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专题03 等差数列
教学目标
1．理解等差数列的定义、等差中项概念，掌握其递推公式与通项公式，能根据已知
条件求数列指定项。
2．掌握等差数列的通项变形、推广及下标性质，会运用性质分析和解决等差数列相
关问题。
3．理解数列递推公式含义，能区分其与通项公式的异同，根据递推公式求出数列的
项。
4．掌握数列前n 项和的定义，熟练运用an 与Sn 的关系式，分情况求解数列的通项公
式。
教学重难点
重点：
等差数列的定义、通项公式及核心下标性质的理解与应用。
递推公式与通项公式的异同，an 与Sn 关系式的灵活运用。
难点：
结合等差数列性质解决综合型的数列计算与推理问题。
依据an 与Sn 的关系式，准确分情况推导数列通项。
知识点01 等差数列的概念与通项公式
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第
2 项
起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数
列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.
2.等差中项
由三个数
组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项.根据等差数
列的定义可以知道,
.
3.等差数列的递推公式及通项公式
已知等差数列
的首项为
,公差为d，则递推公式为
，通项公式为
【即学即练】
1．（多选）下列数列中，是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10
B．
C．
D．10，8，6，4，2
【答案】ABD
【详解】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故
A 正确；
对于B，满足
（常数），所以是等差数列，故B 正确；
对于C，因为
，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C 错误；
对于D，满足
（常数），所以是等差数列，故D 正确．
故选：ABD.
2．在等差数列
中，已知公差
，则
（ ）
A．16
B．14
C．
D．
【答案】A
【详解】
，解得
.
故选：A.
知识点02 等差数列的性质与应用
1.等差数列通项公式的变形及推广
（1）
（2）
（3）
,且
.
2.若
分别是公差为
的等差数列,则有
数列
结论
公差为d 的等差数列(c 为任一常数)
公差为cd 的等差数列(c 为任一常数)
公差为2d 的等差数列(k 为常数
)
公差为
的等差数列(p,q 为常数)
3.下标性质
在等差数列
中,若
,则
.
特别的,若
,则有
【即学即练】
3．在等差数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】方法一：设等差数列
的公差为
，
由
，
，得
，
所以
，
；
方法二：因为数列
是等差数列，所以
，
即
，解得
.
故选：B
4．已知等差数列
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
是等差数列，则有
，又
，所以
．
故选：D．
题型01 等差数列的通项与基本量
【例1】在等差数列
中，
，
，则公差
（ ）
A．
B．3
C．
D．6
【答案】B
【详解】公差
.
故选：B．
【例2】已知数列
是首项为5，公差为3 的等差数列，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】C
【详解】因为数列
是首项为，公差为的等差数列，
所以
，所以
，
所以
，
故选：C.
【变式1-1】已知等差数列
满足
，则
的通项公式为
．
【答案】
【详解】已知
是等差数列，设公差为
，则
，
，
，解得
，
．
故答案为：
．
【变式1-2】已知
为等差数列，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【详解】等差数列
中，
，则
，
又
，则
，因此数列
的公差
，
所以
.
故选：B
【变式1-3】在数列
中，
，若数列
是公差为2 的等差数列，则
．
【答案】16
【详解】数列
首项为
，通项公式为
.
当
时，
，满足通项公式.
当
时，
，所以
.
当
时，
，所以
.
当
时，
，所以
.
当
时，
，所以
.
通过观察可知，奇数项构成公差为2 的等差数列，通项公式为
.
令
，则
，所以
.
故答案为：16.
（1）可由
与
构造关于
的方程组即可求解
（2）利用等差数列的性质可简化计算
题型02 等差数列的判断与证明
【例3】已知数列
满足，
，
，若
.求证：
是等差数列；
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为
，由
和数学归纳法可知，对任意正整数
，都有
，
由
得
，
所以
，又
.
所以
是首项为
，公差为的等差数列.
【例4】已知数列
满足：
，
，若数列
满足：
，求解下列问题.
(1)证明：
为等差数列；
(2)求数列
的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为
，所以
，
即
，且因为
，所以
，
，
所以
是以1 为首项，1 为公差的等差数列.
（2）由（1）知
，
又
，所以
，
即数列
的通项公式为
.
【变式2-1】已知数列
的首项为1，对于任意
，
，
，则
.
【答案】
【详解】对于任意
，
，
，
令
，所以
，
所以数列
是首项为1，公差为
的等差数列，
所以
.
故答案为：
【变式2-2】已知正项数列
满足
，
.求
的通项公式.
【答案】
【详解】由题可知
是以1 为首项、
为公差的等差数列，
故
，
令
，有
，
即
，解得
.
代入得
，即
.
【变式2-3】已知数列
满足
，且
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
的通项公式；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由
，两边同时除以
：
得
，所以
又
，故数列
是以1 为首项，2 为公差的等差数列.
（2）由（1）可知：
，
故
.
对于数列
，若
⇔
是等差数列
题型03 等差中项及其应用
【例5】已知
，则
的等差中项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
的等差中项为
，
故选：B
【例6】若数列
、
、
、
、
为正项等差数列，正项数列
、
、
、
、
满足
（
为常
数），已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，
、
、
、
、
成等差数列，且
，
，
由等差中项的性质可得
，
又因为
，故
.
故选：C.
【变式3-1】正项等差数列
中，
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．
C．
D．6
【答案】B
【详解】由等差数列性质可得
，又
、
，
则
，
当且仅当
即
、
时等号成立；
故
的最小值为
.
故选：B.
【变式3-2】已知数列
为等差数列，
，
为方程
的两根，则
（ ）
A．
B．2
C．－2
D．
【答案】B
【详解】因为
，
为方程
的两根，
所以根据韦达定理得：
，
由等差中项公式得：
，
.
故选：B
【变式3-3】已知数列
与
均是公差不为0 的等差数列，且数列
也是等差数列，若
，则
（ ）
A．24
B．21
C．18
D．15
【答案】A
【详解】设
的公差为
，
的公差为
，
，解得
，所以
，
，
因为数列
也是等差数列，
所以
，即
，
解得
（舍去）或
，
所以
，
.
故选：A
由等差数列的定义知
,即
,从而由等差中项的定义可知,
等差数列从第2 项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.
题型04 利用等差数列的性质计算
【例7】已知
为等差数列，若
，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】在等差数列
中，
，解得
，
所以
.
故选：C
【例8】在等差数列
中，已知
，
为方程
的两根，则
等于（ ）
A．6
B．13
C．7
D．42
【答案】C
【详解】因为
，
为方程
的两根，所以
.
又数列
是等差数列，所以
.
故选：C.
【变式4-1】已知等差数列
，
，则
等于 .
【答案】6
【详解】由题意，等差数列中，
，
.
故答案为：6.
【变式4-2】已知数列
、
满足
，
，其中
是等差数列，且
，则
.
【答案】2026
【详解】由题意
，
因为
是等差数列，所以
，
所以
.
故答案为：
【变式4-3】等差数列
共有
项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且
，
则该数列的公差为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设公差为
，由题意可知奇数项和偶数项都有
项，
且
，
所以
，
又
，
所以有
，
解得
，
故选：B.
等差数列的常用性质：
（1）通项公式的推广：在等差数列
na
中，
；
（2）在等差数列
中,若
,则
.特别的,若
,则有
题型05 等差数列的单调性与最值
【例9】设等差数列
的公差为d，若
，则“
”是“
（
）”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】充分性：若
，则
，即
，∴
，即
，所以充分性成立；
必要性：若
，即
，∴
，则
，必要性成立.因此，“
”是“
”的充要条件.
故选：C.
【例10】已知等差数列
的首项
，公差
．
(1)此等差数列中从第几项开始出现负数？
(2)当n 为何值时，
最小？
【答案】(1)从第23 项开始出现负数
(2)当
时
最小
【详解】（1）等差数列
的首项
，公差
则
由
，得
，即从第23 项开始出现负数.
（2）由等差数列
的通项公式
可得
在
时取最小值为
在
时取最小值为
则
在
时取最小值为
【变式5-1】（多选）若数列
的通项公式是
，则（ ）
A．
是数列
中的项
B．数列
是递增数列
C．数列
的前
项和有最大值
D．数列
的前
项和无最小值
【答案】AB
【详解】数列
的通项公式是
，
令
，得
，
是数列
的第49 项，故A 正确；
，
在
时递增，
故数列
是递增数列，故B 正确；
数列
的通项公式是
，
，
，
，
数列
为首项为
，公差为2 的等差数列，且逐项递增，
数列
的前
项和没有最大值，故C 错误；
，
数列
为首项为
，公差为2 的等差数列，且逐项递增，
，
数列
的前
项和有最小值
，故D 错误．
故选：AB
【变式5-2】已知数列
为等差数列，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】设数列
的公差为
，则
，
故
，
故
，
根据二次函数的性质可知：当
或4 时，
取得最小值
．
故答案为：
【变式5-3】已知首项为4 的数列
满足
．
(1)证明：数列
是等差数列．
(2)求数列
的通项公式，并求数列
的最小项．
【答案】(1)证明见解析
(2)
；最小项为
.
【详解】（1）解：因为数列
满足
，即
，
可得
，
又因为
，可得
，
所以数列
表示首项为
，公差为的等差数列.
（2）解：数列
表示首项为
，公差为的等差数列，
可得
，所以
，
由
，
当
时，可得
，即
，所以数列
为递增数列，
所以当
时，数列
的最小项为
，即数列
的最小项为
.
题型06 等差数列中的对称设元
【例11】已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的
是较小的两个数之和，
则这五个数中最大的数为（ ）
A．
B．20
C．
D．
【答案】C
【详解】设这五个数分别为
，
，
由题意可得
，解得
，
且
，解得
，
则最大的数为
.
故选：C
【例12】已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求
此等差数列．
【答案】详见解析.
【详解】设这四个数分别为
，
由题意得
，
即
，
解得
或
或
或
，
当
时，这个等差数列为：-1，2，5，8；
当
时，这个等差数列为：8，5，2，-1；
当
时，这个的等差数列为：-8，-5，-2，1；
当
时，这个等差数列为1，-2，-5，-8.
【变式6-1】四个数成递减的等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40．求这四个数．
【答案】11，8，5，2
【详解】设这四个数为
，
，
，
（公差为2d），
依题意，得
，解得
或
，
又四个数成递减的等差数列，即
，因此
．
所以所求的四个数为11，8，5，2.
【变式6-2】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为
，求这5 个数．
【答案】－
，
，1，
，
或
，
，1，
，－
【详解】
设第三个数为a，公差为d，则这5 个数分别为
，由已知有
，
整理得
，所以
.
当
时,这5 个数分别为－
，
，1，
，
；
当
时,这5 个数分别为
，
，1，
，－
.
综上，这5 个数分别是－
，
，1，
，
或
，
，1，
，－
.
【变式6-3】已知
四个数，其中
成等差数列，且
，若
成等差数列，求
的值．
【答案】1
【详解】因为
，则
，
因为
构成等差数列，则
，即
，即
，
因为
构成等差数列，则
，即
，解得
．
由三个数或四个数成等差数列的设法:
当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,方法一:可设出首项
和公差
,列方程组求解.
方法二:采用对称的设法,三个数时,设为
;四个数时,可设为
.
题型07 插入数构造等差数列
【例13】已知等差数列
的首项
，公差
，在
的每相邻两项之间都插入
个数，使它们和
原数列的数一起构成一个新的等差数列
，当
时，
（ ）
A．4042
B．4050
C．4056
D．4058
【答案】B
【详解】
，所以
．
当
时，
，所以等差数列
的公差为
，
故
，则
．
故选：B.
【例14】已知等差数列
，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列
，则数列
的第23 项为 ．
【答案】
【详解】在相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列
，
则等差数列
的公差为原等差数列公差的
．
设等差数列
为
，公差为
，
易知
，则
，
则
的公差为
，
则
．
所以
．
故答案为:
.
【变式7-1】已知等差数列
的首项
，公差
，在
中每相邻两项之间都插入2 个数，使它们
和原数列的数一起构成一个新的等差数列
，则
是数列
的第（ ）项
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【详解】由题意可得
，
因为在
中每相邻两项之间都插入2 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列
，
所以
，新数列的公差
，
所以
，
所以
.
故选：B.
【变式7-2】已知等差数列
的首项
，公差
，在
中每相邻两项之间都插入k 个数，使它们
和原数列的数一起构成一个新的等差数列
，当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意知，
，所以
，
等差数列
每两项之间插入k 项，构成新的等差数列
，
当
时，
，
，
所以等差数列
的公差为
，
故
.
故选：B.
【变式7-3】已知等差数列
的首项
，若在
中每相邻两项间都插入3 项，使其与原数列的
数构成新的等差数列
．
(1)若插入的第一组3 项之和记为
，第二组3 项之和记为
，构成数列
．判断
是否为等差数列，
若是，求出通项公式，若不是，说明理由；
(2)在（1）的条件下，用
与
表示
．
【答案】(1)是，
(2)
【详解】（1）由题意可知：
，
设
插入三项为
，
因为
为等差数列，则
，
可得
，
因为
，且
，
所以数列
是以18 为首项，24 为公差的等差数列，且
．
（2）由题意可知：数列
的首项为
，公差为
的等差数列，得
，
由（1）知
，所以
．
（1）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列。
（2）在数列中插入几个数构成新的等差数列，根据等差数列的定义确定新数列的项数以及公差。
题型08 等差数列的实际应用
【例15】通常情况下，海拔每升高
米气温就降低
.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若
在某天测得老界岭的山脚的气温是
，崎角尖的气温是
，则崎角尖相对于山脚的高度是（ ）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
【答案】C
【详解】由题知崎角尖相对于山脚的高度是
米，
故选：C.
【例16】《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、
清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为
尺，前九个节气日影长之和为
尺，则小满日影长为（ ）
A．
尺
B．
尺
C．
尺
D．
尺
【答案】B
【详解】从冬至日起，依次构成等差数列，设为
，
由题意得：
，
解得
，
又冬至、立春、春分日影长之和为31.5 尺：
，
所以
，
所以
，
所以
，
故选：B
【变式8-1】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、
己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法
是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”
起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，
天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以
此类推，2022 年是壬寅年，请问：在100 年后的2122 年为（ ）
A．壬午年
B．辛丑年
C．己亥年
D．戊戌年
【答案】A
【详解】由题意得：天干可看作公差为10 的等差数列，地支可看作公差为12 的等差数列，
由于
，余数为0，故100 年后天干为壬，
由于
，余数为4，故100 年后地支为午，
综上：100 年后的2122 年为壬午年.
故选：A
【变式8-2】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩
末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金杖，长5 尺，头部1 尺，重4 斤；尾部1 尺，重2 斤；若该金杖
从头到尾每一尺重量构成等差数列，其中重量为
，则
的值为（ ）
A．4
B．12
C．15
D．18
【答案】C
【详解】设头部一尺重量为
，其后每尺重量依次为
，
由题设有
，
，故公差为
.
故中间一尺的重量为
所以这5 项的和为
.
故选：C.
【变式8-3】百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如
果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三
天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021 年共有365 天，
2021 年1 月1 日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021 年全年他们约定的“家庭日”是星期五
的天数为 ；2021 年全年他们约定的“家庭日”共有 个.
【答案】
；
.
【详解】设大张的休息日构成的等差数列为
，显然大张在2021 年第
天放假，
所以有
，
若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为
，则有
，
此时两数列的公共项为：
，首项为，公差为
，末项为
，
设共有
项，所以有
；
若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为
，则有
，
此时两数列的公共项为：
，首项为，公差为
，末项为
，
设共有项，所以有
，
所以2021 年全年他们约定的“家庭日”共有
天，
故答案为：
；
一、单选题
1．已知
，若在
之间插入3 个数
，使得这5 个数成等差数列，则
（ ）
A．6
B．9
C．12
D．18
【答案】B
【分析】详解】因为
成等差数列，
所以
，
可得
，
所以
，
故选：B
2．“数列
满足
”是“
为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】详解】由
，可得
，
当
时，可得
，由等差数列定义可知数列
是以
为公差的等差数列，
当
为等差数列且公差为
时，不满足
，
所以“数列
满足
”是“
为等差数列”的充分不必要条件.
故选：A.
3．设等差数列
的公差为
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】详解】
等差数列
的公差为
，
，
则
，解得
．
故选：B．
4．已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．4
【答案】A
【分析】详解】由
，
所以数列
是以
为首项，为公差的等差数列，
所以
.
故选：A
5．已知等差数列
公差不为零，且
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】详解】设等差数列
的公差为
，
因为
，
，
若
，则可得
，
所以
，所以“
”是“
”的充分条件；
若
，则
，
所以
，又因为
，所以
，
所以
，所以“
”是“
”的必要条件；
综上所述：“
”是“
”的充要条件.
故选：C.
6．在数列
中，
，若数列
是公差为2 的等差数列，则
（ ）
A．36
B．32
C．20
D．16
【答案】D
【分析】详解】因为数列
是公差为2 的等差数列，
则
，即
，
则奇数项构成公差为2 的等差数列，通项公式为
，
，
令
，则
，所以
.
故选：D.
7．记等差数列
的公差为
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】详解】在等差数列
中，由
，得
，
整理得
，由
，得
，因此
，
解得
，所以
的取值范围是
.
故选：C
二、多选题
8．若数列
是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】详解】设
，
对于选项A，
，可知，数列
是以
为首项，以
为公差的等差数
列，所以A 正确；
对于选项B，
，相邻两项之差不是常数，所以B 错误；
对于选项C，
，数列
是以
为首项，以
为公差的常数列，所
以C 正确；
对于选项D，
，数列
是以
为首项，以
为公差的等差数列，所以D 正确；
故选：ACD.
9．已知等差数列
，则下列结论正确的是（ ）
A．等差数列
的公差为
B．等差数列
的通项公式为
C．等差数列
是一个单调递增的数列
D．若
，则
【答案】AC
【分析】详解】选项A，
，则
，所以
，所以A 正确；
选项B，
，则通项公式为
，所以B 错误；
选项C，由选项A 知
，所以C 正确；
选项D，由选项B 知
，则当
时，解得
，而
，所以D 错误.
故选：AC.
三、填空题
10．若
成等差数列，则正数
的值为 .
【答案】
【分析】详解】由题意可知，
且
，
则
，则
，得
.
故答案为：
11．数列
都是等差数列，且
.则数列
的前2026 项的和是
（用数字作答）.
【答案】
【分析】详解】因为数列
都是等差数列，且
所以数列
的前2026 项的和
.
故答案为：
12．已知数列
的前
项和
，
．若
是等差数列，则
的通项公式为
【答案】
【分析】详解】由
可得
，
，
，
整理可得
，解得
，
所以
，
故答案为：
.
四、解答题
13．已知在数列
中，
，
，
是关于项数n 的一次函数．
(1)求
的通项公式，并求
；
(2)若
是由
，
，
，
，…组成的，试归纳
的一个通项公式．
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）设
（
），则
，
解得
∴
，
∴
．
（2）由（1）知
，
则
，
，
，
猜想
．
14．已知数列
中，
.
(1)求
的值；
(2)求证：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析，
【详解】（1）因为
，
所以
，
（2）因为
，所以
，
即
，
又因为
，
所以数列
是首项为1，公差为3 的等差数列.
所以
，
所以
.
15．在数列
中，
，
，数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)是否存在正整数
，使得
是
与
的等差中项？若存在，求出
；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）数列
中，由
，得
，所以数列
是公差为
的等差数列.
因为
，所以
，所以
.
所以
．
所以
，
即
，所以
.
所以
.
因为
满足
，所以数列
的通项公式
.
（2）假设存在正整数
，使得
是
与
的等差中项，则
，
整理得
，即
.
因为
，所以
.
因为
，所以
，且均能整除9.
所以
时，
，所以
（舍去）；
当
时，
，所以
.
因为
，且
，即
是
与
的等差中项.
综上所述，存在正整数
，使得
是
与
的等差中项，
.
