江苏省盐城市东台市2024-2025学年高一上学期期中学业水平考试数学试卷Word版含解析_2024年12月试卷_1210江苏省盐城市东台市2024-2025学年高一上学期期中学业水平考试

2024-2025 学年度第一学期期中学业水平考试 高一数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、座号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上. 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 1. 下列各式中，正确的个数是（ ） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断各命题. 【详解】因为 ，故①错； 因为 ，故②对； 因为 ，故③对； 因为 且 ，故④错； 因为 ，故⑤错； 因为 ，又 且 ，故⑥错； 所以正确的个数为 个，故B正确. 故选：B. 2. 命题“ ， ”的否定是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即可直接写出答案. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“ ， ”的否定是 ， 故选：B. 3. 函数 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用配凑法，求出 ，令 ，代入计算可得答案. 【详解】因为函数 ， 所以 ， 则 . 故选：A. 4. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】由 且 ，求交集即可求得结果. 【详解】因为函数 的定义域为 ， 则 ，解得 ， 故函数 的定义域为 . 故选：C. 5. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】若“ ”则 是 的充分条件；若“ ”则 是 的必要条件. 【详解】当 时， 则 无意义；当 时， 或 ， ∴则“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6. 已知函数 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析 在各段区间上的值域，再根据条件由外而内依次求得 ，从而得解.【详解】因为 ， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 令 ，则由 ，得 ， 由上述分析可得 且 ，解得 ，即 ， 所以 且 ，解得 . 故选：D. 7. 已知 ， ， ，则 的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得 ，再结合基本不等式即可求解. 【详解】 ， 所以 ，当且仅当 ，且 ，即 时等号成立， 所以 的最小值为 . 故选： . 8. 设函数 ，若 ， 时，有 ，则实数 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据 得到 ，根据 ， ，得到 ，求出解集. 【详解】由 得 ， 即 ，变形为 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，解得 . 故选：C 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定 位置填涂答案选项.） 9. 下列命题是真命题的有（ ）A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 的 【分析】根据不等式 性质判断A、B、D，解方程，即可判断C. 【详解】对于A，B，当 时， ，故A正确，B错误； 对于C：由 ，解得 ，所以不存在 ，使得 ，故C错误； 对于D：因为 ，所以 ，所以 ， ，故D正确. 故选：AD 10. 设正数 ， 满足 ，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误. 【详解】因为正数 ， 满足 ， 对于A， ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，故A正确； 对于B， ，所以 ，， 当且仅当 时，等号成立，故B正确； 对于C，由B知， ，则 ，故C错误； 对于D，因为 ，则 ， 所以 ， 令 ，则 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 此时 ， ，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则下列正确的是（ ） A. 当 时， B.C. 不等式 的解集为 D. 函数 的图象与 轴有4个不同的交点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】函数奇偶性求出函数解析式，分段解决分段函数有关的不等式，由函数图像找到交点为 4个点的 的取值范围. 【详解】当 时， ，由题意可知 ，A选项正确； 由题意可知： ，B选项错误； 3 { −1,x<0 2−x ∵ f (x)= 0,x=0 ，令 ，则 或 ；令 ，则 或 ； 3 1− ,x>0 2+x ∴ ，即 或 ，即 或 ，C选项正确； 令 ，即 函数 的函数图像如下： 由图像可知，当 和 存在4个交点时， ，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛，本题已知分段函数的奇偶性和其中某个区间的解析式，通过奇函数的性质可以求出整个函数的解析式，由此可以借助函数图像来解决一些函数相关的问题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题 纸的指定位置上.） 12. 已知 ， ，则 ______.（用数字作答） 【答案】45 【解析】 【分析】利用指对数互化和指数幂的运算法则计算即得. 【 详解】由 ，可得 ， 又 ，则 . 故答案为：45. 13. 已知函数 ，满足对任意的实数 且 ，都有 ，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件判断函数的单调性，根据分段函数的单调性可得关于 的不等式组，解之即可． 【详解】对任意的实数 ，都有 ，即 异号， 故 是 上的减函数； 可得： ，解得 ． 故答案为：14. 用 表 示 非 空 集 合 中 的元 素 的 个 数 ， 定 义 ， 若 ， ，若 ，则 的所有可能 取值构成集合 ，则 ______. 【答案】5 【解析】 【分析】解方程得到 ，由定义知道 的值，再分类讨论得出结果. 【详解】解 得 或 ，即 ， ∵ ，∴ 或 ， 方程 可整理为 ， ①当 时，即方程组 只有一个解，则 ，即 ， ②当 时，即方程组 只有三个解， 显然 时不成立，∴ ，即方程 有两个不同的解 ， ⑴当方程 只有一个实根时， ， ， ⑵当方程 有二个不同实根时，Δ=(2a) 2−4×6>0， 或 ， 显然 不是 的实根，则 是方程 其中一个实根，则，解得 ， 综上所述： . ∴ . 故答案为：5 【点睛】方法点睛，在讨论含参方程的根的个数时，需要分类讨论.而本题集合 是由两个二次方程相乘 得到的方程，第一步需拆分，分别讨论根的个数，注意两个方程可能出现相同的实数根. 四、解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内.） 的 15. （1）已知正数 满足 ，求下列各式 值： ① ；② . （2）求值： . 【答案】（1）① ；② ；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数的运算性质找到目标式与条件的关系求值. （2）由对数运算性质化简求值即可； 【详解】（1）因为正数 满足 ， 所以① ； ② ， 又 ，所以 . （2）. 16. 已知全集 ，集合 ，集合 . （1）当 时，求 ， ； （2）已知 是 的子集，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ； （2） 或 【解析】 【分析】（1）解分式不等式求得集合 ，因为 求得 ，进而可求 ， ； （2）因为 是 的子集，分 与 两种情况讨论可求得 的取值范围. 【小问1详解】 由 ，得 ，解得 ， 所以 ，当 时， ， 所以 或 ， 所以 ，或x>1}={x|1−1 ，解得 ， a+2<2 综上所述：实数 的取值范围为 17. 某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量 （件）与销 售单价 （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量 与销售单价 之间的函数关系式； （2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润 是多少？ （3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】（1） （2）单价定为 元时利润最大，最大利润为 元 （3） 【解析】 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【小问1详解】设 ，由图可知，函数图象过点 ， 所以 ，解得 ，所以 ， 由 解得 . 所以每天的销售量 与销售单价 之间的函数关系式是 . 【小问2详解】 若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则 ， 则利润 ， 其开口向下，对称轴为 ， 所以当 时，利润取得最大值为 ， 所以当单价为 元时，取得最大利润为 元. 【小问3详解】 由（2）得利润 ， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则 ，整理得 ， 即 ，解得 ， 销售量 是减函数，所以当 时，销售量最小， 且最小值为 件. 18. 已知二次函数 的图象与直线 有且仅有一个公共点，且不等式的解集为 . （1）求此二次函数的解析式； （2）关于 的不等式 的解集中恰有一个正整数，求实数 的取值范围； （3）对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得 ， 是方程 的两个根，写出解析式，再结合 顶点坐标求解即得. （2）由（1）的结论，分类求解不等式，进而确定 的范围. （3）依题意可得对 ，不等式 恒成立，令 ， ，则 ，解得即可. 【小问1详解】 由不等式 的解集为 ，得 且 是关于 的方程 的两个根， 因此 ， 所以函数 的图象开口向上，其对称轴为 ， 而该图象与直线 有且仅有一个公共点，则 图象的顶点为 ， 于是 ，解得 ， 所以此二次函数的表达式为 ，即 .【小问2详解】 由（1）知不等式 为 ， 整理得 ，即 ， 依题意，不等式 的解集中恰有一个正整数，则 ， 当 时，解得 ，即不等式的解集为 ，此时解集中不含正整数，故舍去； 当 时，解得 ，不等式的解集为 ，要使解集中恰有一个正整数， 则 ， 所以实数 的取值范围是 . 【小问3详解】 对 ，不等式 恒成立， 即对 ，不等式 恒成立， 令 ， ，则 ，解得 ， 即实数 的取值范围为 . 19. 若函数 在 上的最大值记为 ，最小值记为 ，且满足 ，则 称函数 是在 上的“美好函数”. （1）函数 是否是在 上的“美好函数”，并说明理由； （2）已知函数 是在 上的“美好函数”，求 的值； （3）已知函数 是在 上的“美好函数”，求 的值.【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）求出函数的最值，即可判断； （2）首先判断函数的单调性，即可求出函数的最值，从而得到方程，解得即可； （3）结合函数单调性的定义及对勾函数的性质得到函数的单调性，再对 分类讨论，分别求出函数的最值， 即可得到方程，解得即可. 【小问1详解】 因为 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 ， ， ， 所以 ， ， 则 ， 所以 不是在 上的“美好函数”； 【小问2详解】 因为 ， ， 则 在 上单调递减，所以 ， ， 因为函数 是在 上的“美好函数”， 所以 ，解得 . 【小问3详解】 函数 的定义域为 ，，所以 为奇函数， 根据对勾函数 的性质可知 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递增，在 上单调递减， 其中 在 上单调递减的证明如下： 设 ， 则 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以函数 在 上单调递减. 当 ，即 时 在 上单调递减，则 ， ， 所以 ，解得 或 （舍去），所以 ， 即 在 上为“美好函数”；当 时 在 上单调递增，则 ， ， 所以 ，方程无解，故舍去； 因为 ，令 ，即 ，解得 或 ， 因为 ， ， 所以当 时， 在 的最小值为 ，最大值不可能为 ，故不符合题意； 当 ，即 时 在 上单调递减，则 ， ， 所以 ，解得 （舍去）或 ，所以 ， 即 在 上为“美好函数”； 当 时，即 时， 在 上单调递增，则 ， ， 所以 ，方程无解，故舍去； 因为 ，令 ，即 ，解得 或 ，因为 ， ， 所以当 时， 在 的最大值为 ，最小值不可能为 ，故不符合题意； 综上可得 或 . 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解所给“美好函数”的定义，结合函数的单调性求出函数的最值.