文档内容
绝密★启用前
2024 年秋季学期新高二开学考数学试卷
考试范围：必修一、必修二； 考试时间：120分钟； 日期：2024年8月
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
5
1.复数 的共轭复数是( )
i−2
A. i+2 B. −2+i C. −2−i D. 2−i
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的运算与共轭复数，属于基础题．
首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部
变为相反数，得到要求的共轭复数．
5 5(−i−2)
【解答】解：∵复数 = =−2−i，
i−2 22−i2
∴共轭复数是−2+i，
故选：B．
2.命题“∀x∈R，sinx+1≥0”的否定是 ( )
A. ∃x∈R，sinx+1<0 B. ∀x∈R，sinx+1<0
C. ∃x∈R，sinx+1≥0 D. ∀x∈R，sinx+1≤0
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了命题的否定，属于基础题．破解含有量词的命题的否定需两步骤：一是把全称量词改为存在量词，或把存在量词改为全称量词;二是对
结论进行否定．
【解答】解：把全称量词改为存在量词，并否定结论，
则原命题的否定为“∃x∈R，sinx+1<0”，
故选A．
3.已知函数 {2x+m−1,x⩽0恰有两个零点，则 的取值范围为( )
f(x)= m
log x,x>0
5
A. (−1,+∞) B. (1,+∞) C. [1,+∞) D. [−1,+∞)
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了分段函数，函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．
当x>0时，f(x)显然有一个零点，要使函数f(x)恰有两个零点，则f(x)=2x+m−1(x≤0)必有一个零
点，结合f(x)=2x+m−1(x≤0)的单调性，列式可得结果．
【解答】
解：函数 {2x+m−1,x⩽0
f(x)= ,
log x,x>0
5
当x>0时，f(x)显然有一个零点，所以要使函数f(x)恰有两个零点，则f(x)=2x+m−1(x≤0)必有一
个零点，
又f(x)=2x+m−1在(−∞,0]上单调递增，
所以f(0)=m−1≥0，解得m≥1．
故本题选C．
π
4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|< )的图象(部分)如图所示，则f (x)的解析式
2
是( )( π) ( π)
A. f (x)=2sin x+ (x∈R) B. f (x)=2sin 2x+ (x∈R)
6 6
( π) ( π)
C. f (x)=2sin x+ (x∈R) D. f (x)=2sin 2x+ (x∈R)
3 3
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的图象和性质，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
根据图象求出A，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式．
【解答】
2π π
解：由图象可知T=4×( − )=2π，
3 6
2π 2π
∴ω= = =1，
T 2π
π
∵f(x)过最高点( ,2)，
6
π π π
∴A=2，sin( +φ)=1，即 +φ= +2kπ,k∈Z，
6 6 2
π
∵|φ|< ，
2
π
∴φ= ，
3
π
∴f(x)的解析式为f(x)=2sin(x+ )(x∈R)．
3
故选：C．5.从某地区抽取100户居民进行月用电量调查，发现用电量都在50至350kW⋅ℎ之间．将数据分组后得到
如表所示的频率分布表，估计此地区月均用电量的第80百分位数是( )
分
[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)[300,350]合计
组
频
0.12 0.18 0.30 0.25 0.10 0.05 1
率
A. 230 B. 235 C. 240 D. 245
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了频率分布表，百分位数，学生的数学运算能力，属于基础题．
利用百分位数的概念，即可解出．
【解答】
解：由频率分表可知，数据均匀分布，
0.8−0.12−0.18−0.3
所以第80百分位数是，200+50× =240，
0.25
故选：C．
6.为解决某校午餐路途拥挤问题，计划修建从教学楼直达食堂的空中走廊.现结合以下设计草图提出问题：
已知A，D两点分别代表食堂与教学楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得
∠CAD=15∘，∠CBD=45∘，AB=50m，CD=25m.设∠DAE=θ，则cosθ=( )
√6−√2 √3
A. B. √2√3−3 C. √3−1 D.
4 2【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查解三角形的实际应用，属于中档题．
因为θ+∠ADE=90°，则cosθ=cos(90°−∠ADE)=sin∠ADE=sin∠BDC，再结合三角形BCD求
解即可．
【解答】
解：在△ABC中，因为∠CAD=15∘，∠CBD=45∘，
所以∠CBA=135∘，∠ACB=30∘．
BC AB
由正弦定理得 = ，
sin∠BAC sin∠ACB
ABsin∠BAC 50×sin15∘
BC= = =25(√6−√2).
sin∠ACB sin30∘
BC CD
在△BCD中，由正弦定理得 = ，
sin∠BDC sin∠CBD
√2
25(√6−√2)×
所以 BCsin∠CBD 2 ．
sin∠BDC= = =√3−1
CD 25
因为θ+∠ADE=90∘，
所以 ．
cosθ=cos(90∘−∠ADE)=sin∠ADE=sin∠BDC=√3−1
7.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．则下
列说法：①a=0.03；②若抽取100人，则平均用时一定为13.75小时；③若从每周使用时间在
[15,20),[20,25)，[25,30]三组内的学生中用比例分配的分层随机抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使
用时间在[20,25)内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③【答案】B
【解析】【分析】
本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用频率和为1判断①；根据平均数的计算判断②；利用分层抽样的性质判断③。
【解答】
解：由频率分布直方图得：
对于①，(0.02+0.04+0.06+0.04+a+0.01)×5=1，解得a=0.03，故①正确；
对 于 ②， 根 据 频 率 分 布 直 方 图 可 估 计 出 平 均 值 为
(0.02×2.5+0.04×7.5+0.06×12.5+0.04×17.5+0.03×22.5+0.01×27.5)×5=13.75，
所以估计抽取100人的平均用时为13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；
对于③，从每周使用时间在[15,20)，[20,25)，[25,30)三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行
访谈，
0.03
则应从使用时间在[20,25)内的学生中选取的人数为：8× =3，故③正确．
0.04+0.03+0.01
8.已知正四棱锥(底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥)P−ABCD的底
π
面正方形边长为2，其内切球O的表面积为 ，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足OQ=OP，则动点Q
3
形成轨迹的周长为( )
2π 3π 4π 5π
A. B. C. D.
11 11 11 11
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了正四棱锥内切球，与圆有关的轨迹问题，属于中档题．
√3
先求出球O的半径R= ，连接AC与BD，设交点为F，取AD的中点E，连接PE，PF，EF，根据等体
6
13 4√3 2 2
积法得PE= ，PF= ，在Rt△OFQ中，QF= ，点Q在以点F为圆心， 为半径的圆上，求其
11 11 11 11
周长即可．
【解答】π √3
解：设内切球O的半径为R，则4πR2= ，∴R= ，
3 6
如图，连接AC与BD，设交点为F，取AD的中点E，连接PE，PF，EF，
1 1
根据等体积法得 (S +4S )R= ×AB2×PF，
3 ABCD △PAB 3
1 1 √3 4
∴ (4+4× ×2×PE)× = ×PF，整理得1+PE=2√3PF，
3 2 6 3
13 4√3
又PE2−PF2=1，解得PE= ，PF= ，
11 11
√3 13√3 13√3
∴OF= ，OP= ，OQ=OP= ，
6 66 66
√ 13√3 √3 2
在Rt△OFQ中，QF= ( ) 2−( ) 2= ，
66 6 11
2 2 4
∴点Q在以点F为圆心， 为半径的圆上，其周长为2π× = π．
11 11 11
故选C．二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在三棱柱ABC−A B C 中，AB=√3A A =2√3，△ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接
1 1 1 1
球的球心，则下列命题正确的有( )
A. A A ⊥平面ABC
1
π
B. 异面直线B C与A A 所成角的大小是
1 1 6
C. 球O的表面积是20π
√13
D. 点O到平面AB C的距离是
1 13
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查棱柱的切接问题，棱柱的结构特征，异面直线所成的角，点到平面的距离，具有一定的综合性．
【解答】解：如图，因为球O是三棱柱ABC−A B C 的外接球，所以该三棱柱为直三棱柱，即A A ⊥
1 1 1 1
平面 ABC，则 A 正确.因为 A A //CC ，所以∠B CC 是异面直线B C与 A A 所成的角.因为
1 1 1 1 1 1
B C AB π
AB=√3A A =2√3，所以tan∠B CC = 1 1= =√3，所以∠B CC = ，则B错误．
1 1 1 CC A A 1 1 3
1 1
2
设△A B C 外接圆的圆心为O ，连接OO ，O C ，OC ，由题意可得O C = ×√12−3=2，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31
OO = A A =1，则球O的半径R=OC =√5，从而球O的表面积是4πR2=4π×(√5) 2=20π，故C正
1 2 1 1
确．
√16−3 √13
设△AB C外接圆的半径为r，由题意可得AB =B C=√12+4=4，则sin∠B AC= = .由
1 1 1 1 4 4
4 8√13
r= = √ 64 √13
正弦定理可得 √13 13 ，则点O到平面AB C的距离d=√R2−r2= 5− = ，故D正确．
2× 1 13 13
4
10.已知O为坐标原点，点P (cosα,sinα)，P (cosβ,−sinβ)，P (cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，
1 2 3
则( )
A. B.
|OP |=|OP | |AP |=|AP |
1 2 1 2
C. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ D. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
OA·OP =OP ·OP OA·OP =OP ·OP
3 1 2 1 2 3
【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查平面向量数量积的坐标运算，向量模的坐标表示，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．
根据平面向量的坐标运算结合三角函数公式进行化简逐个判断即可．
【解答】解 ： ⃗OA=(1,0) ，
O
⃗
P =(cosα,sinα)
，
O
⃗
P =(cosβ,−sinβ)
，
O
⃗
P =(cos(α+β),sin(α+β))
，
1 2 3
⃗ ， ⃗ ，
AP =(cosα−1,sinα) AP =(cosβ−1,−sinβ)
1 2
对于
A
，
|O
⃗
P |=√cos2α+sin2α=1
，
|O
⃗
P |=√cos2β+(−sinβ) 2=1
，A正确；
1 2
对于 ， ⃗ ，
B |AP |=√(cosα−1) 2+sin2α=√2−2cosα
1
⃗ ，
|AP |=√(cosβ−1) 2+(−sinβ) 2=√2−2cosβ
2
因为
cosα,cosβ
不一定相等，所以
|A
⃗
P |
，
|A
⃗
P |
不一定相等，B错误；
1 2
对于 ， ⃗ ⃗ ；
C OA·OP =cos(α+β)
3
⃗ ⃗ ，C正确；
OP ⋅OP =cosαcosβ+sinα(−sinβ)=cos(α+β)
1 2
对于
D
，
O
⃗
A·O
⃗
P =cosα
，
O
⃗
P ⋅O
⃗
P =cosβcos(α+β)+(−sinβ)sin(α+β)=cos(α+2β)
，
1 2 3
⃗ ⃗ 与 ⃗ ⃗ 不一定相等，D错误．
OA·OP OP ·OP
1 2 3
故选：AC．
11.如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量
各箱水产品产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，下列说法正确的是( )
A. 新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值
B. 新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值
C. 新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值
D. 新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍
【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力．
利用频率分布直方图的性质结合选项进行计算，得出正确结论．
【解答】
解：对于A，旧养殖法的平均数x =27.5×0.06+32.5×0.07+37.5×0.12+42.5×0.17
旧
+47.5×0.2+52.5×0.16+57.5×0.1+62.5×0.06+67.5×0.06=47.1
所 以
s2 =(27.5−47.1) 2×0.06+(32.5−47.1) 2×0.07+(37.5−47.1) 2×0.12+(42.5−47.1) 2×0.17+(47.5−47.1) 2×0.2+(52.5−47.1) 2×0.16+(57.5−47.1) 2×0.1+(62.5−47.1) 2×0.06+(67.5−47.1) 2×0.06=107.34
旧
新 养 殖 法 的 平 均 数
x =37.5×0.02+42.5×0.1+47.5×0.22+52.5×0.34+57.5×0.23+62.5×0.05+67.5×0.04=52.35
新
所 以
s2 =(37.5−52.35) 2×0.02+(42.5−52.35) 2×0.1+(47.5−52.35) 2×0.22+(52.5−52.35) 2×0.34+(57.5−52.35) 2×0.23+(62.5−52.35) 2×0.05+(67.5−52.35) 2×0.04=39.7275
新
因为 ，
s 2 0，
y x
则t2=6t+10+3( + )，
x y
y x
则3( + )=t2−6t−10，
x y
y x √ y x
而 + ⩾2 · =2，
x y x y
y x
当且仅当 = 时等号成立，
x y
y x y x
所以3( + )=t2−6t−10⩾6，当且仅当 = 时等号成立，
x y x y
y x
即t2−6t−16⩾0，当且仅当 = 时等号成立，
x y
解得t⩾8，或t⩽−2(负值舍去)，
所以t⩾8，
y x
即x+3 y⩾8，当且仅当 = 时，即x= y=2时等号成立，
x y即x+3 y的最小值为8．
14.据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考
科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这
三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件E=“选择生物学科”，F=“选择一门理科学科”，G=
“选择政治学科”，H=“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论：
①G和H是互斥事件但不是对立事件；
②F和H是互斥事件也是对立事件；
③P(F)+P(G)=1；
④P(E∪H)=P(E)+P(H)．
其中，正确结论的序号是 .(请把你认为正确结论的序号都写上)
【答案】②④
【解析】【分析】
本题考查互斥事件，对立事件，属于基础题．
根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可．
【解答】
解：事件H= “选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”，“选择历史学科”，“选择地理学科”，
所以事件 G= “选择政治学科”，包含于事件 H ，
故事件G,H 可以同时发生，不是互斥事件，故①不正确；
事件F=“选择一门理科学科”，与事件H= “选择一门文科学科”，
不能同时发生，且必有一个事件发生，故 F 和 H 是互斥事件，也是对立事件，故②正确；
2 1 3
由题意可知 P(F)= ,P(G)= ，所以 P(F)+P(G)= ≠1 ，故③不正确；
5 5 5
事件E=“选择生物学科”，与事件H=“选择一门文科学科”，
不能同时发生，故 E 和 H 是互斥事件，所以P(E∪H)=P(E)+P(H) ，故④正确．
故答案为：②④．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2B+cos2C−cos2A=1−2sinBsinC．
(1)求A；(2)若a=4，求▵ABC面积的最大值．
【答案】解：(1)由已知得1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A=1−2sinBsinC，
即sin2A−sin2B−sin2C=−sinBsinC，
由正弦边角关系得a2−b2−c2=−bc，
b2+c2−a2 1
由余弦定理得cosA= = ，
2bc 2
又00 1+x2>0
1 2 1 2 1 2
∵−10，
1 2
∴f(x )−f(x )<0，
1 2
∴f(x)在(−1,1)上是增函数．
(3)解：由于奇函数f(x)在(−1,1)上是增函数，
则不等式f(x−1)+f(x)<0，
即为f(x−1)<−f(x)=f(−x)，
{−1 > ，
12 15 20
√26
则三角形MNQ中最大边长为 ，
12
√26
故存在满足条件的β，且β截Ω所得的平面多边形的最大边长为 ．
12
【解析】本题考查了新定义问题，点到平面的距离，几何体的截面问题，属于难题．
(1)可将三棱锥A−BCD扩展成长方体AC BD −A CB D，取AB、BC、CD、AD的中点分别为E、
1 1 1 1
F、G、H，可推出平面EFGH是三棱锥A−BCD的一个1阶等距平面，求得四边形EFGH的面积即可；
(2)(ⅰ)当点A与点B，C，D在平面α的两侧时，结合图形可得到α的情况以及a，同理可推出相应的α个
数；当点A与点B，C，D在平面α的两侧时，结合图形可得到α的情况以及a，同理可推出相应的α个数；
(ⅱ)取线段AB上靠近点A的三等分点为M，线段AC上靠近点A的四等分点为N，线段AD上靠近点A的五
等分点为Q，连接MN，MQ，NQ，可推出平面MNQ即为Ω的4阶等距平面，且使得Ω的4阶等距集为
{b,2b,3b,4b}，再利用余弦定理求得三角形MNQ三边边长即可．
