文档内容
湖南高一年级阶段考试数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第二章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的并集定义即得.
【详解】因为 ，
所以 ．
故选：A.
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即可得到.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题．所以命题“ ”的否定是： .
故选：D.
3. 已知正数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，借助基本不等式建立不等式，再求解不等式即得
【详解】 ，
，
，当且仅当 时，等号成立．
的最大值为 .
故选：C.
4. 某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，
以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过 年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可.
【详解】由题意，经过n年后，方案二的总投资为 万元，
则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为 .
故选：B
5. 若 ，则（ ）A. B.
C. D. 的大小关系不确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用作差法即可比较大小.
【详解】因为 ，
所以 ．
故选：B.
6. “ ”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. 0
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】解分式不等式，再根据充分不必要条件的定义和集合间的包含关系判断可得答案.
【详解】 等价于 ，
解不等式 ，得 或 ．
因为“ ”可以推出“ 或 ”，但“ 或 ”不能推出“ ”，
所以“ ”是“ -1”的一个充分不必要条件．
故选：A.
7. 已知 .不等式 对于任意满足已知条件的实数 恒成立，则 的最
大值为（ ）A. 18 B. 21 C. 24 D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】先分离参数，再利用“1的妙用”求最值即可.
【 详 解 】 不 等 式 等 价 于
，当且仅当 时，等号成立，所以 ．
故选：D.
8. 某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共 52名学生，每人至少报了上述培
训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课
又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又
报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（ ）
.
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用韦恩图来求解即可.
【 详 解 】 设 同 时 报 了 羽 毛 球 、 乒 乓 球 、 篮 球 培 训 课 的 学 生 人 数 是 ． 由 图 可 知
，解得 ．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若 ，则（ ）A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用不等式的性质进行推理即可逐一判断各选项.
【详解】对于A，因为 ，则 ，不等式两边同除以 ，可得 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，但是不能确定 与 的大小关系，故B错误；
对于C，因为 表示数轴上坐标为 的两点之间的距离， 表示数轴上坐标为 的两点之间的距
离，
又 ，所以 ，故C正确；
对于D，由 可得 ，所以 ，故D错误．
故选：AC.
10. 对于二次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A. 不存在实数 ，使得
B. 关于 的方程 有一个正根和一个负根
C. 该函数的图象与 轴交于负半轴
D. 若当 时， 随着 的增大而增大，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，举反例即可排除；对于B，由根的判别式和韦达定理即可判断；对于C，由函数图象经
过点 即可说明；对于D，根据二次函数的图象的开口与对称轴、单调性即得.
【详解】对于A，当 时， ，故A错误．对于B，因 的判别式 ，则方程有两个不等实根；
设两根为 ，因 ，所以 必一正一负，故B正确；
对于C，令 ，得 ，即函数图象与 轴交于点 ，故C正确；
对于D，该抛物线开口向上，对称轴为 ，由题意需使 ，得 ，故D错误．
故选：BC.
11. 已知 为三个互不相等的正整数，命题 ，命题 ，命题 ．若
只需满足三个命题 中仅有两个是真命题，则 ．若 ，
则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】分情况讨论集合A中元素的特征，结合 ，分析得出 的
大小关系，最后逐一分析选项.
【详解】依题意可得当 或 或 时， ．
因为 ，所以 满足 或 或 ．
因为 ，所以 满足 或 或 ，
则c满足 或 或 或 ，
所以 ， ， ， ．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知全集 ，集合 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据交集、补集的定义计算即可.
【详解】因为 ，所以 ．
13. 已知一元二次方程 的一个根为 ，且 ，则 ______．
【答案】3
【解析】
【分析】将 代入方程并化简得 ，与 联立即可求解.
【详解】因为 是一元二次方程 的一个根，
所以 ，即 ，将 代入方程 ，解得 ．
故答案为：3
14. 已知正数 满足 ，则 的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知将 变形得到 ，进而得 ，再将
变形并利用基本不等式求得其最小值即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，从而 ．
又 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，当且仅当 时，等号成立．
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假．
（1）有些奇数是合数；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）至少有一个数能被3和5整除；
（4）所有的反比例函数的图象都是中心对称图象．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析 （3）答案见解析
（4）答案见解析
【解析】
【分析】根据命题中的量词确定其命题性质，再逐一判断命题真假.
【详解】对于（1），因为“有些”是存在量词，所以“有些奇数是合数”是存在量词命题，
比如，9是奇数也是合数，所以该命题是真命题；
对于（2），因为“任何”是全称量词，所以“任何实数都有算术平方根”是全称量词命题.
比如， 是实数，但 没有算术平方根，所以该命题是假命题；
对于（3），因为“至少有一个”是存在量词，所以“至少有一个数能被3和5整除”是存在量词命题．
比如，15能被3和5整除，所以该命题是真命题；
对于（4），因为“所有的”是全称量词，所以“所有的反比例函数的图象都是中心对称图象”是全称量
词命题.
因反比例函数的解析式形如 ，其图象关于坐标原点中心对称，故该命题是真命题.16. （1）已知 ，证明： ．
为
（2）已知 均 正数，证明： ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先利用不等式的乘法法则得 ，然后利用不等式的加法法则证明即可；
（2）结合不等式的加法法则，利用基本不等式证明即可.
【详解】（1）因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立.
同理 ，当且仅当 时，等号成立，
，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
17. 如图， 是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形 的顶点 分别在 上，
且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点 修一条小路 ，其中点
在 小 路 上 ， 点 在 小 路 上 ， 并 在 区 域 内 种 满 荷 花 ． 已 知
，记 的面积为 ．（1）设 ，试用 表示 ，并求 的取值范围．
（2）当 的长度为多少时， 取得最小值？最小值是多少？
【答案】（1） ；
（2）当 时，S取得最小值，为2000 .
【解析】
【分析】（1）利用三角形相似，根据相似比得 ，再由 及其范围列不等式
求 范围；
（2）根据已知有 ，应用基本不等式求最小值，并确
定取值条件，即可得.
【小问1详解】
依题意，得 ，所以 ，即 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ，解得 ；
【小问2详解】
由 ，
所以 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故 时，S取得最小值，为2000 .
18. 已知二次函数 ．
（1）若函数 与函数 的图象相交于 两点，且 点的横坐标为
点的横坐标为4，求 的值；
（2）在（1）的条件下，求关于 的不等式 的解集；
（3）求关于 的不等式 的解集．
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，代入 求解可求得答案；
（2）将（1）中 的值代入不等式 ，求解即得；
（3）不等式 可化为 ，通过按 与 的大小关系分类来
解含参不等式即得.
【小问1详解】
由点 在函数 的图象上，且 点的横坐标为 点的横坐标为4，可知 .
把 两点的坐标代入 ，
得 解得
【小问2详解】
由（1）知 ，不等式 即 ，
所以 ，
解得 ，
所以 的解集为 .
【小问3详解】
由 得 ，
即 ，
当 ，即 时，不等式 的解集为 ；
当 ，即 时，不等式 解的集为 或 1}；
当 ，即 时，不等式 的解集为 或 .
故当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 .
19. 已知至少含两个元素的集合 是 的子集，若对于 中的任意两个元素 ，都有 （
是正整数），则称集合 具有性质 ．（1）试判断集合 和 是否具有性质 ，并说明理由．
（2）若集合 ，证明： 不可能具有性质 ．
（3）若集合 ，且 具有性质 和 ，求 中元素个数的最大值．
【答案】（1）集合 不具有性质 ，集合 具有性质 ，理由见解析
（2）证明见解析 （3）115.
【解析】
【分析】（1）根据定义判断 、 是否具有性质即可；
的
（2）将集合中 元素分为9个集合，进行求解即可；
（3）先说明连续13项中集合A中最多选取6项，然后求出集合A中共有115个元素，即可.
【小问1详解】
对于集合 ，因为 ，所以集合 不具有性质 .
对于集合 ，因为 ，所以集合 具有性质 .
【小问2详解】
证 明 ： 将 集 合 中 的 元 素 分 为 如 下 9 个 集 合 ： ，
.
从集合 中取10个元素，则前8个集合至少要选9个元素，
所以必有2个元素取自前8个集合中的同一集合，即存在2个元素，其差的绝对值为3，所以 不可能具
有性质 .
【小问3详解】
先说明连续 13 项中集合 中元素的个数最多选取 6 项，以 为例，构造集合
.①6，7，8都选上，因为具有性质 和 ，所以选6则不选1和11，选7则不选2和12，选8则不
选3和13，另外4，9不能同时取，5，10不能同时取，所以选取的集合中的元素为 4，5，6，7，8，故
中属于集合 中的元素个数为5.
②6，7，8中选2个，若只选6，7，则1，2，11，12，8不可取，5，13中只能取1个，4，9不能同时取，
5，10不能同时取，比如取3，4，6，7，10，13，故 中属于集合 中的元素不超过6个．
若只选7，8，则2，3，12，13，6不可取，1，9中只能取1个，4，9不能同时取，5，10不能同时取，比
如取1，4，5，7，8，11，故 中属于集合 中的元素不超过6个．
若只选6，8，同理，比如取2，5，6，8，9，12，故 中属于集合 中的元素不超过6个.
③6，7，8中只选1个，又5个集合 中每个集合至多选1个元素，所以
的
中属于集合 中 元素不超过6个.
由①②③可知，连续13项正整数中属于集合 中的元素至多只有6个，比如取1，4，5，7，8，11．
因为 ，所以把每13个连续正整数分组，前19组每组至多选取6项，给出如下选取方法：
从 中选取1，4，5，7，8，11，然后在这6个数的基础上每次累加13，构造19次，此时集合
中的元素为 ， ．共 个元
素．经检验可得该集合符合要求，故集合 中元素个数的最大值为115.
