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2024-2025 学年
东北师大附中 高一年级数学科试卷
上学期阶段性考试
考试时长：90分钟 试卷总分：120分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求．）
1. 下列元素的全体可以组成集合的是（ ）
A. 人口密度大的国家 B. 所有美丽的城市
的
C. 地球上 四大洋 D. 优秀的高中生
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的确定性，互异性和无序性即可得出结论.
【详解】由题意，
选项ABD，都不满足集合元素的确定性，选项C的元素是确定的，可以组成集合.
故选：C.
2. 若全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图中阴影部分表示 求解即可.
【详解】由题知：图中阴影部分表示 ，
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学科网（北京）股份有限公司，则 .
故选：A
3. 命题“ ， ”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接写出结论即可.
【详解】命题“ ， ”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此命题“ ， ”的否定是 ， .
故选：A
4. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解出集合 ，再利用交集含义即可.
【详解】 或 ，
，
则 .
故选：D.
5. 若 ， ，则下列不等式正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对BD举反例即可，对AC根据不等式性质即可判断.
【详解】对A，因为 ，则 ，故A错误；
对B，当 时，则 ，故B错误；
对C，因为 ，则 ，故C正确；
对D，当 时，则 ，故D错误.
故选：C.
6. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解出不等式 ，根据充分不必要条件的判定即可得到答案.
【详解】 ，解得 或 ，
则“ ”可以推出“ ”，但“ ”无法推出“ ”，
则“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 关于 的一元二次方程 有实数根 ，且 ，则下列结论中错误的说法是（
）
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学科网（北京）股份有限公司A. 当 时， ， B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可.
【详解】对于A，当 时，方程 的二实根为 ，A正确；
对于B，方程 ，即 ， ，解得 ，
当 时， ，B错误；
对于C，令 ，依题意， 是函数 的图象与直线 交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数 的图象与直线 ，如图，
观察图象知，当 时， ，C正确；
对于D，当 时， ，D正确.
故选：B
8. 已知 表示不超过x的最大整数，集合 ， ，
且 ，则集合B的子集个数为（ ）．
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】由新定义及集合的概念可化简集合 ，再由 可知 ，分类讨论
的归属，从而得到集合 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合 的子集的个数.
【详解】由题设可知， ，
又因为 ，所以 ，
而 ，
因为 的解为 或 ， 的两根 满足 ，
所以 分属方程 与 的根，
若 是 的根， 是 的根，则有 ，解得 ，
代入 与 ，解得 或 与 或 ，
故 ；
若 是 的根， 是 的根，则有 ，解得 ，
代入 与 ，解得 或 与 或 ，
故 ；
所以不管 如何归属方程 与 ，集合 总是有4个元素，
故由子集个数公式可得集合 的子集的个数为 .
故选：C
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
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学科网（北京）股份有限公司9. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则（ ）
A. B. 不等式 的解集是
C. D. 不等式 的解集为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解集用 表示 ，再逐项分析判断即得.
【详解】对于A，由不等式 的解集为 ，得 是方程 的两个根，且
，A错误；
对于B， ，则 ，
不等式 ，即 ，解得 ，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D，不等式 ，即 ，整理得 ，解得 或 ，D
错误.
故选：BC
10. 已知 都是正数，且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为1 B. 的最小值为2
C. 的最小值为2 D. 的最小值为1
【答案】ACD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据给定条件，借助基本不等式及“1”的妙用逐项计算判断即得.
【详解】对于A，由 ， ，得 ，当且仅当 时取等号，A正
确；
对于B， ，当且仅当 时取等号，B错误；
对于C， ，
当且仅当 时取等号，C正确；
对于D，
，当且仅当 ，即 时取等号，D正确.
故选：ACD
11. 用 表示非空集合 中元素的个数，定义 ，已知集合
，则下面正确结论正确的是（ ）
A. ，
B. ，
C. “ ”是“ ”的充分不必要条件
.
D 若 ，则
【答案】AC
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据集合新定义，结合一元二次方程，逐项分析判断即可.
【详解】对于A，当 时， ，此时 ，A正确；
对于B，当 时， ，此时 ，B错误；
对于C，当 时， ，则 ，而 ， ，因此 ；
当 时，而 ，则 或 ，若 ，满足 ，解得 ；
若 ，则方程 的两个根 都不是方程 的根，
且 ，解得 ，因此“ ”是“ ”的充分不必要条件，C正确；
对于D，由 ，而 ，得 或 ，由C知： 或 ，
因此 ， ，D错误.
故选：AC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用交集的定义，结合集合的包含关系求解即得.
【详解】由 ，得 ，而 ， ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
为
故答案 ：
13. 若一个直角三角形的斜边长等于 ，当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为______．
【答案】18
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由题意画出图形，结合勾股定理并通过分析得知当 最大值，这个
直角三角形周长取最大值，根据基本不等式的取等条件即可求解.
【详解】如图所示：
在 中， ，
而直角三角形周长 ，
由勾股定理可知 ，
若要使 最大，
只需 即 最大即可，
又 ，等号成立当且仅当 ，
所以 ， ， ，
等号成立当且仅当 ，
此时，其面积为 .
故答案为：18.
的
14. 若不等式 对 恒成立，则实数 取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据主元法得 对 恒成立，再利用一次函数性质即可得到答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由不等式 对 恒成立，
得 对 恒成立，
令 ，得 ，
解得 ，
∴实数x的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题（本题共3小题，共47分）
15. 设集合 ， ， ．
（1） ，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求 的取值范围．
【答案】（1） 或
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；
（2）依题意可得 ，讨论集合 是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果.
【小问1详解】
当 时，可得 ，
故可得 或 ，而 ，
所以 或 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由“ ”是“ ”的充分不必要条件可得 ；
当 时， ，解得 ，符合题意；
当 时，需满足 ，且 和 中的等号不能同时取得，
解得 ；
综上可得，m的取值范围为 或 .
16. （1）已知 ，求 的最大值；
（2）已知 ， ，且 ，求 的最小值；
（3）解关于 的不等式 （其中 ）．
【答案】（1） ；（2） ；（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）化简得 ，再利用基本不等式即可；
（2）利用基本不等式构造出 ，解出即可；
（3）因式分解为 ，再对 进行分类讨论即可.
【详解】（1） ，
当且仅当 ，即 ，即 时等号成立.
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学科网（北京）股份有限公司则 的最大值为 .
（2）因为 , 且 ,
则 ，
解得 或 （舍去），
当且仅当 时等号成立，
则 的最小值为 .
（3）不等式 化为 ，（其中 ），
当 时，解得 ；
当 时，不等式化为 ，
若 ，即 ，解得 ；
若 ， 无实数解；
若 ，即 ，解得 ，
所以当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
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学科网（北京）股份有限公司17. 已知方程
（1）若 ， ，求方程 的解；
（2）若对任意实数 ，方程 恒有两个不相等的实数解，求实数 的取值范围；
（3）若方程 有两个不相等的实数解 ，且 ，求
的最小值．
【答案】（1） 或 ；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意得到 ，求出方程的根；
（2）由根的判别式大于0得到 ，求出 ，从而得到 ；
（3）由韦达定理得到 ，代入 中得到 ，结合立方和
公式化简得到 ，令 ，由单调性得到 ，结合基
本不等式求出 ，得到答案.
【小问1详解】
， 时， ，解得 或 ；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
，
故 ，所以 ，
其中 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ；
【小问3详解】
有两个不相等的实数解 ，
，
由韦达定理得 ，
故 ，所以 ，此时 ，
所以
，
因为 ，
所以 ，
令 ，其在 上单调递增，故 ，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：变形得到 ，换元后，由函数单调性和基本不等
式求最值.
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学科网（北京）股份有限公司
