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2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）01
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为 8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答
题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及整除与算术基本定理、同余与著名数论定
理、高阶等差数列与线性递推数列、函数迭代与数列不动点、函数方程、多项式理论与代数基本定理、常
用不等式、矩阵与变换、极点极线与射影几何、曲线系模块，以解答题的方式进行考查。
2023年全国新高考地区解答题中，结构中规中矩。但预测2024年新高考地区将以结构不良型方式整
除与算术基本定理、同余与著名数论定理、高阶等差数列与线性递推数列、函数迭代与数列不动点、函数
方程、多项式理论与代数基本定理、常用不等式、矩阵与变换、极点极线与射影几何、曲线系模块中的一
个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某车间有两条生产线分别生产 号和 号两种型号的电池，总产量为 个．质检人员采用分层抽样的
方法随机抽取了一个样本容量为 的样本进行质量检测，已知样本中 号电池有 个，则估计 号电池的
产量为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【解析】依题意样本中 号电池有 （个），
所以估计 号电池的产量为 （个）.
故选：D2．如图所示，四边形 是正方形， 分别 ， 的中点，若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
所以 ，所以 ，
所以 ，
.
故选：D.
3．已知 为等差数列 的前n项和， ，则 （ ）
A．60 B．120 C．180 D．240
【答案】B
【解析】因为数列 为等差数列，所以 ，
所以 ，所以 ．
故选：B.
4．设 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（ ）A．若 ，则 或
B．若 ，则
C．若 ，且 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【解析】对于A项，因 ，
设 ,在平面 过点 作直线 ，过点 作直线 ，则 ，
由 可得 ， ，故 垂直于由直线 和直线 组成的平面，
由过一点有且只有一个平面与已知直线垂直的性质可知 ，
故有 或 ，故A项正确；
对于B项，如图， ，设 ，
由 ，则 ，同理 ，设 构成平面 ，则 ，
设 ,则 ，
故得 ,故 ，B项正确；对于C项，如图，因 ， ，则 ；
又 ，则 ，故得： ，故C项正确；
对于D项，如图，取平面 为平面 ，平面 为平面 ，取 为 ， 为 ，
因 平面 ， 平面 ,则 ，
又 , 平面 ，故 平面 ，
因 平面 ，故 ,即 ，但 与 不垂直，故D项错误.
故选：D.
5．第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南
忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某
同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且
名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．6
【答案】A
【解析】由题意，因名称相同的两个吉祥物相邻，分别看成一个元素共有 种排法，
相邻元素内部再排共有 种排法，故共有 种排法，
故选：A．
6．已知函数 恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知方程 恰有2个不同的实数根．
设 ，则直线 与函数 的图象恰有2个不同的交点，
因为 ，当 时， ，当 时， ，
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
∴可以作出 的大致图象，如图所示，
易知直线 过定点 ，当直线 与函数 的图象相切时，设切点为 ，则 ，解得 或 ，
当直线 与函数 的图象相切时， 或 ，
数形结合可知，实数a的取值范围为 .
故选：D．
7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点 的直线
的一个法向量为 ，则直线 的点法式方程为： ，化简得 .类比以
上做法，在空间直角坐标系中，经过点 的平面的一个法向量为 ，则该平面的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意进行类比，在空间任取一点 ，
则
平面法向量为 ，
故选：A．
8．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 的直线与双曲线 分别在第一、二象限交于 两点， 内切圆的半径为 ，若 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以 ，
点A在双曲线上，
，
又 ，
， ，
点B在双曲线上，
，
，
，
设内切圆圆心为I，连接 ，如图所示，
，
，即 ，
为等边三角形， ，
在 由余弦定理得： ，
即： ，
.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A． 的最小正周期为
B．当 时， 的值域为
C．将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象
D．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
【答案】AD【解析】由函数图象可知， ， 的最小正周期为 ，A选项正确；
， ， ，
则 ，由 ，得 ，
所以 .
当 时， ， ， 的值域为 ，B选项错误；
将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象，C选项
错误；
将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数 的图
象，
，函数 的图象关于点 对称，D选项正确.
故选：AD
10．已知 是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 与 均为实数 B．若 与 均为实数，则
C．若 均为纯虚数，则 为实数 D．若 为实数，则 均为纯虚数
【答案】ABC
【解析】设 ， ． ，．
若 ，则 ， ，所以 ， ，所以A正确；
若 与 均为实数，则 ，且 ，又 ， ，所以 ，所以B正确；
若 ， 均为纯虚数，则 ，所以 ，所以C正确；
取 ， ，则 为实数，但 ， 不是纯虚数，所以D错误．
故选：ABC．
11．已知函数 在 上可导且 ，其导函数 满足： ，则下列结论
正确的是（ ）
A．函数 有且仅有两个零点
B．函数 有且仅有三个零点
C．当 时，不等式 恒成立
D． 在 上的值域为
【答案】AC
【解析】令 ，则 ，故 （ 为常数），
又 ，故可得 ，故 ， .
对A：令 ，即 ，解的 或 ，
故 有两个零点，A正确；
对B： ，则 ，
令 ，可得 ，故 在 和 单调递增；
令 ，可得 ，故 在 单调递减；
又 ， ，又 ，
故存在 ，使得 ；
又 ， 故存在 ，使得 ；
又当 时， ，故不存在 ，使得 ；
综上所述， 有两个根，也即 有 个零点，故B错误；
对C： ，即 ， ，
当 时， ，上式等价于 ，
令 ，故可得 ，
故 在 上单调递增， ，满足题意；
当 时， ，也满足 ；
综上所述，当 时， 恒成立，故C正确；
对D：由B可知， 在 单调递减，在 单调递增，
且 ， ，故 在 上的值域为 ，D错误.
故选：AC.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合 ，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由 ，故 ，
由 ，得 ，
故有 ，即 ，即 ，
即 的最小值为 .
故答案为： .
13．已知M，N是抛物线 上两点，焦点为F，抛物线上一点 到焦点F的距离为 ，
下列说法正确的是 ．（把所有正确结论的编号都填上）
① ；
②若 ，则直线MN恒过定点 ；
③若 的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为 ；
④若 ，则直线MN的斜率为 ．
【答案】①④
【解析】对于①：根据抛物线的定义得 ，解得 ，
所以抛物线 ， ，故①正确；
因为直线MN，OM，ON的斜率必存在，设直线MN的方程为 ， ， ，联立方程 ，相切y得 ，
则 ， ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ，满足 ，
所以直线MN恒过定点 ，故②错误；
对于③：因为线段OF的垂直平分线 ，可知 外接圆圆心的纵坐标为 ，
所以外接圆半径为 ，故③错误；
对于④：因为 ，可知直线MN过焦点F，且 ，
设直线MN的倾斜角为 ，
不妨设M在第一象限，如图，过点M，N分别向准线作垂线段MA，NB，过点N向MA作垂线段NC，
设 ，则 ， ， ，
则 ， ， ， ，
所以直线MN的斜率为 ，故④正确．
故答案为：①④.
14．如图，在正方体 ，中， ， 分别为线段 ， 上的动点.给出下列四个结论:①存在点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
②任意点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
③任意点 ，存在点 ，满足 ；
④任意点 ，存在点 ，满足 .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③
【解析】对①，当 ， 分别为 ， 的中点时，取 中点 ，连接 ，则根据中位线的性
质可得 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，同理 平面 ，又
， 平面 ，故平面 平面 .
又 平面 ，故 平面 .故①正确.
对②，当 在 时， ∥平面 不成立，故②错误；
对③④，以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设正方体 棱长为1，
则 ， .
设 ， ，则 ，其中 ，故 ，
则当 时 ，即 .
故对任意的 ，存在 满足条件，即任意点 ，存在点 ，满足 .故③正确；当 ，即 在 点时，若 ，则 ，不满足 ，即 不在 上，故④错误.
故答案为：①③
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)对 ， 恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)递增区间为 ；(2) .
【解析】（1）当 时，函数 的定义域为 ，求导得 ，
令 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，则函数 在 上递减，在 上递增，
，即 ， ，当且仅当 时取等号，
所以函数 在 上单调递增，即函数 的递增区间为 .
（2）依题意， ，则 ，
由（1）知，当 时， 恒成立，
当 时， ， ，
则 ，因此 ；
当 时，求导得 ，令 ，求导得 ，当 时， ，
则函数 ，即 在 上单调递减，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，当 时， ，不符合题意，
所以a的取值范围是 .
16．（15分）我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题．2015年10月，中
国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄
化行动，实施全面二孩政策．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育
意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．
非一线 一线 总计
愿生 40 y 60
不愿生 x 22 40
总计 58 42 100
(1)求x和y的值．
(2)分析调查数据，是否有 以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？
(3)在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少
有一名来自一线城市的概率．
参考公式： ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1) (2)有 以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”(3)
【解析】（1）由题意得 ， ；（2）由 ，得 ，
∴有 以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．
（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为 ，记为1，2，
来自非一线城市的人数为 ，记为a，b，c，d，
选设事件A为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，
基本事件为： ，
，
事件 共有9个，
或
17．（15分）在直角梯形 中， ， ， ，如图（1）．把
沿 翻折，使得平面 平面 ．
(1)求证： ；
(2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出 的值；若不存在，说
明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在，
【解析】（1）因为 ，且 ，
可得 ， ，
又因为 ，可得 ，所以 ，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ；
（2）因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
如图所示，以点 为原点，建立空间直角坐标系，
可得 ， ， ， ，
所以 ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
假设存在点 ，使得 与平面 所成角为 ，
设 ，（其中 ），则 ， ，
所以 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以在线段 上存在点 ，使得 与平面 所成角为 ，此时 ．
18．（17分）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 为椭圆 上异于顶点的一动点，
的角平分线分别交 轴、 轴于点 ．(1)若 ，求 ；
(2)求证： 为定值；
(3)当 面积取到最大值时，求点 的横坐标 ．
【答案】(1) (2)证明见解析(3)
【解析】（1）由已知得 ，
则 ．
所以当 时， ；
（2）
设 ，在 中， 是 的角平分线，所以 ，
由（1）知 ，
同理 ，
即 ，解得 ，所以 ，
过 作 轴于 ．所以 ．
（3）记 面积的面积为 ，由（1）可得，，其中 ，
则 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减．
所以当 时， 最大．
19．（17分）已知数列 为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k
减数列：
① ；
②对于 ，使得 的正整数对 有k个.
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明： ；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值. （资料来源：微信公众号 智慧学库
【答案】(1)数列 和数列3，1(2)证明见解析(3) 的最大值为512072
【解析】（1）由题意得 ，则 或 ，
故所有4的1减数列有数列 和数列3，1.
（2）因为对于 ，使得 的正整数对 有 个，
且存在 的6减数列，所以 ，得 .
①当 时，因为存在 的6减数列，
所以数列中各项均不相同，所以 .
②当 时，因为存在 的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以 .
若 ，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以 ，不符合题意，所以 .
③当 时，因为存在 的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以 .
综上所述，若存在 的6减数列，则 .
（3）若数列中的每一项都相等，则 ，
若 ，所以数列 存在大于1的项，
若末项 ，将 拆分成 个1后 变大，
所以此时 不是最大值，所以 .
当 时，若 ，交换 的顺序后 变为 ，
所以此时 不是最大值，所以 .
若 ，所以 ，
所以将 改为 ，并在数列末尾添加一项1，所以 变大，
所以此时 不是最大值，所以 .
若数列A中存在相邻的两项 ，设此时 中有 项为2，
将 改为2，并在数列末尾添加 项1后， 的值至少变为 ，
所以此时 不是最大值，
所以数列 的各项只能为2或1，所以数列 为 的形式.
设其中有 项为2，有 项为1，
因为存在2024的 减数列，所以 ，
所以 ，
所以，当且仅当 时， 取最大值为512072.
所以，若存在2024的 减数列， 的最大值为512072.
