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塘沽一中 2024—2025 学年度第一学期
高一年级第一次统练数学学科试题
一、选择题
1. 设全集 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的并集与补集运算求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 .
故选：D
2. 命题“ ”的否定为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知，
命题“ ”的否定为“ ”.
故选：B.
3. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式 可得： 或 ，
据此可知： 是 的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
4. 设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，可判断选项的对错．
【详解】选项 中，若 ， 错；
选项 中，因为 ，所以 ，即 ，正确；
选项 中， ， 错；
选项 中， ， 错；
故选： ．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.
5. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐项分析两个函数的定义域与对应关系，从而判断是不是相同的函数即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A， 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同，所以不
是相同的函数；
对于B， 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同，所以不是相同的函数；
对于C， 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数；
对于D， 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域相同， ，对应关系不同，
所以不是相同的函数；
故选：C
6. 已知集合 ，集合 ，则 的真子集个数为（
）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】先求出分式不等式及一元二次不等式的解集，求出 ，然后求其真子集个数即可.
【详解】 等价于 ，所以 ，所以 ，
解得 ，所以 ，
所以 ，所以 的真子集个数为 .
故选：D
7. 已知 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由配凑法 和 即可得解.
【详解】因为 ，且 ，
所以 .
故选：A.
8. 设计用 的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设长方体车厢（无盖）的长为 ，高为 ， ，先由题意得 ，接着
结合基本不等式得 ，解该不等式求出 即可求解车厢的最大容积.
【详解】设长方体车厢（无盖）的长为 ，高为 ， ，
则由题得 ，即 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时等号成立，
由 ，解 ，得 ，即 ，
因为车厢的容积为 且 ，仅当 时等号成立，所以车厢的最大容积是 .
故选：D.
9. 已知函数 为定义在 上的奇函数，且在 为减函数，在 为增函数， ，则不
等式 的解集为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意先明确函数 在 上的单调性和函数值情况并作出函数图，接着分 、
和 三种情况分析 即可求解.
【详解】由题意可知 ，且 在 上单调递增，在 上单调递减，如
图：
当 时， ，故f (1−x)>0，此时 ；
当 时，满足 ；
当 时， ， ，
此时 ，则 ，所以 ，
综上，不等式 的解集为 .
故选：B.
10. 已知函数 满足对任意 ，当 时都有 成立，
则a的取值范围是（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.
【详解】对任意 ，当 时都有 成立，
所以函数 在 上是增函数，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .
故选：A.
二、填空题
11. 函数 的定义域为______________
【答案】
【解析】
【分析】由分式的分母不为零，偶次根式的被开方数为非负数，零次幂的底数不为零，求解函数的定义域
即可.
【详解】由 ，解得 且 ，
所以函数 的定义域为 ，
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知关于x的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集
为______________
【答案】
【解析】
【分析】由关于 的不等式 的解集为 可得 、 、 的关系及 的正
负，将 转化为 ，解出即可得.
【详解】由关于 的不等式 的解集为 ，
则 为方程 的两根，且 ，
则 ，故有 、 、 ，
则 等价于 ，
即 ，
解得 ，即解集为 .
故答案为： .
13. 设 是定义在 上的奇函数，且 时， ，则 ______；当
时， ______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意 ，代入解析式即可求值；利用题目所给条件及奇函数的定义化简求出
时， 的解析式.
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ；
设 ，则 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 满足上式，
所以 时， .
故答案为：
14. 若两个正实数 x，y 满足 ，并且 恒成立，则实数 m 的取值范围是
______________．当x等于______________时， 中等号成立．
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
的
【分析】根据基本不等式1 代换，求出 的最小值，结合基本不等式分析求解.
【详解】因为两个正实数x，y满足 ，
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学科网（北京）股份有限公司且 恒成立，即 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
则 ，即 ，
所以实数m的取值范围是 ，当且仅当 时，等号成立.
故答案为： ；2.
15. 已 知 函 数 ， 若 对 任 意 ， 存 在 ， 使
，则实数a的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 由 题 意 可 知 只 需 ， 易 求 出 的 值 域 ， 进 而 只 需
有解即可，用分离参数的方法即可.
【详解】因为 ，
所以 在 时单调递减，
所以 ， ，
即 ；
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学科网（北京）股份有限公司因为对任意 ，存在 ，使 ，
所以 ，
所以存在 ,使得 ，
即 ,即 能成立,
令 ,则要使 在 能成立,
只需使 ,
由对勾函数的性质可知，函数 在 上单调递减,
所以 ,
故只需 .
故答案为：
16. 有下列命题：
①不等式 的解集为 ；②若 ，则 ；
③已知集合 ，若 ，则 ；
④若x∈R，函数 的最小值是2：
⑤已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是
⑥当x∈R时，不等式 恒成立，则k的取值范围(0,4)；
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学科网（北京）股份有限公司其中真命题的序号为______.（把所有正确答案的序号填写在横线上）
【答案】③⑤
【解析】
【分析】对①，直接解出绝对值不等式即可；对②，利用作差法即可判断；对③，根据交集结果分类讨论
即可；对④，利用基本不等式即可判断；对⑤，根据抽象函数定义域即可判断；对⑥，举反例 即可.
【详解】对①， ，解得 或 ，故①错误；
对②， ，则 ，故②错误；
对③，因为 ，则若 ，解得 ，此时 ，不满足互异性，
若 ，解得 （舍）或 ，
当 时，此时 ，符合题意，则 ，故③正确；
对④， ，当且仅当 ，无实数解，
故等号无法取到，故④错误；
对⑤， ，则 ，且 ，则 ，
则 的定义域是 ，故⑤正确；
对⑥，当 时，此时 恒成立，故⑥错误；
故答案为：③⑤.
三、解答题
17. 解关于x的不等式 .
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】先将不等式变形，然后分 ， 和 三种情况，在 时，再分三种情况，求出不
等式解集.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】不等式 化为 ，
①当 时，原不等式化为 ，解得 ．
②当 时，原不等式化为 ，解得 或 ．
③当 时，原不等式化为 .
当 ，即 时，解得 ；
当 ，即 时，解得 满足题意；
当 ，即 时，解得 ．
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
18. 已知集合 .
（1）当 时，求 ;
（2）若集合B为非空集合且 ，求实数m的取值范围；
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学科网（北京）股份有限公司（3）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用集合的补集和交集、并集运算求解即可；
（2）由 ，列不等式组即可得解；
（3）由 ，可知集合A与集合 没有公共元素，则有 或 ，求解即可得答案.
【小问1详解】
当 时， ，所以 ，
或x>5}，所以 .
【
小问2详解】
因为 ，所以 ，
若 ，则 ；
综上， .
所以实数m的取值范围为 .
【小问3详解】
因为 ，又 ， ，
当集合 时，有： ，解得： ；
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学科网（北京）股份有限公司当集合 时，有： 或 ，
解得： .
综上所述：实数 的取值范围为： .
19. 已知函数
（1）当 时， ，判断 在 上的单调性，并给予证明；
（2）当 ，且 时，求 的值；
（3）若存在实数 ， ，使得函数 的定义域为 时，值域为 ，求实数m的
取值范围.
【答案】（1） 在 上单调递增，证明见解析；
（2） ；
（3） .
【解析】
的
【分析】（1）先求出 在 上解析式，接着判断函数 单调性，再按证明单调性的定义法步骤
去计算分析即可证明 在 上的单调性.
（2）由函数 在 和 上的单调性得出 即可得解.
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学科网（北京）股份有限公司（3）由函数 在 上的单调性结合题意得 ，进而得 、 是方程
的两个实数根，从而结合函数 过点 和一元二次函数图象性质即
可求解.
【小问1详解】
当 时， ，
所以 在 上单调递增.
证明：任取 ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增.
【小问2详解】
因为函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 ，且 时，则有 且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
【小问3详解】
为
因 函数 在 上单调递增，
所以当 时函数 在 上单调递增，
所以由题意可得 ，所以 ，
所以 、 是方程 的两个实数根，
即关于x的方程 在 上有两个不等的实数根，
设 ，显然函数 过点 ，
所以 ，解得 ，
所以实数m的取值范围 .
【点睛】方法点睛：定义法证明函数的单调性步骤：
（1）在给定区间上任取两个变量 且 ；
（2）作差 ；
（3）变形和判号即比较差值 与0的大小，变形常用因式分解、通分、有理化和配方等手段
将差化积，从而达到可以判段差值 与0的大小；
（4）下结论，确定函数单调性.
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学科网（北京）股份有限公司第17页/共17页
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