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2021 年全国统一高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）
使用省份：海南､辽宁､重庆
一､选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 复数
在复平面内对应
点所在的象限为（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 设集合
，则
（ ）
A
B.
C.
D.
3. 抛物线
的焦点到直线
的距离为
，则
（ ）
A. 1
B. 2
C.
D. 4
4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道
位于地球赤道所在平面，轨道高度为
（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是
一个球心为O，半径r 为
的球，其上点A 的纬度是指
与赤道平面所成角的度数．地球表面上
能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为
，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为
（单位：
），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）
A 26%
B. 34%
C. 42%
D. 50%
5. 正四棱台
上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 某物理量的测量结果服从正态分布
，下列结论中不正确的是（ ）
A.
越小，该物理量在一次测量中在
的概率越大
B.
越小，该物理量在一次测量中大于10 的概率为0.5
C.
越小，该物理量在一次测量中小于9.99 与大于10.01 的概率相等
D.
越小，该物理量在一次测量中落在
与落在
的概率相等
7. 已知
，
，
，则下列判断正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二选择题：本题共
､
4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．
9. 下列统计量中，能度量样本
的离散程度的是（ ）
A. 样本
的标准差
B. 样本
的中位数
C. 样本
的极差
D. 样本
的平均数
10. 如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点．则满足
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 已知直线
与圆
，点
，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切
B. 若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离
C. 若点A
圆C 外，则直线l 与圆C 相离
D. 若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切
12. 设正整数
，其中
，记
．
则（ ）
A.
B.
C.
D.
三填空题：本题共
､
4 小题，每小题5 分，共20 分．
13. 已知双曲线
的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数
_______．
①
；②当
时，
；③
是奇函数．
15. 已知向量
，
，
，
_______．
16. 已知函数
，函数
的图象在点
和点
的两
条切线互相垂直，且分别交y 轴于M，N 两点，则
取值范围是_______．
四解答题：本题共
､
6 小题，共70 分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
､
17. 记
是公差不为0 的等差数列
的前n 项和，若
．
（1）求数列
的通项公式
；
（2）求使
成立的n 的最小值．
18. 在
中，角
、
、
所对的边长分别为
、
、
，
，
.．
（1）若
，求
的面积；
（2）是否存在正整数
，使得
为钝角三角形?若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
19. 在四棱锥
中，底面
是正方形，若
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的平面角的余弦值．
20. 已知椭圆C 的方程为
，右焦点为
，且离心率为
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设M，N 是椭圆C 上的两点，直线
与曲线
相切．证明：M，N，F 三点共线
的充要条件是
．
21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0 代，经过一次繁殖后为第
1 代，再经过一次繁殖后为第2 代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X
表示1 个微生物个体繁殖下一代的个数，
．
（1）已知
，求
；
（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：
的一个最小正实根，求证：当
时，
，当
时，
；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
22. 已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：
有一个零点
①
；
②
．
