专题04 等差数列的前n 项和
教学目标
1．掌握等差数列前n 项和的两个核心公式，能根据已知量选择合适公式进行计算。
2．理解并运用等差数列前n 项和的相关性质，解决数列相关推导与计算问题。
3．掌握判断等差数列前n 项和最值的方法，能准确求解其最大值与最小值。
教学重难点
重点：掌握等差数列前n 项和公式及性质，能熟练进行计算与应用。
难点：灵活运用前n 项和性质解题，结合数列特征分析并求解前n 项和最值。
知识点01 等差数列的前n 项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
公式
等差数列前n 项和的函数特点：
对于等差数列
,如果
是确定的,前
项和
.
若取
,上式可写成
.
当
(即
)时,
是关于
的二次函数式(常数项为0).数列
的图象是抛物线
上的一群孤立的点.
【即学即练】
1．记
为等差数列
的前
项和.若
，则
【答案】100
【详解】因为
为等差数列
的前
项和，设等差数列
的公差为
.
所以
，故
又
，故
，
所以
.
故答案为：100.
2．如果等差数列
的前n 和项
满足：
，
，那么
的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【详解】由
，
，
可得
，
，
则
．
故选：C.
知识点02 等差数列前n 项和的性质
（1）等差数列
中,其前
项和为
,则
中连续的
项和构成的数列
构成等差数列.
（2）数列
是等差数列
(
为常数)即不含常数项的二次函数式
（3）等差数列奇偶项和的性质：
①若项数为
,则
②
【即学即练】
3．已知等差数列
的前
项和分别为
，且
，则
．
【答案】
/
【详解】由
可得
，
又
，
故
，
故答案为：
4．已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．16
B．18
C．24
D．26
【答案】B
【详解】因为
是等差数列，所以
也是等差数列，
即
，即
，解得
.
故选：B.
知识点03 等差数列前n 项和
的最值
（1）若
,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得
的最小值.
（2）若
,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得
的最大值.
【即学即练】
5．已知等差数列
的前n 项和为
，则
取得最小值时，n 的值为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】A
【详解】因为
为等差数列，
，
所以等差数列
的前8 项为负数，从第9 项开始为正数，
所以
取得最小值时
为8.
故选：A.
6．等差数列
的前
项和为
，
，则
取最大值时的
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题可知，
则
，
又
，
则
，
则
因此
，故
取最大值时的n 值为7
故选：A.
题型01 求等差数列的前n 项和
【例1】已知正项等差数列
中，
，
，若
，则
（ ）
A．10
B．13
C．15
D．17
【答案】C
【详解】设等差数列的首项为
，公差为
，则由
，得
，
解得
或
（舍），
，
设等差数列
的前n 项和为
，则
，
故
，
，即
.
故选：C.
【例2】已知等差数列
的公差为
，
，则
的前
项和
．
【答案】
【详解】由于
，故
，
所以
，
故答案为：66
【变式1-1】等差数列
前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．52
D．104
【答案】C
【详解】设等差数列
的公差为
，
由
，得
，
，
，
，即
.
等差数列前
项和
，而
，
故
.
故选：C
【变式1-2】已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．8
B．11
C．15
D．20
【答案】C
【详解】设等差数列
的公差为
，
由等差数列通项公式，
，
，代入
，
得
，
化简得
，即
，故
.
等差数列前
项和
，由等差数列性质
，
得
.
故选：C
【变式1-3】记等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
．
【答案】36
【详解】设等差数列的公差为
，则由题意得，
，
，
得
，
则
.
故答案为：
题型02 等差数列前n 项和的基本量计算
【例3】已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．3
B．0
C．
D．6
【答案】C
【详解】由等差数列性质得：
，
所以
，
，
，
．
故选：C
【例4】已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．16
【答案】B
【详解】设等差数列
的首项为
，公差为
，
由题知
，解得
，
从而
.
故选：B
【变式2-1】记
为等差数列
的前
项和，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得
,解得
，
又
，解得
,
故选：C
【变式2-2】记
为等差数列
的前
项和，若
，则
的值为 .
【答案】3
【详解】记
为等差数列
的前
项和，
因为
，所以
，所以
，
则
.
故答案为：3.
【变式2-3】等差数列
的前
项和为
，
，
，
，则
（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【详解】已知数列为等差数列，且
，
，
则
，
，即
，
，
，
，满足
，故
.
故选：B
可由
与
构造关于
的方程组即可求解
题型03 等差数列片段和性质
【例5】已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则
.
【答案】9
【详解】在等差数列
中，
，
，所以
，
，
故
构成公差为2 的等差数列，
所以
，即
.
故答案为：9
【例6】已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设等差数列
的公差为
.因为
是等差数列
的前
项和，
所以
，
，
，
.
所以
.
所以
.
所以
成等差数列.
由
，得
，所以
.
所以
，所以
是公差为
的等差数列.
所以
.
所以
.
故选：A.
【变式3-1】设
是等差数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．8
B．10
C．14
D．18
【答案】D
【详解】方法一：因为
是等差数列，前
项和是
，
所以
仍成等差数列，
由
，
知
，
，
所以
成等差数列，所以
，解得
.
方法二：设等差数列
的首项为
，公差为
，
则
，
所以
，
得
，解得
，
所以
，
故选：D.
【变式3-2】已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
.
【答案】56
【详解】因为
是等差数列，所以
成等差数列，
则
，即
，解得
.
故答案为：
【变式3-3】已知等差数列
的前
项和为
，且
，
，则
，
.
【答案】
【详解】由于
，
.
故
的公差
满足
从而
，得
，所以
，得
.
这意味着
，所以
.
从而
，代入
得
.
故答案为：；
等差数列
中,其前
项和为
,则
中连续的
项和构成的数列
构成等差数列.
题型04 等差数列的奇数项和和偶数项和
【例7】在等差数列
中，已知
，公差
，那么这个数列前100 项的和等于
（ ）
A．51
B．100
C．150
D．200
【答案】C
【详解】因为
，
所以
.
故选：C.
【例8】已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的
项数为（ ）
A．15
B．17
C．19
D．21
【答案】C
【详解】设等差数列的项数为
，
设所有的奇数项和为，则
，
设所有的偶数项和为
，则
，
由
，解得
，
项数
.
故选：C.
【变式4-1】已知等差数列
的项数为
其中奇数项之和为
偶数项之和为
则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】项数为
的
中奇数项共有
项,
其和为
项数为
的
中偶数项共有
项, 其和为
所以
解得
故选: A.
【变式4-2】一个等差数列共有2n 项，奇数项的和与偶数项的和分别为24 和30，且末项比首项大10.5，
则该数列的项数是（ ）
A．4
B．8
C．12
D．20
【答案】B
【详解】根据等差数列的性质得：
，
，
解得：
，故该数列的项数为
.
故选：B
【变式4-3】若
成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（ ）
A．4
B．5
C．9
D．11
【答案】C
【详解】由题设
，则
，显然
，
所以
，可得
，则共有
项.
故选：C
等差数列奇偶项和的性质：
①若项数为
,则
②
题型05 等差数列的前n 项和的比值（含同下标和不同下标）
【例9】两个等差数列
和
的前
项和分别为
、
，且
则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
两个等差数列
和
的前
项和分别为
、
，
，
.
故选：A.
【例10】已知等差数列
的前
项和分别为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因
分别是等差数列
的前
项和，由
，
可设
，
，则
，
于是
，
，
则
.
故选：A.
【变式5-1】已知等差数列
与
的前
项和分别为
，
，且
，则
的值为 .
【答案】
/
【详解】等差数列
与
的前
项和分别为
，
，且
，
则
.
故答案为：
.
【变式5-2】若两个等差数列
和
的前
项和分别是
和
，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，由已知条件不妨设
，
所以
.
故选：D.
【变式5-3】等差数列
，
的前
项和分别记为
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
所以
.
故选：D
题型06 等差数列前n 项和的最值问题
【例11】已知等差数列
的公差
，前
项和为
，且
，则（ ）
A．
，
或
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【详解】因为等差数列
的公差
，且
，
所以等差数列
单调递减，
当
时，
成立；
当
时，
，
，
若此时等号成立，即
，此时
；
当
时，
，
若此时等号成立，即
，此时
；
综上，
，
或
，
.
故选：A
【例12】在数列
中，
，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前n 项和
的最大值．
【答案】(1)
(2)40
【分析】
【详解】（1）
数列
满足
，
，
是等差数列，
设
的公差为d，则
，即
，解得
，
，
．
（2）令
，得
，解得
，
所以当
或5 时，
有最大值，
且最大值为
．
【变式6-1】设
是等差数列
的前n 项和，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意等差数列的公差
，
则
，当
时等号成立．
故选：B
【变式6-2】已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
取得最小值时
的值为
．
【答案】8
【详解】由已知数列
为等差数列，则
，又
，所以
，
所以
，数列
为递增数列，
则当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
取得最小值.
故答案为：.
【变式6-3】已知数列
是公差为d 的等差数列，其前n 项和为
且
，若
对任意的
恒成立，则公差d 的取值范围为 ．
【答案】
【详解】数列
是公差为d 的等差数列，设
，
由
，得
，解得
，则
，
由
对任意的
恒成立，得
.
所以公差d 的取值范围为
．
故答案为：
求等差数列的前
项和
的最值通常有两种思路
（1）将
配方。转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来
解决;
(2)邻项变号法：当
时,满足
的项数
使
取最大值.
当
时,满足
的项数
使
取最小值.
题型07 等差数列前n 项和的二次函数特征
【例13】（多选）等差数列
的前
项和为
，若
，则（ ）
A．
的公差为2
B．
C．
的最大值为32
D．使得
的
的最大值为11
【答案】BD
【详解】设数列
的公差为
，由题意得
，解得
，
所以
.
对于A，公差
，故A 错误；
对于B，
，则
，故B 正确；
对于C，
，故
的最大值为
，故C 错误；
对于D，由
，解得
，又因为
，所以使得
的
最大值为11，故D 正
确.
故选：BD.
【例14】设等差数列
的前n 项和为
，若
> 0，
，则
时，n 的最大值为（ ）
A．14
B．13
C．11
D．7
【答案】B
【详解】∵等差数列
的前n 项和
是二次函数，且
得，
∴
，即
,
所以n 的最大值为13，
故选：B
【变式7-1】（多选）已知
是等差数列
的前
项和，则下列选项中可能是
所对应的图象的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】设等差数列
的公差为
，则等差数列
的前
项和公式为
，
当
时，
是过原点的直线上的点，所以选项B 正确，
当
时，
是关于
的二次函数
，且该二次函数的图象过原点，
则
是过原点的抛物线上的点，所以选项A、D 正确．
故选：ABD．
【变式7-2】在等差数列
中，
，且
，
是其前
项和，则（ ）.
A．
都小于0，
都大于0
B．
都小于0，
都大于0
C．
都小于0，
都大于0
D．
都小于0，
都大于0
【答案】B
【详解】等差数列
中，
，故
，
且
，故
，
所以
,
,
结合
，可知，
都小于0，
都大于0.
故选：B
【变式7-3】（多选）已知等差数列
的前n 项和为
,公差
,若存在正整数m,k（
）,使得
,则（ ）
A．
B．当
时,
C．
存在最小值
D．当
为偶数时,
【答案】AB
【详解】设
,由
（
）,可知二次函数
的图象关于直线
对
称,
所以
,即
,A 正确.
因为
,所以当
时,
,B 正确.
取
,则
,但
不存在最小值,C 错误.
若
为偶数,不妨设
,由
,可得
,即
,
则
,即
,即
,所以
不成立,D 错误.
故选：AB.
题型08 求数列{|an|}的前n 项和
【例15】在等差数列
中，
，
，求
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设等差数列
的公差为
，则
，
所以
，
故
，
所以
.
故选：C.
【例16】在等差数列
中，
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）设等差数列
的首项为
，公差为
.
因为在等差数列
中，
，
所以
，解得
.
所以
的通项公式为
.
（2）令
，解得
，令
，解得
.
当
时，
，则
.
此时
.
当
时，
因此，
的前
项和
【变式8-1】（多选）已知数列
的前
项和
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
取得最大值时，
C．
D．
【答案】AC
【详解】因为数列
的前
项和
，
则
，
，
当
时也成立，所以
，故A 正确；
由
，得
，当
时
，当
时，
，
所以
取得最大值时，
或
，故B 错误；
因为当
时，
，当
时
，
所以
，故C 正确；
因为
，故D 错误.
故选：AC.
【变式8-2】在数列
中，已知
，则
.
【答案】
【详解】由
，得
，
所以数列
是公差为4 的等差数列，且
，
所以
，
，
当
时，
，
时，
，
所以
.
故答案为：
【变式8-3】已知数列
为等差数列，
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）设等差数列
的公差为d，
因为
，所以
．
又因为
，则
，
所以数列
的通项公式
．
（2）由（1）知，
．
当
时，
，
；
当
时，
，
．
综上，
.
若
为等差数列,求数列
的前
项和
的方法:
（1）首先由通项公式
求出数列正项和负项的临界项数
;
（2）①若
,则数列
的前
项和
②若
,则数列
的前
项和
题型09 等差数列前n 项和的实际应用
【例17】已知某砖塔有15 层．该塔底层（第一层）的底面面积为
，所有层的底面面积之和为
，
且该塔自下而上每层底面面积依次构成递减的等差数列，则该塔自下而上数第6 层的底面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设等差数列的公差为
，且
，由题意得
，
，
而
，可得
，则解得
，
故
.
故选：B
【例18】甲、乙两物体分别从相距
的两处同时出发相向运动，甲第一分钟运动
，以后每分钟比前
一分钟多运动
，乙每分钟运动
.甲、乙开始运动后 分钟相遇？
【答案】6
【详解】设n 分钟后相遇，依题意得
，
整理得
，解得
或
(舍去)，
所以甲、乙开始运动后
分钟相遇．
故答案为：6.
【变式9-1】据有关文献记载：我国古代一座9 层塔共挂了126 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层
灯数都多3 盏，则塔的底层共有灯 盏．
【答案】26
【详解】依题意，9 层塔从上层到下层挂灯盏数依次排成一列可得等差数列
，
所以
，解得
，
所以
，即塔的底层共有灯26 盏．
故答案为：26.
【变式9-2】现有十个盒子，总质量为35 千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差
数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒
子最少是（ ）
A．2 千克
B．3 千克
C．5 千克
D．7 千克
【答案】C
【详解】依题意设十个盒子的质量构成的等差数列为
，首项为
，公差为
（
），
则这十个盒子的质量分别为：
，
则前三位盒子总质量为：
，
后三位盒子总质量为：
，
依题意可得：
，化简得：
，
，即
，
由
，且
，
所以
，有
，解得
，
又因为
是关于
的减函数，
当
取最大值
时，
取得最小值，
.
故选：C.
【变式9-3】某村超体育场观众席位初始设有座位3006 个，共计9 排. 自第二排起，每一排的座位数均比
前一排多3 个. 后来因村超赛事热度急剧攀升，需对观众席进行改造. 改造内容包括每一排增加相同数量的
座位，以及从最后一排向外扩充座位的排数. 由于场地限制，具体改造方案为:①原有座位每一排均增加
个座位；②在原有9 排基础上， 从最后一排向外扩充3 排 (即改造后共12 排)， 且扩充的每一排座位数
仍保持比前一排多3 个的规律.
(1)该体育场观众席第一排原有多少个座位？
(2)若要求改造后的总座位数不少于4200 个，求
的最小值.
【答案】(1)322
(2)12
【分析】
【详解】（1）设第一排原有
个座位，由题意可知
，解得
.
故该体育场观众席第一排原有322 个座位.
（2）由（1）知，第一排原有322 个座位，则改造后第一排的座位数为
个.
因为改造后为12 排，且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3 个的规律，
所以改造后第12 排的座位数为
个.
所以改造后的总座位数为
.
由题意知
，解得
.
因为
为整数，所以
的最小值为12.
一、单选题
1．已知等差数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．2
B．14
C．20
D．28
【答案】B
【详解】因为等差数列
的前
项和为
，设公差为
，
则
，即
,
所以
,
故选：B
2．等差数列
的前n 项和为
，已知
，
，当
时，则n=（ ）
A．13
B．12
C．24
D．25
【答案】D
【详解】
，
．
，
则
，
．
故选：D.
【点睛】等差数列常用结论：
若等差数列
的项数为偶数
，则
；
若等差数列
的项数为奇数
，则
.
3．已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．13
B．15
C．17
D．19
【答案】C
【详解】设等差数列
的公差为
，则
，解得
，
故
.
故选：C.
4．设等差数列
的前
项和分别为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
所以
．
故选：A
5．等差数列
的前
项和为
，若
，则使得
的最小的
为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】C
【详解】在等差数列
中，∵
，
所以使得
的最小的
为15.
故选：C.
6．已知
为等差数列
的前
项和，
为其公差，且
，给出以下命题：①
；②
；③满足
成立的最小的
值为18；④使得
取得最大值时的
为9.其中正确命题的序号为
（ ）
A．①③④
B．②③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】D
【详解】由题意可得
，所以
，
，故①②对；
由
，可知
，
所以满足
成立的最小的
值为18，③对；
由
可知，等差数列
的前项为正，从第10 项开始为负，所以使得
取得最大值时的
为9.
故④对.综上，正确命题的序号为①②③④.
故选：D
7．已知等差数列
满足
，在
和
之间插入k 个1，得到新数列
，则
的前90 项和
为（ ）
A．168
B．188
C．212
D．222
【答案】D
【详解】设新数列
的前90 项包含原数列
的前
项，
因为
和
之间插入k 个1，所以在
前插入的1 的总数为
，
则新数列
到
为止的前的总项数为
，
当
时，可得
；
当
时，可得
，
所以新数列
的前90 项包含原数列
的前
项和78 个1，
因为等差数列
满足
，
所以新数列
的前90 项和为
.
故选：D.
二、多选题
8．已知等差数列
的前
项和为
，若
，则下列一定为负数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由
可得
，故A 正确；
又
，因
，
，则
，不能判断该项的正负，故B 不合题
意；
因
，故C 正确；
对于D，
，因
，故
，即D 正确.
故选：ACD.
9．设等差数列
的前
项和为
，公差为
，
，
，
，下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
的最大值为
C．当
时，
的最大值为12
D．数列
前
项和为
，
最大
【答案】ABD
【详解】因为等差数列
中
，
，
所以
，
又
，所以
，故A 正确；
因为当
时，
，当
时，
，
所以
的最大值为
，故B 正确；
因为
，
所以
，故C 错误；
因为
，所以
，
令
，所以数列
为递减数列，
，.
由
得
，
所以数列
的前
项和最大时，
，
即数列
前
项和为
，
最大，故D 正确.
故选：ABD.
10．记
为数列
的前n 项和，已知
，
是公差为d 的等差数列，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
是等差数列
D．“
”是“
”的充要条件
【答案】ACD
【详解】根据题意，
是公差为d 的等差数列，
则
，则
，
当
时，
，
当
时，满足上式，所以
，
则
，
所以
是等差数列，C 正确；
若
，则
，所以
，A 正确；
若
，
，B 错误；
因为
，
所以“
”是“
”的充要条件，D 正确.
故选：ACD
三、填空题
11．春节贴春联是中华传统习俗，某手工春联作坊从腊月廿一开始每日量产春联，每日比前一日多产出5
副，腊月廿一至腊月廿九不间断生产，累计产出春联360 副，则腊月廿七产出的春联为 副．
【答案】50
【详解】由题意得每日生产的春联符合等差数列
，
且公差
，
，即
，解得
，
则腊月廿七产出的春联为
，
故答案为：50.
12．已知数列
满足
，则
.
【答案】82
【详解】已知数列
满足
，
（
），
由递推式可得：
，
，
，
.
将以上各式相加，左边消去相同项后得：
，
又
，所以当
时，
，
又当
时，
依然成立，
所以
，
令
，得：
.
故答案为：82
13．已知等差数列
的首项为
为其前
项和，若
也是等差数列，则
.
【答案】
/
【详解】设等差数列
的公差为
，等差数列
的公差为
，而
，
则
，
，而
，
由
，得
；由
，得
，
联立解得
，此时
，
都是等差数列，符合题意，
所以
.
故答案为：
四、解答题
14．记
为等差数列
的前
项和，已知
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
由题意得
，
，
联立
，解得
，
则
，故
，
且
，故
.
（2）由（1）得
，
当
且
时，
，当
且
时，
，
当
且
时，
，
当
且
时，
，
即
，
综上，
.
15．记
是公差不为
的等差数列
的前
项和，若
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求使
成立的
的可能取值有哪些？
【答案】(1)
(2)
或
【分析】
【详解】（1）设等差数列的首项为
，公差为
，
由
=
，解得：
，
又因为
，所以
，
，
数列的通项公式为：
.
（2）由等差数列的前n 项和公式可得：
，
则不等式
，即：
，整理可得：
，
解得：
，又
为正整数，故
或
.
16．已知数列
的前
项和
，且
.
(1)证明：
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）因为数列
的前
项和
，且
，
所以
，且
，所以
.
当
时，
所以
，
所以
.
因为
，所以
，即
.
所以数列
是首项为1，公差为1 的等差数列；
（2）由（1）知
，所以
.
所以
.
当
时，
；
当
时，
.
所以
.
