n
S
f
f
f
n
n
n
②
①+②得
1
n
S
n
8 分
【提分笔记】
基本规律
倒序求和，多是具有中心对称的
2.设奇函数��对任意�∈�都有�(�) = �(�−1) +
1
2 .
(1)求�
1
2 和�(
�
�) + �(
�−�
�)(�= 0,1,2, …, �)的值；
(2)数列��满足：��= �0 + �
1
�+ �
2
�+ ⋯�
�−1
�
+ �1 −�
1
2 ，数列��是等差数列吗？请给予证
明；
【答案】解：（1）
1
4，
1
2；（2）是等差数列.
【解析】
【分析】
（1）根据��= ��−1 +
1
2，且f（x）是奇函数，将
1
2代入，可求�
1
2 的值，再结合奇函数得到��+ �1 −
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�=
1
2．令�=
�
�，即可求得结论；
（2）利用倒序相加法结合第一问的结论，求出Sn，进而求出数列{an}的通项公式，再根据定义即可证
得数列{an}是等差数列．
【详解】
解：（1）∵��= ��−1 +
1
2，且f（x）是奇函数
∴�
1
2 = �
1
2 −1 +
1
2 = �−
1
2 +
1
2 =−�
1
2 +
1
2
∴2�
1
2 =
1
2，故�
1
2 =
1
4
因为��= ��−1 +
1
2 =−�1 −�+
1
2，所以��+ �1 −�=
1
2．
令�=
�
�，得�
�
�+ �1 −
�
�=
1
2，即�
�
�+ �
�−�
�
=
1
2．
（2）令��= �0 + �
1
�+ �
2
�+ ⋯�
�−1
�
+ �1
又��= �1 + �
�−1
�
+ ⋯+ �
1
�+ �0
两式相加2��= �0 + �1
+ �
1
�+ �
�−1
�
+ ⋯+ �1 + �0
=
�+1
2 ．
所以��=
�+1
4 ，
故��= ��−�
1
2 =
�+1
4 −
1
4 =
�
4，�∈�∗
又��+1 −��=
�+1
4 −
�
4 =
1
4．故数列{an}是等差数列．
3.已知f(x)＝
1
4
2
x
(x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2 的中点P
的横坐标是1
2 .
（1）求证：点P 的纵坐标是定值；
（2）若数列{an}的通项公式是an＝
*
N ,
1,2,3,
,
n
f
m
n
m
m
，求数列{an}的前m 项和Sm.
【答案】（1）见证明过程（2）Sm＝3
1
12
m
【分析】
（1）根据P1P2 的中点P 的横坐标是1
2 可得x1＋x2＝1，计算y1＋y2＝
1
2
1
2
1
2
4
4
4
4
2 4
4
4
(
)
x
x
x
x
x
x
，代入x1＋x2
＝1 可得y1＋y2＝1
2 ，即可得证；（2）利用倒序相加法求数列的和即可.
【详解】（1）证明：∵P1P2 的中点P 的横坐标为1
2 ，∴
1
2
2
x
x
＝1
2 ，∴x1＋x2＝1.
∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，∴y1＝
1
1
4
2
x
，y2＝
2
1
4
2
x
∴y1＋y2＝
1
1
4
2
x
＋
2
1
4
2
x
＝
1
2
1
2
4
2
4
2
4
2 4
2
(
)(
)
x
x
x
x
＝
1
2
1
2
1
2
4
4
4
4
2 4
4
4
(
)
x
x
x
x
x
x
＝
1
2
1
2
4
4
4
4
2 4
4
4
(
)
x
x
x
x
＝
1
2
1
2
4
4
4
2 4
4
4
(
)
x
x
x
x
＝1
2 ，∴点P 的纵坐标为
1
2
2
y
y
＝1
4
.∴点P 的纵坐标是定值．
（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am＝f
1
m
＋f
2
m
＋f
3
m
＋…＋f
m
m
＝f
1
m
＋f
2
m
＋f
3
m
＋…＋
f
1
m
m
＋f(1)．
令S＝f
1
m
＋f
2
m
＋f
3
m
＋…＋f
1
m
m
，①
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倒序得S＝f
1
m
m
＋f
2
m
m
＋f
3
m
m
＋…＋f
1
m
，②
①＋②，得
2S＝
1
1
m
f
f
m
m
＋[f
2
m
＋f
2
m
m
]＋[f
3
m
＋f
3
m
m
]＋…＋[f
1
m
m
＋f
1
m
]．
∵k
m
＋m
k
m
＝1(k＝1，2，3，…，m－1)，∴由（1）知f
k
m
＋f m
k
m
＝1
2 .
∴2S＝1
2
(m－1)，∴S＝1
4
(m－1)．又f(1)＝
1
4
2
＝1
6
，
∴Sm＝S＋f(1)＝
1
4 (m－1)＋
1
6 ＝
3
1
12
m
题型四：错位相消求和
1.设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
4
2
4
S
S
，
2
1
2
1
a
a
.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设数列
nb
满足
2
1
4
n
n
n
a
b
，求数列
nb
的前n 项和
n
R .
【答案】（1）
*
2
1
na
n
n
N
；（2）
1
1
3
1
4
9
4
n
n
n
R
.
【分析】
（1）设等差数列
na
的公差为d ，求出
1,
a d ，即得解；
（2）由题得
1
1
4
n
n
n
b
，再利用错位相减法求和得解.
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为d ，
由
4
2
4
S
S
，
2
1
2
1
a
a
得
1
1
1
1
4
6
8
4
2
1
a
d
a
d
a
d
a
，解得
1
1
2
a
d
，
因此
*
1
(
1)
2
1
na
a
n
d
n
n
N
；
（2）由题意知：
1
2
2
1
4
4
n
n
n
n
a
n
b
，所以
0
1
2
1
0
1
2
1
4
4
4
4
n
n
n
R
，
则
1
2
1
1
0
1
2
1
4
4
4
4
4
n
n
n
n
n
R
，两式相减得
1
2
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
4
4
1
4
4
4
4
4
4
1
4
n
n
n
n
n
n
n
R
1
1
1
1
1
3
4
4
n
n
n
1
3
1
(1
)
3
4n
n
，因此，
1
4
3
1
1
3
1
1
4
9
4
9
4
n
n
n
n
n
R
.
【提分笔记】
基本规律
错位相减法：形如an＝b
c
n
n
（等差）（等比），用错位相减法求解．
学科网（北京）股份有限公司
2.设{
}
n
a
是公比不为1 的等比数列，
1a 为
2
a ，
3
a 的等差中项．（1）求{
}
n
a
的公比；
（2）若
1
1
a ，求数列{
}
n
na
的前n 项和．
解：（1）设{ }
na
的公比为q ，由题设得
1
2
3
2
,
a
a
a
即
2
1
1
1
2a
a q
a q
.
所以
2
2
0,
q
q
解得
1
q
（舍去），
2
q
.故{ }
na
的公比为2
.
（2）设
n
S 为{
}
n
na
的前n 项和.由（1）及题设可得，
1
( 2)n
n
a
.所以
1
1
2
( 2)
( 2)n
n
S
n
，
2
1
2
2
2
( 2)
(
1)
( 2)
( 2)
n
n
n
S
n
n
.
可得
2
1
3
1
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
n
n
n
S
n
1 ( 2)
=
( 2) .
3
n
n
n
所以
1
(3
1)( 2)
9
9
n
n
n
S
.
2.设数列
na
的前n 项和为
n
S ，
2
4
a
，且对任意正整数n ，点
1,
n
n
a
S
都在直线
3
2
0
x
y
上.（1）
求
na
的通项公式；
（2）若
n
n
b
na
，求
nb
的前n 项和
nT .
【答案】（1）
2
n
n
a
；（2）
1
2
1
1
2
9
3
9
n
nT
n
.
【分析】
（1）由
1,
n
n
a
S
在
3
2
0
x
y
上有递推式
1
3
2
0
n
n
a
S
，即可得
1
2
n
n
a
a
，说明此等量关系
在
*
n
N
上都成立，则可求
na
的通项公式；（2）结合（1）知
2
n
nb
n
，利用错位相减法求
nb
的
前n 项和
nT .
【详解】
（1）由点
1,
n
n
a
S
在直线
3
2
0
x
y
上，有
1
3
2
0
n
n
a
S
，
当
2
n
时，
1
3
2
0
n
n
a
S
，
两式相减得
1
1
3
3
0
n
n
n
n
a
a
S
S
，即
1
3
0
n
n
n
a
a
a
，
1
2
n
n
a
a
，
又当
1
n
时，
2
1
2
1
3
2
3
2
0
a
S
a
a
而
2
4
a
，解得
1
2
a ，满足
2
1
2
a
a
，
即
na
是首项
1
2
a ，公比
2
q
的等比数列，
∴
na
的通项公式为
2
n
n
a
.
（2）由（1）知，
2
n
nb
n
，则
2
3
1
1
2
2
2
3
2
1
2
2
n
n
n
T
n
n
，
2
3
4
1
2
1
2
2
2
3
2
1
2
2
n
n
n
T
n
n
.
两式相减得
学科网（北京）股份有限公司
2
3
1
3
2
2
2
2
2
n
n
nT
n
L
1
1
2
2
2
3
n
n
n
1
2
1
2
3
3
n
n
所以
1
2
1
1
2
9
3
9
n
nT
n
.
题型五：裂项相消常规型
1.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
5
15
S
，
7
35
S
.
（1）求
na
的通项公式
na ；
（2）若
1
2
1
n
n
a b
n
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】（1）
2
3
na
n
；（2）
1 2
n
n
T
n
.
【分析】
（1）由
5
15
S
，
7
35
S
，得
3
3
a
，
4
5
a
，则
5
3
2
d
，
1
3
2
1
a
a
d
，进而可得答案；
（2）利用（1）由
1
2
1
n
n
a b
n
得，
1
1
1
2 2
3
2
1
nb
n
n
，利用裂项相消法可得答案.
【详解】（1）由
1
5
5
3
5
5
15
2
a
a
S
a
，得
3
3
a
，同理
7
4
7
35
S
a
可得
4
5
a
，
设公差为d ，则
5
3
2
d
，
1
3
2
1
a
a
d
，所以
1
1
2
2
3
na
n
n
.
（2）由
1
2
1
n
n
a b
n
得，
1
1
1
1
2
1 2
3
2 2
3
2
1
nb
n
n
n
n
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
3
3
5
2
3
2
1
nT
n
n
1
1
1
2
2
1
1 2
n
n
n
所以
1 2
n
n
T
n
.
【提分笔记】
基本规律
裂项相消法：常用的裂项公式有：
①
1
nn＋1＝1
n－1
n＋1
；
②
1
2n－12n＋1＝1
2
1
2n－1
－
1
2n＋1 ；
③
1
n＋n＋1
＝n＋1－n；
④
2n
2n－12n＋1－1＝
1
2n－1
－
1
2n＋1－1
；
学科网（北京）股份有限公司
⑤
n＋1
n2n＋22＝1
4×(n+2)2－n2
n2(n+2)2 ＝1
4×[
1
(n+2)2－1
n2]
2.设数列
na
满足：
1
1
a
，且
1
1
2
n
n
n
a
a
a
（
2
n
），
3
4
12
a
a
.
（1）求
na
的通项公式：
（2）求数列
2
1
n
n
a a
的前n 项和.
【答案】（1）
2
1
na
n
（
*
n
N
）（2）1
1
3
(2
1)(2
3)
n
n
n
【分析】(1)先根据等差中项判别法判断出数列{ }
na
是等差数列,然后根据已知条件列式求出公差d ,即可得
到数列{ }
na
的通项公式;
(2)由(1)求出数列
2
1
{
}
n
n
a a
的通项公式,然后运用裂项相消法求出前n 项和
n
S .
【详解】(1)由
1
1
2
n
n
n
a
a
a
(
2
n
)可知数列
na
是等差数列,设公差为d ,
因为
1
1
a
,所以
3
4
1
1
2
3
12
a
a
a
d
a
d
,解得
2
d
,
所以
na
的通项公式为:
2
1
na
n
(
*
n
N
);
(2)由(1)知
2
1
1
1
1
1
(2
1)(2
3)
4 2
1
2
3
n
n
a a
n
n
n
n
,
所以数列
2
1
n
n
a a
的前n 项和:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
5
3
7
5
9
2
1
2
3
n
S
n
n
1
1
1
1
1
4
3
2
1
2
3
n
n
1
1
3
(2
1)(2
3)
n
n
n
.
3.已知公差不为零的等差数列
na
满足：
3
8
20
a
a
，且
5a 是
2a 与
14
a 的等比中项.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设数列
nb
满足
1
1
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
【答案】（1）
2
1
na
n
；（2）
2
1
n
n
S
n
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；
（2）利用裂项相消法求和．
【详解】
（1）设等差数列
na
的公差为d，
∵
3
8
20
a
a
，且
5a 是
2a 与
14
a 的等比中项，
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
2
1
1
1
2
9
20
4
13
a
d
a
d
a
d
a
d
，解得
1
1
a
，
2
d
，
∴
1
2(
1)
2
1
n
a
n
n
.
（2）由（1）得
2
1
na
n
∴
1
1
1
1
(2
1)(2
1)
2 2
1
2
1
nb
n
n
n
n
，∴
1
2
3
n
n
S
b
b
b
b
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
2
1
2
1
n
n
1
1
1
2
2
1
n
2
1
n
n
题型六：分段求和
1.设
na
是等差数列，
nb
是等比数列.已知
1
1
a
，
1
2
b
，
2
2
2
b
a
，
3
3
2
2
b
a
.
（1）求
na
和
nb
的通项公式；
（2）数列
nc
满足
1,
2 (
)
,
2
k
n
k
n
n
c
k
N
a n
，设数列
nc
的前n 项和为
n
S ，求
2n
S
.
【答案】（1）
na
n
，
2n
nb
；（2）
2
1
1
2
2
3 2
2
n
n
n
S
n
.
【分析】
（1）设
na
是公差为d 的等差数列，
nb
是公比为q的等比数列，根据条件求出
1
d
，
2
q =
，再代入
通项公式即可；
（2）利用等差数列和等比数列的前n 项和公式求和，即可得答案；
【详解】
（1）设
na
是公差为d 的等差数列，
nb
是公比为q的等比数列，
由
1
1
a
，
1
2
b
，
2
2
2
b
a
，
3
3
2
2
b
a
，
可得
2
2 1
q
d
，
2
2
2 1 2
2
q
d
，
解得
1
d
，
2
q =
，
则
1
1
na
n
n
，
2n
nb
，
*
N
n
；
（2）
1
2
1
2
1
2
3
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
S
c
c
c
a
a
a
a
a
a
a
n
2
1
2
3
2
2
2
2
n
n
n
1
1
2
1
1
2 2
1
1 1 2
2
2
1 2
2
2
2
3 2
2
2
2 1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
【提分笔记】
基本规律
分段数列求和：
1.分奇偶讨论，各自新数列求和。注意奇数项与偶数项各自项数。
2.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和
2.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
2
a
，
1
1
0
2
n
n
n
n
S S
S
S
n
.
学科网（北京）股份有限公司
（1）求证：数列
1
n
S
是等差数列；
（2）若
1
,
3
2
,
n
n
n
S
n
C
n
n
奇
偶
为
数
为
数
，设数列
n
C
的前n 项和为
nT ，求
2n
T
.
【答案】（1）证明见解析；（2）
2
1
2
5
1
3
12
4
4
n
n
【分析】
（1）由已知变形为
1
1
1
1
n
n
S
S
，可证得等差数列；
（2）由（1）求得
n
S ，从而得
nc ，对
2n
T
按奇数项和偶数项分别分组求和，奇数项的和用裂项相消法求和，
偶数项用等比数列前n 项和公式求和．
【详解】
解：（1）证明：因为
1
1
2
a
，
1
1
0
2
n
n
n
n
S S
S
S
n
，所以
2
1
6
a
，所以
1
0
n
n
S
S
，
所以
1
1
1
1
n
n
S
S
.
所以
1
n
S
是以
1
1
2
S
为首项，以1为公差的等差数列.
（2）由（1）可得
1
2
1
1
n
n
n
S
，所以
1
1
n
S
n
.
∴
1
1
1
3
2
n
n
n
n
n
c
n
为奇数
为偶数
∴
1
3
2
1
2
1 1
1
1
1
1
1
...
2
2
...
2
2 2
4
4
6
2
2
2
n
n
T
n
n
2
1
2
1
1 1
1
2
2
2
5
1
2 2
2
2
3
3
12
4
4
n
n
n
n
．
3.已知等比数列{ }
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a
，且4
n
S ，
1
3
n
S ，
2
2
n
S 成等差数列.
（1）求{ }
na
的通项公式；
（2）若数列{ }
nb
满足
1
0
b
，
1
1
n
n
b
b
，设
,
2
1,
,
2 ,
n
n
n
a n
k
k
Z
c
b n
k k
Z
，求数列{ }
nc
的前2n项和.
【答案】（1）
1
2n
na
-
=
，
*
n
N
；（2）
2
4
1
3
3
n
n
.
【分析】
（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义、通项公式可得所求；
（2）由等差数列的定义和通项公式，可得
nb ，求得
1
2
, =2
1,
1,
2 ,
n
n
n
k
k
Z
c
n
n
k k
Z
，运用数列的分组求和，
以及等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和.
【详解】
解：（1）由4
n
S ，
1
3
n
S ，
2
2
n
S 成等差数列，
可得
1
2
6
4
2
n
n
n
S
S
S
，即
1
2
3
2
n
n
n
S
S
S
，
学科网（北京）股份有限公司
即
1
2
1
2(
)
n
n
n
n
S
S
S
S
，
即
1
2
2
n
n
a
a
，所以等比数列{ }
na
的公比为2，
又
1
1
a
，可得
1
2n
na
-
=
，
*
n
N
；
（2）由
1
0
b
，
1
1
n
n
b
b
，可得{ }
nb
是首项为0，公差为1 的等差数列，
则
1
nb
n
，
*
n
N
，
1
,
2
1,
2
,
2
1,
,
2 ,
1,
2 ,
n
n
n
n
a n
k
k
Z
n
k
k
Z
c
b n
k k
Z
n
n
k k
Z
，
所以{ }
nc
的前2n项和为
1
2
2
1
3
2
1
2
4
2
+
+
+
n
n
n
c
c
c
a
a
a
b
b
b
2
2
1 4 16
2
1 3
2
1
n
n
2
1
4
1
2
1
4
1
1
4
2
3
3
n
n
n
n
n
.
题型七：正负相间求和
1.已知数列
na
的前n 项和是
n
S ，且
2
1
n
n
S
a
n
*
N
.（1）求数列
na
的通项公式；
（2）令
2
log
n
n
b
a
，求数列
2
1
n
nb
前2n 项的和T .
【答案】(1)
1
2n
na
-
=
；(2)
2
1
T
n
n
.
解析：（1）由
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
S
a
S
a
得
*
1
2
N ,
1
n
n
a
a
n
n
，于是
na
是等比数列.
令
1
n
得
1
1
a
，所以
1
2n
n
a
.
（2）
1
2
2
log
log 2
1
n
n
n
b
a
n
，于是数列
nb
是首项为0，公差为1 的等差数列.
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
2
1
2
n
n
T
b
b
b
b
b
b
1
2
3
2
1
2
n
n
b
b
b
b
b
，所以
2
2
1
2
1
2
n
n
T
n
n
.
【提分笔记】
基本规律
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后
的奇数项通项。
2.设
n
S 是数列
na
的前n 项和，已知
1
1
a
，
1
2
2
n
n
S
a
⑴求数列
na
的通项公式；
⑵设
1
2
1
log
n
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】（1）
1
1
2
n
n
a
（2）
1
,
2
,
2
n
n n
T
n n
为奇数
为偶数
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）因为
1
2
2
n
n
S
a
，所以当
2
n
时，
1
2
2
n
n
S
a
两式相减得
1
2
2
n
n
n
a
a
a
，
所
以
1
1
2
n
n
a
a
当
1
n
时，
1
2
2
2
S
a
，
1
1
a
，则
2
1
2
a
所以数列
na
为首项为1，公比为1
2 的等比数列，故
1
1
2
n
n
a
（2）由（1）可得
1
2
1
log
1
1
n
n
n
n
b
a
n
所以
0 1 2
3
1
1
n
nT
n
故当n 为奇数时，
1
0
1
2
3
4
2 1
2
n
n
T
n
n
当n 为偶数时，
0 1
2
3
4
5
2
1
2
n
n
T
n
n
综上
1
,
2
,
2
n
n n
T
n n
为奇数
为偶数
3.已知等差数列
na
满足：
2
4
a
，
5
3
2
2
0
a
a
.
（1）求
na
的通项公式；
（2）若数列
nb
满足：
*
1
n
n
n
b
a
n n
N
，求
nb
的前n 项和
n
S .
【答案】（1）
*
2
na
n n
N
；（2）n 为偶数，
n
S
2
3
2
n
n
；n 为奇数，
n
S
2
2
2
n
n
；
【详解】
（1）设等差数列
na
的公差为d ，由
2
4
a
，5
3
2
2
0
a
a
，得
1
1
1
4
4
2
2
2
0
a
d
a
d
a
d
，
解得
1
2
a
，
2
d
，故
na
的通项公式为
*
2
na
n n
N
.
（2）由于
*
1
n
n
n
b
a
n n
N
，①若n 为偶数，结合
1
2
n
n
a
a
，得
1
2
3
4
1
1 2
n
n
n
S
a
a
a
a
a
a
n
2
1
3
2 2
2
2
n n
n
n
n
；
②若n 为奇数，则
2
1
1
3
1
2
2
n
n
n
n
n
S
S
b
n
n
2
2
2
n
n
.
综上，当n 为偶数时，
2
3
2
n
n
n
S
，当n 为奇数时，
2
2
2
n
n
n
S
.
题型八:
�(��+�−��)
��+�⋅��
型裂项相消
1.数列
na
满足
1
1
a
，2
3
a
且
*
2
1
2
1
1
2
N
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
n
a
a
a
a
.（1）设
1
n
n
n
n
a
b
a
a
，证明：数列
nb
是等差数列；（2）设
2
1
1
n
n
n
n
a
c
a a
，求数列
nc
的前n 项和为
n
S .
【答案】（1）证明见详解；（2）
2
2
2
2
1
n
n
n
.
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）由
2
1
2
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
得
2
1
1
1
2
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
，则
1
2
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
，即
1
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
，因为
1
n
n
n
n
a
b
a
a
，所以
1
1
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
b
b
a
a
a
a
，
即数列
nb
是以1为公差的等差数列；
（2）因为
1
1
a
，2
3
a
，所以
1
1
2
1
1
2
a
b
a
a
；由（1）得，
1
1
(
1)
2
2
nb
n
n
，即
1
1
2
n
n
n
a
n
a
a
，
则
1
2
1
2
1
n
n
a
n
a
n
，所以
2
1
3
1
a
a
，
3
2
5
3
a
a
，…，
1
2
1
2
3
n
n
a
n
a
n
，
以上各式相乘可得，
1
3 5
2
1
...
2
1
1 3
2
3
na
n
n
a
n
，所以
2
1
na
n
；
因此
2
2
2
1
1
4
4
1 1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
a
n
n
c
a a
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
2
1 2
1
2 2
1
2
1
n
n
n
n
，
因此数列
nc
的前n 项和为
1
2
3
...
n
n
c
c
c
c
S
1
1
1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
1
2
3
2 3
5
2 5
7
2 2
1
2
1
n
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
2
3
3
5
5
7
2
1
2
1
n
n
n
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
.
【提分笔记】
基本规律
1.形如a-b
ab ，可列为
a-b
1
1
ab
b
a
型。其中，分子a-b 是隐藏比较深的分母相减结果，需要注意构造出
这种形式。
2.如果分子次幂比较高，可以先分离常数，再构造分母之差的形式。
2.正项数列
na
的前n 项和Sn 满足：
2
2
2
(
1)
(
)
0
n
n
S
n
n
S
n
n
(1)求数列
na
的通项公式
na ；
(2)令
2
2
1
(
2)
n
n
n
b
n
a
，数列{bn}的前n 项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜5
64
.
【答案】（1）
2 ;
na
n
（2）见解析
【详解】（1）因为数列
的前项和
满足：
，
所以当
时，
，即
解得
或
，因为数列
都是正项，
所以
，因为
，所以
，解得
或
，
因为数列
都是正项，所以
，当
时，有
，所以
，
解得
，当
时，
，符合
所以数列
的通项公式
，
;
学科网（北京）股份有限公司
（2）因为
，所以
，
所以数列
的前项和
为：
，当
时，有
，
所以
，所以对于任意
，数列
的前项和
.
3.等差数列
na
满足
1
3
a
，
2
1
a ，
5
1
a
，
9
5
a
成等比数列，数列
nb
满足
1
1
b
，
1
n
n
n
b
b
a
.
（Ⅰ）求数列
na
，
nb
的通项公式；（Ⅱ）数列
1
n
n
n
a
b b
的前n 项和为
nT ，证明
1
nT .
【答案】（Ⅰ）
2
1
na
n
；
2
nb
n
；（Ⅱ）证明见解析.
【详解】（Ⅰ）由题意得
2
2
2
9
5
1
5
1
(4
)(8 8 )
(4
4 )
a
a
a
d
d
d
1
d
（不符）或
2
d
，
所以
2
1
na
n
.则当
2
n
时
1
2
1
3
2
1
n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
2
1
1
2
1
1
3
5
(2
1)
n
b
a
a
a
n
n
.当
1
n
时符合，所以
2
nb
n
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
2
2
2
2
1
2
1
1
1
(
1)
(
1)
n
n
n
a
n
b b
n
n
n
n
，所以
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
(
1)
nT
n
n
2
1
1
1
(
1)
n
.
题型九:
���
(��−�)(��+�−�)⋅型裂项相消
1.已知数列
na
满足
1
1
a
，
1
4
2
n
n
n
a
a
.（1）求数列
na
的通项公式；
（2）令
1
2
1
1
n
n
n
n
b
a
a
，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，若对于任意的n
N ，均有
n
m
T
恒成立，
求实数m 的取值范围.
【答案】（1）
1
2n
na
-
=
；（2）
1
m
.
【详解】
（1）由
1
4
2
n
n
n
a
a
，则
1
1
2
4
2
n
n
n
a
a
，两式相除得：
2
4
n
n
a
a
.当n 为奇数时，
1
1
2
1.4
2
n
n
na
，
当n 为偶数时，
1
1
2
2 4
2
n
n
na
，∴
1
2n
na
-
=
.
（2）由（1）知
1
1
2
1
1
2 2
1
2
1
2
1 2
1
n
n
n
n
n
n
b
，
则
0
1
2
1
1
1
1
1
1
2 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
T
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
n
n
，
∴
1
nT ，由
n
m
T
恒成立，则
1
m
.
学科网（北京）股份有限公司
【提分笔记】
基本规律
形如
+1
f (n)
t
t
n
n
a
a
指数型，其中f（n）可构造为
+1
f(n)
[
t
t ]
n
n
a
a
，化为
a-b
1
1
ab
b
a
。
注意构造过程中指数幂的运算。
2.在数列
na
中，
1
1
a
，
2
3
a
，且对任意的nN
*，都有
2
1
3
2
n
n
n
a
a
a
.
（Ⅰ）证明数列
1
n+
n
a
a
是等比数列，并求数列
na
的通项公式；
（Ⅱ）设
1
2n
n
n
n
b
a a
，记数列
nb
的前n 项和为
n
S ，若对任意的nN
*都有
1
n
n
S
m
a
，求实数m 的取
值范围.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
1
3
m
【详解】
（Ⅰ）由
2
1
3
2
n
n
n
a
a
a
可得
2
1
1
2(
)
n
n
n
n
a
a
a
a
．又
1
1
a
，2
3
a
，所以
2
1
2
0
a
a
，
故
2
1
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
.所以
1
{
}
n
n
a
a
是首项为2，公比为2 的等比数列.所以
1
2n
n
n
a
a
.
所以
1
2
1
1
(
)
(
)
n
n
n
a
a
a
a
a
a
2
1 2
2
2n
2
1
n
.
（Ⅱ）因为
1
2
(2
1)(2
1)
n
n
n
n
b
1
1
(2
1)
(2
1)
(2
1)(2
1)
n
n
n
n
1
1
1
2
1
2
1
n
n
.
所以
1
2
n
n
S
b
b
b
2
2
3
+1
1
1
1
1
1
1
2 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
+1
1
=1
2
1
n
.
又因为对任意的
*
n
N
都有
1
n
n
S
m
a
，所以
1
1
1
1
2
1
2
1
n
n+
m
恒成立，
即
1
min
1
1
1
2
1
2
1
n
n
m
,即当
1
n
时，
1
3
m
.
3.在数列
na
中，
1
1
a
，
2
2
a
，
2
1
3
4
n
n
n
a
a
a
.
（1）求
na
的通项公式；
（2）
2
1
5
2
3
n
n
a
b
，
n
S 是数列
n
n
b
b
的前n 项和，
n
n
n
b
T
S
，求证：
1
2
3
2
n
T
T
T
．
【答案】（1）
1
1
3
2
4
1
5
5
n
n
na
；（2）证明见解析.
【详解】（1）由
2
1
3
4
n
n
n
a
a
a
得，
2
1
1
4
n
n
n
n
a
a
a
a
，又
2
1
3
a
a
，
学科网（北京）股份有限公司
所以数列
1
n
n
a
a
为首项为3，公比为4 的等比数列，故
1
1
3 4n
n
n
a
a
，
又
2
1
3 4n
n
n
a
a
，则有
1
2
9 4n
n
n
a
a
，所以当n 为奇数时，
1
3
1
5
3
2
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
3
2
2
3
1
2
1
4
4
3
2
1 9 1
4
4
1 9
4
1
4
5
5
n
n
n
，
当n 为偶数时，
1
1
1
3
2
3 4
4
5
5
n
n
n
n
a
a
经验证
1
2
,
a a 均符合，故
1
1
3
2
4
1
5
5
n
n
na
；
（2）
2
1
5
2
4
3
n
n
n
a
b
，则
4
2
n
n
n
n
b
b
，
所以
2
2
4
4
4
2
2
2
4
4
4
2
2
2
1
4
1
2
n
n
n
n
n
S
1
1
1
2
4
2
3
3
n
n
，
所以
1
1
1
1
2
3 2
3
1
1
2 2
1
2
1
2 2
1
2
1
1
2
4
2
3
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
T
S
所以
1
2
2
3
1
2
1
1
2
1
3
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
n
n
n
T
T
T
1
3
1
3
1
2
2
1
2
n
题型十:( −1)�−1 �(��+�+��)
��+�⋅��型裂项相消
1．已知
n
S 是公差不为零的等差数列
na
的前n 项和，
3
3
6,
S
a
是
1a 与
9a 的等比中项.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设数列
*
2
4
( 1)
4
1
n
n
n
a
b
n
N
n
，数列
nb
的前2n项和为
2n
P ，若
2
1
1
2020
n
P
，求正整数n 的最小
值.
【答案】（1）
*
,
N
n
a
n
n
；（2）505.
【详解】（1）公差d 不为零的等差数列{ }
na
，由
3a 是
1a 与
9a 的等比中项，可得
2
1
9
3
a
a
a
，即
2
1
1
1
8
2
a
a
d
a
d
，解得
1a
d
.
又
3
1
3
3
6
S
a
d
，可得
1
1
a
d
，所以数列
na
是以1 为首项和公差的等差数列，所以
*
,
N
n
a
n
n
.
（2）由（1）可知
2
4
1
1
1
1
4
1
2
1
2
1
n
n
n
n
b
n
n
n
，
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
5
5
7
4
3
4
1
4
1
4
1
n
P
n
n
n
n
1
1
4
1
n
，
2
1
1
2019
1
4
1
2020
4
n
P
n
n
，所以n 的最小值为505.
【提分笔记】
基本规律
学科网（北京）股份有限公司
形如
1
1
f (n)
1
a
a
n
n
n
g
型，可构造
1
f(n)
a
a
n
n
（
），化为
a
b
1
1
ab
b
a
利用正负相间裂项相消求和。
2.已知数列{an}的中a1=1，a2=2，且满足
1
1
1
1
1
n
i
i
i
n
n
a
a
a
.（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn
2
1
1
( 1)n
n
n
n
a
a a
，记数列{bn}的前n 项和为Tn，若|Tn+1|
1
2020
，求n 的最小值.
【答案】（1）
na
n
；（2）2020.
【详解】（1）∵数列{an}的中a1=1，a2=2，且满足
1
1
1
1
1
n
i
i
i
n
n
a
a
a
.∴当n2 时，
-1
1
1
1
n
i
i
i
a
a
1
1
n
n
a
，
两式作差整理得：
1
(
1)
1
n
n
na
n
a
，所以：
1
1
1
(
1)
n
n
a
a
n
n
n n
，累加法可得：
1
1
na
n
a1=1，a2=2 也满足此式，∴数列{an}的通项公式为an=n.（n∈N
*）.
（2）bn
2
1
1
( 1)
2
1
( 1)
1
n
n
n
n
n
n
a
a a
n n
（﹣1）n（1
1
n
n
1
）
1
( 1)
( 1)
1
n
n
n
n
，
∴数列{bn}的前n 项和：
Tn=（
1
1
1
2
）+（1
1
2
3
）+（
1
1
3
4
）+…+[
1
( 1)
( 1)
1
n
n
n
n
]=﹣1
1
( 1)
1
n
n
，n∈N
*，
∵|Tn+1|
1
2020
，∴|Tn+1|
1
1
1
2020
n
，解得n 2019.∴n 的最小值为2020.
3.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
*
1
1
2
8,
,
8
n
n
S
a
n
n
N
a
，设
2
n
n
b
a
.（1）证明：
nb
是
等比数列；（2）设
1
( 1)
2
1
2
1
n
n
n
n
n
a
c
，求
nc
的前n 项和
nT ，若对于任意
*,
n
n
N
T
.
恒成
立，求取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
2
9
.
.
【详解】（1）当
1
n
时，
2
14
a
，当
*
2,
n
n
N
时，
1
1
2
8,
2
10
n
n
n
n
S
a
n
S
a
n
，
所以
1
2
2
n
n
a
a
，即
1
2
2
2
n
n
a
a
，即
1
2(
2)
n
n
b
n
b
，又∵
2
2
1
1
2
2
2
b
a
b
a
，
∴
nb
是首项
1
6
b
，公比为2 的等比数列．
（2）由（1）知
1
2
6 2n
n
a
，即
3 2
2
n
n
a
，
所以
1
1
1
3 2
2
1
1
( 1)
( 1)
( 1)
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
c
2
2
3
3
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
( 1)
2 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
T
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
1
1
( 1)
3
2
1
n
n
n
T
当n 为偶数时，
1
1
1
( 1)
3
2
1
n
n
n
T
是递减的，
此时当
2
n
时，
nT 取最大值
2
9
，则
2
9
≥
.
当n 为奇数时，
1
1
1
( 1)
3
2
1
n
n
n
T
是递增的，此时
1
3
nT
，则
1
3
≥
.
综上，的取值范围是
2
9
≥
.
题型十一:( −1)�−1 �(��+�−��)
��+�⋅��型裂项相消
1.已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
na 是4 与
n
S 的等比中项.（1）求
na
的通项公式；
（2）求数列
1
1
1
n
n
n
n
a
a
的前2n 项和
2n
T
.
【答案】（1）
2
1
na
n
（2）4
1
n
n
【详解】（1）由题意得：
2
1
4
n
n
a
S
，①,当
2
n
时，
2
1
1
1
4
n
n
a
S
.②，①－②得
1
1
2
0
n
n
n
n
a
a
a
a
.
∵
0
na
，∴
1
2
2
n
n
a
a
n
，当
1
n
时，
2
1
1
1
4
a
a
，
1
1
a
，
∴
na
是以1 为首项，2 为公差的等差数列，∴
2
1
na
n
.
（2）
1
1
1
1
2
1 2
1
4 2
1
2
1
n
n
n
n
a a
n
n
n
n
，设
1
1
1
1
1
1
1
4
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
b
a a
n
n
，
∴
2
1
1
1
1
1
1
1
4
3
3
5
4
1
4
1
n
T
n
n
1
1
1
4
1
4
4
1
4
4
1
4
1
n
n
n
n
n
.
【提分笔记】
基本规律
形如
1
1
f (n)
1
a
a
n
n
n
g
型，可构造
1
f(n)
a
a
n
n
（
），化为a
b
1
1
ab
b
a
利用正负相间裂项相消求和。
注意构造过程中指数幂的运算。
题型十一：“分子分母有理化”型裂项
1.数列
na
满足
1
1
a
，
2
1
2
n
n
a
a
.（1）求证:数列
na
是等比数列，并求出
na
的通项公式；
（2）若
2
7
2
6
2
log
log
n
n
n
b
a
a
，求数列
nb
的前2019 项和.
学科网（北京）股份有限公司
【答案】（1）证明见解析，
1
2
2
n
na
（2）90
2 6
【详解】
（1）易知
0
na
，故
1
2
n
n
a
a
，即
1
2
n
n
a
a
，
因此数列
na
是以1为首项，
2 为公比的等比数列，所以
1
2
2
n
na
；
（2）因为
2
1
log
2
n
n
a
，故
2
2
6
5
6
5
nb
n
n
n
n
，
因此数列
nb
的前2019 项和
2019
1
2
3
2019
...
S
b
b
b
b
2
7
6
2
8
7
2
9
8
...
2
2025
2024
2
2025
6
90
2 6
.
【提分笔记】
基本规律
一般情况下，无理型
1
n
k
n
k
n
n
k
2.设{an}是各项都为整数的等差数列，其前n 项和为
n
S ，
nb
是等比数列，且
1
1
1
a
b
，
3
2
7
a
b
，
5 2
50
S b
，
*
n
N
.（1）求数列
na
，
nb
的通项公式；
（2）设cn＝log2b1+log2b2+log2b3+…+log2bn，
1
2
3
n
n
n
n
c
n
n
c
c
c
T
a
a
a
a
.
（i）求Tn；（ii）求证：
2
1
n
i
iT
i
＜2.
【答案】（1）
2
1
na
n
，
1
2n
nb
，
*
n
N
（2）（i）n3（ii）证明见解析；
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由
1
1
1
a
b
，
3
2
7
a
b
，
5 2
50
S b
，
可得
1
2
7
5 1
2
50
d
q
d q
解得d＝2，q＝2 或d
1
2
，q＝5，由于{an}是各项都为整数的等差数列，所以d＝2，
q＝2，
从而
2
1
na
n
，
1
2n
nb
，
*
n
N
；
（2）（i）∵log2bn＝log22n﹣1＝n﹣1，∴cn＝0+1+2+…+（n﹣1）
1
2
n（n﹣1），∴a
n
c
i
2（
2
2
n
n
i）
﹣1
＝n2﹣n﹣1+2i，∴Tn＝（n2﹣n﹣1+2）+（n2﹣n﹣1+4）+…+（n2﹣n﹣1+2n）
＝n（n2﹣n﹣1）+（2+4+…+2n）＝n（n2﹣n﹣1）+n（n+1）＝n3；
（ii）证明：
3
1
1
1
1
1
nT
n
n
n n
n
n
学科网（北京）股份有限公司
1
1
1
n
n
1
1
1
1
n
n
n n
1
1
1
1
1
n
n
n
•
1
1
2
n
n
，
而
2
1
1
1
1 2
1
2
2
2
4
4
n
n
n
n
n
n
n
n
＜
，∴
1
1
1
1
1
nT
n
n
n
＜
，
∴
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
4
3
5
2
1
1
n
i
iT
i
n
n
n
n
＝1
2
1
1
2
1
n
n
，由于1
1
1
n
n
＞0，可得1
2
1
1
2
1
n
n
＜2.则
2
1
2
n
i
iT
i
.
3.已知数列
na
的前项和满足
2
n
n
S
na
n n
N
，且
2
3
a
.
（1）求证：数列
1
2
1
na
n
n
是常数数列；
（2）设
1
1
1
n
n
n
n
n
b
a
a
a
a
，
nT 为数列
nb
的前n 项和，求使
9
20
nT
成立的最小正整数n 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）50.
【详解】2
n
n
S
na
n
（1），
1
1
2
1
n
n
S
na
n
（2），两式相减：
1
1
2
1
1
n
n
n
a
n
a
na
，
即
1
1
1
n
n
na
n
a
，
1
1
2
1
n
n
na
a
n
n
.
2
n
时，
1
1 1
1
1
1
1
0
1
1
n
n
n
n
na
a
a
a
n
n
n
n
n
，
所以数列
1
2
1
na
n
n
是常数数列.
（2）由（1）得，
2
n
时，
2
1
1
2
1
1
na
a
n
，所以：
2
n
，
2
1
na
n
，
而
1
n
时，
1
1
2
1
S
a
，解得
1
1
a
满足
2
1
na
n
，所以
2
1
na
n
，
1
2
1
2
1
2
1
2
1
nb
n
n
n
n
1
2
1 2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
2
1
2
1
1
1
1
2
2 2
1 2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
∴
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
1
2
2
3
3
5
2
1
2 +1
2
1
nT
n
n
n
，
∴
1
1
9
1
2
20
2
1
nT
n
，
>49.5
n
，又
n
N
Q
，∴
50
n
.所以n 的最小值为50
题型十二：
��+�
(��+�)[�(�+1)+�] ⋅
1
��型裂项相消
1.已知正项数列
na
满足：
1
1
a
，
2
1
1
n
n
n
a
S
S
，其中
n
S 是数列
na
的前n 项和．
（1）求数列
na
的通项公式；（2）设
1
2
1
2
1 3 n
n
n
a
n
n
a
b
a
a
，证明：
1
2
1
4
n
b
b
b
．
【答案】（1）
na
n
；（2）证明见解析.
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）由
2
1
1
n
n
n
a
S
S
，又有
2
1
n
n
n
a
S
S
，
2
n
，
两式相减得
2
2
1
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
n
，因为
0
na
，所以
1
1
2
n
n
a
a
n
，又
1
1
a
，
2
n
时，
2
2
1
2
1
a
a
a
a
，解得
2
2
a
，满足
1
1
n
n
a
a
，因此数列
na
是等差数列，首项为1，公差为1，所
以
1
1
na
a
n
d
n
．
（2）
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
2
1 2
1
3
4 2
1
2
1
3
4
2
1 3
2
1 3
n
n
n
n
n
n
b
n
n
n
n
n
n
所以
1
2
1
1
1
1
4
2
1 3
4
n
n
b
b
b
n
．
【提分笔记】
基本规律
形如
1
(
)[ (
c
1)
]
n
n
kn
b k n
b
a
型“等差指数幂”裂项型，分子n
c
可构造为
n 1
n
[ (
1)
]a
(
)a
k n
b
kn
b
，化为
a
b
1
1
ab
b
a
裂项求解。
2.设
na
是等差数列，
nb
是等比数列，公比大于0，已知
1
1
b
，2
3
2
1
b
b
，
2
6
4
1
a
a
b
，4
2
5
3
a b
a
a
（1）求数列
na
，
nb
的通项公式；（2）设
1
1
(
2)
nc
n n
，
*
1
2
3
(
)
n
n
S
c
c
c
c
n
N
（i）求
n
S （ii）求
*
1
1
(
)
n
k
k
k
k
b
b
n
N
kS
．
【答案】（1）
na
n
，
1
1
2
n
nb
=
（2）（i）
2(
1)
2
n
n
S
n
；（ii）
1
1
1
1
1
(
*)
2
(
1) 2
n
k
k
n
k
k
b
b
n
N
kS
n
【详解】（1）设数列{ }
na
的首项为
1a ，公差为d ，数列{ }
nb
的公比为q，已知
1
1
b
，
2
3
2
1
b
b
，
2
2
1
q
q
，
1
2
q
或
1
q ，
0
q
，
1
2
q
，
1
1
( )
2
n
nb
．由
2
6
4
(
)
1
a
a b
，
4
2
5
3
a b
a
a
．
解得：
1
1
a
．
1
d
，
na
n
，
1
1
2
n
nb
;
（Ⅱ）设
1
(
1)(
1)
1
(
2)
(
2)
n
n
n
c
n n
n n
，则：（ⅰ）
1
2
n
n
S
c
c
c
2
2
3 3
(
1)(
1)
1 3
2
4
(
2)
n
n
n n
2(
1)
2
n
n
（ⅱ）由于：
1
1
1
2
1
1
(
1) 2
2
(
1) 2
k
k
k
k
k
k
b
b
k
kS
k k
k
k
，
1
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
1 2
2
2
2
2
3
2
2
(
1) 2
n
k
k
n
n
k
k
b
b
kS
n
n
，
1
1
1
(
*)
2
(
1) 2n
n
N
n
，故
1
1
1
1
1
(
*)
2
(
1) 2
n
k
k
n
k
k
b
b
n
N
kS
n
．
学科网（北京）股份有限公司
3.已知
na
为单调递增数列，
n
S 为其前n 项和，
2
2
n
n
S
a
n
(Ⅰ)求
na
的通项公式；
(Ⅱ)若
2
1
1
,
2
n
n
n
n
n
n
a
b
T
a
a
为数列
nb
的前n 项和，证明：
1
2
nT
.
【答案】(1)
na
n
；(2)见解析.
试题解析：（Ⅰ）当
1
n
时，
2
1
1
1
2
2
1
S
a
a
,所以
2
1
1
0
a
，即
1
1
a
,又
na
为单调递增数列，
所以
1
n
a
.
由
2
2
n
n
S
a
n
得
2
1
1
2
n
n
S
a
n
，所以
2
2
1
1
2
2
1
n
n
n
n
S
S
a
a
,
整理得
2
2
1
1
2
1
n
n
n
a
a
a
,所以
2
2
1
1
n
n
a
a
.所以
1
1
n
n
a
a
，即
1
1
n
n
a
a
,
所以{ }
na
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，所以
na
n
.
(Ⅱ)
2
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
a
n
b
a
a
n
n
n
n
所以
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
2 1
2
2
2
2
2
3
2
2
1
n
n
n
T
n
n
1
1
1
1
1
2 1
2
1
2
n
n
.
模块二：高考真题
1.等差数列
na
的首项为1，公差不为0 ．若
2a 、
3a 、
6a 成等比数列，则
na
的前6 项的和为（
）
A．24
B．3
C．3
D．8
【答案】A
【分析】根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式，列出关于等差数列公差d 的方程，求出d ，再
利用等差数列的前n项和公式，即可求出结果.
【详解】因为设等差数列
na
的公差d ，且
0
d
，
1
1
a
若
2a 、
3a 、
6a 成等比数列，
所以
2
3
2
6
a
a
a
，所以
2
1
1
1
2
5
a
d
a
a
d
d
，
所以
2
2
0
d
d
，即
2
d ，
所以
na
的前6 项的和为
1
6 5
6
2
24
2
a
.故选：A.
2.记
n
S 为数列
na
的前n 项和．已知2
2
1
n
n
S
n
a
n
．
(1)证明：
na
是等差数列；
(2)若
4
7
9
,
,
a a a 成等比数列，求
n
S 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2) 78
．
【分析】（1）依题意可得
2
2
2
n
n
S
n
na
n
，根据
1
1
,
1
,
2
n
n
n
S n
a
S
S
n
，作差即可得到
1
1
n
n
a
a
，从而
得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出
1a ，即可得到
na
的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的
性质计算可得．
（1）
因为2
2
1
n
n
S
n
a
n
，即
2
2
2
n
n
S
n
na
n
①，
当
2
n
时，
2
1
1
2
1
2
1
1
n
n
S
n
n
a
n
②，
①②得，
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
n
n
n
n
S
n
S
n
na
n
n
a
n
，
学科网（北京）股份有限公司
即
1
2
2
1
2
2
1
1
n
n
n
a
n
na
n
a
，
即
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
a
n
a
n
，所以
1
1
n
n
a
a
，
2
n
且
N*
n
，
所以
na
是以1为公差的等差数列．
（2）
[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得
4
1
3
a
a
，
7
1
6
a
a
，
9
1
8
a
a
，
又
4a ，
7a ，
9a 成等比数列，所以
2
7
4
9
a
a
a
，
即
2
1
1
1
6
3
8
a
a
a
，解得
1
12
a
，
所以
13
n
a
n
，所以
2
2
1
1
25
1
25
625
12
2
2
2
2
2
8
n
n n
S
n
n
n
n
，
所以，当
12
n
或
13
n
时，
min
78
nS
．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得
4
1
3
a
a
，
7
1
6
a
a
，
9
1
8
a
a
，
又
4a ，
7a ，
9a 成等比数列，所以
2
7
4
9
a
a
a
，
即
2
1
1
1
6
3
8
a
a
a
，解得
1
12
a
，
所以
13
n
a
n
，即有
1
12
3
2
1
0,
0
a
a
a
a
.
则当
12
n
或
13
n
时，
min
78
nS
．
3.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
9
4
a
，且
1
4
3
9
n
n
S
S
.
（1）求数列
na
的通项；
（2）设数列
nb
满足
*
3
(
4)
0(
)
n
n
b
n
a
n
N
，记
nb
的前n 项和为
nT ，若
n
n
T
b
对任意
N
n
恒成立，
求实数的取值范围.
【答案】（1）
3
3 ( )
4
n
n
a
；（2）3
1
.
【分析】（1）由
1
4
3
9
n
n
S
S
，结合
n
S 与
n
a 的关系，分
1,
2
n
n
讨论，得到数列{
}
na
为等比数列，即可
得出结论；
（2）由3
(
4)
0
n
n
b
n
a
结合(1) 的结论，利用错位相减法求出
nT ，
n
n
T
b
对任意
N
n
恒成立，分类讨
论分离参数，转化为与关于n的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当
1
n 时，
1
2
1
4(
)
3
9
a
a
a
，
2
2
9
27
27
4
9
,
4
4
16
a
a
，
当
2
n
时，由
1
4
3
9
n
n
S
S
①，
得
1
4
3
9
n
n
S
S
②，①②得
1
4
3
n
n
a
a
1
2
27
3
0,
0,
16
4
n
n
n
a
a
a
a
，
又
2
1
3 ,
{
}
4
n
a
a
a
是首项为
9
4
，公比为3
4 的等比数列，
1
9
3
3
( )
3 ( )
4
4
4
n
n
n
a
；
（2）由3
(
4)
0
n
n
b
n
a
，得
4
3
(
4)( )
3
4
n
n
n
n
b
a
n
，
所以
2
3
4
3
3
3
3
3
3
2
1
0
(
4)
4
4
4
4
4
n
n
T
n
，
2
4
1
3
3
3
3
3
3
3
3
2
1
(
5)
(
4)
4
4
4
4
4
4
n
n
n
T
n
n
，
学科网（北京）股份有限公司
两式相减得
2
3
4
1
1
3
3
3
3
3
3
3
(
4)
4
4
4
4
4
4
4
n
n
n
T
n
1
1
9
3
1
16
4
9
3
(
4)
3
4
4
1
4
n
n
n
1
1
1
9
9
3
3
3
4
(
4)
4
4
4
4
4
n
n
n
n
n
，
所以
1
3
4
( )
4
n
n
T
n
，由
n
n
T
b
得
1
3
3
4
( )
(
4) ( )
4
4
n
n
n
n
恒成立，
即(
4)
3
0
n
n
恒成立，
4
n
时不等式恒成立；
4
n
时，
3
12
3
4
4
n
n
n
，得
1
；
4
n
时，
3
12
3
4
4
n
n
n
，得
3
；所以3
1
.
4.设
na
是首项为1 的等比数列，数列
nb
满足
3
n
n
na
b
．已知
1a ，
2
3a ，
3
9a 成等差数列．（1）求
na
和
nb
的通项公式；
（2）记
n
S 和
nT 分别为
na
和
nb
的前n 项和．证明：
2
n
n
S
T
．
【答案】（1）
1
1
( )
3
n
na
，
3
n
n
n
b
；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及
1a 得到
2
9
6
1
0
q
q
，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出
,
n
n
S T ，再作差比较即可.
【详解】（1）因为
na
是首项为1 的等比数列且
1a ，
2
3a ，
3
9a 成等差数列，
所以
2
1
3
6
9
a
a
a
，所以
2
1
1
1
6
9
a q
a
a q
，
即
2
9
6
1
0
q
q
，解得
1
3
q
，所以
1
1
( )
3
n
na
，
所以
3
3
n
n
n
na
n
b
.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
2
1
1
2
1
3
3
3
3
n
n
n
n
n
T
，
0
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2 3
3
3
3
n
n
S
，
2
3
0
1
2
1
1
2
3
1
1
1
1
1
2
3
3
3
3
2 3
3
3
3
n
n
n
n
S
n
T
0
1
2
1
1
1
0
1
2
2
2
2
3
3
3
1
1
1
2
3
3
n
n
n
n ．
设
0
1
2
1
1
1
1
1
0
1
2
1
2
2
2
2
Γ
3
3
3
3
n
n
n
，
⑧
则
1
2
3
1
1
1
1
0
1
2
1
1
2
2
2
2
Γ
3
3
3
3
3
n
n
n
．
⑨
由⑧-⑨得
1
1
2
1
1
1
3
3
1
2
1
1
1
1
1
3
3
2
2
Γ
1
3
2
3
3
3
3
2
3
1
3
n
n
n
n
n
n
n
．
所以
2
1
1
3
1
2
Γ
4
3
2
3
2
3
n
n
n
n
n
n
．因此
1
0
2
3
2
3
2
3
n
n
n
n
n
S
n
n
n
T
．故
2
n
n
S
T
．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
学科网（北京）股份有限公司
证明：由（1）可得
1
1 (1
)
3
1
3
(1
)
1
2
3
1
3
n
n
n
S
，
2
1
1
2
1
3
3
3
3
n
n
n
n
n
T
，①
2
3
1
1
1
2
1
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
T
，②
①②得
2
3
1
2
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
n
n
n
n
T
1
1
1
1
(1
)
1
1
3
3
(1
)
1
3
2
3
3
1
3
n
n
n
n
n
n
，所以
3
1
(1
)
4
3
2 3
n
n
n
n
T
，
所以
2
n
n
S
T
3
1
3
1
(1
)
(1
)
0
4
3
2 3
4
3
2 3
n
n
n
n
n
n
，所以
2
n
n
S
T
.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知
1
3
n
nb
n
，令
1
(
) 3
n
nc
n
，且
1
n
n
n
b
c
c
，即
1
1
1
1
(
)
[ (
1)
]
3
3
3
n
n
n
n
n
n
，
通过等式左右两边系数比对易得
3
3
,
2
4
，所以
3
3
1
2
4
3
n
nc
n
．
则
1
2
1
1
3
3
1
4
4
2
3
n
n
n
n
n
T
b
b
b
c
c
，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设
2
3
1
( )
1
n
n
x
x
f x
x
x
x
x
x
，由于
1
2
2
1
' 1
1
1
'
1
1
(
1)
'
1
(1
)
1
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
nx
n
x
x
x
x
，
则
1
2
1
2
1
(
1)
( )
1
2
3
(1
)
n
n
n
nx
n
x
f
x
x
x
nx
x
．又
1
1
1
1
3
3
3
n
n
nb
n
n
，
所以
2
1
1
2
3
1
1
1
1
1
2
3
3
3
3
3
n
n
n
T
b
b
b
b
n
1
2
1
1
1
(
1)
1
1
1
3
3
3
3
3
1
1
3
n
n
n
n
f
1
3
1
1
3
3
1
1
(
1)
4
3
3
4
4
2
3
n
n
n
n
n
n
，下同方法二．
5.已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
1,
,
2,
.
n
n
n
a
n
a
a
n
为奇数
为偶数
（1）记
2
n
n
b
a
，写出
1b ，
2b ，并求数列
nb
的通项公式；
（2）求
na
的前20 项和.
【答案】（1）
1
2
2,
5,
3
1
n
b
b
b
n
；（2）300.
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列
nb
的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前n 项和公式即可求得数列的前20 项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然2n 为偶数，则
2
1
2
2
2
2
1
2,
1
n
n
n
n
a
a
a
a
，
所以
2
2
2
3
n
n
a
a
，即
1
3
n
n
b
b
，且
1
2
1+1
2
b
a
a
，
学科网（北京）股份有限公司
所以
nb
是以2 为首项，3 为公差的等差数列，
于是
1
2
2,
5,
3
1
n
b
b
b
n
．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知
1
2
3
1,
2,
4
a
a
a
，所以
1
2
2
4
3
2,
1
5
b
a
b
a
a
．
由
1
1
n
n
a
a
（n为奇数）及
1
2
n
n
a
a
（n为偶数）可知，
数列从第一项起，
若n为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若n为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以
*
2
3(
)
n
n
a
a
n
N
，则
1
1
3
3
1
nb
b
n
n
．
[方法三]：累加法
由题意知数列
na
满足
*
1
1
3
( 1)
1,
(
)
2
2
n
n
n
a
a
a
n
N
．
所以
1
1
2
1
3
( 1)
1 1
2
2
2
b
a
a
，
3
2
2
4
3
3
2
2
3
( 1)
3
( 1)
1
1
2 1
2
3
5
2
2
2
2
b
a
a
a
a
a
，
则
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
2
1
+
n
n
n
n
n
n
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1 2(
1) 1
3
1
n
n
n
．
所以
1
2
2,
5
b
b
，数列
nb
的通项公式
3
1
nb
n
．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
20
1
2
3
20
1
3
5
19
2
4
6
20
+
+
+
+
+
+
+
+
(
)
(
)
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
2
3
10
1
2
3
10
(
1
1
1
1)
b
b
b
b
b
b
b
b
1
10
(
) 10
2
10
300
2
b
b
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列
na
满足
1
2
2
1
2
1
2
1,
1,
2
n
n
n
n
a
a
a
a
a
，
所以
2
1
2
2
1
2
3
n
n
n
a
a
a
．
所以数列
na
的奇数项是以1 为首项，3 为公差的等差数列；
同理，由
2
2
2
1
2
1
3
n
n
n
a
a
a
知数列
na
的偶数项是以2 为首项，3 为公差的等差数列．
从而数列
na
的前20 项和为：
20
1
3
5
19
2
4
2
6
0
(
)
(
)
S
a
a
a
a
a
a
a
a
10 9
10 9
10 1
3 10
2
3
300
2
2
．
学科网（北京）股份有限公司
6.等比数列
na
的各项均为正数，且
2
1
2
3
2
6
2
3
1,
9
a
a
a
a a
.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列
1
nb
的前n项和
nT .
【答案】（1）
1
3
n
n
a
；（2）
2
1
n
n
.
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；
（2）由an＝1
3n 化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn 的通项公式，求出
1
nb 的通项公式，利用
裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列{an}的公比为q,
由
2
3a ＝9a2a6 得
2
3a ＝9
2
4
a ,
所以q2＝1
9 .由条件可知q＞0,故q＝1
3 .
由2a1＋3a2＝1 得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝1
3 .
故数列{an}的通项公式为an＝1
3n .
（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－
1
2
n n
.
故
1
2
1
1
2
1
1
nb
n n
n
n
.
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
3
1
1
n
n
b
b
b
n
n
n
所以数列
1
nb
的前n 项和为
2
1
n
n
7.已知数列{
}
na
满足
2
1
2
(
1)
*,
1,
2
n
n
a
qa q
q
n
N
a
a
为实数，且
，
，且
2
3
3
4
4
5
,
,
a
a a
a a
a
+
+
+
成等差数列.
（Ⅰ）求q的值和{
}
na
的通项公式；
（Ⅱ）设
*
2
2
2
1
log
,
n
n
n
a
b
n
a
N ，求数列
nb
的前n 项和.
【答案】（Ⅰ）
1
2
2
2
,
,
{
2 ,
.
n
n
n
n
a
n
为奇数
为偶数
; （Ⅱ）
1
2
4
2
n
n
n
S
.
【详解】（Ⅰ）由已知，有
3
4
2
3
4
5
3
4
a
a
a
a
a
a
a
a
，即
4
2
5
3
a
a
a
a
，
所以
2
3
(
1)
(
1)
a q
a q
，又因为
1
q ，故
3
2
2
a
a
，由
3
1
a
a q
，得
2
q =
，
当
2
1(
*)
n
k
n
N
时，
1
1
2
2
1
2
2
n
k
n
k
a
a
，
学科网（北京）股份有限公司
当
2 (
*)
n
k n
N
时，
2
2
2
2
n
k
n
k
a
a
，
所以
na
的通项公式为
1
2
2
2
,
,
{
2 ,
.
n
n
n
n
a
n
为奇数
为偶数
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
2
2
1
2
1
log
2
n
n
n
n
a
n
b
a
，设数列
nb
的前n项和为
n
S ，则
0
1
2
1
1
1
1
1
1
2
3
2
2
2
2
n
n
S
n
，
1
2
3
1
1
1
1
1
1
2
3
2
2
2
2
2
n
n
S
n
两式相减得
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
，整理得
1
2
4
2
n
n
n
S
所以数列
nb
的前n项和为
1
2
4
,
*
2n
n
n
N
.
8.已知数列{an}的前n 项和
2
1
(
)
2
n
S
n
kn k
N
,且Sn 的最大值为8.
（1）确定常数k，求an；
（2）求数列9
2
2
n
n
a
的前n 项和Tn．
【答案】（1）
9
2
n
a
n
（2）Tn
2
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
4
4
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
T
T
T
【详解】试题分析：（1）当n
k
N
时，
2
1
2
n
S
n
kn
取最大值，即
2
2
2
1
1
8
2
2
k
k
k
，故
4
k
，从
而
1
9
(
2)
2
n
n
n
a
S
S
n n
，又
1
1
7
2
a
S
，所以
9
2
n
a
n
（1）因为
1
9
2
2
2
n
n
n
n
a
n
b
，
1
2
2
2
1
2
3
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
T
b
b
b
所以
2
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
4
4
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
T
T
T
9.已知公比大于1的等比数列{
}
na
满足
2
4
3
20,
8
a
a
a
．
（1）求{
}
na
的通项公式；
（2）求
1
1
2
2
3
1
( 1)n
n
n
a a
a a
a a
.
【答案】（1）
2n
na
；（2）
2
3
8
2
( 1)
5
5
n
n
【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公
式；
(2)首先求得数列
1
1
1
n
n
n
a a
的通项公式，然后结合等比数列前n 项和公式求解其前n 项和即可.
【详解】(1) 设等比数列
na
的公比为q(q>1)，则
3
2
4
1
1
2
3
1
20
8
a
a
a q
a q
a
a q
，
整理可得：
2
2
5
2
0
q
q
，
1
1,
2,
2
q
q
a
，
数列的通项公式为：
1
2 2
2
n
n
na
.
(2)由于：
1
1
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a a
，故：
1
1
2
2
3
1
( 1)n
n
n
a a
a a
a a
3
5
7
9
1
2
1
2
2
2
2
( 1)
2
n
n
学科网（北京）股份有限公司
3
2
2
3
2
2
1
2
8
2
( 1)
5
5
1
2
n
n
n
.
10.设{
}
na
是公比不为1 的等比数列，
1a 为
2a ，
3a 的等差中项．
（1）求{
}
na
的公比；
（2）若
1
1
a ，求数列{
}
n
na
的前n项和．
【答案】（1）2
；（2）
1
(1
3 )( 2)
9
n
n
n
S
.
【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出{
}
na
的通项，根据{
}
n
na
的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】（1）设{
}
na
的公比为q，
1a 为
2
3
,
a a 的等差中项，
2
1
2
3
1
2
,
0,
2
0
a
a
a a
q
q
，
1,
2
q
q
；
（2）设{
}
n
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
1,
( 2)n
n
a
a
，
2
1
1 1
2
( 2)
3 ( 2)
( 2)n
n
S
n
，①
2
3
1
2
1 ( 2)
2
( 2)
3 ( 2)
(
1)( 2)
( 2)
n
n
nS
n
n
，②
①②得，
2
1
3
1
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
n
n
n
S
n
1
( 2)
1
(1
3 )( 2)
( 2)
1
( 2)
3
n
n
n
n
n
，
1
(1
3 )( 2)
9
n
n
n
S
.
模块三：各地模拟
1.已知数列
na
是等差数列，其前n 项和为
n
S ，且
3
6
a
,
3
12
S
，设
2
n
a
nb
.
（1）求
na ；
（2）求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】（1）
2
na
n
（2）
1
4
4
3
n
n
T
【解析】试题分析：（1）由等差数列通项公式及前n 项和公式，联立方程组解得首项与公差，再代入通项
公式可得
na ；
（2）由于数列
nb
为等比数列，所以根据等比数列前n 项和公式可得数列
nb
的前n 项和
nT .
试题解析：（1）
3
1
1
3
1
6
2
6
2
{
{
{
2
12
3
3
12
2
n
a
a
d
a
a
n
S
a
d
d
；
（2）
2
2
2
4
n
a
n
n
nb
，
1
2
3
...
n
n
T
b
b
b
b
2
3
4
4
4
...
4n
1
4
4 4
4
4
1
4
3
n
n
.
学科网（北京）股份有限公司
2.已知等差数列{ }
na
中，
2
5
a
，
5
14
a
，数列{ }
nb
的前n 项和
2
1
n
n
S
b
.
（1）求
na ，
nb ；
（2）若
n
n
n
c
a
b
，求{ }
nc
的前n 项和
nT .
【答案】（1）
3
1
na
n
，
1
2n
nb
；（2）
2
1
3
2
1
2
2
n
n
T
n
n
.
【解析】
【分析】
（1）先设等差数列{ }
na
的公差为d ，然后应用等差数列的通项公式列出关于首项
1a 与公差d 的方程组，
解出
1a 与d 的值，即可得到数列{ }
na
的通项公式，再应用
1
1
,
1
,
2
n
n
n
S n
b
S
S
n
. 即可得到数列{ }
nb
的通项
公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出{ }
nc
的通项公式，然后结合等差数列的求和公式，利用分组求和法可
得答案．
【详解】
（1）由题意，设等差数列{ }
na
的公差为d ，则
2
1
1
5
1
5
2
4
14
3
a
a
d
a
a
a
d
d
，
2
3(
1)
3
1
na
n
n
，
*
n
N
．
当
1
n
时，
1
1
1
2
1
S
b
b
，解得
1
1
b
．
当
2
n. 时，
1
1
2
1 (2
1)
n
n
n
n
n
b
S
S
b
b
，整理，得
1
2
n
n
b
b
，
{ }
nb
是以1 为首项，2 为公比的等比数列，
1
2n
nb
，
*
n
N
．
（2）由（1），可知
1
(3
1)
2n
nc
n
，
1
2
2
3
1
3
2
5
8
(3
1)
2
2
1
2
1
2
2
2
1
n
n
n
n
n
n
T
n
S
n
n
，
3.设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
是函数
2
1
log
2
1
x
f x
x
的图象上任意两点，且
1 (
)
2
OM
OA
OB
，已知
点M 的横坐标为1
2
．（1）求证：M 点的纵坐标为定值；
（2）若
*
1
2
1
...
,
,
2
n
n
S
f
f
f
n
N
n
n
n
n
且
求
n
S ；
【答案】（1）详见解析；（2）
*
1
2,
2
n
n
S
n
n
N
；（3）（
+∞）．
【解析】
试题分析：（1）利用中点坐标公式的表示，得到
，然后代入求中点的纵坐标的过程，根据对
数运算法则，可以得到常数；（2）利用上一问的结果，当
时，
，可以采用倒序
相加法，求和；（3）根据上一问的结果，代入
，求
，然后跟形式，采用裂项相消法求和
，并反解
，转化为恒成立求最值的问题．
试题解析：（1）证明：设
,
M x y
1 (
)
2
OM
OA
OB
1
2
1
2
2
{
2
x
x
x
y
y
y
由
知
，
学科网（北京）股份有限公司
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1 log
log
1
1
2
2
2
1 log
1 log
log
1
2
2
2
x
x
f x
f x
y
y
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
∴M 点的纵坐标为定值
（2）由（1）知
1
2
1
2
1,
1
x
x
f x
f x
1
2
1
...
n
n
S
f
f
f
n
n
n
1
2
1
n
n
n
S
f
f
f
n
n
n
,
两式相加得：
2
n
S
1
1
2
2
1
1
...
n
n
n
f
f
f
f
f
f
n
n
n
n
n
n
1
n
……7 分
∴
*
1
2,
2
n
n
S
n
n
N
4.已知数列
na
中，
1
1
a
，
0
na
，前n 项和为
n
S ，若
1
n
n
n
a
S
S
（
*
n
N
，且
2
n
）.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）记
1
3
2
n
n
n
a
c
，求数列
nc
的前n 项和
nT .
【答案】（1）
2
1
na
n
；（2）
2
n
n
n
T
.
【分析】（1）先求出
1
1
n
n
S
S
，再求出
2
n
S
n
即得解；
（2）求出
2
2
n
n
n
c
，再利用错位相减法求数列
nc
的前n 项和
nT .
【详解】
（1）数列
na
中，
1
n
n
n
a
S
S
（n
N ，且
2
n
）①，
又
1
n
n
n
a
S
S
（n
N ，且
2
n
）②，
①
②可得：
1
1
2
n
n
S
S
n
，
则数列
nS
是以
1
1
S
为首项，公差为1 的等差数列，
则
1
1
n
S
n
n
，则
2
n
S
n
，
当
2
n
时，
1
2
1
n
n
n
a
S
S
n
，
1
1
a
也符合该式，
则
2
1
na
n
.
（2）由（1）的结论得，
2
1
na
n
，则
1
3
2
2
2
n
n
n
n
a
n
c
；则
2
3
1
0
1
2
2
2
2
2
n
n
n
T
，
∴
2
3
4
1
1
1
0
1
3
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
T
，
两式错位相减可得：
2
3
1
2
3
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
T
学科网（北京）股份有限公司
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
，∴
2
n
n
n
T
.5.
5.在等差数列
na
中，
1
8
a ，
2
4
3
a
a
．
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设
*
4
12
n
n
b
n
N
n
a
，
nT 为数列
nb
的前n 项和，若
9
5
n
T
，求n 的值．
【答案】（1）
10
2
na
n
；（2）
9
n
．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解.
（2）利用裂项求和法即可求解.
【详解】（1）设等差数列
na
的公差是d，由
1
8
a ，
2
4
3
a
a
得：
8
3
8
3
d
d
，解得
2
d
，所以
10
2
na
n
；
（2）由（1）知
10
2
na
n
，
4
4
1
1
2
12
2
2
1
n
n
b
n
a
n
n
n
n
，
所以
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
3
1
1
n
n
T
n
n
n
，由
9
5
n
T
，解得
9
n
．
6.已知
na
为等差数列，
nb
为等比数列，
na
的前n 项和为
n
S ，满足
1
3
a
，
1
1
b
，
2
2
10
b
S
，
5
2
3
2
a
b
a
.
（1）求数列
na
和
nb
的通项公式；
（2）令
2 ,
,
n
n
n
n
S
c
b
n
为奇数
为偶数
，数列
nc
的前n 项和
nT ，求
2n
T
.
【答案】（1）
2
1
na
n
，
1
2n
nb
；（2）
2
2
2(4
1)
2
1
3
n
n
n
T
n
．
【分析】
（1）设
na
的公差为d ，
nb
的公比为q，由基本量法列式求出,
d q 后可得通项公式；
（2）奇数项分一组用裂项相消法求和，偶数项分一组用等比数列求和公式求和．
【详解】
（1）设
na
的公差为d ，
nb
的公比为q，由
2
2
10
b
S
，
5
2
3
2
a
b
a
.得：
6
10
3
4
2
3
2
q
d
d
q
d
，解得
2
2
d
q
，
∴
3
2(
1)
2
1
na
n
n
，
1
2n
nb
；
（2）由
1
3
a
，
2
1
na
n
得
(
2)
n
S
n n
，
n 为奇数时，
2
1
1
2
n
n
c
S
n
n
，n 为偶数时，
1
2n
nc
，
∴
2
1
3
2
1
2
4
2
(
)
(
)
n
n
n
T
c
c
c
c
c
c
3
2
1
1
1
1
1
1
[(1
)
(
)
(
)]
(2
2
2
)
3
3
5
2
1
2
1
n
n
n
学科网（北京）股份有限公司
1
2(1 4 )
2
2(4
1)
1
2
1
1 4
2
1
3
n
n
n
n
n
．
7.已知数列
na
为等比数列，
2
4
a
，
3
2
a
是
2a 和
4a 的等差中项.（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设
2
2log
( 1)n
n
n
b
a
n
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
2n
n
a
，
*
n
N
；(2)
2
2
3 ,
2
1,
2
n
n
n
n
T
n
n
n
为偶数
为奇数
.
【详解】（1）设数列
na
的公比为q，因为
2
4
a
，所以
3
4
a
q
，
2
4
4
a
q
，因为
3
2
a
是
2a 和
4a 的
等差中项，所以
3
2
4
2
2
a
a
a
.即
2
2(4
2)
4
4
q
q
，化简得
2
2
0
q
q
，因为公比
0
q
，所以
2
q =
，
因为
2
4
a
，所以
1
2
a
所以
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
a
a q
，
*
n
N
；
（2）
2
2log 2
( 1)
2
( 1)
n
n
n
nb
n
n
n
当n 为偶数时，前n 项和
2
(1
)
3
2
( 1)
2
( 3)
( 1)
2
2
n
n
n
n
n
T
n
n
；
当n 为奇数时，前n 项和
2
(1
)
1
1
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
T
n
；则
2
2
3 ,
2
1,
2
n
n
n
n
T
n
n
n
为偶数
为奇数
.
8.已知数列
na
满足
1
4
a
，且当
2
n
时，
1
1
2
2
n
n
n
a
n a
n
.（1）求证：数列
n
a
n
是等差
数列；
（2）记
2
2
1
n
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
【答案】（1）证明见解析；（2）
2
2
2
4
1
n
n
n
S
n
.
【详解】（1）证明：当
2
n
时，
1
1
2
2
n
n
n
a
n a
n
，将上式两边都除以
1
n n
，得
1
2
2
1
n
na
a
n
n
n
，
即
1
2
1
n
n
a
a
n
n
，所以数列
n
a
n
是以
1
4
1
a
为首项，2 为公差的等差数列.
（2）解：由（1）得即
4
2
1
2
2
na
n
n
n
，即
2
1
na
n n
，
所以
2
2
2
2
1
1
1
1
4
1
n
n
n
b
a
n
n
.所以
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
4
2
2
3
1
n
S
n
n
2
2
2
1
1
2
1
4
1
4
1
n
n
n
n
.
9.已知数列{��}的前�项和为��，且��=
��+�
2 .（1）若数列{��+ �}是等比数列，求�的取值；
（2）求数列{��}的通项公式；（3）记��=
1
��+1 +
1
����+1，求数列{��}的前�项和��.
学科网（北京）股份有限公司
【答案】（1）�= 1;（2）��= 2�−1;（3）��= 1 −
1
2�+1−1.
试题解析：（1）由�1 =
�1+1
2
=
�1+1
2 ，得�1 = 1，当�> 1 时，��= ��−��−1 = 2��−�−2��−1 + (�−1)，
即��= 2��−1 + 1，
所以�2 = 3，�3 = 7，依题意，(3 + �)2 = (1 + �) × (7 + �)，解得�= 1.
（2）有（2）知��= 2��−1 + 1，所以��+ 1 = 2(��−1 + 1)，又因为�1 + 1 = 2，所以数列{��+1}是以2 为
首项，2 为公比的等比数列，所以��+ 1 = 2 × 2�−1 = 2�，所以��= 2�−1.
（3）由（2）知，��=
1
��+1 +
1
����+1 =
��+1
����+1 =
2�
(2�−1)(2�+1−1) =
1
2�−1 −
1
2�+1−1
则��=
1
2−1 −
1
22−1 +
1
22−1 −
1
23−1 + ⋯+
1
2�−1 −
1
2�+1−1 = 1 −
1
2�+1−1.
10.已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
1
1
2
2
n
n
n
S
a
a
．（1）求数列
na
的通项公式；
（2）若数列
nb
满足
2
1
1
2
n
n
n
n
b
S
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】（1）
na
n
；（2）
1
1
1
n
n
T
n
.
【详解】（1）令
1
n
，则
2
1
1
1
1
1
2
2
a
a
a
，结合
1
0
a
可得
1
1
a
.又
2
1
1
1
1
1
2
2
n
n
n
S
a
a
，故
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
，整理得到
2
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
，
因为
1
0
n
n
a
a
，故
1
1
n
n
a
a
，故
na
为首项为1，公差为1 的等差数列，故
1
1
1
na
n
n
即
na
n
.
（2）由（1）得
2
1
1
2
2
n
S
n
n
，故
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
S
n
n
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
1
4
1
n
nT
n
n
1
1
1
n
n
即
1
1
1
n
n
T
n
.
11.在①
2a ，
3a ，
4
4
a
成等差数列；②
1S ，
2
2
S
，
3S 成等差数列；③
1
2
n
n
a
S
中任选一个，补充
在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列
na
中，前n 项和为
n
S ，已知
1
2
a
，且______.
（1）求数列
na
通项公式；（2）数列
nb
的通项公式
1
2
1
1
n
n
n
n
b
a
a
，
*
n
N
，求数列
nb
的
前n 项和
nT .
【答案】（1）答案见解析；（2）
1
2
1
1
n.
解：设等比数列的公比为
0
q q
，（1）选①：因为
2a ，
3a ，
4
4
a
成等差数列，所以
3
2
4
4
2
a
a
a
，
因为
1
2
a
，所以
2
1
2
a
a q
q
=
=
，
2
2
3
1
2
a
a q
q
，
1
4
3
3
2
a
a q
q
，
所以
2
3
4
2
2
4
q
q
q
，即
2
2
2
1
1
q
q
q
.又
0
q
，解得
2
q =
，所以
2n
n
a
.
选②：因为
1S ，
2
2
S
，
3S 成等差数列，所以
2
1
3
2
2
S
S
S
，即
1
2
1
1
2
3
2
2
a
a
a
a
a
a
,
化简得
2
3
4
a
a
，所以
2
2
4
2
q
q
，即
2
2
0
q
q
，又
0
q
，解得
2
q =
，所以
2n
n
a
.
选③：因为
1
2
n
n
a
S
，所以
2
1
2
4
a
S
，则
2
1
2
a
q
a
，所以
2n
n
a
.
1
1
2n
n
a
+
+ =
，
1
2(1
2 )
2
2
1
2
n
n
n
S
，经验证符合
1
2
n
n
a
S
.
（2）因为
2n
n
a
，
学科网（北京）股份有限公司
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
则
1
2
...
n
n
S
b
b
b
2
1
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
...
2
1
2
1
n
n
1
2
1
1
n
.
12.数列{ }
na
是等比数列，公比大于0，前n 项和
*
(
)
n
S
n
N
，{ }
nb
是等差数列，已知
1
1
2
a
，
3
2
1
1
4
a
a
，
3
4
6
1
a
b
b
，
4
5
7
1
2
a
b
b
．（Ⅰ）求数列{ }
na
，{ }
nb
的通项公式
na ，
nb ；（Ⅱ）设{
}
n
S
的前n 项和为
*
(
) :
nT n
N
（ⅰ）求
nT ；（ⅱ）若
1
1
3
1
2
(
)
n
n
n
n
n
n
T
b
b
c
b
b
，记
1
n
n
n
n
R
C
，求
n
R 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）
1
2
n
n
a
；
1
nb
n
；（Ⅱ）（i）
1
1
2
n
n
T
n
；（ii）3
[8 ，1)
2 ．
解：（Ⅰ）设数列{ }
na
的公比为(
0)
q q
，因为
1
1
2
a
，
3
2
1
1
4
a
a
，可得
1
2
1
1
1
2
1
1
4
a
a q
a q
，整理得
2
1
1
2
0
q
q
，
解得
1
q （舍) 或
1
2
q
，所以数列{ }
na
通项公式为
1
2
n
n
a
．
设数列{ }
nb
的公差为d ，因为
3
4
6
1
a
b
b
，
4
5
7
1
2
a
b
b
，即
1
1
2
8
8
3
16
16
b
d
b
d
，解得
1
0
b
，
1
d
，
所以数列{ }
nb
的通项公式为
1
nb
n
；
（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列的前n 项和公式可得
1
1
(1
)
1
2
2
1
1
2
1
2
n
n
n
S
，
所以
2
1
1
1
1
1
(1 1
1)
(
)
(1
)
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
T
n
n
；
（ⅱ）由（ⅰ）可得
1
1
1
3
1
1
1
2
1
(
) (
2)
(
)
(
2)
1
1
2
(
1)
(
1) 2
2
(
1) 2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
T
b
b
n
c
b
b
n n
n n
n
n
，
所以{ }
nc
的前n 项和
1
2
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
1 2
2 2
2 2
3 2
2
(
1) 2
2
(
1) 2
n
n
n
n
n
R
c
c
c
n
n
n
．
又
n
R 在
*
n
N
上是递增的，
1
3
1
8
2
n
R
R
-
．所以
n
R 的取值范围为3
[8 ，1)
2 ．
