专题04 函数的概念及其性质（单调性、奇偶性、对称性）
考点01 函数的概念、同一函数的判断
考点02 抽象函数定义域、常见函数值域、解析式求法
考点03 分段函数及其应用
考点04 函数单调性的判断及单调区间的求解
考点05 根据函数的单调性求参数、求最值
考点06 函数的奇偶性的判断与证明
考点07 根据函数的奇偶性求参数、求解析式
考点08 函数的对称性与周期性与类周期函数
考点09 利用函数的性质比较大小与解不等式
考点10 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
考点01 函数的概念、同一函数的判断
1.下列图象中，能表示函数y = f (x)图象的是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．①③
2.给定数集A = R ,B =(0,+ ∞), x , y满足方程x
2- y =0，下列对应关系f 为函数的是（ ）
A．f : A →B , y = f ( x)
B．f :B→A , y = f ( x)
C．f : A →B , x = f ( y)
D．f :B→A , x = f ( y)
3.设M ={x|0≤x ≤4 }，N ={ y |- 4≤y ≤0}，函数f (x)的定义域为M，值域为N，则f (x)的图象可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4.下列对应是从集合A 到集合B 的函数的是（ ）
A．A = N ,B = N ,f : x→y =(x – 1)
2
B．A = N ,B = N ,f : x→y =± ❑√x
C．A = N ,B =Q,f : x→y =
1
x – 1
D．A =R ,B = {y | y >0},f : x→y =|x|
5.下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．f ( x)= x ,g( x)= x
2
x
B．f ( x)= x( x∈R),g( x)= x( x∈Z )
C．f ( x)=|x|,g( x)=¿
D．f ( x)= x , g( x)=(❑√x)
2
6.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f (x)＝e
lnx，g(x)＝x
B． f (x)＝x
2- 4
x +2 ,g(x)＝x－2
C．f (x)＝sin 2 x
2cos x , g(x)＝sin x
D． f (x)＝|x|，g(x)＝
❑√x
2
7.下列函数中，与y = x是相同的函数是
A．y =
❑√x
2
B．y =lg10
x
C．y = x
2
x
D．y =
❑√(x -1)
2+1
8.下列各组函数相等的是（ ）
A．f (x)= x
2，g(x)=(❑√x)
4
B．f (x)= x -1，g(x)= x
2
x -1
C．f (x)=1，g(x)= x
0
D．f (x)=|x|，g(x)=¿
考点02 抽象函数定义域、常见函数值域、解析式求法
9.函数f (x)= ❑√
3- x
x -1
的定义域为（ ）
A．(-∞,3]
B．(1,+∞)
C．(1,3]
D．(-∞,1)∪[3,+∞)
10.函数y =
❑√- x
2-3 x + 4
x
的定义域为（ ）
A．[- 4,1]
B．[- 4,0)
C．(0,1]
D．[- 4,0)∪(0,1]
11.函数y =
ln( x +1)
❑√- x
2-3 x + 4
的定义域为（ ）
A．(- 4 ,-1)
B．(- 4,1)
C．(-1,1)
D．(-1,-1]
12.已知函数f (x)=
x
❑√2
x - 4
x ，则函数f (x -1)
x +1
的定义域为（ ）
A．(-∞,1)
B．(-∞,-1)
C．(-∞,-1)∪(-1,0)
D．(-∞,-1)∪(-1,1)
13.若函数y = f (2 x)的定义域为[-2,4]，则y = f (x)- f (- x)的定义域为（ ）
A．[-2,2]
B．[-2,4]
C．[- 4,4]
D．[-8,8]
14.若函数f (x)的定义域是[0，4]，则函数g(x)= f (2 x)
x
的定义域是
A．[ 0，2]
B．(0，2)
C．[0，2)
D．(0，2]
15.已知函数y = f (x)的定义域为[0,4]，则函数y = f ( x +1)
❑√x -1 +( x -2)
0的定义域是（ ）
A．(1,5]
B．(1,2)∪(2,5)
C．(1,2)∪(2,3]
D．(1,3]
16.定义域是一个函数的三要素之一，已知函数Jzzx( x)定义域为[211,985]，则函数shuangyiliu( x)
= Jzzx(2018 x)+ Jzzx(2021 x)的定义域为（ ）
A．[
211
2018 , 985
2021]
B．[
211
2021 , 985
2018]
C．[
211
2018 , 985
2018]
D．[
211
2021 , 985
2021]
17.（23-24 高一上·陕西西安·期中）已知函数f (x)=
❑√m x
2+(m-3)x +1的定义域为R，则实数m的取值范
围是（ ）
A．[1,9]
B．(1,9)
C．(-∞,1]∪[9,+∞)
D．{3}
18.已知函数f ( x)=
❑√(a
2-1) x
2+(a+1)x +1的定义域为R，则实数a 的取值范围为（ ）
A．[-1, 5
3]
B．(-∞,-1)∪[
5
3 ,+∞)
C．[
5
3 ,+∞)
D．(-∞,-1]∪[
5
3 ,+∞)
19.若函数f ( x )=1
❑√k x
2+ kx +1的定义域为R，则实数k 的取值范围是（ ）
A．(0,4)
B．[0,4)
C．[0,4]
D．(0,4]
20.已知函数f (x)的定义域{x∣a
2- 4 a< x<a
2-8}是关于x的不等式(x +a+2)(x -2)>0的解集的子集，则
实数a的取值范围是（ ）
A．[2+ ❑√6,+ ∞)
B．¿
C．(2,2+ ❑√6]
D．(2,3]
21.已知函数f ( x)=- x
2-2 x +3，则f ( x +1)= ．
22.已知函数f ( x)=ax -b(a>0)，f (f ( x))= 4 x -3，则f (2)=
．
23.若三角形的面积为S（cm
2），底边长为10cm，底上的高为h（cm），则h 关于S 的函数关系式是
．
24.已知集合A =¿，函数f (x)= x
2-1.若函数g(x)满足：对任意u(x)∈A，存在λ , μ∈R，使得
u(x)= λf (x)+ μg(x)，则g(x)的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即可）
25.已知函数f (1- x)= 1- x
2
x
2
(x≠0)，则f (x)=（ ）
A．
1
(x -1)
2 -1(x≠0)
B．
1
(x -1)
2 -1(x≠1)
C．
4
(x -1)
2 -1(x≠0)
D．
4
(x -1)
2 -1(x≠1)
26.已知函数f (1- x)= 1- x
2
x
2
(x≠0)，则f (x)=（ ）
A．
1
(x -1)
2 -1(x≠0)
B．
1
(x -1)
2 -1(x≠1)
C．
4
(x -1)
2 -1(x≠0)
D．
4
(x -1)
2 -1(x≠1)
27.已知函数f (x)满足：f(x - 1
x)= x
2+ 1
x
2，则f (x)的解析式为（ ）
A．f (x)= x
2+2
B．f (x)= x
2
C．f (x)= x
2+2(x≠0)
D．f (x)= x
2-2(x≠0)
28.函数f (x)满足若f (g(x))=9 x +3，g(x)=3 x +1，则f (x)=（ ）
A．f (x)=3 x
B．f (x)=3
C．f (x)=27 x +10
D．f (x)=27 x +12
29.已知函数f ( x)= 1
x (1≤x ≤2),则函数g( x)=2f ( x)+ f ( x
2)的值域为（ ）
A．[3,2+2❑√2]
B．[ 5
4 ,3]
C．[ 9
16 ,3]
D．[ 1
2 + ❑√2,3]
30.函数y = x -
❑√4 x - x
2的值域为（ ）.
A．[2-2❑√2,4]
B．[0,4]
C．[0,2+2❑√2]
D．[2-2❑√2,2+2❑√2]
31.若函数y = f ( x)的值域是[ 1
2 ,3]，则函数F( x)= f ( x)+
1
f ( x)的值域是
A．[ 1
2 ,3]
B．[2, 10
3 ]
C．[ 5
2 , 10
3 ]
D．[3, 10
3 ]
32.若函数f (x)满足a≤f (x)≤b(a<b)，定义b-a的最小值为f (x)的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为
2 的是（ ）
A．f (x)=cos2 x +1
B．f (x)=
❑√2 x +1- x
2
C．f (x)=|x|-|x -1|
D．f (x)= 3
x -2
x
3
x+2
x
考点03 分段函数及其应用
33.如图，△OAB是边长为2 的正三角形，记△OAB位于直线x =t（0≤t ≤2）左侧的图形的面积为f (t )．则
函数y = f (t )的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
34.设函数f ( x)={2
| x -a|, x ≤1
x +1, x>1 ，若f (1)是f ( x)的最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．[-1,2)
B．[-1,0]
C．[1,2]
D．[1,+∞)
35.定义在R上的函数f (x)满足f (x +1)= 1
2 f (x)，且当x∈[0,1)时，f (x)=1-|2 x -1|.当x∈[m,+ ∞)时，
f (x)≤3
32，则m的最小值为（ ）
A．27
8
B．29
8
C．13
4
D．15
4
考点04 函数单调性的判断及单调区间的求解
36.函数f ( x)= x
2- 4| x |+3的单调递减区间是（ ）
A．(-∞,-2)
B．(-∞,-2)和(0,2)
C．(-2,2)
D．(-2,0)和(2,+ ∞)
37.设函数f ( x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是( )
A．y =
1
f ( x)在R上为减函数
B．y =|f ( x)|在R上为增函数
C．y =-
1
f ( x)在R上为增函数
D．y =- f ( x)在R上为减函数
38.已知函数f (x)=¿若f (a)= f (a+3)，则g(x)=a x
2+ x的单调递增区间为（ ）
A．(
1
8 ,+∞)
B．(-∞, 1
8)
C．(
1
2 ,+∞)
D．(-∞, 1
2)
39.已知定义在区间(-m,m)(m>0)上，值域为R的函数f ( x)满足：①当0< x<m时，f ( x) >0；②对于定
义域内任意的实数a、b 均满足：f (a+b)= f (a)+ f (b)
1- f (a)f (b)．则（ ）
A．f (0)=1
B．∀x1, x2,-m< x1< x2<m,f (x1)>f (x2)
C．函数f ( x)在区间(0,m)上单调递减
D．函数f ( x)在区间(-m,m)上单调递增
考点05 根据函数的单调性求参数、求最值
40.已知函数f (x)=- x
2+ax +1在(2,6)上不单调，则a的取值范围为（ ）
A．(2,6)
B．(-∞,2]∪[6,+∞)
C．(4,12)
D．(-∞,4]∪[12,+∞)
41.设a∈R，则“a>-2”是“函数f (x)=2 x
2+ 4 ax +1在(2,+∞)上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
42.已知函数f ( x)=¿是定义在R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A．[1,3)
B．[1,2]
C．[2,3)
D．(0,3)
43.已知函数f (x)的定义域为R，存在常数t (t >0)，使得对任意x∈R，都有f ( x +t )= f ( x)，当x∈[0,t )
时，f ( x)=|x - t
2|．若f (x)在区间(3,4)上单调递减，则t 的最小值为（ ）
A．3
B．8
3
C．2
D．8
5
44.函数f(x)＝－x＋1
x 在[-2,- 1
3 ]上的最大值是（ ）
A． 3
2
B．－8
3
C．－2
D．2
45.当实数t变化时，函数f (x)=|x
2+t|, x ∈[- 4,4]最大值的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
46.已知函数f ( x)= x + 4 a
x +b, x∈[b,+∞)，其中b>0,a∈R，记M为f ( x)的最小值，则当M =2时，a
的取值范围为（ ）
A．a> 1
3
B．a< 1
3
C．a> 1
4
D．a< 1
4
47.已知函数f ( x)={1-| x +1|, x<0
x
2-2 x , x ≥0
，若实数m∈[-2,0]，则|f ( x)- f (-1)|在区间[m,m+2]上的最
大值的取值范围是（ ）
A．[1,4 ]
B．[2,4 ]
C．[1,3]
D．[1,2]
考点06 函数的奇偶性的判断与证明
48.已知函数f (x)的定义域为R，f (x)f ( y)- f (x)= xy - y，则（ ）
A．f (0)=0
B．f (-1)=1
C．f (x +1)为偶函数
D．f (x +1)为奇函数
49.设函数f (x)= 2- x
2+ x ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f (x -2)+1
B．f (x -2)+2
C．f (x +2)+2
D．f (x +2)+1
50.已知定义在(-∞,0)∪(0,+ ∞)上的函数f (x)满足f (xy)= f (- x)
y
+ f (- y)
x
+ 1
xy ，则（ ）
A．f (x)是奇函数且在(0,+ ∞)上单调递减
B．f (x)是奇函数且在(-∞,0)上单调递增
C．f (x)是偶函数且在(0,+ ∞)上单调递减
D．f (x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递增
51.已知函数f (x)满足f (x + y +1)= f (x)+ f ( y)，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f (x)+1是奇函数
B．f (x -1)是奇函数
C．f (x)-1是奇函数
D．f (x +1)是奇函数
考点07 根据函数的奇偶性求参数、求解析式
52.已知函数f (x)=a-
1
2
x -1
(a∈R)为奇函数，则实数a的值为（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．1
D．-1
53.若函数f (x)= (x +1)(x +a)
x
为奇函数，则实数a=（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2
54.已知f (x)=¿为奇函数，则a=（ ）
A．-2
B．2
C．1
D．-1
55.已知函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f (x)= x
2+ a
x ，若f (3)=-8，则a=（ ）
A．-3
B．3
C．1
3
D．- 1
3
56.已知函数f ( x)为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f ( x)=2
x+ x -1，则当x<0时，f ( x)=（ ）
A．2
- x- x -1
B．2
- x+ x +1
C．-2
- x - x -1
D．-2
- x+ x +1
57.若函数f (x)=¿的图象关于原点对称，且f (5)=1，则h(-2022)+h(-2023)+h(-2024)=（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
58.若f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x +1)是偶函数，当0< x ≤1时，f (x)=e
x -1，则当2< x ≤3时，f (x)
的解析式为（ ）
A．f ( x)=-e
1- x
B．f ( x)=-e
x +1
C．f ( x)=-e
x -3
D．f ( x)=-e
3- x
59.已知函数f (x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f (x)- g(x)=e
x，则f (1)
g(1) =（ ）
A．e
2+1
e
B．e
2-1
e
C．1-e
2
1+e
2
D．1+e
2
1-e
2
考点08 函数的对称性与周期性与类周期函数
60.已知定义在R上的函数f (x)是奇函数，对任意x∈R都有f (x +1)= f (1- x)，当f (-3)=-2时，则
f (2023)等于（ ）
A．2
B．-2
C．0
D．- 4
61.已知函数f ( x)的图象在x 轴上方，对∀x∈R，都有f ( x +2)⋅f ( x)=2f (1)，若y = f ( x -1)的图象
关于直线x =1对称，且f (0)=1，则f (2023)+ f (2024)+ f (2025)=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
62.已知定义在R 上的函数f (x)满足f (2+ x)- f (2- x)= 4 x．若f (2 x -3)的图象关于点(2,1)对称，且
f (0)=0，则f (1)+ f (2)+⋅⋅⋅+ f (50)=（ ）
A．0
B．50
C．2509
D．2499
63.（2024·四川南充·三模）已知函数f (x)、g(x)的定义域均为R，函数f (2 x -1)+1的图象关于原点对称，
函数g( x +1)的图象关于y 轴对称，f ( x +2)+ g( x +1)=-1,f (- 4)=0，则f (2030)- g(2017)=（ ）
A．- 4
B．-3
C．3
D．4
64.（23-24 高一上·江西吉安·期末）设函数f (x)的定义域为R，且f (x + 4)=2f (x)，当x∈(0,4]时，
f (x)=2 x
2-8 x，若对于∀x∈(-∞,t ]，都有f (x)≥- 3
2恒成立，则t 的取值范围是（ ）
A．(-∞,-7]
B．(-∞,-5]
C．(-∞,-3]
D．(-∞,-1]
65.设函数f (x)的定义域为R，满足f (x)=2f (x -2)，且当x∈(0,2]时，f (x)= x (2- x)．若对任意
x∈(-∞,m]，都有f (x)≤3，则m的取值范围是（ ）
A．(-∞, 5
2]
B．(-∞, 7
2]
C．(-∞, 9
2]
D．(-∞, 11
2 ]
66.定义“函数y = f (x)是D上的a级类周期函数” 如下: 函数y = f (x), x∈D，对于给定的非零常数 a，
总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有af (x)= f (x +T )恒成立，此时T为f (x)的周期. 若
y = f (x)是[1,+∞)上的a级类周期函数，且T =1，当x∈[1,2)时，f (x)=2 x +1,且y = f (x)是[1,+∞)上的
单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．[
5
6 ,+ ∞)
B．[2,+∞)
C．[
5
3 ,+∞)
D．[10,+ ∞)
67.定义域为R的函数f ( x)满足f ( x +1)=2f ( x)，当x∈[0,2)时， f ( x)={
x
2- x , x∈[0,1]
log❑√2( x +1), x∈(1,2)，若
x∈[-2,0)时，对任意的t ∈[1,2]都有f ( x)≥t
16 - a
8t 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞,3)
B．[3,+∞)
C．(-∞,3]
D．(3,+∞)
考点09 利用函数的性质比较大小与解不等式
68.已知定义在R上的函数f (x)满足f (1+ x)= f (1- x)，且∀x1, x2>1，x1≠x2时，
[f (x1)- f (x2)](x1- x2)<0，记a= f(
❑√2
2 )，b= f(
❑√3
2 )，c = f(
❑√6
2 )，则（ ）
A．b>c>a
B．b>a>c
C．c>b>a
D．c>a>b
69.已知函数f (x)是偶函数，当0≤x1< x2时，[f (x2)- f (x1)](x2- x1)>0恒成立，设a= f (
5√5)，b= f (- ❑√2)，
c = f (
3√3)，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．b<c<a
D．b<a<c
70.已知函数y = f (x)在(0,4)上单调递增，且y = f (x + 4)是偶函数，则（ ）
A．f (2)<f (3)<f (7)
B．f (7)<f (2)<f (3)
C．f (2)<f (7)<f (3)
D．f (3)<f (7)<f (2)
71.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，对任意实数x，y 都有
f ( x + y)= f ( x)+ f ( y)-1，当x>0时，f ( x)>1，且f (2)=5，则关于x 的不等式f ( x)+ f (4 -3 x)<6的
解集为（ ）
A．(1,+∞)
B．(2,+∞)
C．(-∞，1)
D．(-∞，2)
72.已知函数f ( x)=¿，则不等式f (a)>f (3a- 4)的解集为（ ）
A．(- 1
2 ,+ ∞)
B．(2,+∞)
C．(-∞,2)
D．(-∞,- 1
2)
73.若函数f (x)是定义在R上的偶函数，在(-∞,0]上是减函数，且f (3)=0，则使得f (x)<0的x的取值范围
是（ ）
A．(-∞,-3)
B．(3,+∞)
C．(-3,3)
D．(-∞,-3)∪(3,+∞)
74.若定义在(-∞,0)∪(0,+ ∞)上的函数f (x)同时满足：①f (x)为奇函数；②对任意的x1, x2∈(0,+∞)，
且x1≠x2，都有
x2f (x1)- x1f (x2)
x1- x2
<0，则称函数f (x)具有性质P．已知函数f (x)具有性质P，则不等式
f (x -2)< f (x
2- 4)
x +2
的解集为（ ）
A．(-∞,-1)
B．(-3,2)
C．(-∞,-3)∪(-1,2)
D．(-∞,-3)∪(2,+ ∞)
考点10 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
75.已知函数f (x)的定义域为R，值域为(0,+ ∞)，且对任意m，n∈R，都有f (m+n)= f (m)f (n)．
φ(x)= f (x)-1
f (x)+1．
(1)求f (0)的值，并证明φ(x)为奇函数．
(2)若x>0，f (x)>1，且f (3)= 4，证明f (x)为R上的增函数，并解不等式φ(x)> 15
17 ．
76.设函数f (x)的定义域是(0,+ ∞)，且对任意正实数x，y 都有f (xy)= f (x)+ f ( y)恒成立，已知f (2)=1，
且当x>1时，f (x)>0.
(1)求f(
1
2)的值；
(2)判断y = f (x)在区间(0,+ ∞)内的单调性，并给出证明；
(3)解不等式f (2 x)>f (8 x -6)-1.
77.已知函数f ( x)满足对一切x1, x2∈R都有f (x1+ x2)= f (x1)+ f (x2)-2，且f (1)=0，当x>1时有
f ( x)<0．
（1）求f (-1)的值；
（2）判断并证明函数f ( x)在R 上的单调性；
（3）解不等式：[f (x
2-2 x)]
2
+2f (x
2-2 x -1)-12<0．
78.已知函数p( x)，q( x)的定义域均为R，且满足：①∀x>0，p( x)>0；②q( x)为偶函数，
q( x)≥q(0)=1；③∀x，y ∈R，p( x + y)= p( x)q( y)+q( x) p( y).
(1)求p(0)的值，并证明：p( x)为奇函数；
(2)∀x1, x2∈R，且x1< x2，证明：
①p( x1)= p(
x1+ x2
2 )q(
x1- x2
2 )+q(
x1+ x2
2 )p(
x1- x2
2 )；
②p( x)单调递增.
