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专题04 命题与量词+全称量词命题与存在量词命题的否定
题型一：命题与命题的真假
题型二：判断全称命题与存在命题
题型三：判断全称命题与存在命题的真假
题型四：根据全称命题的真假求参数
题型五：根据存在命题的真假求参数
题型六：全称（存在）量词命题的否定
题型一：命题与命题的真假
1．对于关于x 的方程
（a、b、x 都是实数）有四个命题：
①1 是该方程的根；
②3 是该方程的根；
③该方程两根之和是2；
④该方程两根异号.
如果这四个命题中恰有三个是真命题，则假命题是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】A
【分析】采用假设法,假设其中一个为假命题，再判断其他命题得解.
【详解】假设①为假命题，②③④为真命题，解得：
，
，符合题意，
假设②为假命题，①③④为真命题，解得
，
，不合题意；
假设③为假命题，①②④为真命题，
，
，不合题意；
假设④为假命题，①②③为真命题，解得两根的和不为2，不合题意；
综上所述：①为假命题；
故选：A.
2．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．命题：“
，
为质数”
B．命题：“梯形的对角线相等”是全称量词命题；
C．命题：“对任意
，总有
”是真命题；
D．命题：“空集是任何集合的真子集”是真命题.
【答案】BC
【分析】选项A 由反例当
时可判断，选项B 根据全称量词命题的概念可判断；
选项C 由
可判断；选项D 由空集不是空集的真子集可判断.
【详解】选项A：当
时，
不是质数，故A 错误；
选项B：“梯形的对角线相等”指的是“任意梯形的对角线相等”是全称量词命题，故B 正确；
选项C：
，故C 正确；
选项D：空集是任何非空集合的真子集，故D 错误；
故选：BC
3．（多选）下面命题正确的是（ ）
A．若
且
，则
，
至少有一个大于1
B．直角三角形的外心一定不在斜边上
C．如果实数集的非空子集
是有限集，那么
中的元素必然有最大值
D．任何分数都是有理数
【答案】ACD
【分析】借助反证法可得A、C；结合直线三角形性质与外心定义可得B；利用分数与有理数定义可得D.
【详解】对A：假设
，
都小于或等于，则
，
与已知矛盾，故假设错误，故A 正确；
对B：直角三角形的外心在斜边中点,故B 错误；
对C：假设非空集合
中的元素无最大值，则集合
必为无限集，
这与实数集的非空子集
是有限集矛盾，故
中的元素必然有最大值，故C 正确；
对D：由有理数定义可知，任何分数都是有理数，故D 正确.
故选：ACD.
4．判断下列命题的真假，并说明理由.
(1)所有偶数都不是素数；
(2)
是
的真子集；
(3)0 是
的真子集；
(4)如果集合A 是集合B 的子集，那么B 不是A 的子集.
【答案】(1)假命题，理由见解析
(2)真命题，理由见解析
(3)假命题，理由见解析
(4)真命题，理由见解析
【分析】（1）利用偶数与素数的定义，举反例判断即可得解；
（2）（3）（4）利用集合子集的定义逐一分析判断即可得解.
【详解】（1）因为
是偶数，同时也是素数，所以该命题为假命题；
（2）因为
，且
，
所以
是
的真子集，所以该命题为真命题；
（3）因为
是
中的一个元素，
所以0 不是
的真子集，所以该命题为假命题；
（4）当
时，
互为子集，所以该命题为假命题.
5．判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题．
(1)任何负数都大于零；
(2)
与
是全等三角形；
(3)
；
(4)
；
(5)6 是方程
的解；
(6)方程
有实数解．
【答案】(1)是命题，且是假命题
(2)不是命题
(3)不是命题
(4)不是命题
(5)是命题，且是真命题
(6)是命题，且是假命题
【分析】根据命题的概念、命题的真假判断即可.
【详解】（1）任何负数都小于零，故该语句是命题，且是假命题．
（2）两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法判断真假，故不是命题．
（3）因为
是未知数，无法判断
是否大于零，所以不是命题．
（4）空集是任何非空集合的真子集，集合
是否为非空集合无法判断，故不是命题．
（5）6 是所给方程的解，故该语句是命题，且是真命题．
（6）由于给定方程的判别式
，
可知给定方程
无实根，故该语句是命题，且为假命题.
题型二：判断全称量词命题与存在量词命题
6．判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于
；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角
，都有
．
【答案】(1)全称量词命题
(2)存在量词命题
(3)全称量词命题
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的概念逐个分析判断.
【详解】（1）可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于
”，故为全称量词命题．
（2）含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．
（3）含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．
7．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假.
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对
都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数a，b，若
，都有
；
(4)存在一个实数x，使得
.
【答案】(1)全称量词命题，真命题
(2)存在量词命题，真命题
(3)全称量词命题，假命题
(4)存在量词命题，假命题
【分析】（1）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再利用平面直角坐标系中有序实数对的性质
即可判断真假；
（2）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，举例子即可判断其真假；
（3）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再通过举反例即可判断真假；
（4）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，再利用配方法即可判断其真假.
【详解】（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对
与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以
该命题是全称量词命题，且是真命题.
（2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是存在量词命题，且是真命题.
（3）存在
，
但
，所以该命题是全称量词命题，且是假命题.
（4）由于
，则
，由此使得
的实数x 不存在，所以该命题是存
在量词命题，且是假命题.
8．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0 恰有唯一解．
(2)存在实数x，使
＝
.
【答案】(1)全称量词命题，假命题
(2)存在量词命题，假命题
【分析】（1）利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再举例判断其真假；
（2）利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再利用二次函数的性质判断其真假；
【详解】（1）解：该命题是全称量词命题．
当a＝0，b＝0 时方程有无数解，
故该命题为假命题．
（2）该命题是存在量词命题．
∵
，
∴不存在实数x，使
，
故该命题是假命题．
9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断命题的真假．
(1)对任意的实数
，关于
的方程
恰有唯一解;
(2)存在实数
，使得
=
．
【答案】(1)该命题是全称量词命题，假命题；
(2)该命题是存在量词命题，假命题．
【分析】（1）举例说明为假命题即可；
（2）根据特称命题的真假判断即可.
【详解】（1）该命题是全称量词命题，
取
时，方程
无解，
故为假命题；
（2）该命题是存在量词命题，
因为
，
所以
，
故该命题是假命题．
10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.
(1)至少有一个整数，它既能被11 整除，又能被9 整除;
(2)线段的长度都能用正有理数表示;
(3)
，
.
【答案】(1)存在量词命题，真命题
(2)全称量词命题，假命题
(3)存在量词命题，真命题
【分析】含有全称量词的命题为全称题词命题，含有存在量词的命题为存在量词命题，并举例判断命题的
真假.
【详解】（1）含有量词“至少”，故它是存在量词命题，99 既能被11 整除，又能被9 整除，故此命题为
真命题.
（2）“线段的长度都能用正有理数表示”为全称量词命题，它是假命题，如线段的长度也可以是
.
（3）“
，
.”含有存在量词，故它是存在量词命题，当
时命题成立，故此命题为真命题.
题型三：判断全称量词命题与存在量词命题的真假
11．下列含有量词的命题中为真命题的是（ ）
A．任意实数的平方都大于0
B．
，
C．存在整数
，使得
D．
，一元二次方程
有实根
【答案】B
【分析】AB 选项可举出反例；C 选项，
均为整数，则
为整数，故不存在整数
，使得
，C 错误；D 选项，由根的判别式进行判断.
【详解】A 选项，0 的平方等于0，A 错误；
B 选项，当
时，
，满足要求，B 正确；
C 选项，
，
均为整数，则
为整数，故不存在整数
，使得
，C 错误；
D 选项，当
时，
，
此时一元二次方程
无实根，D 错误.
故选：B
12．设有下面四个命题：
是质数；
：
；
.
其中真命题共有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】根据量词的意义，分别判断命题.
【详解】
：当
时，
为质数，故是真命题；
当
时，
，故是假命题；
不存在
，
，故是假命题；
当
时，
，故是假命题.
故选：A
13．下列命题：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
.其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．④⑤
【答案】B
【分析】对于①⑥，利用
分析判断，对于②③④⑤举例判断即可.
【详解】对于①，因为
时，
，所以
，所以①正确；
对于②，当
时，
，所以②错误；
对于③，
，所以③正确；
对于④，
，所以④错误；
对于⑤，当
时，
，所以⑤错误；
对于⑥，
，所以⑥错误.
故选：B
14．（多选）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．
，
B．
，2x 为偶数
C．所有菱形的四条边都相等
D．每个二次函数的图像都是轴对称图形
【答案】ACD
【分析】由全称命题的概念判断．
【详解】选项ACD 是全称命题，选项B 是特称命题，
A 中，由
，正确；
CD 均正确．
故选：ACD．
15．（多选）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（ ）
A．
，使得方程
成立
B．存在一个三角形，它的三个角都是锐角
C．至少有一个实数
，使得
D．
，
【答案】BC
【分析】利用存在量词命题的定义，含有存在量词的命题来判断；判断存在量词命题为真的判定方法即可
判断．
【详解】由
得，
，所以该方程没有实数根，该命题为假命题，A 错
误；
含有存在量词“存在”，且锐角三角形的三个角都是锐角，B 正确；
含有存在量词“至少有一个”，且当
时，
，C 正确；
含有全称量词“
”，D 错误，
故选：BC．
题型四：根据全称量词命题的真假求参数
16．若命题“
”是真命题，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得
的取值范围.
【详解】若命题“
”是真命题，
则当
时，不等式为
对
恒成立；
当
时，要使得不等式恒成立，则
，解得
综上，
的取值范围为
.
故选：D.
17．对
，恒成立，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，转化为
在
上恒成立，结合
，即可求解.
【详解】由命题“
，恒成立”恒成立，即不等式
在
上恒成立，
因为
，所以
，即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
18．写出一个使得命题“
恒成立”是假命题的实数
的值： ．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】对
进行分类讨论，根据一元二次不等式恒成立的知识求得正确答案.
【详解】依题意，“
恒成立”是假命题，
当
时，
恒成立，不符合题意.
当
时，
可以为负数，符合题意.
当
时，
，解得
.
综上所述，
或
.
故答案为：
（答案不唯一）
19．若
为假命题，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据命题为假得出判别式大于等于零计算即可.
【详解】
恒成立是假命题，因此
，解得
或
，
故答案为：
.
20．已知命题：“
，
”为假命题，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】依题意
，
，判断方程无解的条件即可.
【详解】命题：“
，
”为假命题，
则有
，
，得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
题型五：根据存在量词命题的真假求参数
21．若命题“
，
”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可知方程
有实数解，即
，解得
．
22．若命题“
，
成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用判别式法求解.
【详解】解：因为
，
成立，
所以
，解得
，
故选：B
23．若命题“
，
”为假命题，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】依题意可得“
，
”为真命题，则
，解得即可.
【详解】
命题
“
，
”为假命题，
命题
：“
，
”为真命题．
，
，解得
．
实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
24．若命题“
，
”是真命题，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】分析可知
，运算求解即可.
【详解】若命题“
，
”是真命题，
则
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
25．存在实数x，使不等式
成立，求实数m 的取值范围．
【答案】
．
【分析】根据题设不等式能成立，知
小于左侧最大值即得参数范围.
【详解】令
，则
，易知y 的最大值为3．
因为
，
成立，所以
即可，即
．
所以m 的取值范围是
．
题型六：全称（存在）量词命题的否定
26．命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得.
【详解】由特称命题的否定是全称命题，
则“
”的否定为
.
故选：D
27．命题“
，
”的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定即可得到答案．
【详解】命题“
，
”的否定为“
，
”，
故选：D．
28．命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.
【详解】由于特称命题的否定为全称命题，
故原命题的否定为
．
故选：B
29．命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】任意改存在，将结论取反，即可求解.
【详解】命题“
”的否定是：
.
故选：B.
30．已知命题
，
，则
为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
或
D．
，
或
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定的定义判断即可.
【详解】命题
，
的否定为：
，
或
，
故选：C.
