文档内容
浙东北联盟（ZDB）2025/2026 学年第一学期期中联考
高一年级数学学科试题
命题：平湖中学 张天雄 高玉良 审稿：德清高级中学 王云伟
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，集合 ，集合 ，
所以 .
故选：B
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】依据全称命题的否定规则，将量词替换并否定结论.
【详解】全称命题的否定是特称命题，需将全称量词“∀”换为存在量词“∃”，并对结论“ ”取否定“ ”，变量范围“ ”保持不变.
所以命题“ ， ”的否定是： ， .
故选：B
3. 下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】逐个选项判断奇偶性与 上的单调性即可.
【详解】A选项， 为偶函数，在 上单调递减；
B选项， 为奇函数，在 上单调递增；
C选项， 为偶函数，在 上单调递增；
D选项， 为奇函数，在 上单调递减；
故选：A.
4. 下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】通过分析每组函数的定义域和对应法则，判断是否为相同函数.
【详解】选项A： 与 对应法则不同，不是相同函数.
选项B： 与 对应法则不同，不是相同函数.
选项C： 定义域为 ， 定义域为 ，定义域不同，不是相同函数.选项D： ，与 定义域均为 ，对应法则相同，是相同函数.
故选：D
5. 嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之
王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若
每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（ ）
A. 440元 B. 450元 C. 460元 D. 470元
【答案】B
【解析】
【分析】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值.
【详解】设每个肉粽的售价提高 元，则售价为 元，日销售量为 个.
收入 .
因为二次函数 开口向下，当 时， 取得最大值.
此时最大收入为 元.
故选：B
6. 关于 的不等式“ ”是“ ”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】先解分式不等式，再根据必要不充分条件的判定判断即可．
【详解】由 ，即 ，
即 ，解得 ，所以“ ”是“ ”成立的必要不充分条件．
故选：C．
7. 已知函数 对任意的 ， ，且 ，满足
，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析分段函数各段的单调性及分段点处的函数值关系，求出 的取值范围.
【详解】依题意，对任意的 ， ，且 ，满足 ，
所以函数在 上单调递增，
需满足：
当 时， 单调递增，故对称轴 ；
当 时， 单调递增，故 ，即 ；
分段点处 ，解得 .
综上， 的取值范围为 .
故选：C
8. 已知 ， ， ，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为1【答案】D
【解析】
【分析】根据 可判断AB，令 ， ，得到 ，再根
据 即可判断CD．
【详解】解： （当且仅当 时取等），
令 ，则 ，则 ，所以 ；
令 ， ，
则 ，
（当且仅当 ，即 ， 时取等）．
故选：D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若 ，由不等式的性质可知 ，A选项正确.
B选项，若 ，当 时， ，所以B选项错误.
.
C选项，若 ，则 ，C选项正确D选项，若 ，则 ，D选项错误.
故选：AC
10. 定义 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，
B. 若方程 有两个不相等的实数根，则
C. 若方程 有两个不相等的实数根，则
D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【详解】当 时， ，
对于A，画出 与 的图象如下图所示，
所以 ，A选项正确，
画出 的图象如下图所示，对于B选项，方程 ，即 有两个不相等的实数根，
由图可知 的取值范围是 ，所以B选项正确.
对于C选项，方程 ，即 ，
可得 或 ，
当 时， 或 ，
由图可知 无解， 有唯一解，
也即 时，方程 有唯一解，所以C选项错误.
对于D选项，结合图象以及凸函数的性质可知， 在 和 上，
均满足 （ ），所以D正确.
故选：ABD
11. 已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，
的值域为 ，且 ．则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的值域为
C. 在 上单调递增 D. 的解集是
【答案】ACD【解析】
【分析】应用赋值法计算判断A，应用换元法计算判断值域判断B，应用单调性定义计算判断C，结合单
调性计算求解判断D.
【详解】令 ， ，得 ，
又 ，所以 ，故选项A正确；
令 ，得 ，
所以 ，当 时， ，
得 ，此时 ，所以 的值域为 ，故选项B错误；
，有 ， ，
所以
，
即 ，所以 在 上单调递增，故选项C正确；
若 ，又 ，则 ，
由题可知 ，
又 在 上单调递增，得 ，
由函数 在 上单调递增，所以 ，故选项D正确．
故选：ACD.
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若集合 ，则集合 的真子集有______个．
【答案】7
【解析】
【分析】若集合有n个元素，则集合的真子集的个数为 .
【详解】集合 有3个元素，则真子集的个数为 个，
故答案为：7.
13. 已知幂函数 为定义在 上的增函数，则 ______．
【答案】8
【解析】
【分析】先根据幂函数定义求 ，再结合单调性确定 的值，最后计算 .
【详解】由幂函数定义， ，解得 或 .
当 时，指数 ， ，在 上是增函数，符合条件；
当 时，指数 ， ，定义域为 ，不符合.
故 ， .
故答案为：
14. 已知定义在 上的单调函数 满足 ，若方程
有2个不相等的实数根，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由单调性求出 解析式， 转化为 与 图
像有两个交点，数形结合求 的取值范围即可.【详解】由题意设 ，则 ，
因为函数 ， ， 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
当 时， ，
所以 ，
则 ，
设 ，则 与 的图象有2个交点．
因为 在 单调递增且 ，
所以当 时， ，则不会有两个交点；
当 时 ， 在 单 调 递 增 ， 在 单 调 递 减 ， 且 ， 可 得
，
所以 ．
故答案为： .四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 . 已知函数
（1）求 ， 的值；
（2）若 ，求实数 的值．
【答案】（1） ，
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据分段函数直接代入求值即可；
（2）由 ，再分 ， 代入解方程即可．
【小问1详解】
因为 ，
所以 ， ；
【小问2详解】
当 时， ，解得 或 （舍），
当 时， ，解得 ，
综上所述， 或 ．
16. （1）计算： ；（2）已知集合 ， ，若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）3 ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据幂指数运算，直接求解即可；
（2）由 ，得到 ，再分 和 两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）原式 ．
（2）由题知 ，
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 解得 ，
综上所述 ．
17. 已知定义在 上的函数 为奇函数，且 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）用定义证明：函数 在 上的单调性；
（3）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）解法一、根据 代入求解即可；解法二、根据
求解即可；（2）利用函数的单调性的定义，判断 的正负情况，即可得出结果；
（3）根据函数为奇函数，则 ，再结合定义域和单调性可得 即可．
【小问1详解】
解法一：由
可知 ， ，即 ．
解法二：由
可知 ， ，即 ．
【小问2详解】
任取 ，
则 ，
因为 且 ，可知 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增．
【小问3详解】
，
又函数 在 上单调递增，则
所以 ．
18. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）当 时，解关于 的不等式 ；
（3）设函数 ，且函数 的图象关于直线 对称，试求函数 的最大值．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）对二次函数配方，得到顶点式即可求解；
（2）当 ，再分 、 、 三种情况讨论二次不等式的解集即可；
（3）根据对称性得到 ，解法一：利用换元法变成可配对使用平方差公
式整理得到后使用基本不等式求解；解法二：直接配对结合后根据利用基本不等式求解．
【小问1详解】
，
则 ，所以函数 的值域是 ；
【小问2详解】
由题可知 ， ．①当 ，即 或 时， 或 ；
②当 ， ，当 时， ，当 时， ；
③当 ，即 时， ．
综上，当 或 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
【小问3详解】
，易知 ， 是 的两根，
由函数 的图象关于直线 对称，可知 、 也是 的两根，
故 ，
解法一：令 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等．
解法二： ，
当且仅当 ，即 时取等．
19. 已知函数 ．
（1）判断并证明函数 的奇偶性；（2）设函数 ，若对 都有 ，求 的最大值；
（3）设函数 若对 ，均 ，使得 成立，
求实数 的取值范围．
【答案】（1）函数 为偶函数，证明见解析
（2）4 （3）
【解析】
【分析】（1）应用偶函数定义证明即可；
（2）先换元设 ，解法一：分 和 结合二次函数性质计算求解；解法二：
参数分类结合最值计算求解
（3）先构造 （ ）， （ ），再根据值域间关系，分类讨论结合指
数函数单调性计算求参.
【小问1详解】
函数 为偶函数，
由题知函数 的定义域 关于原点对称，
且 ，所以函数 为偶函数．
【小问2详解】
，
令 ，则 （ ），
解法一：①当对称轴 ，即 时，，即 （舍去）；
②当对称轴 时，即 时， 满足题意，则 ．
综上所述， 最大值为4．
解法二： 对任意 恒成立，
即 ，由 ，则 ，
所以 最大值为4．
【小问3详解】
，
记 （ ）， （ ），
由题意可知， 的值域是 的值域的子集．
①当 时， 且 ，舍去；
②当 时， 且 ，舍去；
当 时， 在 单调递增，在 单调递减，
在 单调递减，则 ，③当 时， ， 成立；
④当 时， ， ，不满足题意，舍去；
⑤当 时， ， ，则 ，
由 在单调递减，且当 时， ，即该情况无解．
