4.5 等比数列的前n 项和公式
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：等比数列前n 项和公式....................................................2
考点二：等比数列前n 项和的性质.................................................2
考点三：错位相减法求数列的和.................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：等比数列前n 项和的基本量计算........................................ 2
题型二：等比数列前n 项和的片段和性质........................................ 6
题型三：等比数列奇、偶项和的性质...............................................7
题型四：等比数列前n 项和与an 的关系....................................... 11
题型五：等比数列前n 项和的其他性质......................................... 12
题型六：分组求和法求和........................................................... 14
题型七：错位相减法求和........................................................... 16
题型八：等差数列与等比数列的综合问题....................................... 19
题型九：等比数列求和在传统文化中的应用.................................... 22
模块三：综合巩固....................................................................... 24
4.5 等比数列的前n 项和公式
模块一：基础知识
考点一：等比数列前n 项和公式
若等比数列的首项为
1a ,公比为q ,则它的前n 项和
1
1
1
(1
) ,
1
1
n
n
na
q
S
a
q
q
q
考点二：等比数列前n 项和的性质
公比为q 的等比数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ,关于
n
S 的性质常考的有以下四类:
(1)数列
m
S ，
2m
m
S
S
，
3
2
m
m
S
S
，
4
3
m
m
S
S
,…组成公比为
m
q （
1
q ）的等比数列
(2)当n 是偶数时, S
S
q
奇
偶
;当n 是奇数时,
1
S
a
S
q
奇
偶
(3)
m
n
n m
m
n
n
m
S
S
q S
S
q S
(4)若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n 项和Sn＝a1
1－q
(1－q
n)＝A(q
n－1)．其中A＝a1
q－1
.
考点三：错位相减法求数列的和
推导等比数列前n 项和的方法叫做错位相减法,一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项的积所
构成的数列的前n 项和.
模块二：题型分类
题型一：等比数列前n 项和的基本量计算
1.已知数列
na
为等比数列，前n 项和为
n
S ．
(1)如果
6
189
4
S
，
1
2
q
，求
1a ；
(2)如果
3
14
S
，
1
2
a
，求q；
(3)如果
5
15
S
，
10
60
S
，求
15
S ．
【答案】(1)
1
24
a
(2)
3
q 或
2
q =
(3)
15
195
S
【详解】（1）等比数列{
}
na
中，
6
189
4
S
，
1
2
q
，
1
6
6
1
1
189
2
1
4
1
2
a
S
，解得
1
24
a
．
（2）在等比数列{
}
na
中，
3
14
S
，
1
2
a
，显然公比
1
q ，
3
2(1
)
14
1
q
q
，整理得
2
6
0
q
q
，
解得
3
q 或
2
q =
．
（3）因为
5
15
S
，
10
60
S
，所以公比
1
q ，
所以
5
1
5
1
15
1
a
q
S
q
，
0
1
1
10
1
60
1
a
q
S
q
，
所以
1
1
5
1
0
10
5
1
1
4
1
1
a
q
S
q
S
a
q
q
，即
5
1
4
q
，所以
5
3
q
，
所以
1
15
1
2
a
q
，则
3
5
15
1
1
3
15
1
1
15
1 3
195
1
1
2
a
q
a
q
S
q
q
.
2.求下列等比数列
na
的前n 项和．
(1)
1
1
a ，
3
q
，
10
n
；
(2)
1
1
2
a
，
1
3
q
，
6
n
；
(3)
1
1
3
a
，
1
3
q
，
1
6561
na
；
(4)
1
6
a
，
2
q =
，
192
na
．
【答案】(1) 29524
(2) 91
243
(3) 3280
6561
(4)378
【详解】（1）由
1
1
a ，
3
q
，
10
n
得
10
10
10
1 3
3
1
29524
1 3
2
S
（2）由
1
1
2
a
，
1
3
q
，
6
n
得
6
6
6
1
1
1
2
3
3
1
91
1
1
8
3
243
1
3
S
（3）由
1
1
3
a
，
1
3
q
，
1
6561
na
得
1
1
1
1
1
1
3280
3
6561
3
1
1
1
2
6561
6561
1
3
n
n
a
a q
S
q
（4）由
1
6
a
，
2
q =
，
192
na
得
1
6 192 2
378
1
1 2
n
n
a
a q
S
q
3.已知等比数列
na
的前n 项和
2n
n
S
a
.
(1)求实数a 的值；
(2)若
127
m
S
，求m .
【答案】(1) 1
(2) 7
【详解】（1）由
2n
n
S
a
，
当
2
n
时，
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
S
S
a
a
，
又
1
1
2
a
S
a
，因为数列
na
是等比数列，
所以
1a 满足
1
2n
na
，
2
1
a
，即
1
a ，
（2）由（1），
2
1
n
n
S
，
2
1
m
m
S
，
127
2
1
m
，解得
7
m
.
4.已知数列
na
是等比数列.
(1)若
1
1
2
a
，
1
2
q
，求
8
S ；
(2)若
1
27
a
，
9
1
243
a
，
0
q
，求
8
S ；
(3)若
1
8
a ，
1
2
q
，
31
2
n
S
，求n.
【答案】(1) 255
256
(2)1640
81
(3)5
【详解】（1）因为
1
1
2
a
，
1
2
q
，所以
8
8
1
1
1
2
2
255
1
256
1
2
S
.
（2）由
1
27
a
，
9
1
243
a
，可得
8
1
27
243
q
，即
8
8
1
3
q
，
又由
0
q
，得
1
3
q
，所以
8
8
1
27
1
3
1640
1
81
1
3
S
.
（3）把
1
8
a ，
1
2
q
，
31
2
n
S
代入
1 1
1
n
n
a
q
S
q
，得
1
8
1
2
31
1
2
1
2
n
．
整理得1
1
2
32
n
，解得
5
n
.
5．若数列
na
满足
1
1
a ，
1
2n
n
n
a
a
，则
10
a
（
）
A．511
B．1023
C．1025
D．2047
【答案】B
【分析】通过累加和等比数列的求和即可得答案.
【解析】由题意知:
1
2n
n
n
a
a
，
则有
1
2
1
2
a
a
，
2
3
2
2
a
a
，
3
4
3
2
a
a
-
=
，L，
9
10
9
2
a
a
，
由累加可得
1
2
3
9
10
1
2
2
2
2
a
a
，
即
1
2
3
9
10
1
2
2
2
2
a
10
10
1
1
2
2
1
1023
1
2
.
故选:B.
6．已知
1
1
a ，
2
1
a ，
1
2
2
1
n
n
n
a
a
a
（
3
n
，
*
N
n
），
n
S 为其前n 项和，则
60
S
（
）
A．
30
2
31
B．
30
4
31
C．
30
2
30
D．
30
4
30
【答案】B
【分析】利用递推关系构造得
1
1
n
n
a
a
是一个以3 为首项，2 为公比的等比数列，再赋值，结合等比数
列的前n 项和公式求答案.
【解析】由
1
2
2
1
n
n
n
a
a
a
（
3
n
，
*
N
n
）可得
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
，
已知
1
1
a ，
2
1
a ，所以
1
2
1
3
a
a
，
即
1
1
n
n
a
a
是一个以3 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
2
1
1
3 2
n
n
n
a
a
，即
2
*
1
3 2
1(
2,
)
N
n
n
n
n
n
a
a
，
0
1
2
3 2
1
a
a
，
2
3
4
3 2
1
a
a
，
4
5
6
3 2
1
a
a
，L，
58
59
60
3 2
1
a
a
，
0
2
58
60
1
2
60
3 2
2
2
30
S
a
a
a
30
30
1 4
3
30
4
31
1 4
，
故选B.
题型二：等比数列前n 项和的片段和性质
知识点：数列
m
S ，
2m
m
S
S
，
3
2
m
m
S
S
，
4
3
m
m
S
S
,…组成公比为
m
q （
1
q ）的等比数列
1.已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
1
3
S
S
，则
4
12
S
S
（
）
A．3
2
B．1
3
C．2
3
D．1
7
【答案】D
【详解】等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，则
4
8
4
12
8
,
, S
S S
S
S
成等比数列，
设
4
S
m
，则
8
3
S
m
，
8
4
2
S
S
m
，
12
8
4
S
S
m
，
12
7
S
m
，
所以
4
12
1
7
7
S
m
S
m
.
故选：D
2.设等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
10
20
10,
20
S
S
，则
30
S
（
）
A．20
B．30
C．35
D．40
【答案】B
【详解】由等比数列
na
的前n 项和的性质可得：
10
20
10
30
20
,
,
S
S
S
S
S
也成等比数列，
2
20
10
10
30
20
S
S
S
S
S
，得
2
30
20 10
10
20
S
，
解得
30
30
S
.
故选：B.
3.已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
1
4
S
S
，则
16
4
8
S
S
S
（
）
A．8
B．9
C．16
D．17
【答案】A
【详解】设
4
0
S
x x
，则
8
4
S
x
，
因为
na
为等比数列，所以
4
8
4
12
8
16
12
,
,
,
S
S
S
S
S S
S
仍成等比数列.
易知
8
4
4
4
3
S
S
x
x
S
x
，
所以
12
8
8
4
12
16
12
12
8
16
3
9
13
3
27
40
S
S
S
S
x
S
x
S
S
S
S
x
S
x
,故
16
4
8
40
8
4
S
x
S
S
x
x
.
故选:A.
4.已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ．若
4
8
1
4
S
S
，则
12
4
S
S
（
）
A．13
B．16
C．9
D．12
【答案】A
【详解】设
4
0
S
x x
，则
8
4
S
x
，
因为
na
为等比数列，根据等比数列的性质，
可得
4
8
4
12
8
,
, S
S S
S
S
仍成等比数列.
因为
8
4
4
4
3
S
S
x
x
S
x
，所以
12
8
9
S
S
x
，
所以
12
13
S
x
，故
12
4
13
S
S
.
故选：A
5．已知
n
S 是等比数列
na
的前n项和，且
2
3
S ，
6
4
5
12
S
S
，则
4
S （
）
A．11
B．13
C．15
D．17
【答案】C
【分析】由
n
S 是等比数列
na
的前n项和得
2
4
2
6
4
,
,
S
S
S
S
S
成等比数列，结合
6
4
5
12
S
S
，列方程求解
即可．
【解析】因为
na
是等比数列，
n
S 是等比数列
na
的前n 项和，
所以
2
4
2
6
4
,
,
S
S
S
S
S
成等比数列，且
4
2
6
4
0,
0
S
S
S
S
，
所以
2
4
2
2
6
4
(
)
(
)
S
S
S
S
S
，
又因为
6
4
5
12
S
S
，
2
3
S ，
所以
2
4
4
4
5
(
1
3(
)
2
3)
S
S
S
，即
4
4
(
3)(
15)
0
S
S
，解得
4
3
S 或
4
15
S
，
因为
4
2
0
S
S
，
所以
4
15
S
，
故选：C．
题型三：等比数列奇、偶项和的性质
1．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（
）.
A．8
B．2
C．4
D．2
【答案】D
【分析】设该等比数列为
na
,其项数为
2n n
N
项，公比为q,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之
和与偶数项之和，两式相除即可求解.
【解析】设该等比数列为
na
,其项数为
2n n
N
项，公比为q,
由题意易知
1
q ，
设奇数项之和为
1S ,偶数项之和为
2
S ，
易知奇数项组成的数列是首项为
1a ，公比为
2
q 的等比数列，
偶数项组成的数列是首项为
2a ，公比为
2
q 的等比数列，
则
2
1
1
1
1011
1
n
a
q
S
q
，
2
2
2
1
2022
1
n
a
q
S
q
，
所以
2
2
1
1
2022
2
1011
S
a
S
a
,即
2
q =
.
所以这个数列的公比为2.
故选:D.
2．在数列
na
中，
1
1
a ，
1
2n
n
n
a a
，若
1
9
248
m
m
m
a
a
a
，则m （
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】由题知当n为奇数时，
1 1
2
2
n
na
；当n 为偶数时，
2
2
n
na
，前n 项和为
n
S 满足
2
(
3 2
1)
k
k
S
，
2
2
1
2
3
k
k
S
，进而分m 为奇数和m 为偶数讨论求解即可.
【解析】解：由题意得
1
2
2
a a
，
2
2
a
，
1
1
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a a
，即
2
2
n
n
a
a
，
所以当n 为奇数时，
1 1
2
2
n
na
；当n 为偶数时，
2
2
n
na
；
设
na
的前n 项和为
n
S ，则
2
1 2
2(1 2 )
3 2
1
1 2
1
(
2
)
k
k
k
k
S
，
2
2
1
2
2
1
3(2
1)
2
2
3
k
k
k
k
k
k
S
S
a
.
若m 为奇数，则
1
9
m
m
m
a
a
a
为3 的倍数，248 不是3的倍数，不合题意；
当m 为偶数，则
9
1
2
4
1
2
1
1
2
2
1
9
m
m
m
m
m
m
m
S
S
a
a
a
S
S
4
1 2
6
1
6
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
62
24
2
2
8
2
3
2
2
2
m
m
m
m
m
m
，即
2
2
4
m
，所以
4
m
.
故选：B
3.已知一个项数为偶数的等比数列
na
，所有项之和为所有偶数项之和的4 倍，前3 项之积为64 ，则
1a
（
）
A．1
B．4
C．12
D．36
【答案】C
【详解】由题意可得所有项之和S
S
奇
偶是所有偶数项之和S偶的4倍，所以，
4
S
S
S
奇
偶
偶，故
1
3
S
S
奇
偶
设等比数列
na
的公比为q，设该等比数列共有
2k k
N
项，
则
2
4
2
1
3
2
1
1
3
k
k
S
a
a
a
q a
a
a
qS
S
奇
奇
偶
，所以，
1
3
q
，
因为
3
2
1
2
3
64
a
a a a
，可得
2
4
a
，因此，
2
1
12
a
a
q
.
故选：C.
4.已知等比数列
na
的前10项中，所有奇数项的和为
1
85 4 ，所有偶数项的和为
1
170 2 ，则
3
6
9
12
S
a
a
a
a
的值为
．
【答案】585
【详解】设等比数列
na
的公比为q，设等比数列
na
的前10项中，设所有奇数项的和为S奇，所有偶数
项的和为S偶，
则
2
4
6
8
10
1
3
5
7
9
S
a
a
a
a
a
q a
a
a
a
a
qS
奇
偶
，
所以，
1
170
2
2
1
85
4
S
q
S
偶
奇
，
又
5
2
1
1
1
2
1
1023
341
341
1
3
4
a
q
a
S
a
q
奇
，则
1
1
4
a
，
因此，
12
3
6
9
2
3
6
9
12
3
1
3
1
1
585
1
q
S
a
a
a
a
a
q
q
q
a q
q
.
故答案为：585.
5.在等比数列
na
中，若
1
3
99
150
a
a
a
，且公比
2
q =
，则数列
na
的前100 项和为
．
【答案】450
【详解】在等比数列
na
中，公比
2
q =
，则有
2
4
100
1
3
99
2
a
a
a
q
a
a
a
，
而
1
3
99
150
a
a
a
，于是得
2
4
100
300
a
a
a
，
所以数列
na
的前100 项和
100
1
3
99
2
4
100
S
a
a
a
a
a
a
150
300
450
．
故答案为：450
6.已知数列
na
的前n 项和
1
2
1
n
n
S
，则数列
na
的前10 项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为
（
）
A．1
2
B．2
C．172
341
D．341
172
【答案】C
【详解】当
2
n
时，
2
1
2n
n
n
n
a
S
S
，又
1
1
2
a
S
，
即前10 项分别为2,1,2,4,8,16,32,64,128,256，
所以数列
na
的前10 项中
5
1
4
1023
341
1
4
3
S
偶
，
4
2 1
4
510
2
2
172
1
4
3
S
奇
，所以
172
341
S
S
奇
偶
，
故选：C．
7.已知项数为奇数的等比数列{
}
na
的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项
数为（
）
A．5
B．7
C．9
D．11
【答案】A
【详解】根据题意，数列{
}
na
为等比数列，设
1
1
1·
n
n
na
a q
q
，
又由数列{
}
na
的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则
21 1
2
10
q
，
故
1(1
)
21 10
2
1
31
5
1
n
n
n
a
q
S
n
q
；
故选：A
8.已知等比数列
na
中，
1
1
a ，
1
3
2
1
85
k
a
a
a
，
2
4
2
42
k
a
a
a
，则k （
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【详解】设等比数列
na
的公比为q，
则
1
3
2
1
1
2
2
85
k
k
a
a
a
a
a
a
q
q
，
即
2
2
85 1
84
k
q a
a
，
因为
2
4
2
42
k
a
a
a
，所以
2
q =
，
则
2
1
1
2
3
2
2
1
1
1 2
85
42
127
1 2
k
k
k
a
a
a
a
a
，
即
2
1
128
2 k
，解得
3
k ，
故选：B.
9.在等比数列
na
中，
1
2
q
，
100
150
S
，求
2
4
6
100
a
a
a
a
的值.
【答案】50
【详解】解：设
1
1
3
5
99
T
a
a
a
a
,
2
4
6
100
2
a
a
a
a
T
，
所以
1
2
1
1
3
5
2
4
6
0
9
0
9
1
2
T
a
a
a
a
a
a
a
T
a
,
所以
100
1
2
2
2
2
2
3
150
S
T
T
T
T
T
，
所以
6
2
2
4
100
50
a
a
T
a
a
.
题型四：等比数列前n 项和与an 的关系
1．已知数列{
na }满足：
*
1
1
1,
N
n
n
a
S
a
n
，则
2022
S
（
）
A．
2020
2
B．
2021
2
C．
2022
2
D．
2023
2
【答案】B
【分析】根据
,
n
n
S
a 的关系可推导出
n
S
为等比数列，进而可得
2022
S
.
【解析】由题意，
1
n
n
n
S
S
S
，即
1
2
n
n
S
S
，又
1
1
S ，
故
n
S
是以1 为首项，2 为公比的等比数列，
故
1
1
1 2
2
n
n
n
S
，故
2021
2022
2
S
.
故选：B
2．在等比数列
na
中，若
1
2
2
1
n
n
a
a
a
＝
，则
2
2
2
1
2
...
n
a
a
a
（
）
A．
2
2
1
n
（
）
B．1 (4
1)
3
n
C．1 (2
1)
3
n
D．4
1
n
【答案】B
【分析】因为数列
na
是等比数列，且已知前n 项和，所以可求通项
n
a ，进而可求
2
na ，仍然是等比数列，
再利用求前n 项和公式解出结果.
【解析】解：因为数列
na
是等比数列，且
1
2
2
1
n
n
a
a
a
＝
，
解得
1
1
a ，
2
2
a
，所以
na
是以1为首项，2 为公比的等比数列，
则
1
2n
na
，
那么
2
1
4n
na
，所以
2
na
是以1为首项，4 为公比的等比数列，
所以根据前n 项和公式得
2
2
2
1
2
1 (1 4 )
1
...
(4
1)
1 4
3
n
n
n
a
a
a
.
故选：B .
3．设
n
S 为数列
na
的前n 项和，若
1
2
a
，
1
3
2
n
n
S
S
，则下列各选项在正确的是（
）
A．
1
1
2
3
n
na
B．
1
3n
na
C．
2 3
4
n
n
S
D．
3
1
n
n
S
【答案】D
【分析】由递推关系求出
2a ，根据
n
a 与其前n 项和
n
S 的关系可得
na
是等比数列，根据等比数列的通项公
式与求和公式即可求解.
【解析】由
1
2
a
，
1
3
2
n
n
S
S
，得
2
1
3
2
S
S
,即
2
2
6
2
a
，解得
2
6
a
.
因为
1
3
2
n
n
S
S
，所以
1
3
2
2
n
n
S
S
n
，
两式相减得
1
3
0
n
n
a
a
，即
1
3
2
n
n
a
n
a
.
又
1
2
a
，
2
6
a
，所以
1
3
n
n
a
n
a
N
，
所以
na
是首项为2，公比为3 的等比数列，
∴
1
2 3n
na
，
1 3
2
3
1
1 3
n
n
n
S
．
故选:D.
题型五：等比数列前n 项和的其他性质
1．在等比数列
na
中，
2
2
a
，
5
16
a
．设t 为实数，
2n
S
为该数列的前2n 项和，
nT 为数列
2
na
的前n 项
和，且
2n
n
S
tT
，则t 的值为（
）
A．2
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】利用等比数列的通项公式求出公比和首项，求出
2n
S
，由条件可得数列
2
na
以首项为1，公比为4
的等比数列，求
nT ，由
2n
n
S
tT
即可求出.
【解析】因为等比数列
na
中，
2
2
a
，
5
16
a
，
所以
3
3
5
2
16
2
a
a q
q
，
所以
2
q =
，
1
1
a ，
所以
2
2
1
1
2
4
1
1
2
n
n
n
S
，
由等比数列
na
，
2
q =
，
1
1
a
所以数列
2
na
以首项为1，公比为4 的等比数列，
所以
1
1 4
1
4
1
1 4
3
n
n
n
T
，
所以
2
3
n
n
S
T
，即
3
t
．
故选：C．
2．设
na
是等比数列，且
1
2
4
a
a
a
，下列正确结论的个数为（
）
①数列
na
具有单调性；
②数列
na
有最小值为
1a ；
③前n 项和Sn 有最小值
④前n 项和Sn 有最大值
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】由
1
2
4
a
a
a
，再结合分类讨论思想可得到数列
na
的性质，从而可判断每一个问题.
【解析】由
1
2
4
a
a
a
，有
3
1
1
1
a
a q
a q
.
当
1
0
a
时，有
3
1
q
q
，解得1
q
，
此时数列
na
是每一项都是正数的单调递增数列，所以其前n 项和Sn 没有最大值，故④不正确；
当
1
0
a
时，有
3
1
q
q
，解得0
1
q
或
1
q .
当
1
q 时，数列
na
是摆动数列，不具有单调性，故可知①、②不正确.
当
1
0
a
，0
1
q
时，
0
na
，故前n 项和Sn 无最小值，故可知③不正确.
故选：A
3．已知数列
na
的各项均为实数，
n
S 为其前n 项和，若对任意
2022
k
，都有
1
k
k
S
S
，则下列说法正
确的是（
）
A．
1
3
5
2
1
,
,
,
,
n
a a a
a
为等差数列，
2
4
6
2
,
,
,
,
n
a a a
a
为等比数列
B．
1
3
5
2
1
,
,
,
,
n
a a a
a
为等比数列，
2
4
6
2
,
,
,
,
n
a a a
a
为等差数列
C．
1
2
3
2022
,
,
,
,
a a a
a
为等差数列，
2022
2023
2024 ,
,
,
,
n
a
a
a
a
L
为等比数列
D．
1
2
3
2022
,
,
,
,
a a a
a
为等比数列，
2022
2023
2024 ,
,
,
,
n
a
a
a
a
L
为等差数列
【答案】C
【分析】令
|
( ) |
n
f n
S
(
n
S 是等差数列的前n 项和),由题意可得当
2022
n
时，
( )
f n 单调递减，结合二次函数
的性质和选项逐一判断即可.
【解析】解：令
( ) |
| 0
n
f n
S
,由题意当
2022
n
时，
( )
f n 单调递减，
对于首项为
1a ，公差为d 的等差数列，
则前n 项和
2
2
1
1
(
)
2
2
2
n
n
n
d
d
na
d
n
a
T
n
(不含常数项)，
此时
2
1
2
2
n
d
d
f n
T
n
a
n
，
由二次函数的性质知：当n 足够大时，
( )
f n 不可能为单调递减函数，
所以，A 中奇数项及B 中偶数项为等差数列均不合题意；
对于C，当前2022 项为等差数列，从第2022 项开始为等比数列且公比
(0,1)
q
时，满足
( )
(
1)
f n
f n
，
故符合题意；
对于D，当前2022 项为等比数列，从第2022 项为等差数列时，同A、B 分析：当n 足够大时，不满足
( )
(
1)
f n
f n
，即
( )
f n 不可能为单调递减函数，故不合题意
故选：C.
【点睛】方法点睛：等差数列的前n 项和
n
S 是关于n 的二次二项式(不含常数项)，在研究有关等差数列前
n 项和的有关性质性，从二次函数的性质出发，能使问题得到简化.
题型六：分组求和法求和
【后面章节会细讲】
1.已知数列
na
满足:
*
1
1
3,
3
4
2,
N
n
n
a
a
a
n
n
.
(1)证明:
2
n
a
n 是等比数列;
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
3
1
2
n
n
n
【详解】（1）由
1
3
4
2
n
n
a
a
n
得,
1
2
1
3
6
3
2
n
n
n
a
n
a
n
a
n
,
又
1
2
1
a
,
故
2
n
a
n 是以1为首项,3为公比的等比数列.
（2）由（1）知,
1
2
3n
n
a
n
,
则
1
3
2
n
n
a
n
,
故
0
1
1
3
2 1
3
2
2
3
2
n
n
S
n
0
1
1
2
3
1
3
3
3
2 1 2
2
n
n
n
n
n
.
2.已知数列
na
的首项为
1
1
3
a
，且满足
1
2
n
n
n
a
a
a
.
(1)求证：数列
1
1
na
为等比数列；
(2)若
1
2
1
1
1
2024
n
a
a
a
，求满足条件的最大整数n .
【答案】(1)证明见解析
(2)9
【详解】（1）
1
2
n
n
n
a
a
a
两边取倒数得，
1
2
1
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
，
即
1
1
2
1
1
2
2
1
n
n
n
a
a
a
，
又
1
1
1
2
a
，
故
1
1
na
为首项为2，公比为2 的等比数列；
（2）由（1）得
1
1
1
2
2
2
n
n
na
，
故
1
2
1
n
na
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
n
n
n
n
a
a
a
1
2 1
2
2
2
1
2
n
n
n
n
，
故
1
2
2
2024
n
n
，则
1
2
2026
0
n
n
，
由于
1
2
2026
n
f n
n
单调递增，且
10
9
2
9
2026
993
0
f
，
11
10
2
10
2026
32
0
f
，
故满足条件的最大整数为9.
3.已知数列
na
满足
1
2
0
a
a
，且
na
n
为等比数列，
*
nN .
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求满足
1
2
2024
n
a
a
a
的最大整数n .
【答案】(1)
1
2n
na
n
；
(2)11
【详解】（1）由
1
2
0
a
a
得，
1
1 1
a ，
2
2
2
a
，
故等比数列
na
n
的公比为2，
则
1
1
1
1
2
2
n
n
na
n
a
，
故
1
2n
na
n
；
（2）由（1）可得：
0
1
1
1
2
2
2
2
1
2
n
n
a
a
a
n
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
，
当
11
n
时，
11
11 12
2
1
1981
2024
2
，
当
12
n
时，
12
13 12
2
1
4017
2024
2
，
又易知当
2
n
时，
0
na
，故
12
n
时，和式
1
2
1
2
12
n
a
a
a
a
a
a
，
故满足
1
2
2024
n
a
a
a
的最大整数n 为11.
4.已知等比数列
na
中，
2
2
a
，
5
16
a
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
2
1
n
n
b
a
n
，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)
1
2n
na
(2)
2
2
1
2
n
n
S
n
n
【详解】（1）设公比是q，则
3
5
2
16
8
2
a
q
a
，
2
q =
，因此
2
1
1
a
a
q
，
所以
1
2n
na
；
（2）由（1）
1
2
(2
1)
n
nb
n
，
1
(1
2
2
)
[3
5
(2
1)]
n
n
S
n
2
1 2
(3
2
1)
2
1
2
1 2
2
n
n
n
n
n
n
．
题型七：错位相减法求和
1.已知等差数列
na
满足
2
4
a
，
4
5
2
7
a
a
，公比不为1
的等比数列
nb
满足
3
4
b
，
4
5
1
2
8
b
b
b
b
.
(1)求
na
与
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
n
c
a b
，求
nc
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)
1
*
3
2,
2
,
N
n
n
n
a
n
b
n
(2)
*
5
3
5 2 ,
N
n
n
S
n
n
【详解】（1）由题意不妨设等差数列、等比数列的公差、公比分别为,
d q ，
所以有
1
1
1
4
2
3
4
7
a
d
a
d
a
d
和
2
1
3
1
1
4
1
8
1
b q
b q
q
b
q
，
注意到
1
0,
1
b
q
，所以分别解得
1
1
3
a
d
和
1
1
2
b
q
，
因此由定义可知
na
与
nb
的通项公式分别为
1
1
*
1
3
1
3
2,
1 2
2
,
N
n
n
n
n
a
n
n
b
n
.
（2）由（1）可知
1
*
3
2,
2
,
N
n
n
n
a
n
b
n
，
所以由题意有
1
*
3
2
2
,
N
n
n
n
n
c
n
a b
n
，
当
*
2,
N
n
n
时，有
0
1
2
1
1 2
4
2
3
5
2
3
2
2
n
n
n
S
n
n
，
所以有
1
2
1
3
2
1 2
4
2
5
2
3
2
2
n
n
n
n
n
S
，
以上两式作差得
1
2
1
1 3
2
2
2
3
2 2
n
n
n
S
n
1
1
2
1 2
1 3
3
2 2
1 2
n
n
n
1
6
3 2
3
2 2
n
n
n
5
3
5 2n
n
，
当
1
n 时，有
1
1 1
1
5
2
2
1
1 1
S
a b
c
，
综上所述：
nc
的前n 项和为
*
5
3
5 2 ,
N
n
n
S
n
n
.
2.已知数列
na
的前n 项和为
*
1
1
,
1,
1
1
N ,
2
n
n
n
S
a
a
S
n
且
1
2
3
3 ,4
,
13
a
a a
成等差数列.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
4
1
log
n n
n
a b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
1
4n
na
；
(2)
8
12
8
9
9 4
n
n
n
T
.
【详解】（1）由
1
1
1
n
n
a
S
，
1
1
a ，则
2
1
1
1
2
a
S
，
2
n
有
1
1
1
n
n
a
S
，则
1
1
1 (
)
1
n
n
n
n
n
a
a
S
S
a
，
所以
1
2
n
n
a
a
，又
2
，显然
2
1
2
a
a
也满足，
故
na
是首项为1，公比为
2
的等比数列，则
1
(
2)n
na
所以
2
3
(
2)
a
，则
2
2
1
3
8
3
13
8(
2)
16
(
2)
a
a
a
，
所以
2
4
4
0
2
，故
1
4n
na
.
（2）由
4
1
log
n n
n
a b
a
，则
1
2
4
n
n
n
b
，
所以
0
1
2
2
1
1
0
1
3
2
...
4
4
4
4
4
n
n
n
n
n
T
，则
1
2
3
1
1
1
0
1
3
2
...
4
4
4
4
4
4
n
n
n
n
n
T
，
所以
1
2
3
1
3
1
1
1
1
2
2
4
2
2
1
...
4
4
4
4
4
4
3
3 4
4
n
n
n
n
n
n
n
T
，则
8
12
8
9
9 4
n
n
n
T
.
3.在等差数列
na
中，
4
7
a
，
3
8
2
35
a
a
，数列
nb
的前n 项和为
n
S ，且3
2
1
n
n
b
S
.
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)若
n
n
n
a
c
b
，求数列
nc
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
2
1
na
n
，
1
3n
nb
(2)
1
1
3
3
n
n
n
T
【详解】（1）解：设等差数列
na
的公差为d ，
则
3
8
4
4
4
2
2
4
3
7
21 7
35
a
a
a
d
a
d
a
d
d
，解得
2
d
，
所以，
4
4
7
2
4
2
1
na
a
n
d
n
n
，
数列
nb
的前n 项和为
n
S ，且3
2
1
n
n
b
S
，
当
1
n 时，则有
1
1
1
3
2
1
b
S
b
，
当
2
n
时，由3
2
1
n
n
b
S
可得
1
1
3
2
1
n
n
b
S
，
上述两个等式作差可得
1
3
3
2
0
n
n
n
b
b
b
，即
1
3
n
n
b
b
，
所以，数列
nb
是首项为1，公比为3的等比数列，则
1
1
1 3
3
n
n
nb
.
（2）解：因为
1
2
1
3
n
n
n
n
a
n
c
b
，则
0
1
2
1
1
3
5
2
1
3
3
3
3
n
n
n
T
，①
可得
2
1
1
1
3
2
3
2
1
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
T
，②
①②得
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
3
3
1
1
1
3
3
3
3
3
3
1
3
n
n
n
n
n
n
n
T
2
1
2
3n
n
，
故
1
1
3
3
n
n
n
T
.
4.已知各项均为正数的数列
na
，
nb
满足：
1
1
a ，
2
2
1
2
1
n
n
a
a
n
，
3
log
n
n
a
b
．
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)求数列
n n
a b
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
na
n
，
3n
nb
；
(2)
1
3
2
1 3
4
n
n
n
S
【详解】（1）由
2
2
1
2
1
n
n
a
a
n
，得
2
2
1
2
1
n
n
a
a
n
，
又
1
1
a ，所以当
2
n
时，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
3
2
1
1
2
1
1 3
5
2
1
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
，
所以
2
2
na
n
，又
2
2
1
1
1
a
，符合上式，
0
na
，所以
na
n
，
又
3
log
n
n
a
b
，所以
3n
nb
．
（2）由（1）知
3
n
n
n
a b
n
，所以
2
3
1 3
2 3
3 3
3
n
n
S
n
，
2
3
4
1
3
1 3
2 3
3 3
3n
n
S
n
，
两式相减得
2
3
4
1
1
3 1 3
2
3
3
3
3
3
3
3
1 3
n
n
n
n
n
S
n
n
，
所以
1
3
2
1 3
4
n
n
n
S
．
题型八：等差数列与等比数列的综合问题
1.（多选）已知
na
为等比数列，
n
S 是其前n 项和.若
3
7
5
4
16
,
a a
a a
与
5
2a 的等差中项为20，则（
）
A．
1
1
a
B．公比
2
q
C．
1
2n
na
D．
2
1
n
n
S
【答案】ACD
【详解】由
3
7
5
16
a a
a
得
5
2
5
5
16
16a
a
a
，
又
4a 与
5
2a 的等差中项为20，则
4
4
5
40
8
2a
a
a
，所以公比为
5
4
2
a
q
a
，
故
3
1
4
1
1
a q
a
a
，故
1
1
2
2
,
2
1
1
2
n
n
n
n
n
a
S
，
故ACD 正确，B 错误，
故选:ACD
2.已知数列
na
是以3 为首项，公差不为0 的等差数列，且
1a ，
3
a ，
9a 成等比数列．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
27
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
3
na
n
(2) 3
1
n
n
【详解】（1）设
na
的公差为d ，因为
1a ，
3
a ，
9a 成等比数列，所以
2
3
1
9
a
a a
，即
2
1
1
1
2
(
8 )
a
d
a a
d
，
又
0
d
，所以
1
3
d
a
，
故
1
1
3
na
a
n
d
n
．
（2）由（1）可得，
3
1
1
3
1
1
nb
n n
n
n
，
则
1
1
1
1
1
3
3 1
2
2
3
1
1
n
n
T
n
n
n
．
3.在数列
na
中，
1
2
0,
2
a
a
，若
2
1
2
2
1
,
,
n
n
n
a
a
a
成等差数列，
2
2
1
2
2
,
,
n
n
n
a
a
a
成等比数列，则
8a
.
【答案】32
【详解】因为
2
1
2
2
1
,
,
n
n
n
a
a
a
成等差数列，
2
2
1
2
2
,
,
n
n
n
a
a
a
成等比数列，
所以
1
2
3
,
,
a a a 成等差数列，
2
3
4
,
,
a a a 成等比数列，
3
4
5
,
,
a a a 成等差数列，
4
5
6
,
,
a a a 成等比数列，
5
6
7
,
,
a a a 成等
差数列，
6
7
8
,
,
a a a 成等比数列，
所以可得
na
的前8 项为0，2，4，8，12，18，24，32.
故答案为：32
4.已知等差数列
na
中，
2
3
a
，公差
0
d
;等比数列
nb
中，
3
1
b
a
，
1 b 是
2a 和
3
a 的等差中项，
2b 是
1a 和
2a 的等差中项．
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)求数列{
}
n
n
a
b
的前n项和
n
S ；
(3)记
,
n
n
n
c
a
b
比较
1
nc 与
nc 的大小.
【答案】(1)
2
1
na
n
，
1
1
4
2
n
nb
；
(2)
3
2
1
8
2
n
n
S
n
；
(3)
2
1
c
c
，当
2
n
时，
1
n
n
c
c
.
【详解】（1）因为
2
3
a
，
依题意
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
3
3
2
3
3
b
a
d
d
b
a
a
d
b
a
a
d
，
故
2
1
6
6
,
2
2
d
d
b
b
，由
2
2
1 3
b
bb
得
2
2
0
d
d
，
解得
0
d
或2，
因为
0
d
，所以
2
d
，
1
3
2
1
a
，
故
1
1
1 2
1
2
1
na
a
n
d
n
n
，
其中
2
1
6
6
2,
4
2
2
d
d
b
b
，故公比
1
2
q
，
所以
1
1
4
2
n
nb
；
（2）
1
1
2
1
4
2
n
n
n
a
b
n
，
故
2
1
1
2
1
1
1 3
2
1
4
2
4
2
n
n
n
n
S
a
b
a
b
a
b
n
3
2
1
4
4
1 2
1
2
2
8
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
；
（3）
1
1
1
3
2
2
1
2
1
,
.
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
a b
c
a
b
所以
1
2
3
2
2
1
2
1
3
2 ,
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
c
c
当
1
n 时，
2
1
0
c
c
，当
2
n
时，
1
0
n
n
c
c
，
所以
2
1
c
c
，当
2
n
时，
1
n
n
c
c
.
5.已知等差数列
na
公差为2，且
1a ，
2a ，
4a 恰为等比数列
nb
的前三项．
(1)求数列
nb
的通项公式；
(2)若数列
nc
满足
1
n
n
n
n
c
a
b
，求
nc
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
2n
nb
(2)
n
S
1
2
2
2
3
3
n
n
n
【详解】（1）由题意得
2
2
1
4
a
a a
，即
2
1
1
1
2
6
a
a a
，解得：
1
2
a
．
所以
1
2
b
，
2
4
b ，
2
q =
，所以
2n
nb
．
（2）由于
2 ,
2n
n
n
a
n b
，
则
1
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
c
a
b
n
n
2 1
2
1
3
n
n
S
n n
1
2
2
2
3
3
n
n
n
6.设
na
是公差不为0 的等差数列，
3
8
a
，
1
3
11
,
,
a a a 成等比数列．
(1)求
na
的通项公式：
(2)设
1
3
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
3
1
na
n
(2)
3
6
4
n
n
S
n
【详解】（1）设
na
的公差为d ，
因为
1
3
11
,
,
a a a 成等比数列，所以
2
3
1
11
a
a
a
又因为
3
8
a
，所以
28
8
2
8
8
d
d
，所以
2
3
0
d
d
．
因为
0
d
，所以
3
d ，所以
1
1
2
6
8
a
d
a
，得
1
2
a
，
故
2
3
1
3
1
na
n
n
．
（2）因为
1
3
3
1
1
3
1 3
2
3
1
3
2
n
n
n
b
a a
n
n
n
n
，
所以
1
1
1
1
1
1
2
5
5
7
3
1
3
2
n
S
n
n
1
1
3
2
3
2
6
4
n
n
n
．
题型九：等比数列求和在传统文化中的应用
1.某书院数科考试中有这样一道题：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，
复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒．故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，
如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山．问：夫子切了六斤桃花一共饮了几壶酒？（
）
A．15
8
B．47
16
C．23
8
D．
31
16
【答案】B
【详解】解：由题意可知，数列前2 项都是1，从第二项开始，构成以公比为
1
2 的等比数列，
所以前6项和为：
1
1
1
1
1 1
2
4
8
16
，
5
1
1
47
2
1
1
16
1
2
.
故选：B．
2.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六
日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走
的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后3天共走的里程数为（
）
A．6
B．12
C．18
D．42
【答案】D
【详解】设第
n n
N
天走
na 里，其中1
6
n
，由题意可知，数列
na
是公比为1
2 的等比数列，
所以，
6
1
1
1
1
2
63
378
1
32
1
2
a
a
，解得
1
378 32
192
63
a
，
所以，此人后三天所走的里程数为
3
4
5
6
1
1
192
1
8
2
42
1
1
2
a
a
a
.
故选：D.
3.南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列
na
本身不是等差数列，
但从
na
数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
nb （则称数列
na
为一阶等差数列），
或者
nb
仍旧不是等差数列，但从
nb
数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
nc
（则
称数列
na
为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定
义高阶等比数列，设数列
na
：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则
10
3
1
log
n
n
a
的值为（参考公式：
2
2
2
1
2
1
2
1
6
n
n
n
n
）（
）
A．60
B．120
C．240
D．480
【答案】B
【详解】由题意，数列1，1，3，27，729，…为
na
，且为一阶等比数列，
设
1
1
n
n
n
a
b
a
，所以
nb
为等比数列，其中
1
1
b ，
2
3
b ，公比为
2
1
3
b
q
b
，所以
1
3n
nb
，
则
1
2
1 2 3
2
2
1
2
1
1
3
3
n
n
n
n
n
n
a
b
b
b a
，
2
n
，
所以
1
2
2
2
3
3
1
2
1
log
log 3
3
2
2
2
n
n
n
n
n
a
n
n
，
2
n
，
因为
1
1
a ，
2
1
a ，也适合上式，所以
2
3
1
log
3
2
2
na
n
n
，
所以
10
3
3
1
3
2
3
3
3
10
1
log
log
log
log
log
n
n
a
a
a
a
a
2
2
2
1
1
2
10
3 1
2
10
2 10
2
1 10
10
1
1 10 11 21
3
2 10
2
6
2
120
.
故选：B.
4．（1）《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其
数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是一个整数除以三余二、除以五余三、
除以七余二，求这个整数.设这个整数为a ，当
10
2,2
a
时，试求符合条件的a 的个数.
（2）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠“壮壮”日二尺，小鼠'果果
'亦二尺.大鼠·壮壮'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.问:何日相逢?各穿几何?”意思就是说，有一堵十尺厚的
墙，两只老鼠从两边向中间打洞，大老鼠“壮壮”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壮壮”每天
的打洞进度是前一天的2
3 倍，小老鼠“果果”每天的进度是前一天的
1
2 倍.问第300 天结束时，两只老鼠“壮
壮”与“果果”是否能喜相逢?请说明理由.
【答案】（1）10；（2）不能，理由见解析
【详解】（1）由题可知满足被3 除余2，被5 除余3.被7 除余2 的最小的数为23，
满足该条件的数从小到大构成以23 为首项，3 5 7
105
为公差的等差数列，
其通项公式为
105
82
na
n
，
令
10
2
105
82
2
1024
n
，解得84
1106
56
10
105
105
105
n
，所以符合条件的整数a 的个数为10.
（2）大老鼠“壮壮”和小老鼠“果果”每天穿墙尺寸分别构成数列{
},{ }
n
n
a
b
，它们都是等比数列，
由题意
1
1
2
a
b
，数列{
}
na
的公比为
1
2
3
q
，数列{ }
nb 的公比为
2
1
2
q
，
则
1
2
300
1
2
300
(
)
(
)
a
a
a
b
b
b
300
300
299
300
2
1
2 1
2 1
3
2
2
1
10
4
10
2
1
3
2
1
1
3
2
，
所以第300 天结束时，两只老鼠“壮壮”与“果果”不能喜相逢.
模块三：综合巩固
1．等比数列
na
中，
3
9
a
，且前三项和为
3
27
S
，则公比q 的值是（
）
A．1
B．
1
2
C．1 或
1
2
D．－1 或
1
2
【答案】C
【分析】由等比数列通项公式基本量运算求解．
【解析】由题意
3
3
3
1
2
3
3
2
2
1
1
9(1
)
27
a
a
S
a
a
a
a
q
q
q
q
，
解得
1
q 或
1
2
q
．
故选：C．
2．设等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
10
5
1
2
S
S
，则
15
5
S
S
（
）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．3
4
【答案】D
【分析】先判断
1
q 的情况，然后当
1
q 根据
10
5
1
2
S
S
求出
5
1
2
q
，代入求解即可.
【解析】解：设等比数列
na
的公比为q，
0
q
若
1
q ，则
1
na
a
，所以
n
n
S
na
所以
10
1
5
1
10
2
5
S
a
S
a
，与已知矛盾.
所以
1
q ，
1
1
n
na
a q
1(1
)
1
n
n
a
q
S
q
10
1
5
10
5
1
5
(1
)
1
1
1
(1
)
2
1
a
q
S
q
q
a
q
S
q
，得
5
1
2
q
3
15
1
15
15
5
5
1
5
(1
)
1
1
1
3
1
2
1
(1
)
1
4
1
2
1
a
q
S
q
q
a
q
S
q
q
故选：D
3．若等比数列
na
中的
5a ，2019
a
是方程
2
4
3
0
x
x
的两个根，则
3
1
3
2
3
3
3
2023
log
log
log
log
a
a
a
a
等
于（
）
A．2024
3
B．1011
C．2023
2
D．1012
【答案】C
【分析】利用韦达定理、等比数列的性质以及对数的运算性质进行求解.
【解析】因为等比数列
na
中的
5a ，
2019
a
是方程
2
4
3
0
x
x
的两个根，
所以
5
2019
3
a a
，根据等比数列性质知，
1
2023
2
2022
1011 1013
1012
1012
3
a a
a a
a
a
a
a
，
因为
1012
0
a
，于是
1
2
1012
3
a
，
则
3 1
3
2
3
3
3
2023
log
log
log
log
a
a
a
a
=
3
1
2
3
2023
log
a a a
a
=
1
1011
2
3
2023
log
3
3
2
.故A，B，D 错误.
故选：C.
4.设
n
S 为公比为q的等比数列
na
的前n 项和，且
3
2
2
7
S
a
，则q （
）
A．15
2
B．2
C．
1
2 或15
4
D．
1
2 或2
【答案】D
【详解】由题意得：
2
2
2
2
2
7
a
a
a q
a
q
，因为
2
0
a
，所以1
5
2
q
q
，
所以
2
5
1
0
2
q
q
，解得
1
2
q
或2 ．
故选：D
5.已知数列
na
是递增的等比数列,且
1
4
9
a
a
,
2
3
8
a a
,则数列
na
的前n 项和为（
）
A．2
1
n
B．
1
16 1
2
n
C．
1
2
1
n
D．
1
1
16 1
2
n
【答案】A
【详解】设数列
na
的公比为q,
由题意可得：
1
4
2
3
1
4
9
8
a
a
a a
a a
,
又数列
na
是递增的等比数列,
所以
1
4
1,
8
a
a
,
所以
4
3
1
2
a
q
a
=
=
,
所以数列
na
的前n 项和为
1
1 2
2
1
1 2
n
n
n
S
.
故选:A.
6.大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项依次是0 、2 、4、
8、12、18、24 、32、40 、50.其通项公式为
2
2
1,
2
,
2
n
n
n
a
n
n
为奇数
为偶数
如果把这个数列{
}
na
排成如下图形状，
并记
( , )
A m n 表示第m 行中从左向右第n 个数，则
(11,8)
A
的值为（
）
A．1984
B．2048
C．5724
D．5832
【答案】D
【详解】由题意：前10 行共有1
3
5
19
100
，
(11,8)
A
表示数列的第108 项.
所以
2
108
108
5832
2
a
.
故选：D
7.若
1 3
9
3 n
f n
，则
f n 的值为（
）
A．3
1
n
B．3
1
2
n
C．
1
3
1
2
n
D．
1
3
1
2
n
【答案】C
【详解】由
1 3
9
3 n
f n
可知，
该表达式是一个以首项为1，公比为3 的等比数列，共有
1
n 项
故
1
1
1 3
3
1
1
3
9
3
1 3
2
n
n
n
f n
，
故选：C.
8.在等比数列
na
中，
2
4
32
a
a
，
6
8
16
a
a
，则
10
12
14
16
a
a
a
a
（
）
A．8
B．10
C．12
D．14
【答案】C
【详解】设公比为q，由
2
4
6
8
32,
16
a
a
a
a
，
可得:
4
6
8
2
4
16
a
a
q
a
a
，
解得
4
1
2
q
，
8
10
12
14
16
2
4
6
8
1
(32
16)
12
4
a
a
a
a
q
a
a
a
a
，
故选：C.
9.已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
1
4
S
S
，则
16
4
8
S
S
S
（
）
A．8
B．9
C．16
D．17
【答案】A
【详解】设
4
0
S
x x
，则
8
4
S
x
，
因为
na
为等比数列，所以
4
8
4
12
8
16
12
,
,
,
S
S
S
S
S S
S
仍成等比数列.
易知
8
4
4
4
3
S
S
x
x
S
x
，
所以
12
8
8
4
12
16
12
12
8
16
3
9
13
3
27
40
S
S
S
S
x
S
x
S
S
S
S
x
S
x
,故
16
4
8
40
8
4
S
x
S
S
x
x
.
故选:A.
10．已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
1
3
S
S
，则
4
12
S
S
（
）
A．3
2
B．1
3
C．2
3
D．1
7
【答案】D
【详解】等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，则
4
8
4
12
8
,
, S
S S
S
S
成等比数列，
设
4
S
m
，则
8
3
S
m
，
8
4
2
S
S
m
，
12
8
4
S
S
m
，
12
7
S
m
，
所以
4
12
1
7
7
S
m
S
m
.
故选：D
11.数列
1
2n
na
，其前n 项和为
nT ，若不等式
2
log
4
1
2
3
n
n
T
n
n
对一切
*
nN 恒成立，则实数
的取值范围为（
）
A．3
4
B．
2 2
C．
2 2
3
D．
1
【答案】D
【详解】数列
1
2n
na
，则
1
4
a
，
2
+1
1
2
=2
2
n
n
n
n
a
a
，
则数列
na
是首项为4 公比为2 的等比数列，
其前n项和
4 1
2
=
4 2
1
1
2
n
n
nT
，
则不等式
2
log
4
1
2
3
n
n
T
n
n
对一切
*
nN 恒成立，
可化为
2
2
2
2
log
1
3
n
n
n
n
，即
2
2
1
n
n
n
对一切
*
nN 恒成立，
又
2
2
1
3
1
4
2
4
1
3
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
（当且仅当
1
n 时等号成立），
则实数的取值范围为
1
.
故选：D
12.(多选)已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
3
2
a
，
3
42
S
，则数列
na
的公比可能是（
）
A．
1
4
B．1
4
C．
1
5
D．1
5
【答案】BC
【详解】设数列
na
的公比为q，
则
2
3
3
3
1
2
3
3
2
1
1
2
1
42
a
a
S
a
a
a
a
q
q
q
q
，
所以
2
1
1
20
0
q
q
，解得1
4
q
或1
5
q ，即
1
4
q
或
1
5
q
．
故选：BC．
13.(多选)等差数列
na
的公差为d ，前n 项和为
n
S ；等比数列
nb
的各项均为正数，公比为q，前n项和
为
nT ，下列说法正确的是（
）
A．
2 n
a
是等比数列，公比为2d
B．
2
log
nb
是等差数列，公差为
2
log q
C．若
*
N
k
，则
kS ，
2k
k
S
S
，
3
2
k
k
S
S
成等差数列，公差是kd
D．若
*
k N ，则
kT ，
2k
k
T
T
，
3
2
k
k
T
T
成等比数列，公比是
k
q
【答案】ABD
【详解】A：因为等差数列
na
的公差为d ，所以
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
a
a
a
d
a
*
2,
N
n
n
，故A 正确；
B：因为等比数列
nb
的各项均为正数，公比为q，所以
0
q
，
2
2
1
2
2
1
log
log
log
log
n
n
n
n
b
b
b
q
b
*
2,
N
n
n
，故B 正确；
C：当
*
k N 时，
1
2
3
k
k
S
a
a
a
a
，
2
2
1
3
k
k
k
k
k k
k
S
S
a
a
a
a
2
1
2
2
2
3
2
3
2
k
k
k
k k
k
k
S
a
a
a
S
a
又
1
2
1
1
2
2
2
2
3
2
3
3
2
2
,
2
,
2
,
,
2
k
k
k
k
k
k
k
k k
k k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
2
2
2
k
k
k
k
k
S
S
S
S
S
但是
1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
k
k
k
k k
k
a
a
kd a
a
kd a
a
kd
a
a
kd
，
所以
2k
k
k
S
S
S
k kd
，
同理
3
2
2
k
k
k
k
S
S
S
S
k kd
，
所以
kS ，
2k
k
S
S
，
3
2
k
k
S
S
成等差数列，公差是
2
k d ，故C 错误；
D：当
*
k N 时，
1
2
3
k
k
T
b
b
b
b
，
2
2
1
3
k
k
k
k
k k
k
T
T
b
b
b
b
2
1
2
2
2
3
2
3
2
k
k
k
k k
k
k
T
T
T
T
T
T
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
3
2
3
3
2
,
,
,
,
k
k
k
k
k
k
k
k k
k k
b b
b
b b
b
b b
b
b b
b
2
3
2
2
k
k
k
k
k
T
T
T
T
T
，
又等比数列
nb
的各项均为正数，
2
3
2
0,
0,
0
k
k
k
k
k
T
T
T
T
T
，
且
1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
k
k
k
k
k
k
k
k k
k
b
b q b
b
q b
b q
b
b
q
所以
2
k
k
k
k
T
T
T
q
，同理
3
2
2
k
k
k
k
k
T
T
T
T
q
即
kT ，
2k
k
T
T
，
3
2
k
k
T
T
成等比数列，公比是
k
q ，故D 正确；
故选：ABD.
14．已知数列
na
是等比数列，且
1
1
a ，
8
7
5
4
27
a
a
a
a
，则
1
na
的前n 项和为（
）
A．
2
3
1
n
B．3
1
1
2 3n
C．3
1
1
4
3
n
D．
3
1
4
n
【答案】B
【分析】设等比数列
na
的公比为q，根据等比数列的通项公式及已知条件求出q，即可得到
na
的通项
公式，从而得到
1
na
的通项公式，记数列
1
na
的前n项和为
nT ，利用等比数列求和公式求出
nT ，即可得
解；
【解析】解：设等比数列
na
的公比为q，由
8
7
5
4
27
a
a
a
a
，即
3
3
5
4
5
4
27
a q
a q
a
a
，所以
3
27
q
，解得
3
q
，
又
1
1
a ，所以
1
3n
na
，
所以
1
1
1
1
1
3
3
n
n
na
，记数列
1
na
的前n 项和为
nT ，
则
1
1
3
1
3
1
1
2
3
1
3
n
n
nT
，
所以数列
1
na
的前n 项和为
3
1
1
2 3n
nT
.
故选：B
15．在等比数列{
na }中，
1
4
8,
1
a
a
．记
1
2
1,2,
n
n
T
a a
a
n
，则数列{
nT }（
）
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
【答案】A
【分析】首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得
nT ，根据二次函数的性质的指数函数
的性质可得选项.
【解析】设等比数列
na
为q，则等比数列的公比
4 1
4
1
1
8
a
q
a
，所以
1
2
q
，
则其通项公式为：
1
1
1
4
1
1
8
1
2
2
n
n
n
n
na
a q
，
所以
0
1
3
4
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
n
n
n
n
T
a a
a
3+4
7
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
n
n
n
n
n n
n n
，
令
7
t
n
n
，所以当
3
n
或
4
n
时，t 有最大值，无最小值，
即
7
2
2
n
n
有最大值，无最小值，
结合前面
1
2
1
n n
，当
1
2
1
n n
为正数时，
nT 为正数，
当
1
2
1
n n
为负数时，
nT 为负数，
所以当
3
n
时，
nT 有最小项，当
4
n
时，
nT 有最大项.
故选：A.
16.在等比数列
na
中，
2
5
2,
16
a
a
，则
1
1
2
3
( 1)n
n
a
a
a
a
.
【答案】1 ( 2)
3
n
【详解】记等比数列
na
的公比为q，则
2
1
4
5
1
2
16
a
a q
a
a q
，解得
1
1
2
a
q
，所以
1
2n
na
，
记
1
1
1
( 1)
( 1)
2
n
n
n
n
n
b
a
，
因为
2
1
1
1
( 1)
2
2
( 1)
2
n
n
n
n
n
n
b
b
，所以
nb
是1 为首项，2
为公比的等比数列，
所以
1
1
2
3
1
2
1
2
( 1)
1
2
3
n
n
n
n
a
a
a
a
.
故答案为：1 ( 2)
3
n
.
17.已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
1
5 3n
n
S
t
，则t
.
【答案】
5
3
【详解】设等比数列
na
公比为
1
q q
，则
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
a
q
a
a q
S
q
q
q
，
即等比数列
na
的前n 项和
n
S 要满足
0
n
n
S
AB
A AB
，
又因为
1
5
5 3
3
3
n
n
n
S
t
t
，
所以
5
3
t
.
故答案为：
5
3
18.已知等差数列
na
中，
2
3
a
，公差
0
d
;等比数列
nb
中，3
1
b
a
，
1 b 是
2a 和
3
a 的等差中项，2b 是
1a 和
2a 的等差中项．
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)求数列{
}
n
n
a
b
的前n 项和
n
S ；
(3)记
,
n
n
n
c
a
b
比较
1
nc 与
nc 的大小.
【答案】(1)
2
1
na
n
，
1
1
4
2
n
nb
；
(2)
3
2
1
8
2
n
n
S
n
；
(3)
2
1
c
c
，当
2
n
时，
1
n
n
c
c
.
【详解】（1）因为
2
3
a
，
依题意
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
3
3
2
3
3
b
a
d
d
b
a
a
d
b
a
a
d
，
故
2
1
6
6
,
2
2
d
d
b
b
，由
2
2
1 3
b
bb
得
2
2
0
d
d
，
解得
0
d
或2，
因为
0
d
，所以
2
d
，
1
3
2
1
a
，
故
1
1
1 2
1
2
1
na
a
n
d
n
n
，
其中
2
1
6
6
2,
4
2
2
d
d
b
b
，故公比
1
2
q
，
所以
1
1
4
2
n
nb
；
（2）
1
1
2
1
4
2
n
n
n
a
b
n
，
故
2
1
1
2
1
1
1 3
2
1
4
2
4
2
n
n
n
n
S
a
b
a
b
a
b
n
3
2
1
4
4
1 2
1
2
2
8
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
；
（3）
1
1
1
3
2
2
1
2
1
,
.
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
a b
c
a
b
所以
1
2
3
2
2
1
2
1
3
2 ,
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
c
c
当
1
n 时，
2
1
0
c
c
，当
2
n
时，
1
0
n
n
c
c
，
所以
2
1
c
c
，当
2
n
时，
1
n
n
c
c
.
19.已知公差为正数的等差数列
na
满足
1
1
3
4
1,2 ,
1,
1
a
a a
a
成等比数列．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
2
5
,
a a 分别是等比数列
nb
的第1 项和第2 项，求使数列
2
nb
的前n 项和
299
300
nT
的最大正整数n ．
【答案】(1)
2
1
na
n
；
(2)5.
【详解】（1）由题设
2
2
3
1
4
3
3
4
(
1)
2 (
1)
2
1
2
2
a
a a
a
a
a
，若公差为
0
d
，
所以
2
(1
2 )
2(1
2 ) 1
2(1 3 )
2
d
d
d
，即
2
2
3
2
(2
1)(
2)
0
d
d
d
d
，
所以
2
d
，故
1
(
1)
2
1
na
a
n
d
n
.
（2）由（1）知：
1
2
2
5
3,
9
b
a
b
a
，故数列
nb
的首项、公比为3，
所以
2
2
3n
nb
，则
2
1
1
1
1
1
2
0
1
3
2 (
...
)
1
1
3
3
3
3
299
1
30
3
3
n
n
n
n
T
，
所以
1
300
300
1
3
3
n
n
且
*
N
n
，而
6
5
243
300
3
729
3
，
所以
5
n
，故最大正整数n为5.
