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专题03 圆与方程
考点01 圆的标准方程和一般方程
考点02 圆的几何性质相关计算
考点03 直线与圆的位置关系
考点04 圆与圆的位置关系
考点05 圆的方程的实际应用
考点01 圆的标准方程和一般方程
1．圆心为
，半径为3 的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知点
，
，则以线段
为直径的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．圆心在直线l：
上，且过
，
两点的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．以点
为圆心且经过点
的圆
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．“关于x，y 的方程：
表示圆”是“
”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．
既不充分也不必要条件
6．数学家欧拉在1765 年发现了九点圆，即在任意三角形中，三条边的中点、三条高的垂足、三条高的交
点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称为欧拉圆．已知在
中，
，
，
，则
的九点圆的方程是 ．
7．已知点
在同一个圆上，则这个圆的方程为 .
8．根据下列条件，求圆的标准方程：
(1)过点
和点
，半径为
；
(2)过三点
.
9．已知方程
表示一个圆.
(1)求t 的取值范围；
(2)求这个圆的圆心和半径；
10．已知方程
表示一个圆，求实数k 的取值范围.
考点02 圆的几何性质相关计算
1．在平面直角坐标系中，存在圆
，点
和点
，M 为圆O 上的动点，则下列说
法中正确的是（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最大值为
D．
的最小值为
2．已知线段
是圆
的一条动弦，且
，若点P 为直线
上的任意
一点，则
的最小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
3．（多选）已知直线
与圆
，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当直线与圆
相切时，切线方程是
C．当
时，圆
上恰有三个点到直线的距离等于
D．圆
上的一点
到直线的最大距离是
4．（多选）几何体的体积可以看成面积的积累，因此可以得到：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，
被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，则两个几何体体积相等”.旋转
体体积也可看作平面区域面积绕与其不相交的轴（可为其边界）旋转的积累，因每个点旋转的周长不一致，
平面区域旋转的长度可用该区域的重心旋转长度替代，于是可得到旋转体体积计算方法：旋转体体积=旋
转区域面积重心旋转的圆形轨迹周长.如图1，记圆面
绕
轴旋转形成的几何体体积为
，记半圆面
重心坐标为
.如图2，阴影部分为函数
与
围成的区
域，记该区域绕
轴，
轴旋转形成的几何体体积分别为
，
.则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）已知曲线
，则以下说法正确的是（ ）
A．点
在曲线内部
B．曲线关于原点对称
C．曲线与坐标轴围成的面积为
D．曲线的周长是
6．已知点
满足
，点
，则
的最大值为 ．
7．在一个质地均匀的圆形晾衣架上均匀分布着24 个完全相同的夹子，往这些夹子上挂
只袜
子，并将晾衣架悬挂在高处．每只袜子完全相同，且只能被一个夹子夹住，一个夹子最多夹着一只袜子．
若无论按照什么挂法，晾衣架稳定后都无法保持水平，则正整数m 的取值一共有 种．
8．圆
关于直线
对称，则
．
9．已知圆
，直线
与圆相交，则直线截圆的最短
弦长为 ．
考点03 直线与圆的位置关系
1．设直线l 的方程为
，圆C 的方程为
，则直线l 与圆C 的位置关系为
（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
2．（多选）过直线
上一点
作圆
的两条切线，切点分别为
，
，已知点
是圆
上一动点，则（ ）
A．
的最小值是
B．
的最大值是
C．四边形
面积的最小值为
D．当
最小时，直线
的方程为
3．（多选）圆
与圆
相交于
，
两点，下列说法正确
的是（ ）
A．
的直线方程为
B．公共弦
的长为
C．圆
与圆
的公切线段长为1
D．线段
的中垂线方程为
4．（多选）已知P 是圆C：
上的一个动点，过原点O 的动直线与圆C 交于M，N 两点，
则下列说法正确的是（ ）
A．|OP|的最大值为
B．|OP|的最小值为
C．|MN|最大值为6
D．|MN|最小值为2
5．若点
关于直线
对称的点
在圆
上，且
在第一象限内，则实数
的值为
.
6．已知
是定义在
上的奇函数，且满足
，当
时，
，
若函数
与直线
的图象所有交点的横坐标之和为6，则实数
的取值范围是 .
7．已知一个圆与
轴相切，在直线
上截得弦长为
，且圆心在直线
上，则此圆的方程为
.
8．已知圆
.若直线
与圆
交于
两点，
(1)求
的取值范围；
(2)证明：直线
与直线
（
为坐标原点）的斜率之和为定值.
9．已知圆心为
的圆经过点
和
，且圆心
在直线
上．
(1)求圆
的标准方程；
(2)过点
作圆的切线，求切线方程．
10．已知
及经过点
的直线.
(1)当与
相切时，求直线的方程；
(2)若直线与圆相交于A，B 两点，且
，求
的长.
11．圆
，过点
作直线，
(1)若直线为圆
的切线，求直线的方程；
(2)若直线与圆
交于
，
两点，当
的面积最大时，求直线的方程.
考点04 圆与圆的位置关系
1．若圆
：
与圆
：
有且仅有2 条公切线，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）圆
与圆
的位置关系可能是（ ）
A．内含
B．相交
C．外切
D．内切
3．（多选）已知圆
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．圆
，
相交
B．公共弦所在直线方程为
C．两个圆的圆心所在直线的斜率为
D．两圆的公切线有2 条
4．已知圆
，以圆
上任意一点
为圆心，
为半径的圆与圆
：
交于
，
两点，则当
最大时，
的面积为 .
5．已知圆
经过点
，点
，且圆心在直线
上.
(1)求圆
的标准方程；
(2)设
，
，若圆
上存在点
，使
，求实数
的取值范围.
6．已知圆
，圆
，
且
.
(1)证明：
与
相切；
(2)若
与
内切，求公切线的方程；
(3)若
，且
，圆
与
内切于点
，且
与
的面积之积为
，若经过点
，
的直线
分别交
于点（异于点
），交
于点
（异于点
），证明：以
为直径的圆过定点.
7．已知实数
满足
，求以下各式的最小值.
(1)
；
(2)
；
(3)
．
8．已知在平面直角坐标系
中，点
，直线
．设圆
的半径为，圆心在直线上．
(1)若圆心
也在直线
上，过点
作圆
的切线，求切线的方程；
(2)若圆
上存在点
，使
，求圆心
的横坐标
的取值范围．
9．已知圆
：
.
(1)设直线
与圆
相切于点
，求点
的坐标；
(2)求圆
与圆
：
的公共弦所在直线的方程；
(3)设
，
，
为直线
上的动点，
，
分别与圆
交于点
，
（
，
均异于
，
），求点
到直线
的距离的最大值.
10．已知圆
，圆
.
(1)求圆
与圆
的公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求圆
与圆
的公切线的交点
的坐标，并求公切线方程.
11．如图，在平面直角坐标系
中，圆
，圆
都与直线
及
轴正半轴相切．若两圆的半径之
积为2，两圆的一个交点为
，求直线的方程．
考点05 圆的方程的实际应用
1．某圆拱桥的水面跨度12 米，拱高4 米，现有一船宽8 米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度
约为（ ）（参考数据
，
）.
A．2.5 米
B．2.7 米
C．2.6 米
D．3.1 米
2．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直
角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点
是阴影部分（包括边界）的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，已知一艘停在海面上的海监船
上配有雷达，其监测范围是半径为
的圆形区域，一艘轮船
从位于海监船正东
的
处出发，径直驶向位于海监船正北
的
处岛屿，速度为
．这艘
轮船能被海监船监测到的时长为（ ）
A．1 小时
B．0.75 小时
C．0.5 小时
D．0.25 小时
4．某海面有一台风，当前台风中心位于轮船的正南方
的
处，台风以
的速度向正东方向
移动，台风侵袭的区域为圆形区域，半径为
，轮船以
的速度向东南方向航行，若将轮船
视为一个质点，则台风侵袭轮船的时长为 小时.
5．某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度
是10m，拱高
是1m，每隔1m 需要一根支柱支撑，
则支柱
的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：
6．如图，某标准足球场的底宽
码，球门宽
码，球门位于底线的正中位置，现在攻方球员甲
位于边线上的点
处
.
(1)若球员甲直接在
点起脚打门，球的轨迹为一条射线（不考虑球的飞行高度）.则为了进球，该球员需要
控制球的飞出方向在多大的角度范围内（即求
的大小）？
(2)若球员甲直接在
点起脚打门，球的初速度方向为
方向，球画出一条美妙的圆弧（不考虑球的飞行
高度），挂入球门远角
，则这段圆弧所在圆的半径是多少码？
7．如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东
方向距
O 岛
千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛2 千米处．以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方
向，1 千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C 经过O，A，B 三点．
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西
方向距O 岛4 千米处，正沿着北偏东
方向
行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
