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2020 年普通高等学校招生全国统一考试 新高考全国Ⅰ
一、选择题(本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B 等于( )
A．{x|2<x≤3}
B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4}
D．{x|1<x<4}
3．6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1 名，
乙场馆安排2 名，丙场馆安排3 名，则不同的安排方法共有( )
A．120 种 B．90 种 C．60 种 D．30 种
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定
时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面
所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷
面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为(
)
A．20° B．40° C．50° D．90°
5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢
足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的
比例是( )
A．62% B．56% C．46% D．42%
6．基本再生数R0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染
者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶
段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指
数增长率r 与R0，T 近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，
在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A．1.2 天 B．1.8 天 C．2.5 天 D．3.5 天
7．已知P 是边长为2 的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP·AB 的取值范围是( )
A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6)
8．若定义在R 上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0 的x
的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
二、选择题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分)
9．已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上
B．若m＝n>0，则C 是圆，其半径为
C．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n>0，则C 是两条直线
10．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)等于( )
A．sin
B．sin
C．cos
D．cos
11．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥
B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2
D.＋≤
12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1,2，…，n，且
P(X＝i)＝pi>0(i＝1,2，…，n)，i＝1，定义X 的信息熵H(X)＝－ilog2pi.( )
A．若n＝1，则H(X)＝0
B．若n＝2，则H(X)随着pi的增大而增大
C．若pi＝(i＝1,2，…，n)，则H(X)随着n 的增大而增大
D．若n＝2m，随机变量Y 所有可能的取值为1,2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝
1,2，…，m)，则H(X)≤H(Y)
三、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分)
13．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x 的焦点，且与C 交于A，B 两点，则|AB|＝________.
14．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n 项和为
________．
答案 3n2－2n
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧
AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边
形DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，
A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________
cm2.
四、解答题(本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问
题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C
＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知公比大于1 的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100 项和S100.
19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查
了100 天空气中的PM2.5 和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：
SO2
PM2.5
[0,50]
(50,150]
(150,475]
[0,35]
32
18
4
(35,75]
6
8
12
(75,115]
3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5 浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的2×2 列联表：
SO2
[0,150]
(150,475]
PM2.5
[0,75]
(75,115]
(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5 浓度与SO2浓度
有关？
附：K2＝，
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
20.如图，四棱锥P－ABCD 的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD 与平面PBC 的
交线为l.
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．
21．已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a.
(1)当a＝e 时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a 的取值范围．
22．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)．
(1)求C 的方程；
(2)点M，N 在C 上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D 为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定
值．
