文档内容
第 3 节 简单的逻辑联结词、
全称量词与存在量词
（本卷满分150分，考试时间120分钟。）
一、单选题
1．将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是（ ）
A． a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
B． a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
∃
C． a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
∃
D． a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
∀
【答案】D
∀
【解析】命题对应的全称量词命题为： a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2.故选：D
2．已知命题 ， ，则∀ 为（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】对命题否定时，全称量词改成存在量词，即 ， ；故选：B.
3．已知“ ”是假命题，则下列选项中一定为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 为假命题，所以 中至少有一个假命题；
A．当 均为假命题时， 也为假命题；
B．当 为一真一假时， 为假命题；
C．当 为真命题， 为假命题时， 为假命题；
D．因为 至少有一个为真，所以 为真命题，故选：D.
4．下列命题中错误的是（ ）
A．命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题
B．命题“ ”的否定是“ ”
C．若 为真命题，则 为真命题
D．已知 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】C【解析】对于A，若x=y，则sinx=siny，显然原命题正确，则逆否命题也为真命题．故A
正确；
对于B，命题“ ”的否定是“ ”，故B正确；
对于C，若 为真命题，则 与 至少有一个是真命题，故 不一定为真命题，故C
错误；
对于D，充分性：当 时，显然 不成立，即充分性不具备；
必要性：因为 ， ， 根据幂函数的单调性，显然 ，即必要性具备，故
D正确．故选：C.
5．已知 ， ，对于命题 ； ，下列为真命题的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ， ，∴
,∵ ，∴ ，
即 ，故p为真命题， 假命题；
∴ ，故q为假命题， 为真命题.∴ 为真命题，故选：B
6．已知命题 ，命题 ，则下列命题中为真
命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于命题 ，因为 ，其中 ，
而 ，故 无解，故命题 为假命题.
对于命题 ，因为对任意 ，总有 ，故命题 为真命题.
故 、 、 均为假命题， 为真命题，故选：B.
7．已知命题p： ， ；命题q：直线 ：x－ay＋3＝0与 ：2x＋ay－1＝0相互垂直的充要条件为 ．则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令x＝0，可知 成立，即p为真命题；若 与 相互垂直，则 ，
解得 ，故q为假命题，只有 为真命题，故选：B．
8．已知命题 ：幂函数 在 上单调递增；命题 ：若函数 为偶函数，
则 的图象关于直线 对称．则下列命题为假命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 是偶函数， 幂函数 在 上单调递减，
在 上单调递增， 命题 为真命题；则 为假命题；
函数 为偶函数， 的图象关于直线 对称
命题 为真命题；则 为假命题； 又逻辑连接词“且”为“一假必假”，“或”为
“一真必真”， 则对于A， 为真命题；对于B， 为真命题；对于C，
为假命题；对于D， 为真命题；故选：C.
二、多选题
9．给出下列命题，其中假命题为（ ）
A． ， ；
B． ， ；
C． ， ；
D． 是 的充要条件.
【答案】ABC
【解析】 . ，所以该命题是假命题；
.当 时， 所以该命题是假命题；
.当 时，左边 ，右边 ，所以该命题是假命题；
. 时 ， 时 ，所以 是 的充要条件，所以该命题是真命题.
故选：ABC
10．已知命题 ， ， ，则（ ）A． 是真命题 B． 是真命题
C． 是真命题 D． 的否定为“ ， ”
【答案】ACD
【解析】对于命题 ， ，所以 为真命题，
对于命题 ， 在 上递减，所以 为假命题.
则 为真命题， 的否定为“ ”,正确.故选：ACD.
11．下列说法正确的是（ ）
A．命题“ ”的否定是“ ”.
B．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
C．“ ”是“ ”的必要条件.
D．“ ”是“关于x的方程 有一正一负根”的充要条件
【答案】BD
【解析】对于A选项，命题“ ”的否定是“ ， ”，故A选
项错误；
对于B选项，命题“ ， ”的否定是“ ， ”，故B选项
正确；
对于C选项， 不能推出 ， 也不能推出 ，所以“ ”是“
”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；
对于D选项，关于x的方程 有一正一负根 ,所以“
”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件,故D选项正确.
故选：BD
12．取整函数： 不超过 的最大整数，如 ，取整函数在现
实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费
的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有（ ）
A． B．
C． 则 D．
【答案】BC
【解析】 时， ，但 ，A错；
时， ，B正确；
设 ，则 ， ，∴ ，C正确；，则 ，但 ，D错．故选：BC．
三、填空题
13．命题“ ，使得 成立”为假命题，则 的取值范围______．
【答案】
【解析】命题“ ，使得 成立”为假命题，
则其否定“ ，使得 成立”为真命题．
①当 时， 恒成立，即 满足题意；
②当 时，由题意有 解得 ．
综合①②得实数 的取值范围是 ．故答案为：
14．已知命题 ：存在实数 ， 成立；命题 ：函数
在区间 单调递减；如果 是真命题，则实数 的取值范
围为__________.
【答案】
【解析】 时，不等式 有解， 在 上有解，
令 ，则 在 上是增函数，
，即若命题 真，则 ；
又 函数 是区间 上的减函数，
所以 是 上的增函数，且 在 上恒成
立，， ，即若命题 真，则 ；
若命题“ ”是真命题，则有 真 假或 假 真或 均为真命题，
若 真 假，则有 ；若 假 真，则有 ；若 均为真命题， ；
综上可得 的取值范围是 .故答案为： .
15．下列四个命题：
①“ ”是方程“ ”的充分不必要条件；
②若实数 满足 ，则使得 成立的概率为 ；
③已知命题 “ 使得方程 ”，若命题 是假命题，则实数 的取值范围为 ；
④设数 ，则其最小正周期 ．
其中真命题的序号是____________．
【答案】①②④
【解析】①： 或 ，故“ ”是“ ”的充分不必要
条件，①正确；②：易知 表示圆 上及其内部的点，
而 表示如下图的阴影部分区域，则概率 ，②正确；
③：令 ，故③中方程等价于 ，而命题 是假命题，
则 无解，由于对称轴 ，
只需 即可，③不正确；
④：因为 为偶函数，所以 ，所以 ，
的最小正周期为 ， .
且 ，所以 的最小正周期为 ，
所以④正确.故答案为：①②④
16．已知函数 ， ，若 ， ，使
成立，则实数 的取值范围是_________.
【答案】
【解析】由题意，函数 在 为单调递减函数，可得 ，
即函数 的值域构成集合 ，
又由函数 在区间 上单调递增，可得 ，
即函数 的值域构成集合 ，
又由 ， ，使 成立，即 ,则满足 ，解得 ， 即实数 的取值范围是 .故答案为： .
四、解答题
17．设命题 ：实数 满足 ，其中 ，命题 ：实数 满足 ．
（1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【解析】由 ，其中 ，得 ， ，则 ： ， ．
由 解得 ．即 ： ．（1）若 ，则 ： ，若 为真，
则 ， 同时为真，即 ，解得 ，∴实数 的取值范围 ．
（2）若 是 的充分不必要条件，即 是 的充分不必要条件，∴ ，即 ，
解得 ．
18．已知 ，设 恒成立，命题 ，使得
.
（1）若 是真命题，求 的取值范围；
（2）若 为假， 为真，求 的取值范围.
【解析】（1）若 为真，即 恒成立，
可得 ，解得 ，
若 为真，即 ，使得 ，
则 ，解得 或 ，
若 是真命题，则 为真，可得 ，所以 ，
所以 的取值范围 .
（2）因为 为假， 为真，所以 一真一假，即p，q同真同假，
当 都真时，由（1）知 ，当 都假时， ，即 ，
综上可得 或 ，故a的范围为 或 .19．一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：
若“ ， ”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王
小一一道题：若“ ， ”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同
学题中m的取值范围是否一致？并说明理由．
【解析】两位同学题中m的取值范围是一致的．
理由：∵“ ， ”的否定是“ ， ”，而“ ，
”是假命题，则其否定“ ， ”是真命题，
∴两位同学题中m的取值范围是一致的．
20．判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，如果是，写出这些命题的否定，
并说明这否定的真假，不必证明；如果不是全称量词命题和存在量词命题，则不用写出否
命题，只需判断合题真假，并给出证明.
（1）存在实数x，使得 ；
（2）有些三角形是等边三角形；
（3）方程 的每一个根都不是奇数.
（4）若 ，则 的充要条件是 .
【解析】（1）该命题是特称命题，该命题的否定是：对任意一个实数x，都有
该命题的否定是真命题.
（2）该命题是特称命题，该命题的否定是：所有三角形都不是等边三角形该命题的否定是
假命题.
（3）该命题是全称命题，该命题的否定是：方程 至少有一个根是奇数该命
题的否定是假命题.
（4）该命题既不是全称命题又不是特称命题
该命题是假命题.证明：当 时，有 ，
则 ，又因为 ，可知 且 即
故由 推不出 ，
由此即可判断 的充要条件是 是假命题.
21．已知命题 ， ， ，
（1）若“ ”是 成立的充分条件，求实数 的取值范围；
（2）若 为假， 为真，求实数 .
【解析】（1）命题 为真时， 或 ，解得： 或或 ，综上： 为真， 的取值范围为 ；
命题 为真时， ，解得 的取值范围为 ；
若“ ”是 成立的充分条件，则 ，
① 时， ，符合题意.
② 时，即 ， .
③ 时， ，无解.
综上： 的取值范围为： .
（2）若 为假， 为真，即 一真一假：
① 真 假： ，即
② 假 真： ，即 .
综上：实数 的取值范围： .
22．设命题 ：对任意 ，不等式 恒成立，命题 存在 ，使
得不等式 成立.
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 为假命题， 为真命题，求实数 的取值范围.
【解析】对于 成立，而 ，有 ，
∴ ，∴
存在 ，使得不等式 成立，只需
而 ，∴ ，∴ ；（1）若 为真，则 ；
（2）若 为假命题， 为真命题，则 一真一假.
若 为假命题， 为真命题，则 ，所以 ；
若 为假命题， 为真命题，则 ，所以 .综上， 或 .
