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专题04 二项式定理与杨辉三角
题型一：求二项展开式
题型二：求含有参数的二项展开式
题型三：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
题型四：求二项式系数与项的系数的最值
题型五：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
题型六：整除与余数问题
题型七：近似计算问题
题型八：杨辉三角
题型九：证明组合恒等式
题型十：二项式定理与数列求和
题型十一：排列组合综合
题型一：求二项展开式
1．（24-25 高二·内蒙古赤峰·期中）
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．二项式
的展开式为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·浙江杭州·期中）
展开式中，
的系数为（ ）
A．20
B．
C．160
D．
4．二项式
的展开式中为常数项的是（ ）
A．第3 项
B．第4 项
C．第5 项
D．第6 项
5．
展开式中的常数项为
A．第5 项
B．第5 项或第6 项
C．第6 项
D．不存在
6．（25-26 高三上·湖北武汉·阶段练习）
的展开式中
的系数为（ ）
A．210
B．
C．10
D．
7．（2025·云南楚雄·模拟预测）
展开式中的常数项为（ ）
A．120
B．240
C．280
D．480
8．（2025·北京东城·二模）已知
，则实数
9．（24-25 高三上·北京·期中）在
的展开式中，常数项为 .（用数字作答）
10．（24-25 高三上·浙江·开学考试）
的展开式中，常数项为 ．
题型二：求含有参数的二项展开式
1．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·开学考试）
的展开式中常数项是
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
的展开式中
的系数为15，则
的系数为（ ）
A．420
B．640
C．720
D．960
3．（24-25 高二下·河北·期末）设
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．3
D．
4．（2025·四川绵阳·模拟预测）在
的展开式中，
的系数为5，则a 的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
5．（24-25 高二下·河北·期末）已知
的展开式中
的系数为20，则实数
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2025 高三·全国·专题练习）若二项式
的展开式中
的系数为
，常数项为
，若
，则
的值是 ．
7．（25-26 高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知
的展开式中的第2 项的系数与第2 项二项式系数之
和为198，则展开式中所有项的系数和为 (用数字作答)．
8．（24-25 高二下·北京延庆·期末）在
的二项展开式中，常数项为
，则
的值为 .
9．（2025·湖南娄底·模拟预测）若
的展开式中
的系数为231，则
.
题型三：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）
展开式中
的系数为（ ）
A．
B．12
C．
D．18
2．（2025·浙江宁波·一模）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．0
B．20
C．10
D．
3．（25-26 高三上·北京·阶段练习）展开式
中
的系数为（ ）
A．
B．
C．160
D．80
4．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）
展开式中
的系数为（ ）
A．
B．24
C．
D．16
5．（25-26 高三上·湖北·阶段练习）
的展开式中
的系数为（ ）
A．162
B．168
C．180
D．185
6．（2025·湖南益阳·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三上·黑龙江佳木斯·期中）
展开式中，
的系数为 .
8．（2025·广东深圳·二模）
的展开式中
的系数为 ．
9．（25-26 高三上·广东·开学考试）
的展开式中
的系数为 （用数字作答）．
10．（2025 高三·全国·专题练习）在
展开式中，
的系数为 ．
题型四：求二项式系数与项的系数的最值
1．（24-25 高二下·江苏南京·期中）若
二项展开式中各项的二项式系数只有第6 项最大，则展开
式的常数项的值为（ ）
A．840
B．
C．
D．210
2．（2025·江苏南通·模拟预测）
的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中
二项式系数最大的项为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二下·广东深圳·阶段练习）在
的展开式中，若仅有第5 项的二项式系数最大，则展开
式中系数最大的项是第（ ）项.
A．
B．
C．2 或3
D．3 或4
4．已知
的展开式中第9 项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（ ）
A．第6 项
B．第7 项
C．第8 项
D．第9 项
5．（24-25 高二下·河南开封·阶段练习）已知
的展开式中，第5 项与第3 项的二项
式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 .
6．（24-25 高二下·上海嘉定·期末）在
的二项展开式中，系数最大的项是 ．
7．（24-25 高三下·广东深圳·阶段练习）在
的展开式中，仅第
项的二项式系数最大，则展开式
中系数最大的项是 ．
8．（24-25 高三下·广东清远·开学考试）在
的展开式中，仅第5 项的二项式系数最大，则展开式中
系数最大的项是 .
题型五：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
1．（24-25 高一下·广东广州·期中）（多选题）已知
的展开式中二项式系数之和为1024，则下
列说法正确的（ ）
A．
B．展开式中奇数项的二项式系数和为256
C．二项式系数最大项为第5 项
D．展开式中常数项为45
2．（23-24 高二下·天津静海·阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．此二项展开式系数最大的项为第4 项
C．此二项展开式的二项式系数和为32
D．
3．（2025·全国·模拟预测）若
的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．160
B．
C．20
D．
4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为
81，则其展开式中
的系数是（ ）
A．4
B．8
C．32
D．64
5．（25-26 高三上·河北·阶段练习）若
的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为256，且常数
项为a，则
.
6．（24-25 高二下·天津南开·期中）
的展开式中，各二项式系数之和为32，各项系数之
和为243，则展开式中
的系数为 .
题型六：整除与余数问题
1．（24-25 高二下·陕西咸阳·期末）
除以128 的余数为（ ）
A．51
B．43
C．41
D．33
2．（24-25 高二下·河南·阶段练习）
除以8 的余数为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
3．（24-25 高二下·河南驻马店·阶段练习）已知
除以13 所得余数为m，
除以14 所得余数为n，则
（ ）
A．1
B．
C．13
D．14
4．若
既能被9 整除又能被7 整除，则正整数a 的最小值为（ ）
A．6
B．10
C．55
D．63
5．（24-25 高二下·湖北恩施·期末）
除以7 的余数是 .
6．（24-25 高二下·江苏连云港·期中）
被9 除所得的余数是 .
7．（24-25 高二下·湖北武汉·期中）
除以26 所得余数为 .
8．
除以9 的余数是 ．
题型七：近似计算问题
1．（24-25 高二下·安徽·期中）
的小数点后第三位数字为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·湖南·二模）某银行在2024 年初给出的大额存款的年利率为
，某人存入大额存款
元，按照
复利计算10 年后得到的本利和为
，下列各数中与
最接近的是（ ）
A．1.31
B．1.32
C．1.33
D．1.34
3．实数
精确到
的近似值为 .
4．某公司2021 年实现利润100 万元，计划在以后5 年中每年比一年利润增长8%，则2026 年的利润是
万元.（结果精确到1 万元）
题型八：杨辉三角
1．（25-26 高三上·福建·开学考试）我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书中展示了二
项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（ ）
A．
B．第2025 行的第1013 个数和第1014 个数相等
C．在杨辉三角中，第
行所有数字的平方和恰好是第
行的中间一项的数字
D．记杨辉三角中第
行的第个数为
，则
2．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中
组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用
代表第行，第
个数，
，例如
，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第
行中，
最大
C．
D．
3．（24-25 高二下·河北保定·阶段练习）如图所示的“杨辉三角”中，第3 行到第10 行的各行的第4 个数
的和为（ ）
A．124
B．185
C．220
D．330
4．（2024 高二下·全国·专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数
学家杨辉于1261 年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654 年才发现这一规律.“杨辉三
角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正
确的是（ ）
A．
B．在第2022 行中第1011 个数最大
C．第6 行的第7 个数、第7 行的第7 个数及第8 行的第7 个数之和等于9 行的第8 个数
D．第34 行中第15 个数与第16 个数之比为2：3
5．（24-25 高二下·重庆·期末）（多选题）将
（
，1，2，…）按照二项式定理展开后，其各二
项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，
就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则（ ）
A．在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为
B．在“杨辉三角”中，记第
行的第
个数为
，则
C．在“谢尔宾斯基三角形”中，第
（
，2，…）行全行都为黑色圆
D．在“谢尔宾斯基三角形”中，第126 行的黑色圆比白色圆多一个
6．（24-25 高二下·广东广州·期末）（多选题）我国南宋数学家杨辉在1261 年所著的《详解九章算法》就
给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的
说法正确的是（ ）
A．第6 行从左到右第4 个数是20
B．第2022 行的第1011 个数最大
C．210 在杨辉三角中共出现了6 次
D．记第
行的第个数为
，则
7．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性
质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个11 阶杨辉三角.
11 阶杨辉三角
（1）第20 行中从左到右的第4 个数为 ；
（2）若第
行中从左到右第7 个数与第9 个数的比为
，则
的值为 .
8．我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，
如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.
杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为
.请写出一
条其他的性质，用组合数表示为： .从杨辉三角蕴含的规律可知：
.
题型九：证明组合恒等式
1．（2025 高三·全国·专题练习）求证：
．
2．（2024 高三·全国·专题练习）求证：
3．已知
．
(1)求
的值
(2) ①证明：
，其中
，
，，
，
；
②利用
的结论求
的值．
4．（24-25 高三下·天津·阶段练习）已知数列
满足
，
，数列
满足
，
(1)求
、
、
的值，并证明数列
是等比数列；
(2)证明：
；
(3)
表示不超过
的最大整数，如
，
，设
，求数列
的前
项和．
5．（2024 高二下·全国·专题练习）（l）当
，
时，证明：
．
（2）当
，
时，证明：
．
题型十：二项式定理与数列求和
1．已知
，展开式中
的系数为
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·北京·开学考试）已知
，则
；
．
3．（1）求证：
；
（2）利用等式
可以化简：
；类比上述方法，化简下式：
.
（3）已知等差数列
的首项为，公差为
，求证：对于任意正整数
，函数
总是关于
的一次函
数.
题型十一：排列组合综合
1．（24-25 高二上·辽宁大连·期末）现有位老师，
位女同学，
位男同学，派这些人去参加两项活动.要
求老师参加活动时至少带上一位男同学和一位女同学，每个人只参加一个活动且每个活动至少一人参加，
若不同的参与活动的方法有
种，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·浙江嘉兴·二模）6 位学生在游乐场游玩
三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目
都有人游玩，若
项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ）
A．180 种
B．210 种
C．240 种
D．360 种
3．2023 年第19 届亚运会将在杭州举行，某大学5 名大学生为志愿者，现有语言翻译、医疗卫生、物品分
发三项工作可供安排，每项工作至少分配一名志愿者，这5 名大学生每人安排一项工作．若学生甲和学生
乙不安排同一项工作，则不同的安排方案有（ ）
A．162 种
B．150 种
C．120 种
D．114 种
4．武钢六中近期迎来校庆，学生会制作了4 种不同的精美卡片，在学校书店的所有书本中都随机装入一张
卡片，规定：如果收集齐了4 种不同的卡片，便可获得奖品．小明一次性购买书本6 册，那么小明获奖的
概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．某班级计划安排学号为1～9 的九名同学中的某5 位，分别担任周一至周五的值日生，要求学号为奇数
的同学不能安排在周一、周三、周五三天值日，则不同的安排方法有 种．(用数字作答)
6．有3 本不同的数学书和4 本不同的外语书从左到右依次排放在书架的某一层上，那么其中数学书甲不排
在左边第一个并且英语书
不排在左边第二个的概率为 .（结果用数值表示）
