专题28二项式定理（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修3_05.专项训练_专题28二项式定理-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题28 二项式定理 一、单选题 6  1 2x 1．（2020·北京高三一模）在  的展开式中，常数项是（ ）  x 160 20 A． B． C．20 D．160 【答案】A 【解析】 6  1 2x   x   展开式的通项公式为T Cr 2x6r 1r xr 1r 26r Cr x62r ， r1 6 6 6  1 2x 令 62r 0 ，可得 r 3 ，故  x   展开式的常数项为8C3 160， 6 故选：A. 10  1  x2  2．（2020·江苏省邗江中学高二期中）在  的二项展开式中，含 的项的系数是（ ）  2x x11 A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【解析】 10    x2  2 1 x    的二项展开式的通项为 T r1 C 1 r 0 (x2)10r   2 1 x    r     1 2    r C 1 r 0 x203r ． 令203r11，解得r 3． 1 3   C3 15 含x11的项的系数是2 10 ． 故选：B 5  x2 1  1 1  3．（2020·北京大峪中学高二期中）   x2   的展开式的常数项是（ ） 3 4 A． B． C．3 D．4【答案】D 【解析】 5 5k  1   1  1 T Ck 1k 1k Ckx2k10   x2   展开式中的第 k1 项为 k1 5   x2   5 ， 14 C4 5 当2k102，即k 4时，此时 5 ； 15 C5 1 当2k100，即k 5时，此时 5 .则514. 故选:D. x191xa a xa x2 ...a x10 a  4．（2020·江苏省邗江中学高二期中）已知 0 1 2 10 ，则 8 （ ） 45 27 27 45 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 当 1x 取 1时， x19 取8个x，则 a  1C1 ， 8 9 当 1x 取x时， x19 取7个x，则 a 8  1C 9 7   1 2 ， a  1C7   1 2  1C1  45 所以 . 8 9 9 故选：A 12x7 5．（2020·北京市鲁迅中学高二月考） 的展开式中系数最大的项为（ ） 4 5 7 8 A．第 项 B．第 项 C．第 项 D．第 项 【答案】B 【解析】 12x7 T Cr2xr Cr2r xr 的展开式的通项公式为： r1 7 7 ， 要使系数最大，则r为偶数，且r只可能从2，4，6中选， Cr2r Cr22r2 Cr2r Cr22r2 故 7 7 ，且 7 7 ，7! 7! 7! 7! 4  4 所以 r!7r! r2!9r!，且r!7r! r2!5r!， 4 1 1 4   所以rr1 9r8r ，且7r6r r2r1 ， 经验证：当r 4时，符合， 12x7 所以 的展开式中系数最大的项为第五项， 故选：B 1x13 6．（2020·阳江市第三中学高二期中） 的展开式中，系数最小的项为（ ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】C 【解析】 T Cr (x)r (1)rCr xr (1)rCr 由题设可知展开式中的通项公式为 r1 13 13 ，其系数为 13，当 r 为奇数时展开 (1)rCr r 7 式中项的系数 13最小，则 ，即第8项的系数最小，应选答案C. 1 1 (2x2  )n 7．（2020·辽宁省高三其他（理））已知二项式 x 的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开 式中常数项等于（ ） A．240 B．120 C．48 D．36 【答案】A 【解析】 1 1 1 1 (2x2  )n (2x2  )6 由题意2n 64，解得n6，则 x x ， 则二项式(2x 1 2  1 x )6的展开式的通项公式为 T r1 C 6 r     2x 1 2    6r     1 x    r 26r C 6 r x 3 2 3 r ， 3 3 r 0 26r Cr 24C2 240 令 2 即r=2，则 6 6 .故选：A. x yn 8．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在 的展开式中第4项与第8项的系数相等，则 展开式中系数最大的项是（ ） A．第6项 B．第5项 C．第5、6项 D．第6、7项 【答案】A 【解析】 x yn 因为 的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第4项与第8项的系数相等 C3 C7 n10 所以 n n，所以 所以展开式里系数最大的项是第6项 故选：A 二、多选题 abn 9．（2020·江苏省扬州中学高二期中）已知 的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为 （ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】ABC 【解析】 abn C4 ∵已知 的展开式中第5项的二项式系数 n 最大,则n7或n＝8或n＝9 故选：ABC. 1 (x )n 10．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）若 x 的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式 中二项式系数最大的项为（ ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】CD 【解析】 C2,C7 由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为 n n ， 又因为其相等，则n991 91 15 16 所以该展开式中二项式系数最大的项为 2 与 2 项 即为第5项；第6项. 故选：CD 6  1 x 11．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）关于  的展开式，下列结论正确的是( )  x A．所有项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为0 20 C．常数项为 D．二项式系数最大的项为第3项 【答案】BC 【解析】 6 r  1  1 x T Crx6r  Crx62r1r 解：二项式  x   展开式的通项为 r1 6   x   6 T C313 20 令62r 0，解得r 3，则常数项为 4 6 ，故C正确； 且二项式系数最大的项为第4项，故D错误； C0 C1C2 C3C4 C5 C6 26 64 二项式系数和 6 6 6 6 6 6 6 ； x1 令 ，得所有项的系数和为0，故A错误，B正确； 故选：BC 12．（2020·江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（ ） Cm Cnm A． n n mCm nCm1 B． n n1 Cm1 Cm Cm C． n1 n n1  C02   C12   C22   Cn2 Cn D． n n n n 2n 【答案】ABD 【解析】n! n! n! Cm  Cnm   对于A，因为 n m!(nm)!， n (nm)![n(nm)]! m!(nm)!，所以Cm Cnm ，即A n n 正确； n! n(n1)! (n1)! mCm m m n 对于 ， n m!(nm)! m(m1)!(nm)! (m1)![(n1)(m1)]! nCm1 ，故 B n1 B 正确； C mn1 C2 1 C1C1 123 C 对于 ，当 时，左边 2 ，右边 1 2 ，等式不成立，故 不正确； D (1x)n(1x)n (1x)2n 对于 ，因为 ， 等式左边 xn 的系数为： C n 0C n n C n 1C n n1C n 2C n n2   C n nC n 0 C0C0 C1C1 C2C2  CnCn (C0)2 (C1)2 (C2)2  (Cn)2 n n n n n n  n n  n n n  n ， xn Cn 等式右边 的系数为： 2n，  C02   C12   C22   Cn2 Cn 所以 n n n n 2n，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 (1x)6 a axa2x2a x6 a a a a  13．（2020·上海复旦附中高二期中）若 0 1 6 ，则 0 1 2 6 =__________. 【答案】64 【解析】 (1x)6 a axa2x2a x6 x1 116 a a a a 在 0 1 6 中，令 可得， 0 1 2 6. a a a a 26 64 所以 0 1 2 6 故答案为：64. C0 3C1 9C2 L 3nCn  14．（2020·上海交大附中高三期中）计算： n n n n _____.4n 【答案】 【解析】 30C0 31C1 32C2 L 3nCn (13)n 4n 由题得原式= n n n n . 4n 故答案为： 2 (x2  )5 15．（2020·山东省高二期中）二项式 x 的展开式中x4的系数是 【答案】40 【解析】 依题意，二项式展开式的通项公式为 T r1 C 5 r   x25r 2x1r 2r C 5 r x103r ，当103r 4,r 2， 故x4 的系数是 22 C 5 2 40 . 7  2  x 16．（2020·浙江省高三三模）二项式  x2   的展开式中，所有二项式系数的和是__________，含x的 项的系数是__________． 【答案】128 84 【解析】 27 128 由题意所有二项式系数的和为 ， 2 T Crx7r( )r 2rCrx73r 题中二项式展开式通项公式为 r1 7 x2 7 ，令73r 1，r=2， 22C2 84 所以含x的项的系数是 7 ． 故答案为：128；84． 四、解答题 (12x)7 a a xa x2  a x7 17．（2020·延安市第一中学高二期中（理））已知 0 1 2  7 ，求 a a a （1） 0 1 7的值；a a a a （2） 0 2 4 6的值. 【答案】（1）1；（2）1093 【解析】 a a a 127 1 （1）令x1，则 0 1 7 ； x1 a a a a a a 2187 （2）令 ，则 0 1 2 3 6 7 ① x0 a 1 令 ，则 0 a a a a 2 1 2 3 7 ② a 2a a a 218722185 a a a 1092 由①②得 0 2 4 6 ，即 2 4 6 a a a a 110921093 0 2 4 6 n 1  x 18．（2020·北京大峪中学高二期中）已知  展开式中的第三项的系数为 ，求：  x  45 x4 （1）含 的项； （2）二项式系数最大的项． 120x4 252 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 n nr 1  1 x T Cr xr Cr x2rn （1）  x   展开式的通项为 r1 n   x   n ， nn1 45 由于展开式中第三项的系数为45，即C n 2 45，即 2 ，整理得n2 n900， nN n10 T Cr x2r10  ，解得 ，则展开式通项为 r1 10 ， 2r104 r 7 x4 x11 令 ，解得 ，因此，展开式中含 的项为 ； T C5 252 （2）由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为 6 10 .n  2 x  19．（2020·湖北省高二期中）已知  的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．  x （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项． 5 5   【答案】（1）T 280x1，T 560x 2 ；（2）T 560x 2 ． 4 5 5 【解析】 C3 C4 n7 （1）由题意知 n n ， 7  2 x  又  展开式的通项为：  x T Cr  x r   2  r 2r Crx 7 2 r r 2r Crx 7 2 3r r1 7  x 7 7 展开式中共有8项，其中二项式系数最大的项为第4，第5项 79 712 5 所以T 23 C3x 2 280x1，T 24 C4x 2 560x  2 4 7 5 7 r 0 2 4 6 （2）展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在 ， ， ， 时， T T T T 也即在 1， 3， 5， 7中产生， 7 1 5 11   而T  x2 ，T 84x2， T 560x 2 ，T 448x 2 1 3 5 7 5  故系数最大的项为第5项T 560x 2 5 1 20．（2020·怀仁市第一中学校高二月考（理））已知（x+2 x ）n的展开式中的第二项和第三项的系数相 等． （1）求n的值； （2）求展开式中所有的有理项． 5 5 T  x2 T  【答案】（1）n5；（2） T  x5 , 3 2 , 5 16x ． 1【解析】 1 (x )n 二项式 2 x 展开式的通项公式为  1  r 1 r n 3 r T Cr xnr  Cr  x 2 r1 n  2 x   n  2   ，r 0,1,2n； （1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得 2 1 1 C1 C2 n 2 n  2   ， 1 1 nn1 n  即2 4 2 , 解得n5； （2）二项式展开式的通项公式为 1 r 5 3 r T Cr  x 2 r1 5  2   ，r 0,1,2n； r 0,2,4 当 时,对应项是有理项, 所以展开式中所有的有理项为 0 1 T C0 x5  x5 1 5  2   , 2 1 5 T C2 x53  x2 3 5  2   2 , 4 1 5 T C4 x56  5 5  2   16x ． 1 ( x  )n 21．（2020·江西省上高二中高二月考（理））在二项式 24 x 的展开式中，前三项的系数依次成等 差数列． （1）求展开式中的所有有理项； （2）求系数最大的项．【答案】（1） ， ， （2） 和 【解析】 （1）∵ 由题设可知 解得n=8或n=1（舍去） 当n=8时，通项 据题意， 必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8 ∴ r=0，4，8，故x的有理项为 ， ， （2）设第r+1项的系数t 最大，显然t >0，故有 ≥1且 ≤1 r+1 r+1 ∵ ， 由 ≥1得r≤3 又∵ ，由 ≤1得：r≥2 ∴ r=2或r=3所求项为 和 n  1  2x 22．（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知  展开式前三项的二项式系数和为  x  22． n （1）求 的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项． 3 【答案】（1）6；（2）60；（3）160x2. 【解析】1 (2x )n 由题意， x 展开式前三项的二项式系数和为22． nn1 C0 C1 C2 1n 22 (1)二项式定理展开：前三项二项式系数为： n n n 2 ， n6 n7( ) 解得： 或 舍去 ． 即n的值为6． 1 6 3k T Ck(2x)6k( )k Ck26kx 2 (2)由通项公式 k1 6 x 6 ， 3k 6 0 令 2 ， 可得：k 4． 12 6 展开式中的常数项为T C4264x 2 60；  41 6 3 n  . 是偶数，展开式共有7项 则第四项最大 9 3 6 展开式中二项式系数最大的项为T C3263x 2 160x2．  31 6