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专题03 组合与组合数
题型一：组合数的化简及简单计算
题型二：组合数方程与不等式
题型三：简单的组合应用问题
题型四：代数中的组合问题
题型五：几何中的组合问题
题型六：分组分配问题
题型七：x+y+z=n 的整数问题
题型八：其它排列与组合的综合问题
题型一：组合数的化简及简单计算
1．（2025 高二·全国·专题练习）给出下列问题：
①若集合
求集合A 的含有3 个元素的子集的个数；
②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数；
③求从7 本不同的书中选出5 本给某一个同学的选法种数；
④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数；
⑤把3 本相同的书分给5 个学生，求每人最多得1 本的分法种数．
其中是组合问题的为（ ）
A．①⑤
B．①②
C．①③⑤
D．①③
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】组合意义理解
【分析】根据组合的定义分别判断即可.
【详解】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题；
对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题；
对于③，从7 本不同的书中选出5 本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题；
对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列
问题；
对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5 人中选出3 人，故⑤是组合问题．
故选：C．
2．（24-25 高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A．从4 名志愿者中选出2 人分别参加导游和翻译的工作
B．从0，1，2，3，4 这5 个数字中选取3 个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3 名同学参加某大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3 名同学分别担任班长、副班长和学习委员
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】排列的意义理解、组合意义理解
【分析】根据排列和组合的概念可确定选项.
【详解】A.从4 名志愿者中选出2 人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是
排列问题.
B. 从0，1，2，3，4 这5 个数字中选取3 个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序
有关，是排列问题.
C. 从全班同学中选出3 名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题.
D. 从全班同学中选出3 名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是
排列问题.
故选：C.
3．计算
（ ）
A．252
B．126
C．84
D．63
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】排列数的计算、组合数的计算
【分析】根据排列数和组合数运算法则计算即可
【详解】
．
故选：B．
4．（24-25 高二下·广东江门·期末）计算
的值是（ ）
A．41
B．61
C．62
D．82
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】排列数的计算、组合数的计算
【分析】利用排列数和组合数公式计算即可．
【详解】
，
，
,
因此
.
故选：B.
5．（24-25 高二下·福建福州·期末）计算
的值是（ ）
A．48
B．76
C．148
D．176
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】排列数的计算、组合数的计算
【分析】根据排列数和组合数的计算公式得到答案.
【详解】
.
故选：B
6．（24-25 高二下·湖北恩施·期末）
（ ）
A．20
B．30
C．40
D．50
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】排列数的计算、组合数的计算
【分析】根据题意，利用排列数与组合数的计算公式，即可求解.
【详解】由排列数与组合数的计算公式，可得
.
故选：D.
7．（多选题）给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A．从2，11，13，17 中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商.
B．有5 张广场演唱会门票，要在8 人中确定5 人去观看，有多少种不同的选法
C．从20 只不同颜色的气球中选出6 只布置教室，有多少种不同的选法
D．艺术节排练，从甲、乙、丙等9 名同学中选出4 名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安
排方法
【答案】BC
【难度】0.94
【知识点】组合意义理解
【分析】利用组合的定义一一判定选项即可.
【详解】对于选项A，选数后作商有顺序，故不是组合问题，A 错误；
对于选项B，从8 人中选5 人，无顺序，符合组合定义，B 正确；
对于选项C，从20 只不同的球中选6 只，无顺序，符合组合定义，C 正确；
对于选项D，9 人中选4 人参加两个不同节目，有先后顺序，不是组合问题，D 错误.
故选：BC
8．（多选题）下列问题是组合问题的有（ ）
A．设集合
，则集合A 的含有3 个元素的子集有多少个
B．某铁路线上有5 个车站，则这条线上共需准备多少种票价
C．3 人去干5 种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法
D．把3 本相同的书分给5 个学生，每人最多分得1 本，有几种分配方法
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】组合意义理解
【分析】利用排列与组合的定义判断各选项中的问题.
【详解】A 选项，取出的元素与顺序无关，故是组合问题.
B 选项，甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站
是同一种票价，故是组合问题.
C 选项，从5 种不同的工作中选出3 种，并按一定顺序分给3 个人去干，故是排列问题.
D 选项，因为3 本书是相同的，无论把3 本书分给哪三人，都不需要考虑它们的顺序，故是组合问题.
故选：ABD
题型二：组合数方程与不等式
1．（24-25 高二下·广西来宾·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．7
B．21
C．35
D．42
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】组合数方程和不等式、组合数的计算
【分析】根据组合数性质列出关于x 的方程和不等式组求出
，再根据组合数定义即可求解.
【详解】由
，得
或
，且
，
解得
或
，
当
时，
，
当
时，
.
故选：B．
2．（24-25 高二下·江苏南通·阶段练习）若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】组合数的性质及应用、组合数方程和不等式
【分析】利用组合数的性质建立方程，求解参数即可.
【详解】因为
，所以
或
，
当
时，解得
，经检验，符合题意，
当
时，解得
，经检验，符合题意，
综上，得到
，故B 正确.
故选：B
3．（25-26 高三上·北京·阶段练习）满足条件
的正整数
的个数是（ ）
A．10
B．9
C．4
D．3
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】组合数方程和不等式、组合数的计算
【分析】用阶乘表示组合数，化简求出
范围.
【详解】由
可得
，
整理得
，解得
，且
，
所以
，又
，所以
.
故选：C.
4．若
，则
的取值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】组合数方程和不等式
【分析】根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可.
【详解】∵
，
∴
即
解得
.
∵
，
∴
.
∴
的取值集合为
.
故选：A.
5．（24-25 高二下·上海宝山·期中）若
为正整数，则不等式
的解集是
【答案】
【难度】0.65
【知识点】组合数方程和不等式、组合数的计算
【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得.
【详解】
化为
，即
.解得
，因为
，则
.故原不等式的解集为
.
故答案为：
.
6．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知组合数
，则关于
的不等式
的解集为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】组合数方程和不等式、组合数的计算
【分析】利用组合数的计算展开不等式求解即可；
【详解】不等式
，
即不等式
，
解得
，又因
且
为正整数，
所以原不等式的解集为
．
故答案为：
.
7．不等式
的解集为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】组合数方程和不等式
【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得.
【详解】不等式
化为：
，整理得
，解得
，而
，
所以
，原不等式的解集为
.
故答案为：
8．（1）若
，则x= .
（2）不等式
的解集为 .
【答案】 5
【难度】0.65
【知识点】排列数方程和不等式、组合数方程和不等式
【分析】（1）根据排列数公式即可求解；
（2）根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可.
【详解】（1）
且
，
，化简得
，
解得
（不合题意，舍去），
；
（2）∵
，∴
，即
，解得
.
∵
，∴
.∴
的取值集合为
.
故答案为：5；
.
题型三：简单的组合应用问题
1．（25-26 高二上·黑龙江绥化·期中）甲盒子中有大小材质完全相同的5 个红球和3 个蓝球；乙盒子中有大
小材质完全相同的6 个红球和2 个蓝球．若从甲、乙两个盒子中各随机取出2 个球，则取出的4 个球中恰
有3 个红球的不同取法共有（ ）
A．150 种
B．180 种
C．300 种
D．345 种
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、实际问题中的计数问题
【分析】分为两种情况：甲盒取出1 红1 蓝、乙盒取出2 红；甲盒取出2 红、乙盒取出1 红1 蓝，分别计算
种数再相加即可．
【详解】4 个球中恰有3 个红球，可分为两种情况：
第一种：甲盒取出1 红1 蓝、乙盒取出2 红，此时有
；
第二种：甲盒取出2 红、乙盒取出1 红1 蓝，此时有
；
故共有
种不同的取法．
故选：D.
2．（25-26 高三上·广东佛山·阶段练习）一支军事特别任务部队由18 名士兵组成，当中共有6 名女士兵，
其余的是男士兵．若从该部队中随机选出8 名士兵，求选出不多于4 名女士兵的概率．（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数的计算、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型
问题的概率
【分析】首先根据组合数求解
名士兵中随机选出名士兵的总情况数，然后再计算名士兵中包含5 名
女士兵，3 名男士兵或6 名女士兵，2 名男士兵情况数，通过总体排除法即可得到名士兵中选出不多于4
名女士兵的情况数，进而根据古典概率进行求解即可.
【详解】从
名士兵中随机选出名士兵共有
种情况，
选出的名士兵中包含5 名女士兵，3 名男士兵有
种情况；
选出的名士兵中包含6 名女士兵，2 名男士兵有
种情况；
由此可得：选出的名士兵中不多于4 名女士兵有
种情况.
综上可得：从该部队随机选出8 名士兵中选出不多于4 名女士兵的概率
.
故选：D
3．（25-26 高三上·广东佛山·阶段练习）某校的音乐学会有7 名男生及5 名女生．某舞台上放了两行椅子，
且每行有3 张椅子．从该音乐学会中随机选出3 名男生及3 名女生在舞台上就座．若选出的女生必须坐在
首行：求编排男生和女生在舞台上就座的方法的数目．（ ）
A．350
B．720
C．12600
D．25200
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用
【分析】利用分步乘法计数原理和组合数的性质求解即可.
【详解】先选女生：从5 名女生中选3 名，可以选
种，
再选男生：从7 名男生中选3 名，可以选
种，
再对女生排列：3 名女生在首行3 张椅子上排列，有
种，
再对男生排列：3 名男生在第二行3 张椅子上排列，有
种，
由分步乘法计数原理得，总方法数为
种，故C 正确.
故选：C
4．（25-26 高三上·上海杨浦·开学考试）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某
盲盒产品共有3 种玩偶，小明购买4 个盲盒，则他能集齐3 种玩偶的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率
【分析】根据给定的条件，求出买4 个盲盒的基本事件数，再求出集齐3 种玩偶的基本事件数即可.
【详解】总情况数：每个盲盒有3 种可能，4 个盲盒的总情况数为，即
种，
符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在4 个盲盒中包含所有3 种玩偶，即一种玩偶出现2 次，其余两
种出现1 次，
选择出现2 次的种类：
种，分配位置：将4 个位置中选2 个给该种类，剩余2 个位置分别给另外两
种：
种，总符合条件的情况数：
种，
因此，总概率为
.
故选：C．
5．（25-26 高二上·陕西商洛·阶段练习）洛南县被誉为“汉字故里、核桃之乡、避暑名城”.国庆期间，小
明准备到洛南县的“音乐小镇”、“仓颉小镇”、“花溪弄”、“馒头山”、“文庙”、“抚龙湖”这6
个景区中随机选择2 个景区游览，则这2 个景区中有“音乐小镇”的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率
【分析】可先求出从6 个景区中随机选择2 个景区的所有可能情况，再求出这2 个景区中有“音乐小镇”
的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率即可.
【详解】从6 个景区中随机选择2 个景区，则所有可能的情况数为：
（种），
若这2 个景区中有“音乐小镇”，则只需从剩下的5 个景区中再选1 个即可，
则情况数为：
（种），
设“这2 个景区中有‘音乐小镇’”为事件
，
故根据古典概型概率公式可得
,
故选：
.
6．（25-26 高三上·内蒙古·开学考试）某公司的一个部门有6 名男员工和4 名女员工，从该部门选3 人组成
一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（ ）
A．84
B．90
C．96
D．100
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题
【分析】可用直接法或间接法求解.
【详解】法1：直接法：选取的员工中可以有：1 男2 女，2 男1 女两类情况，
所以不同的选法种数为：
.
法2：间接法：从10 人中任选3 人的方法中减去全是男生或全是女生的选法可得所求不同的选法种数为
．
故选：C
7．（25-26 高三上·上海·期中）某高校需要从4 名男学生和3 名女学生中选出3 名学生去“上海进博会”做
志愿者，则选出的3 名学生中，恰有1 名女学生的概率是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率
【分析】总的方法数为
，恰有一名女生则是从三个女生中选一个，再从
个男生里面选两个即可。
【详解】从4 名男学生和3 名女学生中选出3 名学生总的方法数为
，
恰有一名女生则是从三个女生中选一个，再从
个男生里面选两个，方法数为
，所以概率为
.
故答案为：
.
8．（2025·河北沧州·模拟预测）现有6 个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不
同方式分别从中拿取3 个球：甲从所有球中一次性随机抽取3 个；乙将小球平均分为A，B 两堆后，先从A
堆中一次性取i 个，再从B 堆中一次性取
个（
），则乙的不同取法种数比甲多 种.
【答案】380
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题
【分析】根据组合数的定义及分步乘法原理求解.
【详解】由于甲是在6 个球中一次性取出3 个，从而不同的取法数有
种；
对于乙，将小球平均分为A，B 两堆有
种方法，
而对于每一个给定的分堆方式，其取法数为
，
所以乙的不同取法数为
种，故乙的不同取法数比甲多380 种，
故答案为：380.
9．（25-26 高三上·河南驻马店·开学考试）如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的
左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记
为第
次跳跃后对应数轴上的数字
，则满足
的跳跃方法有 种．
【答案】448
【难度】0.4
【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用
【分析】分
和
两种情况，讨论向左和向右的次数，再结合组合数公式，即可求
解.
【详解】因为
，所以
或
．
当
时，前8 次向左跳跃6 次，向右跳跃2 次，后6 次向右跳跃6 次，
所以有
（种）跳跃方法；
当
时，前8 次向右跳跃6 次，向左跳跃2 次，后6 次向左跳跃4 次，向右跳跃2 次，
所以有
（种）跳跃方法．
综上所述，满足
的跳跃方法有
（种）．
故答案为：
10．（25-26 高三上·重庆南岸·阶段练习）纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80 周年大会于
2025 年9 月3 日上午在天安门广场隆重举行，以盛大阅兵仪式同世界人民一道纪念这个伟大的日子，共同
开创更加光明的未来.这次阅兵中亮相的某新式武器的信息设备由装有一排四只发光电子元件组成，每个电
子元件被点亮时可发出红色光、蓝色光、绿色光中的一种光，若每次恰有两个电子元件被点亮，但相邻的
电子元件不能同时被点亮，根据这两个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同
的信息，则这四个电子元件能表示的信息种数共有 种.
【答案】27
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用
【分析】根据题意先计算选两个不相邻的电子元件的方案数，接着计算两个元件表示的不同信号数，最后
根据分步乘法计算原理求解．
【详解】设四只发光电子元件分别为
，
则选两个不相邻的电子元件共有
三种情况；
每种情况可表示
种信息，
所以共可表示
种不同信号．
故答案为：27．
题型四：代数中的组合问题
1．（25-26 高二上·河南焦作·期中）从编号为1，2，3，4 的4 张卡片中随机一次性抽取2 张，则抽到的2
张卡片编号之和为奇数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率
【分析】利用组合计数求出从4 张卡片中抽取2 张及抽到的2 张卡片编号之和为奇数的选法，利用古典概
率公式求解.
【详解】从4 张卡片中抽取2 张共有
种选法，
抽到的2 张卡片编号之和为奇数，即一奇一偶，共
种选法，
所以抽到的2 张卡片编号之和为奇数的概率
.
故选：C.
2．（25-26 高三上·湖北黄冈·期中）从
中任取2 个数字，从
中任取2 个数字，一共可以组成没有
重复数字四位数有（ ）
A．216 个
B．162 个
C．108 个
D．180 个
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、数字排列问题
【分析】对首位数字分类讨论并结合组合数的性质求解即可.
【详解】当选的数字包括
时，共有
种数字组合，
而
不能放在首位，则每个组合的情况数为
个，
可得总情况数共有
个，
当选的数字不包括
时，共有
种数字组合，
此时每个组合的情况数为
个，
可得总情况数共有
个，
即一共可以组成没有重复数字四位数有
个，故D 正确.
故选：D
3．（24-25 高二下·安徽合肥·阶段练习）从0，1，2，…，9 这10 个数字中选出3 个不同的数字组成三位数，
其中大于230 的共有（ ）
A．504 个
B．552 个
C．559 个
D．660 个
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题、数字排列问题
【分析】根据百位数大于2 或百位数为2 时分类结合组合数计算求解.
【详解】当百位数大于2 时，三位数均符合题意，共有
个；
当百位数为2 时，
（1）若十位数大于3，此时三位数均符合题意，共有
个；
（2）若十位数为3，符合题意的三位数共有
个．
综上所述，共有
个．
故选:C．
4．（2025·湖南长沙·一模）已知一组数据0，9，7，4，5，从1 到10 中的整数里随机选择2 个不同的数加
入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】计算几个数的中位数、实际问题中的组合计数问题、组合数的计算、计算古典概型问题的概率
【分析】根据题意，得到原数据的中位数为5，要使得新数据与原数据中位数相同，可分为两类：两数中
不含5 和两数中含5，求得不同的选法的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】数据0，9，7，4，5，从小到大排列为0，4，5，7，9，可得其中位数为5，
从1 到10 中的整数里随机选择2 个不同的数加入这组数据有
种选法，
要使得新数据与原数据中位数相同，则可分为两类：
若两数中不含5，不同的选法有
种；
若两数中含5，则不同的选法有
种，
所以共有
种不同的选法，所以概率为
故选：B.
5．（24-25 高二下·福建福州·期末）从1，2，3，4，5 中任取3 个不同的数，记事件A 为“这3 个数中含1
但不含5”，则
．
【答案】
/0.3
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率
【分析】根据古典概型概率计算方法，求出事件概率.
【详解】从1，2，3，4，5 中任取3 个不同的数，共有
种不同取法；
符合“这3 个数中含1 但不含5”有
三种取法，
则
；
故答案为：
.
6．（24-25 高二下·陕西西安·期末）用0，1，2，3，4 这5 个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共
有 个．
【答案】30
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题、其他排列模型、组合数的计算
【分析】根据个位数字，分类讨论，结合排列组合即可求解.
【详解】若个位数字为0，则百位和十位从剩余4 个数字中任选2 个排列，可得
个符合条件的偶数，
若个位数字是2 或4，则从除0 外的其他3 个数字中选择一个作百位数字，再从剩余数字中选择一个作为十
位数字，此时共有
个符合条件的偶数，
因此一共有
个符合条件的偶数，
故答案为：30
7．（24-25 高二下·山西·期中）从1，2，3，4，5，6，7 这7 个数中任取3 个不同的数，则这3 个不同的数
的中位数为4 的概率为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率
【分析】根据排列组合即可结合古典概型的概率公式求解.
【详解】从这7 个数中任取3 个不同的数，所有的情况有
种，
要使得这3 个不同的数的中位数为4，则需要从1,2,3 中任选一个数，从5,6,7 中任选一个数，再加上4，即
可满足，故有
,
故概率为
，
故答案为：
8．（24-25 高三上·上海·期中）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这10 个数中任取5 个不同的数，则这5
个不同的数的中位数为4 的概率为 （用最简分数表示）
【答案】
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数的计算、计算古典概型问题的概率
【分析】首先利用组合数求出基本事件总数以及这5 个不同的数的中位数为4 的基本事件数，然后利用古
典概型的概率计算公式求解即可．
【详解】根据题意，从10 个数中任取5 个数，则基本事件总数为
，
而这5 个数的中位数是4 的基本事件数为
，
故这5 个不同的数的中位数为4 的概率为
.
故答案为：
.
9．（2024·浙江金华·一模）从1，2，3，4，5，6 这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选
法有 种
【答案】16
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题、写出某事件的对立事件
【分析】由组合数公式计算出所有选法，减去三个数都不相邻的选法即可.
【详解】从1，2，3，4，5，6 这六个数中任选三个数，共有
种选法，
其中三个数都不相邻的，有135，136，146，246 这4 种，
所以至少有两个数为相邻整数的选法有20-4=16 种.
故答案为：16
题型五：几何中的组合问题
1．（2025 高三·全国·专题练习）从正方体6 个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求异面直线所成的角、几何组合计数问题、计算古典概型问题的概率
【分析】正方体的面对角线共有12 条，能够数出每一条对角线和另外的8 条构成8 对直线所成角为
，
得共有12×8 对对角线所成角为60°，并且容易看出有一半是重复的，得正方体的所有对角线中，所成角是
的有48 对，根据古典概型概率公式求解即可．
【详解】如图，在正方体
中，
与上平面A1B1C1D1中一条对角线
成
的直线有
，
，
，
，
，
，
，
共8
条直线，
总共12 条对角线；
．
从正方体6 个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为
的共有48 对．
而正方体面的对角线共有12 条，所以概率为
．
故选：B．
2．（24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习）正八边形的对角线的条数是（ ）
A．16
B．20
C．28
D．40
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】几何组合计数问题
【分析】正八边形中，任取2 个顶点可以得到一条线段，利用组合数计算可得得到线段的数目，再排除其
中正八边形的8 条边即可得对角线条数．
【详解】正八边形中，任取2 个顶点可以得到一条线段，则可以得到
条线段，其中包括了正八边形
的8 条边，则正八边形对角线的条数为
条.
故选：B．
3．（2024·青海·一模）从五棱锥的6 个顶点中随机选取4 个，则这4 个顶点在同一个平面内的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】几何组合计数问题、计算古典概型问题的概率
【分析】计算出所有可能情况及符合要求的情况即可得.
【详解】从五棱锥的6 个顶点中随机选取4 个的不同选取方法有
种，
其中选取的4 个顶点在同一个平面内的不同选取方法有
种，
则所求概率
．
故选：C.
4．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀
酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点
表示某一时期的北斗七星．其中
四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这
七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（ ）
A．18
B．17
C．16
D．15
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】几何组合计数问题、实际问题中的组合计数问题
【分析】计算出从七个点中任意选两个点的总条数，再减去
四点共线重复的直线条数，可得结果.
【详解】根据题意从七个点中任意选两个点作直线共有
种，
其中
四点中任意选两点只能作一条直线，有
种重复，
所以所得直线的条数为
种.
故选：C
5．有两条平行直线a 和b，在直线a 上取4 个点，在直线b 上取5 个点，以这些点为顶点作三角形，这样
的三角形共有（ ）
A．70 个
B．80 个
C．82 个
D．84 个
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】分类加法计数原理、几何组合计数问题
【分析】分从直线a 上任取一个点直线b 上任取两个点，和从直线a 上任取两个点直线b 上任取一个点，
两种情况讨论即可.
【详解】第1 类：从直线a 上任取一个点，从直线b 上任取两个点，共有
种方法；
第2 类：从直线a 上任取两个点，从直线b 上任取一个点，共有
种方法，
故满足条件的三角形共有
个．
故选：A.
6．如图，点
，
，
，
分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组
共有 个．
【答案】33
【难度】0.85
【知识点】空间中的点（线）共面问题、几何组合计数问题
【分析】先将四点组分成两类，一类在四面体的侧面上，一类在一条侧棱和其对棱中点组成的平面上，分
别计数，再由分类加法计数原理即得.
【详解】因在同一平面内的四点组
都含有点
，故可以分成两类情况：
①四点组在四面体的侧面上，如在平面
中，除去点
，还剩5 个点，选其中3 点，有
个，
同理在平面
和平面
中也各有10 个，共有30 个；
②四点组在一条侧棱和其对棱中点组成的平面上，如平面
中，除去点
还剩3 个点，故有1 个，
同理在平面
和平面
上，也各有1 个，共有3 个.
综上，在同一平面内的四点组
共有33 个.
故答案为：33.
7．（24-25 高二下·河南郑州·期末）如图是由5 个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11 个顶点中任取
3 个顶点为一组，可以构成的三角形个数为 .
【答案】150
【难度】0.85
【知识点】几何组合计数问题、实际问题中的组合计数问题、组合数的计算
【分析】根据题意，用间接法，首先计算从11 个顶点中任取3 个的取法数目，再分析其中不能组成三角形
即取出的三点共线的情况，进而可得可以构成三角形的组数．
【详解】从11 个顶点中任取3 个，有
种取法，
而其中不能组成三角形即取出的三点共线的情况有：
三点都在三条水平边上，有
种，
三点都在三条竖直边上，有3 种，
三点在正方形的对角线方向上，有3 种，
则不能组成三角形即取出的三点共线的情况有
种；
所以可以构成三角形的组数为
组.
故答案为：150.
8．如图，6 只小狗恰好在正六边形广场的顶点上玩耍，从中随机选取三只（视作点）连结成线，则以它们
作为顶点的三角形是直角三角形的概率是 .
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】几何组合计数问题、计算古典概型问题的概率
【分析】从正六边形的6 个顶点中随机选择3 个顶点，选择方法有
种，且每种情况出现的可能性相
同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的三角形是直角三角形的方法种数，求比值即可．
【详解】从正六边形的6 个顶点中随机选择3 个顶点，选择方法有
种，
在正六边形中，直角三角形有
，共12 个，
由古典概型可知以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率
故答案为：
．
9．（2023·陕西咸阳·一模）如图，奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结，五个奥
林匹克环总共有8 个交点，从中任取3 个点，则这3 个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】几何组合计数问题、实际问题中的组合计数问题
【分析】根据排列组合计算个数，即可利用古典概型的概率公式求解．
【详解】从8 个点中任取3 个点，共有
种情况，
这三个点恰好位于同一个奥林匹克环上有
种，
则所求的概率
．
故答案为：
题型六：分组分配问题
1．（24-25 高二下·浙江温州·期末）某校招聘了6 名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2 名英语教
师不能分配在同一个校区，另外3 名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（
）
A．12 种
B．14 种
C．24 种
D．48 种
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题
【分析】先将2 名英语教师分到两个校区，再将3 名数学老师分成2 组再分到两个校区，最后只需将其他1
人到人数少的一个校区即可.
【详解】由题意知，先将2 名英语教师分到两个校区，有2 种方法，
第二步将3 名数学老师分成2 组，一组1 人另一组2 人，有
种分法，
然后再分到两个校区，共有
种方法，
第三步只需将其他1 人分到人数少的一个校区，
根据分布乘法计数原理知不同的分配方案共有
.
故选：A
2．（24-25 高二下·江苏南通·阶段练习）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年
都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5 名即
将毕业的定向师范生拟分配到3 所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1 所学校，每所学校至少分配
1 名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ）
A．90 种
B．150 种
C．300 种
D．360 种
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题
【分析】分类讨论人数的配比，结合捆绑法和部分平均分组法运算求解.
【详解】若3 所学校分配1 名师范生的人数为
时，先取3 人看成一个整体，再进行排列，
所以不同的跟岗分配方案有
种；
若3 所学校分配1 名师范生的人数为
时，注意到有2 个学校均分配2 名师范生，
所以不同的跟岗分配方案有
种；
综上所述：不同的跟岗分配方案共有
种.
故选：B
3．（24-25 高二下·贵州贵阳·期末）4 月15 日，人工智能模型OpenAI 推出参数规模达10 万亿级的GPT-5，
支持20 万字长文本理解，推理速度较GPT-4 提升3 倍．小明等5 位同学组成人工智能调研小组，准备对
OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4 种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模
型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（ ）
A．180
B．240
C．288
D．360
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】分组分配问题
【分析】5 位同学，分为2,1,1,1，根据组合和排列相关公式求解.
【详解】由题意得，5 位同学对4 种人工智能模型展开学习研究，分为2,1,1,1，
故不同的总方案数为
.
故选：B
4．（24-25 高二下·湖南郴州·期末）2025 年第十三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会5 月16 日在郴州国
际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊5 人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有
志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（ ）
A．120
B．150
C．180
D．300
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】分组分配问题
【分析】根据题意可知有
，
两种分配方案，进而求解即可.
【详解】由题意，按
分配，方案的种数为
,
按
分配，方案的种数为
,
所以不同的志愿者分配方案的种数是
.
故选：B.
5．（24-25 高二下·安徽安庆·期末）江淮地区不仅风景优美，而且美食也是远近闻名.现有一游客计划用三
天品尝山粉圆子烧肉、秋浦花鳜、大通茶干、八公山豆腐这4 种特色美食，每天至少选择一种（4 种美食
不重复选择且每天美食的选择不分先后顺序），游客三天后恰好品尝完这4 种美食.则这三天他选择美食的
不同选法种数为（ ）
A．24 种
B．36 种
C．42 种
D．48 种
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】分组分配问题
【分析】由题知，4 种美食的分配给3 天的分配方案为2,1,1，再根据分组分配原理及部分平均分配问题可
得不同选法.
【详解】根据题意，4 种美食的分配给3 天的分配方案为2,1,1，
所以不同的选法有
种.
故选：B.
6．（24-25 高二下·广东肇庆·期末）从7 名工程师中选出4 人去3 个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名
工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为（ ）
A．540
B．180
C．360
D．1080
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】分组分配问题
【分析】根据分组分配原理，先确定甲乙的去留情况，再计算符合条件得分配方式，，结合组合数和排列
数进行分步计算.
【详解】由题意得，先选人，甲乙都去有
种选择，甲乙都不去有
种选择，
又每个工地要求至少有一名工程师，所以分配方案为2,2,1，
根据分组分配部分均分问题有
种方案，
所以不同分配方法的种数为
.
故选：A.
7．（25-26 高三上·安徽·开学考试）第九届亚洲冬季运动会于2025 年2 月7 日至2 月14 日在哈尔滨举行，
期间将3 名志愿者小李、小张、小明分配到A，B 两个场馆服务，每个场馆至少分配一名，恰好小李与小
明分到一个场馆的概率为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】分组分配问题、计算古典概型问题的概率
【分析】现将三人分成两组，再将两组人分配到两个场馆，根据分步乘法计数原理即可求出总的分法；再
求出小李与小明分到一个场馆的分法数量，最后利用概率计算公式即可求解．
【详解】将小李、小张、小明分为两组，一组一人，另外一组两人，共
种分法，
再将两组人分配到A，B 两个场馆，共
种分法，
根据分步乘法计数原理可知，共
种分法；
小李和小明分到一个场馆的分法有
种；
故小李与小明分到一个场馆的概率为
．
故答案为：
．
8．（24-25 高二下·福建三明·期末）《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书
中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5 种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每
种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有 种.
【答案】150
【难度】0.85
【知识点】分组分配问题
【分析】把5 种算法按1，1，3 或1，2，2 分成三组，再安排给3 人，由此计算可得.
【详解】5 种算法按1，1，3 或1，2，2 分成三组的方法数为：
，
再安排给3 人，总方法数为
，
故答案为：150.
9．（24-25 高二下·四川绵阳·期中）我校新采购了5 套不同的实验器材，预计分配到高一、高二、高三三
个年级的实验室，要求每个年级至少分到1 套实验器材，那么共有 种不同的分配方案.
【答案】150
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题
【分析】先将套不同的实验器材分成组，再将分好的组全排列分配到三个年级，根据分步乘法计数原
理计算出不同的分配方案数.
【详解】将套不同的实验器材分成组，有两种分法：
按1，1，3 分组：从套器材中选套为一组，其余
套各为一组，共有
种分法.
按2，2，1 分组：从套器材中选
套为一组，再从剩下的套中选
套为一组，剩下套为一组，但这里
有重复情况，需要除以
消除重复，所以共有
种分法.
则将套不同的实验器材分成组，共有
种分法.
将分好的组全排列分配到三个年级，
将分好的组全排列，对应高一、高二、高三三个年级，共有
种排法.
所以不同的分配方案共有
种.
故答案为：150.
10．（24-25 高二下·河南新乡·期中）某高校安排甲、乙、丙、丁、戊5 名大学生去郑州、新乡、焦作、安
阳四个城市进行暑期社会实践，每位大学生只分配到一个城市，每个城市至少安排一人，则不同的安排方
式共有 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】分组分配问题
【分析】根据题意，将5 人分成
四组，再分配得解.
【详解】由题，先将5 人分成
四组有
种，再将四组分配给4 个城市有
种，
所以不同的报名方法有
种.
故答案为：
11．（24-25 高二下·广东深圳·期中）为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团
选派了3 名男教师和2 名女教师去支援新疆教育，要求这5 名教师被分派到3 个学校对口支教，每名教师
只去一个学校，每个学校至少安排1 名教师，其中2 名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有
种
【答案】36
【难度】0.85
【知识点】分组分配问题
【分析】根据2 名女教师分派到同一个学校考虑该校是否分配男教师，即可求出答案.
【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况:
①2 名女教师和1 名男教师分派到同一个学校，则有
种方法.
②2 名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：
种方法.故一共有：36
种分配方法.
故答案为：36
题型七：x+y+z=n 的整数问题
1．（24-25 高二下·安徽安庆·阶段练习）已知
，
，
，则关于
，
，
的方程
共有（ ）组不同的解.
A．36
B．45
C．50
D．24
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】x+y+z=n 的整数解的个数
【分析】根据题意将问题转化为把10 个相同的小球放入3 个不同的盒子，每个盒子至少放入1 个小球的不
同放法，由挡板分析可得答案.
【详解】根据题意，对于方程
将10 看成10 个相同的小球，将其分成3 组，每组至少1 个，
第一组有
个，第二组有
个，第三组有
个，即可得一个方程的解，
所以10 个相同的小球形成9 个空，从中选2 个，插入隔板即可，
所以共有
组不同的解.
故选：A
2．方程
的非负整数解有（ ）
A．
组
B．136 组
C．190 组
D．68 组
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】x+y+z=n 的整数解的个数
【分析】根据题意，将问题转化，利用插空法分析即可得出答案.
【详解】根据题意，对于方程
，
将“18”看成18 个“1”， 18 个“1”共有19 个空，
从19 个空中选两个空进行隔板，或从19 个空中选1 个空插2 个隔板，
即可以将18 个“1”分为三组，每组对应“1”的数目依次为
的数值，
则有
.
方程
的非负整数解有190 组.
故选：C
3．学校有6 个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1 个名额，则有（ ）种分
配方案．
A．135
B．10
C．75
D．120
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】x+y+z=n 的整数解的个数
【分析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”
【详解】解：“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”，
故有
，
故选：B.
4．袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，
最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（ ）
A．84 种
B．504 种
C．729 种
D．39 种
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】x+y+z=n 的整数解的个数
【分析】相同元素分组可以采用“隔板法”求解.
【详解】
四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，
即将
个球分成了
份：
个球有个空隙，选个空隙插上“隔板”即可分成4 份，
即：
种.
故选：A.
5．（2024·湖北·二模）已知
，且
，
，
，则方程
的解的组数为 .
【答案】15
【难度】0.85
【知识点】x+y+z=n 的整数解的个数
【分析】问题等价于将7 个相同的小球放入3 个不同的盒子，每个盒子中至少放入1 个小球的方法个数，
利用隔板法求解即可.
【详解】由题意，原问题等价于将7 个相同的小球放入3 个不同的盒子，每个盒子中至少放入1 个小球的
方法个数，在7 个相同的小球之间形成的6 个空中，任选2 个放入两个隔板，共有
种方法，
即方程
的解的组数为15.
故答案为：15
6．个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】x+y+z=n 的整数解的个数
【分析】在个相同的篮球中间形成的
个空位中插入两块板，结合隔板法可得出结果.
【详解】问题等价于：在个相同的篮球中间形成的
个空位中插入两块板，
所以，不同的分法种数为
种.
故答案为：
.
7．已知
，满足方程
，则这个方程解的组数为 ．（用数字作答）
【答案】286
【难度】0.85
【知识点】x+y+z=n 的整数解的个数
【分析】由题意分解中没有0，有1 个解为0，有2 个解为0，有3 个解为0 四种情况求解即可
【详解】解：当解中没有0 时，相当于10 个球分成4 堆，则10 个球中间有9 个空，分成4 堆也就是在其中
插上3 个板，有
种，
当有1 个解为0 时，相当于10 个球分成三堆，但先要选出谁为0，所以共有
种，
当有2 个解为0 时，相当于10 个球分成两堆，所以共有
，
当有3 个解为0 时，相当于10 个球分成一堆，所以有
，
所以共有
，
这个方程解的组数为286 组，
故答案为：286
8．六元一次方程
的正整数解有 组．
【答案】126
【难度】0.85
【知识点】x+y+z=n 的整数解的个数
【分析】利用隔板法可求正整数解的组数.
【详解】
的正整数解的组数为
，
故答案为：
.
题型八：其它排列与组合的综合问题
1．（24-25 高二下·江西景德镇·期中）总共有13 个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、
③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个
小球，问总共有（ ）种放小球方法
A．120
B．84
C．45
D．36
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、其他组合计数模型、分组分配问题
【分析】将其转化为隔板法解决即可.
【详解】已知①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球.
我们先在②号杯子中放个小球，在③号杯子中放
个小球，
这样就满足了每个杯子的最少放置要求.此时总共放了
个小球，
还剩下
个小球.
将问题转化为标准隔板法问题：
现在要把这10 个相同的小球放入①、②、③号三个杯子中，且每个杯子至少放个小球.
这就相当于在10 个小球形成的个间隔中插入
个隔板，
将其分成组，每组对应一个杯子. 根据隔板法公式，所以方法数为
.
根据组合数公式，可得
（种）.
故选：D.
2．如图，一圆形信号灯分成
四块灯带区域，现有3 种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带
里选择1 种颜色，且相邻的2 块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ）
A．18
B．24
C．30
D．42
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】其他排列模型、其他组合计数模型
【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数.
【详解】若用3 种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么
，要么
相同，有2 种方案，则
不同的信号数为
；
若只用2 种不同的颜色灯带，则
颜色相同，
颜色相同，只有1 种方案，则不同的信号数为
；
则不同的信号总数为
.
故选：A．
3．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）如图是某城区的街道平面网格，它由24 个全等的小正方形构成，
每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家
居住在街道网格的M 处，她的工作单位在街道网格的N 处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上
班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有 种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，
途中要先到达街道P 处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有 种最短路径的走法．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、其他组合计数模型
【分析】小张从
处出发选择最短路径前往
处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走
条街道．
因此只需从
条街道里面选择条街道向右走和条街道向上走即可；同理先求出从
处出发选择最短路
径前往
处的种数，再求从
处出发选择最短路径前往
处的种数，根据分布乘法计数原理求解即可.
【详解】小张从
处出发选择最短路径前往
处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走
条街道．
所以从
处出发选择最短路径到达
处一共有
种走法；
同理，从
处到达
处有
种走法，从
处到达
处有
种走法，
所以根据分步乘法计数原理，小张每天早上上班途经街道
处的最短路径走法有
种．
故答案为：210，90
4．（23-24 高二下·上海宝山·期末）设集合A 是由所有满足下面条件的有序实数组
构成的：
每一个元素
等于0、1、
中之一，其中
，2，3，4，5.那么集合A 中满足条件“
”的元
素个数为 .
【答案】130
【难度】0.65
【知识点】其他组合计数模型
【分析】从条件入手，由于
只能取0 或1，因此5 个数值的有2 个0，3 个0，或4 个0，讨论这三种情
况，即可求解.
【详解】因为
，
，集合
中元素满足条件
，
由于
只能取0 或1，因此5 个数值中有2 个0，3 个0 或4 个0 的三种情况，
①
中有2 个取值为0，另外3 个从
中取，共有方法数：
，
②
中有3 个取值为0，另外2 个从
中取，共有方法数：
，
③
中有4 个取值为0，另外1 个从
中取，共有方法数：
，
所以总共方法数为
，
即集合
中满足条件
的元素个数有
个.
故答案为：130
5．某校社团召开学生会议，要将
个学生代表名额，分配到高二年级的
个班级中，若高二（一）班至少
个名额，其余个班每班至少个名额，共有 种不同分法.（用数字作答）
【答案】
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、其他组合计数模型
【分析】先分配给高二（一）班2 个名额，剩余9 个名额用隔板法分配.
【详解】先给高二（一）班2 个名额，还有9 个名额分到6 个班级去，
每班至少个名额，使用隔板法，
有9 个相同元素共8 个空（不含两端），插入5 个板，共有
种插法，
两个板之间元素个数即为相应班级名额.
故答案为：
6．9 名学生报名参加学校联欢晚会，其中4 人只会唱歌，2 人只会跳舞，其余3 人既会唱歌又会跳舞，现
从中选6 人，3 人唱歌，3 人跳舞，共有 种不同的选法.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、其他组合计数模型
【分析】从只会跳舞的
人入手，分只会跳舞的选
人，只会跳舞的选人和只会跳舞的选
人，三种情况
讨论，即可得解.
【详解】只会跳舞的选
人，则有
种，
只会跳舞的选人，则有
种，
只会跳舞的选
人，则有
种，
所以共有
种不同的选法.
故答案为：
.
