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专题04 两条直线的位置关系
题型一：由斜率判断两条直线平行
题型二：由斜率判断两条直线垂直
题型三：已知直线平行求参数
题型四： 由直线垂直求参数
题型五：由平行关系求方程
题型六： 由垂直关系求方程
题型一：由斜率判断两条直线平行或垂直
1．已知两条直线
的斜率是方程
的两个根，则与
的位置关系是
【答案】垂直
【分析】根据二次方程的根与韦达定理，并结合斜率关系判断即可.
【详解】解析由方程
，知
恒成立.
故方程有两相异实根，即与
的斜率
均存在.
设两根为
，则
，所以
故答案为：垂直
2．根据下列给定的条件，用多种方法判断直线与直线
的位置关系：
(1) 经过点
，
，
经过点
，
；
(2) 经过点
，
，
经过点
，
．
【答案】(1)平行
(2)垂直
【分析】方法1，求出直线方程，比较两条直线的斜率与纵截距可判断两直线关系；
方法2，通过判断对应向量的位置关系可判断两直线位置关系.
【详解】（1）方法1:：因
，
，则直线AB 方程为：
；
因
，
，则直线CD 方程为：
.
因两直线斜率相同，纵截距不同，则两直线平行；
方法2：由题可得
，因
，则
与
共线，又注意到
，其与
，
均不共线，可知
不共线，则直线AB 与直线CD 平行；
（2）方法1：由题可得直线AB 方程为：
；
直线MN 方程为：
.因两直线斜率乘积为
，则两直线垂直；
方法2：由题可得
，因
，则两直线垂直；
3．判断下列直线与
是否垂直：
(1) 的倾斜角为
，
经过
，
两点；
(2) 的斜率为
，
经过
，
两点；
(3) 的斜率为
，
的倾斜角为
，
为锐角，且
；
(4) 经过点
和
，
经过点
和
．
【答案】(1)垂直
(2)不垂直
(3)垂直
(4)当
或
时，直线
，当
且
时，与
不垂直．
【分析】（1）的斜率为
，根据过两点的斜率公式可求
的斜率，判断斜率的乘积是否为
即可；
（2）根据过两点的斜率公式可求
的斜率，判断斜率的乘积是否为
即可；
（3）根据二倍角的正切公式求出
的值，判断斜率的乘积是否为
即可；
（4）分的斜率是否存在进行分类讨论，当两条两条直线垂直，可以是一条直线斜率不存在，另一条直线
斜率为0，
也可以是两条直线斜率均存在时，斜率之积为
，从而确定直线与
垂直时
的值.
【详解】（1）由题意知，直线的斜率为
，
直线
的斜率为
，
因为
，所以
．
（2）由题意知，直线
的斜率为
，直线的斜率为
，
而
，所以与
不垂直．
（3）记
的斜率为
，因为
，所以
，
解得
或
，
又因为
为锐角，所以
．
因为的斜率为
，且
，所以
．
（4）由题意，直线
的斜率
一定存在，直线的斜率可能存在或不存在．
①当直线的斜率
不存在时，
，即
，此时
，满足
．
②当直线的斜率
存在时，
，由斜率公式，得
，
．
若
，则
，即
，解得
．
综上所述，当
或
时，直线
，当
且
时，与
不垂直．
4．判断下列各组直线的位置关系（“垂直”“平行”或“既不垂直也不平行”）：
(1)
与
；
(2)
与
；
(3)
与
；
(4)
与
；
(5)
与
；
(6)
与
．
【答案】(1)既不垂直也不平行
(2)平行
(3)垂直
(4)既不垂直也不平行
(5)垂直
(6)平行
【分析】求出直线的斜率，根据两直线的斜率之间的关系可判断（1），（2），（3），（4），根据直线
斜率不存在或斜率为零时的情况可判断（4），（5）.
【详解】（1）直线
的斜率
，直线
的斜率
，
由于
且
，故两直线既不垂直也不平行；
（2）
即
，两直线斜率都为1，且两直线不重合，
故两直线平行；
（3）
的斜率
，
的斜率
，
由于
，故两直线垂直；
（4）
的斜率
，
的斜率
，
由于
且
，故两直线既不垂直也不平行；
（5）
即
的斜率不存在，
即
的斜率为0，
故两直线垂直；
（6）
即
，
即
，两直线斜率都是0，且不重合，故两直线平行.
5．分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB 与CD 是否平行：
(1)
，
，
，
；
(2)
，
，
，
；
(3)
，
，
，
；
(4)
，
，
，
．
【答案】(1)平行
(2)平行
(3)平行
(4)不平行
【分析】（1）求出
，
，
斜率，再判断两直线不重合得平行；
（2）由斜率相等，及不重合得结论；
（3）由两直线斜率都不存在，且不重合得平行；
（4）由斜率不相等得不平行．
【详解】（1）
，
，
，
不共线，因此
与
平行．
（2）
，
，又两直线不重合，直线
与
平行，
（3）直线
，
的斜率都不存在，且不重合，因此平行；
（4）
,
，直线
与
不平行，
题型二：已知直线平行求参数
6．若直线
与
平行，则实数
的值为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．2 或3
【答案】B
【分析】根据直线平行可得
，运算求解并代入检验即可.
【详解】若直线
与
平行，
则
，整理可得
，解得
或
，
若
，则
与
平行，符合题意；
若
，则
与
重合，不合题意；
综上所述：
.
故选：B.
7．已知直线
与
平行，则实数
的值为（ ）
A．
或0
B．
C．
或2
D．2
【答案】D
【分析】由题意
，得
，或
.当
时，
重合，不符合题意，当
时
，即得.
【详解】由题意
，可得
，或
，
当
时，
，
，此时
重合，不符合题意；
当
时，
，
，
，符合题意.
故选：D
8．已知两条直线：
，则
（ ）
A．或
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据两直线平行充要条件即可判断，
【详解】由题意知
，则
，解之可得
或
（舍）.
故选：D
9．已知直线：
，
：
，且
，则
（ ）
A．1
B．-2
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据两直线平行系数要求判断即可
【详解】因为
，
故
，解得
.
故选：C.
10．（多选）若直线：
与直线
：
平行，则实数
可能为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】BC
【分析】两直线平行的条件：对于直线
和直线
，若两直线平行，则
，且
或者
.我们先根据
求出
可能的值，再检验
是否满足后面的条件.
【详解】对于直线
和直线
.
由
可得：
,解得
或者
.
当
时：直线
，直线
.
此时
，两直线平行.
当
时：直线
，直线
.
此时
，两直线平行.
故选：BC.
11．（多选）已知直线
与
平行，则
的值可能是（ ）
A．1
B．3
C．4
D．6
【答案】BD
【分析】由两直线平行
求解即可；
【详解】由题意可得
，解得
或6，
经检验，当
或6，两直线的
，两直线平行，
故选：BD.
12．直线
与直线
平行，则
.
【答案】
或4
【分析】利用两条直线平行列式求解.
【详解】由直线
与直线
平行，
若
，则直线的方程为
，
的方程可化为
，两直线不平行，
故
，所以
，解得
或
.
故答案为：
或4
13．已知直线：
与直线
：
平行，则
.
【答案】3
【分析】根据两直线
平行的充要条件：
且
即可求解.
【详解】因为
，由两直线平行的充要条件可得，
且
，
解得
.
故答案为；
题型三：已知直线垂直求参数
14．已知
，直线
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】C
【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出
，
满足的条件，再由基本不等式求出最小值即
可．
【详解】因为
，所以
，即
，
因为
，
，所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
所以
的最小值为．
故选：C.
15．若直线
与直线
互相垂直，且
、
均为正实数，则
的最小值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由两直线垂直可得出
，将代数式
与
相乘，展开后利用基本不等式可求得
的最小值.
【详解】因为
、
均为正实数，且直线
与直线
互相垂直，
则
，可得
，
所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
因此，
的最小值为
.
故选：C.
16．已知直线
与
垂直，则实数
.
【答案】或
【分析】根据直线垂直的系数要求求解即可.
【详解】因为直线
与
垂直，
所以
，解得
或
，
故答案为：或
.
17．若直线
与直线
垂直，则
．
【答案】2
【分析】运用直线垂直的结论计算即可.
【详解】直线
与直线
垂直，则
，解得
.
故答案为：2.
18．已知直线
，若
，则实数
.
【答案】
或1
【分析】根据给定条件，利用直线垂直的充要条件列式计算即得.
【详解】
，则根据直线垂直的充要条件列式得到
，
解得
或.
故答案为：
或.
19．已知直线
与直线
互相垂直，则实数
的值为 ．
【答案】
或
【分析】利用斜率是否存在进行讨论分析，再由斜率之积为
列方程求参数.
【详解】当
时，
直线
化为：
，
直线
化为
，
此时两直线垂直，满足题意；
当
时，
直线
化为：
，
直线
化为
，
此时两直线不垂直，不满足题意；
当
且
时，
直线
的斜率为
，
直线
的斜率为
，
因为两直线垂直，所以
，解得
，
综上可得：实数
的值为
或，
故答案为:
或.
题型四：由平行关系求方程
20．过点
，且与直线
平行的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设出与已知直线平行的直线方程，再代入点
即可求出；
【详解】设与直线
平行的直线方程为
，
因为点
在直线上，所以
，
所以与直线
平行的直线方程为
.
故选：C.
21．过点
与
平行的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据直线与
平行设出直线方程，根据过点
即可求解.
【详解】设直线方程为
，因为直线过点
，
所以
，所以直线方程为
.
故选C.
22．过点
且与直线
平行的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意设线的方程为
，再根据经过点
，待定系数即可得答案.
【详解】由题可得，设平行于直线
的直线的方程为
，
因为直线过点
，
所以
，解得
，
所以直线的方程为
.
故选：D.
23．若直线过点
，且与直线
平行，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】根据平行条件设出直线的方程，再代入点
求解即可.
【详解】解：设过点
且与直线
平行的直线方程为
，
把点
代入直线方程得
故所求的直线方程为
.
故答案为：
24．过点
且与直线
平行的直线方程为
【答案】
【分析】根据平行关系求出直线斜率，点斜式即可得出直线方程.
【详解】由直线方程
可得该直线的斜率为
，
则与直线
平行的直线的斜率为
，
又直线过
，
由直线方程的点斜式得直线方程为
,
化为一般式得：
，
故答案为：
题型五：由垂直关系求方程
25．经过直线
与直线
的交点，且垂直于直线
的直线方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】联立方程组求出交点坐标，利用直线垂直的性质得到斜率，代入坐标求解方程即可.
【详解】根据题意，联立直线
的方程
解得
则直线
的交点坐标是
，
设与直线
垂直的直线方程为
，
代入点
，解得
，故所求直线方程为
，故A 正确.
故选：A
26．直线的一个方向向量的坐标为
，直线
过点
且与垂直，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意得直线的方向向量为直线
的法向量，列出点法式方程即可求解.
【详解】由题意得直线的方向向量为直线
的法向量，
由点法式方程可得
，
所以
.
故选：A.
27．经过点
且与直线
垂直的直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据垂直关系确定直线的斜率，再应用点斜式写出直线方程.
【详解】与直线
垂直的直线的斜率为
，又直线过点
，
所以所求直线方程为
，整理得
.
故选：C
28．过直线
的定点
，且与直线
垂直的直线的一般式方程为
.
【答案】
【分析】求出点
的坐标，再利用垂直关系设出直线方程，利用待定系数法求出方程.
【详解】直线
，即
，由
得点
，
设与直线
垂直的直线方程为
，则
，解得
，
所以所求直线方程为
.
故答案为：
29．设直线
过定点A，则过点A 且与直线
垂直的直线方程为 ．
【答案】
【分析】由已知得直线恒过的定点
，由两直线垂直其方程间的关系设过点A 的直线方程为
，代入可求得答案.
【详解】解：因为
，所以
，
所以直线
恒过定点
，即
，
因为过点A 且与直线
垂直，
所以设过点A 的直线方程为
，
所以
，即
，
所以所求直线方程为
，
故答案为：
.
30．已知
的顶点坐标为
，
，
．
(1)求
边上的高所在直线的方程；
(2)求线段
的垂直平分线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点斜式求得
边上的高所在直线的方程.
（2）根据中点和斜率求得线段
的垂直平分线的方程．
【详解】（1）直线
的斜率为
，所以
边上的高所在直线的斜率为
，
所以
边上的高所在直线的方程为
.
（2）线段
的中点为
，直线
的斜率为
，
所以线段
的垂直平分线的斜率为
，
所以线段
的垂直平分线的方程为
.
