绝密★启用前
2024 年秋季学期新高二开学考数学试卷
考试范围：必修一、必修二； 考试时间：120分钟； 日期：2024年8月
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
5
1.复数 的共轭复数是( )
i−2
A. i+2 B. −2+i C. −2−i D. 2−i
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的运算与共轭复数，属于基础题．
首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部
变为相反数，得到要求的共轭复数．
5 5(−i−2)
【解答】解：∵复数 = =−2−i，
i−2 22−i2
∴共轭复数是−2+i，
故选：B．
2.命题“∀x∈R，sinx+1≥0”的否定是 ( )
A. ∃x∈R，sinx+1<0 B. ∀x∈R，sinx+1<0
C. ∃x∈R，sinx+1≥0 D. ∀x∈R，sinx+1≤0
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了命题的否定，属于基础题．破解含有量词的命题的否定需两步骤：一是把全称量词改为存在量词，或把存在量词改为全称量词;二是对
结论进行否定．
【解答】解：把全称量词改为存在量词，并否定结论，
则原命题的否定为“∃x∈R，sinx+1<0”，
故选A．
3.已知函数 {2x+m−1,x⩽0恰有两个零点，则 的取值范围为( )
f(x)= m
log x,x>0
5
A. (−1,+∞) B. (1,+∞) C. [1,+∞) D. [−1,+∞)
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了分段函数，函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．
当x>0时，f(x)显然有一个零点，要使函数f(x)恰有两个零点，则f(x)=2x+m−1(x≤0)必有一个零
点，结合f(x)=2x+m−1(x≤0)的单调性，列式可得结果．
【解答】
解：函数 {2x+m−1,x⩽0
f(x)= ,
log x,x>0
5
当x>0时，f(x)显然有一个零点，所以要使函数f(x)恰有两个零点，则f(x)=2x+m−1(x≤0)必有一
个零点，
又f(x)=2x+m−1在(−∞,0]上单调递增，
所以f(0)=m−1≥0，解得m≥1．
故本题选C．
π
4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|< )的图象(部分)如图所示，则f (x)的解析式
2
是( )( π) ( π)
A. f (x)=2sin x+ (x∈R) B. f (x)=2sin 2x+ (x∈R)
6 6
( π) ( π)
C. f (x)=2sin x+ (x∈R) D. f (x)=2sin 2x+ (x∈R)
3 3
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的图象和性质，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
根据图象求出A，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式．
【解答】
2π π
解：由图象可知T=4×( − )=2π，
3 6
2π 2π
∴ω= = =1，
T 2π
π
∵f(x)过最高点( ,2)，
6
π π π
∴A=2，sin( +φ)=1，即 +φ= +2kπ,k∈Z，
6 6 2
π
∵|φ|< ，
2
π
∴φ= ，
3
π
∴f(x)的解析式为f(x)=2sin(x+ )(x∈R)．
3
故选：C．5.从某地区抽取100户居民进行月用电量调查，发现用电量都在50至350kW⋅ℎ之间．将数据分组后得到
如表所示的频率分布表，估计此地区月均用电量的第80百分位数是( )
分
[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)[300,350]合计
组
频
0.12 0.18 0.30 0.25 0.10 0.05 1
率
A. 230 B. 235 C. 240 D. 245
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了频率分布表，百分位数，学生的数学运算能力，属于基础题．
利用百分位数的概念，即可解出．
【解答】
解：由频率分表可知，数据均匀分布，
0.8−0.12−0.18−0.3
所以第80百分位数是，200+50× =240，
0.25
故选：C．
6.为解决某校午餐路途拥挤问题，计划修建从教学楼直达食堂的空中走廊.现结合以下设计草图提出问题：
已知A，D两点分别代表食堂与教学楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得
∠CAD=15∘，∠CBD=45∘，AB=50m，CD=25m.设∠DAE=θ，则cosθ=( )
√6−√2 √3
A. B. √2√3−3 C. √3−1 D.
4 2【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查解三角形的实际应用，属于中档题．
因为θ+∠ADE=90°，则cosθ=cos(90°−∠ADE)=sin∠ADE=sin∠BDC，再结合三角形BCD求
解即可．
【解答】
解：在△ABC中，因为∠CAD=15∘，∠CBD=45∘，
所以∠CBA=135∘，∠ACB=30∘．
BC AB
由正弦定理得 = ，
sin∠BAC sin∠ACB
ABsin∠BAC 50×sin15∘
BC= = =25(√6−√2).
sin∠ACB sin30∘
BC CD
在△BCD中，由正弦定理得 = ，
sin∠BDC sin∠CBD
√2
25(√6−√2)×
所以 BCsin∠CBD 2 ．
sin∠BDC= = =√3−1
CD 25
因为θ+∠ADE=90∘，
所以 ．
cosθ=cos(90∘−∠ADE)=sin∠ADE=sin∠BDC=√3−1
7.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．则下
列说法：①a=0.03；②若抽取100人，则平均用时一定为13.75小时；③若从每周使用时间在
[15,20),[20,25)，[25,30]三组内的学生中用比例分配的分层随机抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使
用时间在[20,25)内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③【答案】B
【解析】【分析】
本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用频率和为1判断①；根据平均数的计算判断②；利用分层抽样的性质判断③。
【解答】
解：由频率分布直方图得：
对于①，(0.02+0.04+0.06+0.04+a+0.01)×5=1，解得a=0.03，故①正确；
对 于 ②， 根 据 频 率 分 布 直 方 图 可 估 计 出 平 均 值 为
(0.02×2.5+0.04×7.5+0.06×12.5+0.04×17.5+0.03×22.5+0.01×27.5)×5=13.75，
所以估计抽取100人的平均用时为13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；
对于③，从每周使用时间在[15,20)，[20,25)，[25,30)三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行
访谈，
0.03
则应从使用时间在[20,25)内的学生中选取的人数为：8× =3，故③正确．
0.04+0.03+0.01
8.已知正四棱锥(底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥)P−ABCD的底
π
面正方形边长为2，其内切球O的表面积为 ，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足OQ=OP，则动点Q
3
形成轨迹的周长为( )
2π 3π 4π 5π
A. B. C. D.
11 11 11 11
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了正四棱锥内切球，与圆有关的轨迹问题，属于中档题．
√3
先求出球O的半径R= ，连接AC与BD，设交点为F，取AD的中点E，连接PE，PF，EF，根据等体
6
13 4√3 2 2
积法得PE= ，PF= ，在Rt△OFQ中，QF= ，点Q在以点F为圆心， 为半径的圆上，求其
11 11 11 11
周长即可．
【解答】π √3
解：设内切球O的半径为R，则4πR2= ，∴R= ，
3 6
如图，连接AC与BD，设交点为F，取AD的中点E，连接PE，PF，EF，
1 1
根据等体积法得 (S +4S )R= ×AB2×PF，
3 ABCD △PAB 3
1 1 √3 4
∴ (4+4× ×2×PE)× = ×PF，整理得1+PE=2√3PF，
3 2 6 3
13 4√3
又PE2−PF2=1，解得PE= ，PF= ，
11 11
√3 13√3 13√3
∴OF= ，OP= ，OQ=OP= ，
6 66 66
√ 13√3 √3 2
在Rt△OFQ中，QF= ( ) 2−( ) 2= ，
66 6 11
2 2 4
∴点Q在以点F为圆心， 为半径的圆上，其周长为2π× = π．
11 11 11
故选C．二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在三棱柱ABC−A B C 中，AB=√3A A =2√3，△ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接
1 1 1 1
球的球心，则下列命题正确的有( )
A. A A ⊥平面ABC
1
π
B. 异面直线B C与A A 所成角的大小是
1 1 6
C. 球O的表面积是20π
√13
D. 点O到平面AB C的距离是
1 13
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查棱柱的切接问题，棱柱的结构特征，异面直线所成的角，点到平面的距离，具有一定的综合性．
【解答】解：如图，因为球O是三棱柱ABC−A B C 的外接球，所以该三棱柱为直三棱柱，即A A ⊥
1 1 1 1
平面 ABC，则 A 正确.因为 A A //CC ，所以∠B CC 是异面直线B C与 A A 所成的角.因为
1 1 1 1 1 1
B C AB π
AB=√3A A =2√3，所以tan∠B CC = 1 1= =√3，所以∠B CC = ，则B错误．
1 1 1 CC A A 1 1 3
1 1
2
设△A B C 外接圆的圆心为O ，连接OO ，O C ，OC ，由题意可得O C = ×√12−3=2，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31
OO = A A =1，则球O的半径R=OC =√5，从而球O的表面积是4πR2=4π×(√5) 2=20π，故C正
1 2 1 1
确．
√16−3 √13
设△AB C外接圆的半径为r，由题意可得AB =B C=√12+4=4，则sin∠B AC= = .由
1 1 1 1 4 4
4 8√13
r= = √ 64 √13
正弦定理可得 √13 13 ，则点O到平面AB C的距离d=√R2−r2= 5− = ，故D正确．
2× 1 13 13
4
10.已知O为坐标原点，点P (cosα,sinα)，P (cosβ,−sinβ)，P (cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，
1 2 3
则( )
A. B.
|OP |=|OP | |AP |=|AP |
1 2 1 2
C. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ D. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
OA·OP =OP ·OP OA·OP =OP ·OP
3 1 2 1 2 3
【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查平面向量数量积的坐标运算，向量模的坐标表示，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．
根据平面向量的坐标运算结合三角函数公式进行化简逐个判断即可．
【解答】解 ： ⃗OA=(1,0) ，
O
⃗
P =(cosα,sinα)
，
O
⃗
P =(cosβ,−sinβ)
，
O
⃗
P =(cos(α+β),sin(α+β))
，
1 2 3
⃗ ， ⃗ ，
AP =(cosα−1,sinα) AP =(cosβ−1,−sinβ)
1 2
对于
A
，
|O
⃗
P |=√cos2α+sin2α=1
，
|O
⃗
P |=√cos2β+(−sinβ) 2=1
，A正确；
1 2
对于 ， ⃗ ，
B |AP |=√(cosα−1) 2+sin2α=√2−2cosα
1
⃗ ，
|AP |=√(cosβ−1) 2+(−sinβ) 2=√2−2cosβ
2
因为
cosα,cosβ
不一定相等，所以
|A
⃗
P |
，
|A
⃗
P |
不一定相等，B错误；
1 2
对于 ， ⃗ ⃗ ；
C OA·OP =cos(α+β)
3
⃗ ⃗ ，C正确；
OP ⋅OP =cosαcosβ+sinα(−sinβ)=cos(α+β)
1 2
对于
D
，
O
⃗
A·O
⃗
P =cosα
，
O
⃗
P ⋅O
⃗
P =cosβcos(α+β)+(−sinβ)sin(α+β)=cos(α+2β)
，
1 2 3
⃗ ⃗ 与 ⃗ ⃗ 不一定相等，D错误．
OA·OP OP ·OP
1 2 3
故选：AC．
11.如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量
各箱水产品产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，下列说法正确的是( )
A. 新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值
B. 新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值
C. 新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值
D. 新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍
【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力．
利用频率分布直方图的性质结合选项进行计算，得出正确结论．
【解答】
解：对于A，旧养殖法的平均数x =27.5×0.06+32.5×0.07+37.5×0.12+42.5×0.17
旧
+47.5×0.2+52.5×0.16+57.5×0.1+62.5×0.06+67.5×0.06=47.1
所 以
s2 =(27.5−47.1) 2×0.06+(32.5−47.1) 2×0.07+(37.5−47.1) 2×0.12+(42.5−47.1) 2×0.17+(47.5−47.1) 2×0.2+(52.5−47.1) 2×0.16+(57.5−47.1) 2×0.1+(62.5−47.1) 2×0.06+(67.5−47.1) 2×0.06=107.34
旧
新 养 殖 法 的 平 均 数
x =37.5×0.02+42.5×0.1+47.5×0.22+52.5×0.34+57.5×0.23+62.5×0.05+67.5×0.04=52.35
新
所 以
s2 =(37.5−52.35) 2×0.02+(42.5−52.35) 2×0.1+(47.5−52.35) 2×0.22+(52.5−52.35) 2×0.34+(57.5−52.35) 2×0.23+(62.5−52.35) 2×0.05+(67.5−52.35) 2×0.04=39.7275
新
因为 ，
s 2 <s2
新 旧
所以新网箱产量的方差的估计值低于旧网箱产量的方差的估计值，故A错误．对于B，旧养殖法中，左边4个矩形的面积和为(0.012+0.014+0.024+0.034)×5=0.42，左边5个矩形
的面积和为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.04)×5=0.62，所以其中位数在45和50之间．
新养殖法中，左边三个矩形的面积和为0.34，左边4个矩形的面积和为0.68，所以其中位数在50和55之间.
所以新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值，所以B正确．
对于C，因为x =47.1，x =52.35，所以新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值，
旧 新
故 C正确．
对于D，旧网箱频率最高组总产量估计值为47.5×100×0.2=950，
新网箱频率最高组的总产量的估计值为52.5×100×0.34=1785，
所以新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={x|x2−ax+a2−7=0}，B={x|x2−x−6=0}，若满足A⋂B=A⋃ B，则实数a=
．
【答案】1
【解析】【分析】
本题主要考查了集合集合的交集与并集的性质，属于基础题．
由A⋂B=A⋃ B，可得A=B，从而问题得解．
【解答】
解：由于A⋂B=A⋃ B，所以A=B，
所以a=1，
故答案为1．
1 3
13.已知正数x，y满足x+3 y− − =6，则x+3 y的最小值是 ．
x y
【答案】8
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，考查解不含参的一元二次不等式，属于拔高题．
1 3 1 3
由 题 意 可 得 x+3 y=6+( + )， 则 (x+3 y) 2=[6+( + )](x+3 y)， 化 简 可 得
x y x y
y x
(x+3 y) 2=6(x+3 y)+10+3( + )， 换 元 ， 令 t=x+3 y， 并 结 合 基 本 不 等 式 可 得
x yy x
3( + )=t2−6t−10⩾6，解不等式可求出t的最小值，即可得出x+3 y的最小值．
x y
【解答】
1 3
解：因为x+3 y− − =6，
x y
1 3
所以x+3 y=6+( + )，
x y
1 3
所以(x+3 y) 2=[6+( + )](x+3 y)
x y
3 y 3x y x
=6(x+3 y)+(1+9+ + )=6(x+3 y)+10+3( + )，
x y x y
令t=x+3 y，
因为x，y均为正数，
所以t>0，
y x
则t2=6t+10+3( + )，
x y
y x
则3( + )=t2−6t−10，
x y
y x √ y x
而 + ⩾2 · =2，
x y x y
y x
当且仅当 = 时等号成立，
x y
y x y x
所以3( + )=t2−6t−10⩾6，当且仅当 = 时等号成立，
x y x y
y x
即t2−6t−16⩾0，当且仅当 = 时等号成立，
x y
解得t⩾8，或t⩽−2(负值舍去)，
所以t⩾8，
y x
即x+3 y⩾8，当且仅当 = 时，即x= y=2时等号成立，
x y即x+3 y的最小值为8．
14.据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考
科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这
三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件E=“选择生物学科”，F=“选择一门理科学科”，G=
“选择政治学科”，H=“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论：
①G和H是互斥事件但不是对立事件；
②F和H是互斥事件也是对立事件；
③P(F)+P(G)=1；
④P(E∪H)=P(E)+P(H)．
其中，正确结论的序号是 .(请把你认为正确结论的序号都写上)
【答案】②④
【解析】【分析】
本题考查互斥事件，对立事件，属于基础题．
根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可．
【解答】
解：事件H= “选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”，“选择历史学科”，“选择地理学科”，
所以事件 G= “选择政治学科”，包含于事件 H ，
故事件G,H 可以同时发生，不是互斥事件，故①不正确；
事件F=“选择一门理科学科”，与事件H= “选择一门文科学科”，
不能同时发生，且必有一个事件发生，故 F 和 H 是互斥事件，也是对立事件，故②正确；
2 1 3
由题意可知 P(F)= ,P(G)= ，所以 P(F)+P(G)= ≠1 ，故③不正确；
5 5 5
事件E=“选择生物学科”，与事件H=“选择一门文科学科”，
不能同时发生，故 E 和 H 是互斥事件，所以P(E∪H)=P(E)+P(H) ，故④正确．
故答案为：②④．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2B+cos2C−cos2A=1−2sinBsinC．
(1)求A；(2)若a=4，求▵ABC面积的最大值．
【答案】解：(1)由已知得1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A=1−2sinBsinC，
即sin2A−sin2B−sin2C=−sinBsinC，
由正弦边角关系得a2−b2−c2=−bc，
b2+c2−a2 1
由余弦定理得cosA= = ，
2bc 2
又0<A<π，
π
所以A= ．
3
(2)因为a=4，所以16=b2+c2−bc≥bc，当且仅当b=c=4时等号成立，
1 √3
所以S = bcsin A= bc⩽4√3
ΔABC 2 4
故三角形ABC的面积最大值为4√3
【解析】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形
中的综合应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于中档题．
(1)由正弦定理得a2−b2−c2=−bc，然后根据余弦定理求出结果．
(2)根据题意得到16=b2+c2−bc≥bc，然后通过三角形面积公式求出结果．
16.(本小题15分)
“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，
猜谜的人众多．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智
慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三
位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能
性都相等．
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
22
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为 ，求n的值．
25
【答案】 解：(1)设“甲猜对灯谜”为事件A，“乙猜对灯谜”为事件B，“任选一道灯谜，甲，乙两位
同学恰有一个人猜对”为事件C，
由题意得，12 3 8 2
P(A)= = ，P(B)= = ，
20 5 20 5
且事件A、B相互独立，
则P(C)=P(AB+AB)
=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)
=P(A)[1−P(B)]+[1−P(A)]P(B)
3 ( 2) ( 3) 2 3 3 2 2 9+4 13
= × 1− + 1− × = × + × = = ，
5 5 5 5 5 5 5 5 25 25
13
所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为 ；
25
(2)设“丙猜对灯谜”为事件D，
“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E，
则由题意，事件A、B、D相互独立，
P(E)=P(ABD)=P(A)P(B)P(D)
=[1−P(A)][1−P(B)][1−P(D)]
( 3)( 2)( n ) 2 3( n ) 22
= 1− 1− 1− = × 1− =1− ，
5 5 20 5 5 20 25
解得n=10．
【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，利用加法公式计算古典概型，属于中档题．
(1)设出相应事件后，利用相互独立事件概率乘法公式进行求解即可；
(2) 利用相互独立事件概率乘法公式即可求出n的值．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A B C 中，侧棱A A 1 ⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB=BC，AC=2，
1 1 1
A A =√2．
1(1)求证：B C//平面A BM；
1 1
(2)求证：AC ⊥平面A BM；
1 1
BN
(3)在棱BB 上是否存在点N，使得平面AC N⊥平面A A C C？如果存在，求此时 的值；如果不
1 1 1 1 BB
1
存在，请说明理由．
【答案】解：(1)连结AB 交A B于O，连结OM．
1 1
在△B AC中，因为M，O分别为AC，AB 中点，
1 1
所以OM//B C.
1
又因为OM⊂平面A BM，B C⊄平面A BM，
1 1 1
所以B C//平面A BM.
1 1
(2)因为侧棱A A ⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，
1
所以A A ⊥BM．
1
又因为M为棱AC中点，AB=BC，所以BM⊥AC．因为A A ∩AC=A，A A ，AC⊂平面ACC A ．
1 1 1 1
所以BM⊥平面ACC A .AC ⊂平面ACC A ．
1 1 1 1 1
所以BM⊥AC ．
1
因为M为棱AC中点，AC=2，所以AM=1．
又因为A A =√2，所以在Rt△ACC 和Rt△A AM中，
1 1 1
tan∠AC C=tan∠A MA=√2．
1 1
所以∠AC C=∠A MA，
1 1
即∠AC C+∠C AC=∠A MA+∠C AC=90°．
1 1 1 1
所以A M⊥AC ．
1 1
因为BM∩A M=M，BM，A M⊂平面A BM.
1 1 1
所以AC ⊥平面A BM.
1 1
BN 1
(3)当点N为BB 中点时，即 = ，平面AC N⊥平面A A C C.
1 BB 2 1 1 1
1
设AC 中点为D，连结DM，DN．
1
因为D，M分别为AC ，AC中点，
1
1
所以DM//CC ，且DM= CC ．
1 2 1又因为N为BB 中点，
1
所以DM//BN，且DM=BN，
所以四边形DMBN是平行四边形，
所以BM//DN，
因为BM⊥平面ACC A ，
1 1
所以DN⊥平面ACC A ．
1 1
又因为DN⊂平面AC N，所以平面AC N⊥平面ACC A .
1 1 1 1
【解析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查
了空间想象能力和转化思想，属于中档题．
(1)连结AB 交A B于O，连结OM，可证OM//B C，又OM⊂平面A BM，B C⊄平面A BM，即
1 1 1 1 1 1
可证明B C//平面A BM；
1 1
易 证 ， 又 可 证 ， 由 ， ， ， 可 求
(2) A A ⊥BM BM⊥AC AC=2 AM=1 A A =√2
1 1 1
∠AC C+∠C AC=∠A MA+∠C AC=90°，从而可证A M⊥AC ，从而证明AC ⊥平面A BM；
1 1 1 1 1 1 1 1
(3)当点N为BB 中点时，可证平面AC N⊥平面A A C C，设AC 中点为D，连结DM，DN，可证
1 1 1 1 1
BM//DN，由BM⊥平面 ACC A ，可证 DN⊥平面 ACC A ，即可证明平面 AC N⊥平面
1 1 1 1 1
ACC A ．
1 1
18.(本小题17分)
已知函数f (x)=
ax+b
是定义在(−1,1)上的奇函数，且f
(1)
=
2
．
1+x2 2 5
(1)确定函数f (x)的解析式；
(2)用定义证明f (x)在上(−1,1)是增函数：
(3)解关于x的不等式f (x−1)+f (x)<0．
ax+b
【答案】(1)解：函数f(x)= 是定义在(−1,1)上的奇函数，
1+x2
则f(0)=0，即有b=0，
1
a
1 2 2 2
且f( )= ，则 = ，解得，a=1，
2 5 1 5
1+
4经检验符合题意，
x
则函数f(x)的解析式：f(x)= (−1<x<1);
1+x2
(2)证明：任取−1<x <x <1，
1 2
则 f(x )−f(x )= x 1 − x 2 = (x 1 −x 2 )(1−x 1 x 2 )，
1 2 x2+1 x2+1 (x2+1)(x2+1)
1 2 1 2
由于 ，则 ， ， ，
−1<x <x <1 x −x <0 1+x2>0 1+x2>0
1 2 1 2 1 2
∵−1<x x <1，
1 2
∴1−x x >0，
1 2
∴f(x )−f(x )<0，
1 2
∴f(x)在(−1,1)上是增函数．
(3)解：由于奇函数f(x)在(−1,1)上是增函数，
则不等式f(x−1)+f(x)<0，
即为f(x−1)<−f(x)=f(−x)，
{−1<x−1<1
即有 −1<x<1 ,
x−1<−x
0<x<2
{
−1<x<1
解得
1
x<
2
1
则有0<x< ，
2
1
即等式f (x−1)+f (x)<0的解集为(0, ).
2
【解析】本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．
(1)由奇函数得f(0)=0，求得b，再由已知，得到方程，解出a，即可得到解析式；(2)运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
(3)运用奇偶性和单调性，得到不等式f(x−1)+f(x)<0即为f(x−1)<−f(x)=f(−x)，得到不等式组，
解出即可．
19.(本小题17分)
给定三棱锥Ω，设Ω的四个顶点到平面α的距离所构成的集合为M，若M中元素的个数为k，则称α为Ω的
k阶等距平面，称M为Ω的k阶等距集．
(1)若Ω为三棱锥A−BCD，满足AB=CD=AD=BC=4，AC=BD=2，求出Ω的1阶等距平面截该三棱
锥所得到的截面面积(求出其中的一个即可);
(2)如图所示，Ω是棱长为√2的正四面体ABCD．
(ⅰ)若α为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为{a}，求a的所有可能取值以及相对应的α的个数;
(ⅱ)已知β是Ω的4阶等距平面，点A与点B，C，D分别位于β两侧.是否存在β，使Ω的4阶等距集为
{b,2b,3b,4b}，其中点A到β的距离为b?若存在，求出β截Ω所得的平面多边形的最大边长;若不存在，
说明理由．
【答案】解：(1)如图，可将三棱锥A−BCD扩展成长方体AC BD −A CB D，
1 1 1 1{AC 2+CC 2=AC2=4
1 1 {AC =CC =√2
由 AC 2+BC 2=AB2=16，可得 1 1 ,
1 1 BC =√14
CC 2+BC 2=BC2=16 1
1 1
取AB、BC、CD、AD的中点分别为E、F、G、H，连接EF、FG、GH、EH，
可知EF//AC//GH，EH//BD//FG，
则四边形EFGH为平行四边形，
由AC//EF，AC⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，
可得AC//平面EFGH，同理可得BD//平面EFGH，
则点A、点C到平面EFGH的距离相等，点B、点D到平面EFGH的距离相等，
又线段AB的中点在平面EFGH上，
则点A、点B到平面EFGH的距离相等，
即三棱锥A−BCD的四个顶点到平面EFGH的距离相等，
可知平面EFGH是三棱锥A−BCD的一个1阶等距平面，
1 1
EF=GH= AC=1，EH=FG= BD=1，
2 2
又AC//B D ，B D ⊥BD，则AC⊥BD，
1 1 1 1
可得EF⊥EH，
则四边形EFGH的面积为1×1=1，
即Ω的一个1阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积为1．
(2)(ⅰ)如图①，当点A、B在平面α一侧，点C、D在平面α另一侧时，可知平面α过棱AC、BC、AD、BD的中点，
1 √2 1
此时a= × ×√2= ，
2 2 2
1
同理可知，当点A、C在平面α一侧，点B、D在平面α另一侧时，a= ，
2
1
当点A、D在平面α一侧，点B、C在平面α另一侧时，a= ，
2
1
综上可知，当a= 时，相对应的α有3个；
2
如图②，当点A与点B，C，D在平面α的两侧时，
可知此时平面α过棱AB、AC、AD的中点，
此时点A到平面α的距离等于点A到平面BCD距离的一半，
√6 2√3
而点A到平面BCD的距离为 ×√2= ，
3 3
1 2√3 √3
则a= × = ，
2 3 3√3
同理可知，当点B与点A，C，D在平面α的两侧时，a= ，
3
√3
当点C与点A，B，D在平面α的两侧时，a= ，
3
√3
当点D与点A，B，C在平面α的两侧时，a= ，
3
√3
综上可知，当a= 时，相对应的α有4个．
3
1 √3
由上可知，a= 或a= ，
2 3
1 √3
当a= 时，相对应的α有3个；当a= 时，相对应的α有4个．
2 3
(ⅱ)根据对称性，不妨设点B到平面β的距离为2b，点C到平面β的距离为3b，点D到β的距离为4b，
取线段AB上靠近点A的三等分点为M，线段AC上靠近点A的四等分点为N，线段AD上靠近点A的五等
分点为Q，连接MN，MQ，NQ，
则BM=2AM，CN=3AN，DQ=4AQ，
设点A到平面MNQ的距离为d，
则点B到平面MNQ的距离为2d，点C到平面MNQ的距离为3d，点D到平面MNQ的距离为4d，
因此平面MNQ即为Ω的4阶等距平面，且使得Ω的4阶等距集为{b,2b,3b,4b}，即存在满足条件的平面β，β截Ω的截面为三角形MNQ，
√2 √2 √2
AM= ，AN= ，AQ= ，
3 4 5
√26
由余弦定理可得MN=√AM2+AN2−2AM·AN·cos60°=
，
12
√38
MQ=√AM2+AQ2−2AM·AQ·cos60°=
，
15
√42
NQ=√AN2+AQ2−2AN·AQ·cos60°=
，
20
√26 √38 √42
因为 > > ，
12 15 20
√26
则三角形MNQ中最大边长为 ，
12
√26
故存在满足条件的β，且β截Ω所得的平面多边形的最大边长为 ．
12
【解析】本题考查了新定义问题，点到平面的距离，几何体的截面问题，属于难题．
(1)可将三棱锥A−BCD扩展成长方体AC BD −A CB D，取AB、BC、CD、AD的中点分别为E、
1 1 1 1
F、G、H，可推出平面EFGH是三棱锥A−BCD的一个1阶等距平面，求得四边形EFGH的面积即可；
(2)(ⅰ)当点A与点B，C，D在平面α的两侧时，结合图形可得到α的情况以及a，同理可推出相应的α个
数；当点A与点B，C，D在平面α的两侧时，结合图形可得到α的情况以及a，同理可推出相应的α个数；
(ⅱ)取线段AB上靠近点A的三等分点为M，线段AC上靠近点A的四等分点为N，线段AD上靠近点A的五
等分点为Q，连接MN，MQ，NQ，可推出平面MNQ即为Ω的4阶等距平面，且使得Ω的4阶等距集为
{b,2b,3b,4b}，再利用余弦定理求得三角形MNQ三边边长即可．
