文档内容
西安市第八十五中学高 2023 级新生入学摸底考试
数学试题
一、单项选择题（每小题44分，共32分）
1. 全称量词命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. 以上都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出结论.
【详解】全称量词命题“ ， ”的否定为“ ， ”.
故选：C.
2. 已知集合 ，则 与集合 的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由元素与集合的关系，即可得到结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选:A
3. 设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（ ）
A. a>b B. a0
B. ∀x∈N，2x为偶数
∃ 的
C. 所有菱形 四条边都相等
D. π是无理数
【答案】C
【解析】
的
【分析】根据全称量词命题 概念，结合命题的意义判定真假，从而做出判定.
【详解】对A，是全称量词命题，但不是真命题(当 时结论不成立），故A不正确；
对B，是真命题(当 时 即为偶数)，但不是全称量词命题，故B不正确；
对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；
对D， 是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，
故选：C.
6. 已知集合 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】若 ，即可得到 ，从而求出 的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即
可.
【详解】若 ，则 ，又 ， ，所以 ，
所以由 推得出 ，故充分性成立；
由 推不出 ，故必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
7. 已知集合 ，集合 ，集合 ，若 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}，利用集合C＝{x|mx+1＞0}，（A∪B） C，分类讨论，可得结论．
【详解】由题意，A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}， ⊆
∵集合C＝{x|mx+1＞0}，（A∪B） C，
⊆
m＜0，x ，∴ 2，∴m ，∴ m＜0；
①
m＝0时，C＝R,成立；
②
m＞0，x ，∴ 1，∴m≤1，∴0＜m≤1，
③综上所述， m≤1，
故选：B．
【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
8. 已知 表示不超过x的最大整数，集合 ， ，
且 ，则集合B的子集个数为（ ）．
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】由新定义及集合的概念可化简集合 ，再由 可知 ，分类讨论
的归属，从而得到集合 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合 的子集的个数.
【详解】由题设可知， ，
又因为 ，所以 ，
而 ，
因为 的解为 或 ， 的两根 满足 ，
所以 分属方程 与 的根，
若 是 的根， 是 的根，则有 ，解得 ，
代入 与 ，解得 或 与 或 ，
故 ；
若 是 的根， 是 的根，则有 ，解得 ，
代入 与 ，解得 或 与 或 ，故 ；
所以不管 如何归属方程 与 ，集合 总是有4个元素，
故由子集个数公式可得集合 的子集的个数为 .
故选：C
二、多项选择题（每小题4分，共16分，全对得4分，少选得2分，错选得0分）
9. 已知集合 ，若 ，则实数a的值可以是（
）．
A. B. C. 0 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，求得 ，再分 和 ，求得集合 ，结合 ，即可求解.
【详解】由方程 ，解得 或 ，即 ，
当 时，则方程 无实数解，此时 ，满足 ，符合题意；
当 时，由 ，可得 此时 ，
要使得 ，可得 或 ，解得 或 .
综上可得，实数 的值为 或 或 .
故选：BCD.
10. 一元二次方程 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.【答案】BC
【解析】
【分析】先根据方程根的分布得到判别式和两根之积的关系式，解出等价条件，再利用真子集是其充分不
必要条件即得结果.
【详解】若方程 有一个正根 和一个负根 ，
则 ，解得 ，
则一元二次方程 有一个正根和一个负根的充分不必要条件应为 的真子集，
故BC正确，AD错误.
故选：BC.
11. 下列说法正确的是（ ）．
A. 命题p：“ ， ”的否定是：“ ， ”
B. 已知 ，“ 且 ”是“ ”的充分而不必要条件
C. “ ”是“ ”的充要条件
D. 若 是 的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题p：“ ， ”的否定为
“ ， ”所以A正确；
对于B中，由 且 ，可得“ ，即充分性成立；
反正：例如： ，满足 ，但 且 不成立，即必要性不成立，
所以 且 是 的充分而不必要条件，所以B正确；对于C中，由 ，可得 且 ，
所以 是 的必要不充分条件，所以C不正确；
对于D中，根据充分条件、必要条件的关系，可得p是 的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，
所以D正确.
故选：ABD.
12. 设非空集合 ，其中 ，若集合S满足：当 时，有 ，则下列结论正
确的是（ ）．
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，求得 或 ，且 ，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】因为非空集合 ，满足：当 时，有 ，
所以当 时，由 ，即 ，解得 或 ，
同理，当 时，由 ，即 ，解得 ，
对于A中，若 ，则必有 ，则 ，解得 ，所以A正确；
对于B中，若 ，则 ，解得 ，所以B正确；
对于C中，若 ，则必有 ，则 ，此时 ，所以 ，所以C不正确；对于D中，若 ，则满足 ，解得 或 ，所以D错误.
.
故选：AB
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上）
13. 命题p：一次函数 的图像经过一、二、四象限的充要条件是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】因为一次函数 的图像经过一、二、四象限，
则满足 ，解得 ，
即一次函数 的图像经过一、二、四象限的充要条件是 .
故答案为： .
14. 若集合 有且仅有两个子集，则实数k的值是_______.
【答案】－1或
【解析】
【分析】依据题意可知A中只有一个元素，然后分 ， 讨论计算即可.
【详解】由条件，知A中只有一个元素．
当 时， ．
当 时， ，解得 ，此时 ．综上所述，实数k的值为 或 ．
故答案为：－1或
15. 如果 ，那么下列不等式成立的是________．
① ② ③ ④
【答案】④
【解析】
【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，
对于①中，由 ，所以 ，所以①不正确；
对于②中，由 ，所以 ，所以②不正确；
对于③中，由 ，所以 ，所以③不正确；
对于④中，由 ，所以 ，所以④正确.
故答案为：④.
16. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方
子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合 ， ，若这两个集合构成“鲸
吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.
【答案】
【解析】
【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出 值，即可求解
【详解】当 时， ，此时满足 ，当 时， ，此时 集合只能是“蚕食”关系，
所以当 集合有公共元素 时，解得 ，
当 集合有公共元素 时，解得 ，
故 的取值集合为 .
故答案为：
四、解答题（本题共4小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17. （1）化简： ；
（2）求方程 的解集．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）将式子分母有理化，即可得解；
（2）依题意可得 ，解得 ，即可求出 ，从而得解.
【详解】（1）
；（2）方程 ，即 ，则 ，
解得 或 ，
所以 或 或 或 ，
则方程 的解集为 .
18. 若 是方程 的两个实数根，试求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到 ，结合 ，即可求解；
（2）由（1），结合 ，即可求解.
【小问1详解】
解：因为 是方程 的两个实数根，
可得 ，
则 .
【小问2详解】
解：由（1）知 ，
则 .
19. 已知命题 ，命题 或 ，其中 ．若 是 成立的充分不必要条件，
求 的取值范围．【答案】 或
【解析】
【分析】令 ， 或 ，依题意可得 真包含于 ，即可
得到不等式（组），解得即可.
【详解】令 ， 或 ，
因为 是 的充分不必要条件，所以 真包含于 ，
所以 或 ，解得 或 ，
故 的取值范围为 或 ．
法二：由 真包含于 ，可得如下两种情况，
结合数轴得 或 ，
解得 或 ，
故 的取值范围为 或 ．
20. 已知集合 ， ．
（1）若 ，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a使 且 ？【答案】（1） ；
（2）不存在.
【解析】
【分析】（1）求出集合A的补集，再利用并集的结果求解即得.
（2）利用（1）的结论，结合交集的结果求得的范围即可.
【小问1详解】
集合 ，则 ，而 ，且 ，
因此 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
【小问2详解】
由（1）知 ，
由 ，得 或 ，解得 或 ，
所以不存在实数a使 且 成立.
