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专题04 余弦、正切（型）函数的性质与图像十二大题型
题型一：五点作图法
题型二：余弦、正切（型）函数图像与其他函数交点个数问题
题型三：解余弦、正切（型）函数不等式
题型四：正切（型）函数的定义域
题型五：求单调区间
题型六：利用三角函数性质比大小
题型七：求三角函数的值域与最值
题型八：已知值域求参数
题型九：求周期，奇偶性，对称性
题型十、已知周期，奇偶性，对称性求参数
题型十一：与零点有关的问题
题型十二：求参数w
题型一：五点作图法
1．已知函数
.画出
在
上的图象.
【答案】答案见解析
【详解】因为
，所以列表如下：
0
π
x
0
π
y
2
4
0
0
2
2．已知函数
.
(1)求当
取得最大值时，
的取值集合；
(2)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数
在
上的图象.
【答案】(1)
(2)图象见解析
【分析】
【详解】（1）由题意
，当
取得最大值时，有
，
，
所以
，
，所以
的取值集合为
.
（2）列表如下：
x
0
0
0
2
则函数
在
上的图象，如图：
3．已知函数
.
(1)填写下表，并画出
在
上的图象；
0
(2)写出
的解集.
【答案】(1)表格见解析，图象见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）
0
0
0
（2）由
，
得
，
，
故
的解集为
题型二：余弦、正切（型）函数图像与其他函数交点个数问题
4．当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【详解】
与
在
上的函数图象如图所示，
由图象可知，两个函数图象交点的个数为4 个.
故选：B.
5．当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
【详解】由题得
的最小正周期为
，即在
内，
有3 个周期，
又其值域为
，且当
时，
，
在同一个坐标系内作出
与
的图象如图所示，
由图象知曲线
与
有6 个交点．
故选：A.
6．当
时，函数
与函数
的图象的交点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【详解】作出函数
在
上的图象与
在
的图象，如图，
观察图象，得函数
与函数
的图象的交点个数为2.
故选：C
7．在平面直角坐标系
中，曲线
与单位圆的交点个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【详解】
的最小正周期为
，
其中
，故
在单位圆上方，
同一坐标系内画出单位圆和
的图象，
在
左右两边会有两个交点，为④和⑤，可以看出共有8 个交点.
故选：B
题型三：解余弦、正切（型）函数不等式
8．已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为
，所以
．
若
，则
，则
，则
，故充分性成立；
若
，则
，则
，
此时未必有
，故必要性不成立，
即“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
9．函数y＝
的定义域为 ．
【答案】
【详解】作出函数
的图象，如图所示，
由
，即
，
由图象及函数的周期性和单调性可知
的解集为
，
从而函数的定义域为：
.
故答案为：
.
10．在
上，使不等式
成立的
的集合为 .
【答案】
【详解】由
，则
，
又
，所以所求集合为
．
故答案为：
．
11．设
，使
且
同时成立的x 的取值范围
【答案】
【详解】因为
，由正弦曲线，当
时，则
，
由余弦曲线，当
时，则
，
所以
且
同时成立的
取值范围为
.
故答案为：
.
12．观察正切曲线，写出满足下列条件的x 的取值范围.
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
（
）
(2)
（
）
【详解】（1）观察正切曲线，
在区间
内，可知
，此时满足
的x 的取值范围是
，
又正切函数的最小正周期为
，所以满足
的x 的取值范围是
（
）.
（2）观察正切曲线，
在区间
内，可知
，
.
此时满足
的x 的取值范围是
，
又正切函数的最小正周期为
，所以满足
的x 的取值范围是
（
）.
题型四：正切（型）函数的定义域
13．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意得
，即
，
解得
，即
，
所以函数
的定义域为
.
故选：D.
14．已知函数
的定义域为[-1,1]，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】已知函数
的定义域为
，对于
，则有
.
解得
.
因为函数
的定义域为
，所以对于
，有
.
正切函数
的周期是
，在
上单调递增，且
，
.
所以
，
.
解不等式
，可得
，即
。
；
解不等式
，可得
.
当
时，
；当
时，
.
综合前面两步，取
与
和
的公共部分.
与
的公共部分为
；
与
的公共部分为
.
所以函数
的定义域为
.
故选：B.
15．函数
的定义域为 ．
【答案】
【详解】由题知
，
解得
．
即函数
的定义域为
，
故答案为：
16．（1）函数
的定义域为 .
（2）函数
的定义域为 .
【答案】
【分析】
【详解】（1）由
，得
，
所以函数的定义域为
.
（2）由题意知
，解得
.
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
，
.
题型五：求单调区间
17．函数
和
都是增函数的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
函数
和
在
上的图像如图所示，
则由图像可知C 选项符合题意，
故选：C.
18．奇函数
的单调减区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题
为奇函数，需满足
.
代入得：
,
利用余弦函数的性质，当且仅当
时等式对所有
成立.
.
令
.
解得：
.
当
时，减区间为
，
故选: A.
19．已知函数
，则（ ）
A．增区间为
，
B．增区间为
，
C．减区间为
，
D．减区间为
，
【答案】C
【详解】由
解得
.
因此，函数
的单调递减区间为
，
.
故选：C.
20．（多选）下列函数中，在
上为单调增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】
时，
，
，
，
是正弦函数的单调递增区间，
和
不是正弦函数的单调递增区间，
故AC 选项错误，B 选项正确；
是正切函数的单调递增区间，D 选项正确.
故选：BD.
21．函数
的严格增区间为 ．
【答案】
【详解】由
，
令
, 解得
，
故
的严格增区间为
.
故答案为：
22．函数
的严格增区间是 ．
【答案】
【详解】令
，
则
为减函数，
要求
的严格增区间，
只需：
，即，
，
解得：
，
所以函数
的严格增区间是
.
故答案为：
题型六：利用三角函数性质比大小
23．若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，得
，即
；
由
，得
，即
；
又
，
所以
.
故选：C.
24．若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
，
且正弦函数
在
上单调递增，
因为
，所以
，即
，
又因为正切函数
在
上单调递增，且
，故
，
因此
.
故选：A.
25．若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意可知
，
，
，
根据诱导公式，则
，函数
在
上单调递增，
故
，
在
上单调递增，
则
，故
.
故选：B.
26．下列不等式中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，因
，又
在
上递增，
则
，可得A 选项错误；
对于B，因
，又
在
上递增，则
，
可得B 选项错误；
因
.则
，可得C 选项正确；
因
，又
在
上递减，则
，可得D 选项错误.
故选：C.
27．比较大小：
.
【答案】>
【详解】∵
，
.
又
，
在
内单调递增，
∴
，
∴
.
故答案为：>
题型七：求三角函数的值域与最值
28．已知函数
，则函数
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，则
，
所以
.
故选：B
29．函数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
所以当
时，
，
故选：B
30．关于函数
的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ）
A．最大值是
，最小值是
B．最大值是，最小值是
C．最大值是
，最小值是
D．没有最大值，最小值是
【答案】B
【详解】因为
在
上单调递增，
所以当
时，函数取得最小值，最小值为
，
当
时，函数取得最大值，最大值为
.
故选：B.
31．函数
在
上的值域为 ．
【答案】
【详解】由
，可得
，
根据正切函数的性质，可得
，
即函数
在
上的值域为
.
故答案为：
.
32．已知函数
，求函数的值域.
【答案】
【详解】由
可得
，
即
，
，
，
根据三角函数的性质，
，
因此
，两边同时平方可得
，即
，
解不等式，有
，
，
，
解得
或
.
故答案为：
题型八：已知值域求参数
33．已知函数
在区间
上既有最大值又有最小值，则关于实数
的取值，以下不可
能的是（ ）
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
【答案】D
【详解】由题意可知函数的周期
，最大值点满足
，解得
，
最小值点满足
，解得
，
因为函数
在区间
上既有最大值又有最小值，区间的长度为9，
对A，若
，当
时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间
内，故
A 正确；
对B，若
，当
时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间
内，故B
正确；
对C，若
，当
时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间
内，故C
正确；
对D，若
，当
时，最大值点为2026，当
时，最大值点为2038，此时不位于区间
内，故D 错误．
故选：D
34．已知
在区间
上的最大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，即
，
又
，所以
，所以
，
所以
，
．
故选：A．
35．若命题“
，
”为真命题，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为命题“
，
”为真命题，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
36．若函数
的定义域为
，值域为
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】观察
在
上的图象，
当
时，
或
，
当
时，
，
所以
的最小值为：
，
的最大值为：
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
37．若函数
在
上单调递减，且在
上的最大值为
，则
.
【答案】
/-0.25
【详解】因为函数
在
上单调递减，
所以
，
，则
，
又因为函数在
上的最大值为
，
所以
，即
，
所以
.
故答案为：
题型九：求周期，奇偶性，对称性
38．已知函数
，若
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．
【答案】D
【详解】
的定义域为
．
令
，
则
，所以
为奇函数，
又
，所以
，
则
，所以
．
故选：D
39．已知函数
，则（ ）
A．
是最小正周期为
的奇函数
B．
是最小正周期为
的偶函数
C．
是最小正周期为
的奇函数
D．
是最小正周期为
的偶函数
【答案】C
【详解】由诱导公式得
，
因为
，
所以
是奇函数，其最小正周期为
.
故
为最小正周期为
的奇函数.
故选：C.
40．函数
的一个对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据正切函数图象性质令
,
解得
，
若
，不满足题意，A 错误；
若
，可得
时，此时的对称中心为
，B 正确；
若
，不满足题意，C 错误；
若
，不满足题意，D 错误.
故选：B
41．函数
的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，
，解得
，
，
当
时，
，
所以函数
的图象的一条对称轴方程为
.
故选：D.
42．（多选）已知函数
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
与
的最小正周期相同
B．
与
在
上单调性相同
C．
与
的零点相同
D．
与
的对称中心相同
【答案】AD
【详解】函数
的最小正周期为
，函数
的最小正周期为
，故A 正确，
当
时，
，所以函数
在区间
上单调递减，
当
时，
，所以函数
在区间
上单调递增，故B 错误，
令
，得到
,
令
，得到
,两个函数零点不同，故C 错误，
函数
的对称中心满足
，即
对称中心为
,
函数
的对称中心满足
，即
对称中心为
，
令
，即
对称中心为
，与
对称中心相同，故D 正确.
故选：AD.
43．已知函数
的部分图象如图所示（P 为图象与x 轴的一个交点，Q 为
图象的一个最高点），且
，则
的一个对称中心可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设函数
的最小正周期为
，
结合图象可知
，
则
，即
，
且
，则
，解得
，所以
，
令
，解得
，
可知
的一个对称中心为
.
对于选项A：令
，解得
，故A 错误；
对于选项B：令
，解得
，故B 正确；
对于选项C：令
，解得
，故C 错误；
对于选项D：令
，解得
，故D 错误；
故选：B.
题型十、已知周期，奇偶性，对称性求参数
44．已知函数
，则“
”是“
为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若
，则
，函数的定义域为
，关于原点对称，
因
，则
是偶函数，即充分性成立；
若函数
为偶函数，
，
则
，
，即必要性不成立.
所以“
”是“函数
为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A．
45．“
，
”是“函数
关于直线
对称”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由
关于
对称，
代入可得
，
解得
，
即
与
是等价的，所以必要性成立.
反之，若
，当
时，
，故函数关于
对称，所以充分性成立.
综上，两者互为充要条件.
故选：
46．设
，若直线
与函数
图象的相邻两个交点的距离为
，则
的值为
．
【答案】3
【详解】因为直线
与函数
图象的相邻两个交点的距离为
，
所以
，解得
.
故答案为：3.
47．若将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，
则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可知，
为奇函数，
则
，得
，
因为
，所以
.
故选：D
48．已知函数
为偶函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
的定义域为
，令函数
，
，即函数
是奇函数，
而函数
是偶函数，则函数
是奇函数，
因此
，解得
，又
，
所以当
时，
取得最小值
.
故选：C
49．将函数
的图象向左平移
个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位长度后，
所得的图象对应的函数为
，
由题意知
的图象关于原点对称，即函数为奇函数，
故
，
即
，
故
，
即
，
因为
，故当
时，m 取最小值
.
另解：由题意知
的图象关于原点对称，
故
，即
，
因为
，故当
时，m 取最小值
，
故选：A
题型十一：与零点有关的问题
50．已知函数
，且
在
上有且只有一个零点，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】函数
，由
，得
，而
，解得
，
则
，由
，得
，
由
在
上有且只有一个零点，得
，解得
，
而
，因此
，
，所以
.
故选：A
51．当
时，函数
与
的图象所有交点横坐标之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】作出函数
和
在
上的图象如下
从图像上可得：函数
的图象和
的图象在
内有两个交点：
，即
，得
，
，
，得
，
所有交点横坐标之和为
.
故选：A
52．函数
的所有零点之和为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，可得
，其中
，
可得
，
则函数
的零点，即为
与
在
上交点的横坐标，
画出函数
与
在
的图象，
可得两函数的图象共有7 个公共点，且关于原点对称，所以7 个零点之和为0，
即
，
可得
，
可得
.
即原函数所有零点之和为
.
故选：C.
53．已知函数
在区间
上恰好有3 个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当
时，
，
由题意函数
在区间
上恰好有3 个零点，
则根据余弦函数的图象与性质知
，
结合
解得
，
即
的取值范围是
，
故答案为：
．
54．设函数
是定义在R 上的偶函数，且
，当
时，
，则函数
在
上所有零点之和为 ．
【答案】8
【详解】首先由条件可知，函数
关于
轴对称，
又因为
，所以函数
关于直线
对称
再根据当
时，
，可以画出函数
的图像，
同一坐标系下再画出函数
的图像，
由图可知，
时，两个函数有8 个交点，根据对称性可知，所有交点关于
对称，所以所有零
点和为8.
故答案为：8
题型十二：求参数w
55．已知函数
的最小正周期为
，且
，若
在
上有
且只有三个最值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，
故
，
故
，即
，
因为
，所以
，故
，
当
时，
，
要想
在
上有且只有三个最值点，
则要
，解得
即
的取值范围是
，
故选：B.
56．已知函数
，若
在区间
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，由于
，则
，
因为
在区间
上单调递增，则
，
所以，
，解得
，因此，
的取值范围为
.
故选：A.
57．若
，函数
恰有4 个零点，则实数
的取值范围是 .
（结果用区间表示）
【答案】
【详解】函数
在
上单调递增，且
，
所以
，使得
，函数
在
上只有1 个零点，
要使函数
恰有4 个零点，则函数
在
上只有3 个零点，
由
，得
，
则
，解得
.
故答案为：
.
58．已知函数
（
），若
在区间
上有且仅有
个零点和个最大
值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，设
；
在区间
上有且仅有4 个零点和1 个最大值点，
即
在区间
上有且仅有4 个零点和1 个最大值点.
作出
的图象如图.
由
在区间
上有且仅有
个零点，得
①；
又
在区间
上有且仅有个最大值点，得
②；
依题意需同时满足①②式，于是得
，
即
，解得
，
故
的取值范围是
.
故选：A
59．已知函数
在区间
上有定义，且其图象在区间
上至少有两个对
称中心，则
的取值范围为 .
【答案】
【详解】当
，
，
若函数
（
）在区间
上有定义，
则
，解得
，
函数的对称中心满足
，
，整理得
，
，
其图象在区间
上至少有两个对称中心，则
在区间
上至少有两解，
整理得至少存在两个
值使
，
，
故至少有
两个取值，所以
，
综上，
的取值范围为
.
故答案为:
.
60．已知函数
在
上是增函数，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】根据题意，
，解得
，又
，则
；
当
，
，
由题可得
，解得
；
综上所述，
的取值范围是
.
故答案为：
.
