文档内容
第 02 讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
目录
01 考情透视·目标导航..................................................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..................................................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..................................................................................................................................................4
知识点1：函数的单调性..............................................................................................................................................4
知识点2：函数的最值..................................................................................................................................................5
知识点3：函数的奇偶性..............................................................................................................................................6
知识点4：函数的周期性..............................................................................................................................................6
知识点5：函数的对称性..............................................................................................................................................7
解题方法总结.................................................................................................................................................................7
题型一：单调性的定义及判断..................................................................................................................................10
题型二：复合函数单调性的判断..............................................................................................................................12
题型三：分段函数的单调性......................................................................................................................................14
题型四：利用函数单调性求函数最值......................................................................................................................16
题型五：利用函数单调性求参数的范围..................................................................................................................19
题型六：利用函数的单调性比较函数值大小..........................................................................................................22
题型七：函数的奇偶性的判断与证明......................................................................................................................24
题型八：已知函数的奇偶性求参数..........................................................................................................................28
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值..........................................................................................................30
题型十：奇函数的中值模型......................................................................................................................................32
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式..................................................................................................36
题型十二：函数对称性的应用..................................................................................................................................39
题型十三：函数周期性的应用..................................................................................................................................42
题型十四：对称性与周期性的综合应用..................................................................................................................44
题型十五：类周期与倍增函数..................................................................................................................................50
题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性..................................................................................53
04真题练习·命题洞见................................................................................................................................................58
05课本典例·高考素材................................................................................................................................................61
06易错分析·答题模板................................................................................................................................................64
易错点：判断函数的奇偶性忽视定义域..................................................................................................................64
答题模板：判断函数的奇偶性..................................................................................................................................64考点要求 考题统计 考情分析
2024年II卷第8题，5分
从近几年高考命题来看，本节
2024年I卷第6题，5分
是高考的一个重点，函数的单调
（1）函数的单调性 2024年天津卷第4题，5分
性、奇偶性、对称性、周期性是高
（2）函数的奇偶性 2023年I卷第4、11题，10分
考的必考内容，重点关注周期性、
（3）函数的对称性 2023年甲卷第13题，5分
对称性、奇偶性结合在一起，与函
（4）函数的周期性 2022年II卷第8题，5分
数图像、函数零点和不等式相结合
2022年I卷第12题，5分
进行考查．
2021年II卷第8题，5分
复习目标：
（1）借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际
意义．
（2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．
（3）结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．
（4）会依据函数的性质进行简单的应用．知识点1：函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ：
如果对于 内的任意两个自变量的值 ， 当 时，都有 ，那么就说 在区间
上是增函数．
如果对于 内的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说 在区
间 上是减函数．
①属于定义域 内某个区间上；
②任意两个自变量 ， 且 ；
③都有 或 ；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 在区间 上具
有单调性， 称为函数 的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数
是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是
减函数.
【诊断自测】（2024·高三·上海杨浦·期中）已知函数 ， .若 成立，则下列论断中
正确的是（ ）
A．函数 在 上一定是增函数；
B．函数 在 上一定不是增函数；C．函数 在 上可能是减函数；
D．函数 在 上不可能是减函数.
【答案】D
【解析】因为函数 ， 且 成立，
则函数 在 上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数，
如 ，满足 ，但是 在 上不具有单调性，
故D正确，A、B、C错误.
故选：D
知识点2：函数的最值
一般地，设函数 的定义域为D，如果存在实数M满足
① ，都有 ；② ，使得 ，则M是函数 的最大值；
① ，都有 ；② ，使得 ，则M是函数 的最小值.
【诊断自测】（2024·高三·北京·开学考试）函数 的最小值为 .
【答案】
【解析】设 ，
则 ，
又函数 在 上单调递增，
所以当 ，即 时，
函数 有最小值 ，
故答案为： .
知识点3：函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
偶函数 关于 轴对称
，那么函数 就叫做偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
奇函数 关于原点对称
，那么函数 就叫做奇函数
【诊断自测】（2024·高三·河北唐山·期末）函数 为奇函数， 为偶函数，在公共定义域内，下列
结论一定正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】C
【解析】令 ，则 ,且 ，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令 ，则 ,且 ，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
知识点4：函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做 的最小正周
期.
【诊断自测】若偶函数 对任意 都有 ，且当 时， ，则
．
【答案】 /0.125
【解析】由题设 ，即偶函数 的周期为6，所以 .
故答案为：
知识点5：函数的对称性
(1)若函数 为偶函数，则函数 关于 对称．
(2)若函数 为奇函数，则函数 关于点 对称．
(3)若 ，则函数 关于 对称．
(4)若 ，则函数 关于点 对称．
【诊断自测】若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ．
【答案】ln （4－x）
【解析】在函数y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线x＝2对称的点为（4－x，
y），且点（4－x，y）在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln （4－x）,
即 ,
故答案为：
解题方法总结
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设 ， 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 ；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与 的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；②若 和 均为增(或减)函数，则在 和 的公共定义域上 为增(或减)函数；
③若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数；
④若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数．
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称；
函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数 在 处有意义，则有 ；
偶函数 必满足 .
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的
两个区间上单调性相同.
(5)若函数 的定义域关于原点对称，则函数 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
， ，则 .
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如 .
对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶.
(7)复合函数 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数 或函数 ．
②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：①函数 ．
②函数 ．③函数 类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，
且 .
5、对称性技巧
（1）若函数 关于直线 对称，则 ．
（2）若函数 关于点 对称，则 ．
（3）函数 与 关于 轴对称，函数 与 关于原点对称．题型一：单调性的定义及判断
【典例1-1】（2024·陕西榆林·一模）已知函数 在 上单调递增，则对实数 ，“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为函数 在 上单调递增，且 ，
由增函数的定义可知，当 时，有 ，
充分性成立；当 时，若 ，由函数定义可知矛盾，
若 ，由函数单调性的定义可知矛盾，则 ，必要性成立.
即对实数 ，“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
【典例1-2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）下列函数中，满足“对任意的 ，使得
”成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，“对任意的 ，使得 ”，则函数 在 上为减函
数.
对于选项A， ，为二次函数，其对称轴为x＝－1，在 上递减，符合题意；
对于选项B， ，其导数 ，所以 在 上递增，不符合题意；
对于选项C， 为一次函数，所以 在 上递增，不符合题意；
对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知， 在 上单调递增，不符合题意.
故选：A.
【方法技巧】函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
【变式1-1】三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数 的图象恰如其形，因而得名三
叉戟函数，因为牛顿最早研究了这个函数的图象，所以也称它为牛顿三叉戟.已知函数 的图
象经过点 ，且 .
(1)求函数 的解析式；
(2)用定义法证明： 在 上单调递减.
【解析】（1）由题意可知 ，
解得 ， ，
故 （ ）.
（2）证明： ， ，且 ，则
.
由 ， 且 ，
得 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
则 ，即 .故 在 上单调递减.
【变式1-2】（2024·高三·上海·期中）由方程 确定函数 ，则 在 上是
（ ）
A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数
【答案】B
【解析】当 且 时， ，
当 且 时， ，
当 且 时， ，
当 且 时，无意义，
如图：
结合图象可知， 在 上是减函数.
故选：B
题型二：复合函数单调性的判断
【典例2-1】函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为R，函数 在 上单调递减，在 单调递增，
而函数 在R上单调递减，因此函数 在 上单调递增，在 单调递减，
所以函数 的单调递增区间是 .
故选：A【典例2-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，
，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 ，
令 ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而函数 在 上为增函数，
由复合函数单调性可得 的单调递减区间为 .
故选：C.
【方法技巧】
讨论复合函数 的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般
需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，
再用复合法则，复合法则如下：
1、若 ， 在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则 为增函数；
2、若 ， 在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则 为减函数．
列表如下：
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
【变式2-1】（2024·高三·甘肃·开学考试）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，由题意 单调递减，且 ，
则 ，解得 ， ，
所以 的单调递减区间是 .
故选：D.
【变式2-2】函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可得 ，
解得 或 ，
由 图象的对称轴为 ，
则 在 上单调递增，
故 的单调递减区间为 ，
故选：C
题型三：分段函数的单调性
【典例3-1】（2024·陕西商洛·一模）已知函数 是定义在 上的增函数，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 是定义在 上的增函数，
所以 ，解得 .故选：B
【典例3-2】已知函数 满足对于任意的 ， 都有 成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，对于任意的 都有 成立
则函数 在 上是增函数
∴ ，解得 ，
故选：B．
【方法技巧】
函数 ，在 上为增函数，则：
① 在 上单调递增；② 在 上单调递增；③ ．
函数 ，在 上为减函数，则：
① 在 上单调递减；② 在 上单调递减；③ ．
【变式3-1】已知函数 ，若 ，都有 成立，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为对于 ，都有 成立，所以函数 是增函数，
则函数 和 均为增函数，且有 ，
即 ，解得 .
故选：C.【变式3-2】已知函数 是R上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于函数 是定义在R上的减函数，
所以，函数 在区间 上为减函数，
函数 在区间 上为减函数，且有 ，
即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：B.
题型四：利用函数单调性求函数最值
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）设 ，则函数 的最大值为 ．
【答案】
【解析】设 ， ，两边平方得 ．
设 ，两边平方得 ，
则 ，
由于 ， ，则 ， ，
又由于 在区间 上单调递增，所以当 时, 的最大值为 ，
则 在区间 上的最大值为 ．
故答案为：
【典例4-2】若函数 在 上的最小值为1，则正实数 的值为 .
【答案】
【解析】由题可得 ,
因为函数 在 上的最小值为1，
当 时，在 上， 在 单调递减， 单调递增，
所以 ，解得 （舍）；
当 时，在 上 在 单调递减， 单调递增，
所以 ，解得 （舍）；
当 时，在 上， 在 单调递减， 单调递增，
所以 ，解得 .
故答案为：
【方法技巧】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，则函数
在 处有最大值 ．
2、如果函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，则函数
在 处有最小值 ．
3、若函数 在 上是严格单调函数，则函数 在 上一定有最大、最小值．
4、若函数 在区间 上是单调递增，则 的最大值是 ，最小值是 ．
5、若函数 在区间 上是单调递减，则 的最大值是 ，最小值是 ．
【变式4-1】（2024·上海嘉定·一模）函数 在 上的最大值和最小值的乘积为【答案】 /
【解析】令 ， ，∵ ，∴ ，
∴ ，
令 ，
由对勾函数的性质可知，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
∵ ，
∴
∴函数 在 上的最大值和最小值分别为 ，
∴函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 ．
故答案为： ．
【变式4-2】若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】设 ， ， ，
因为函数 在 的最大值为2， ，
所以 ，解得： ，
当 时，函数 在 上先递减再递增，
而 ，
所以， ，且 ，即函数 在 的最大值为2，符合题意；
当 时，函数 在 上递减，所以 ，
而 ，所以函数 在 的最大值为2，符合题意，
综上， ．
故答案为：题型五：利用函数单调性求参数的范围
【典例5-1】（2024·全国·模拟预测）若函数 在区间 上不单调，则a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
又函数 在区间 上不单调，所以 ，
故选：B．
【典例5-2】（2024·广东佛山·二模）已知 且 ，若函数 在 上单调
递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意， ，
显然函数 在 上单调递增，而函数 在 上单调递减，
因此 ，而 ，则 或 ，解得 或 ，
所以实数a的取值范围为 .
故选：D
【方法技巧】
若已知函数的单调性，求参数 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数 的不等式，
利用下面的结论求解．
1、若 在 上恒成立 在 上的最大值．
2、若 在 上恒成立 在 上的最小值．
【变式5-1】若 是区间 上的单调函数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． 或 D．【答案】C
【解析】由题意， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递减，
若函数 在区间 上单调，
则 或 或 ，解得 或 或 ，
即 或 .
故选：C.
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ．
当 时， 在 上单调递增，
则由复合函数的单调性可知 在 上单调递增，
且 在 上恒成立，
所以 ，解得 或 （舍去）．
所以 在 上单调递增，
则 ，解得 ．
当 时， 在 上单调递减，
则由复合函数的单调性可知 在 上单调递减，
且 在 上恒成立，
所以 ，解得 或 （舍去）．
所以 在 上单调递减，
则 ，解得 ，与 矛盾．
综上所述， .故选：C．
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 且 在区间 上
单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数 ，则 ．
①若 ，则 在定义域上单调递减．
又 在区间 上单调递减，所以 在区间 上单调递增，故
对任意的 恒成立．
又 ，所以对任意的 显然成立．
又因为 对任意 恒成立，所以 0，故 ．
②若 ，则 在定义域上单调递增．
又 在区间 上单调递减，所以 在区间 上单调递减，故
对任意的 恒成立．
因为抛物线 的开口向上，所以 不可能对任意的 恒成立．
所以 的取值范围为 ．
故选：A．
【变式5-4】若函数 在区间 内单调递增，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得 ，解之得 ，即 的定义域为 ，
又 在区间 内单调递增，根据复合函数的单调性，
可得： ，解得 ．
故选：D题型六：利用函数的单调性比较函数值大小
【典例6-1】（2024·宁夏银川·一模）若 ，设 ，则a，
b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知 ，由 ，
所以 为偶函数，图象关于 轴对称，
当 时，由复合函数的单调性法则知 随 的增大而增大，
即 ， 单调递增，
因为 ， ，
且 ， ，
所以 ，所以 ，
即 ，也就是 .
故选：D
【典例6-2】（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在 上的偶函数 在 上单调递增，则
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 是定义在 上偶函数，所以 ，
因为 ，则 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
故选：A．
【方法技巧】
1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.
【变式6-1】（2024·高三·河北沧州·期中）已知函数 ，记
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数 的定义域为 ，所以函数 为偶函数，
当 时，设 ，则 ，故 在 上单调递增且恒为正
数，
则函数 在 上单调递减，又函数 为偶函数，故 在 上单调递增，
又 ，即 ，于是 ，
即 .
故选:C.
【变式6-2】函数 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知 ，易知 在 上单调递增．
因为 ，
所以 ，所以 ，
即 .
故选：D.【变式6-3】（2024·四川·模拟预测）若定义在 上的偶函数 在 上单调递增，则
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 是定义在 上偶函数，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
故选：A.
题型七：函数的奇偶性的判断与证明
【典例7-1】设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确的是
（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
【答案】C
【解析】易知选项ABCD中的函数定义域即为 ；
因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ，
对于A， ，故 是奇函数，即A错误；
对于B， ，故 是偶函数，即B错误；
对于C， ，故 是奇函数，即C正确；
对于D， ，故 是偶函数，即D错误；
故选：C.【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象经过点 ，则函数
的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【答案】A
【解析】 ，整理得 ，即 ，
则 ， ．
当 时， ；当 时， ，
即 对一切实数都成立，即函数 的定义域为 ．
，
即函数 为奇函数．
故选：A．
【方法技巧】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.
【变式7-1】（多选题）（2024·重庆·模拟预测）函数 ， ，那么
（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
【答案】BC
【解析】因为 ，所以 为偶函数，
因为 ，
即 ，所以 为奇函数，
所以 为非奇非偶函数，A错误；
，所以 为奇函数，B正确；
，所以 是奇函数，C正确；令 ， ， 为偶函数，D错误.
故选：BC．
【变式7-2】利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3) ；
(4) ；
(5) .
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
对于函数 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，
画出函数 的图象，如图所示，
函数图象关于原点对称，所以函数 为奇函数；
（2）函数 的定义域为 ，
对于函数 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，画出函数 的图象，如图所示，
函数图象关于y轴对称，故 为偶函数；
（3）先作出 的图象，保留 图象中x≥0的部分，
再作出 的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，
即得 的图象，如图实线部分．
由图知 的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
（4）将函数 的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，
即可得到函数 的图象，如图，
由图知 的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，
所以该函数为非奇非偶函数；
（5）函数 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，
画出函数 的图象，如图，
由图知 的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
题型八：已知函数的奇偶性求参数
【典例8-1】已知函数 是奇函数，则 ，若 则 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，
则 ，所以函数 的定义域为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
此时 ，
所以 为奇函数，
，
所以 .
故答案为：1； .
【典例8-2】已知函数 的图象关于原点对称， 是偶函数，则 .
【答案】
【解析】函数 的图象关于原点对称，则函数 是奇函数，函数的定义域为 ，
，即 ，
则 ，
是偶函数，
，
即 ，
即 ，
即 ，
则 ， ，得 ，
则 ，
故答案为：
【方法技巧】
利用函数的奇偶性的定义转化为 ，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、
填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.
【变式8-1】（2024·高三·湖北武汉·期末）函数 为奇函数，则实数k的取值为 .
【答案】
【解析】因为 为定义域上的奇函数，所以 ，
即 ，整理化简有： 恒成立，
所以 ，得 ，又因为 ，所以 ，
且当 时， ，其定义域为 ，关于原点对称，故 满足题意.
故答案为：
【变式8-2】已知函数 的图象关于 轴对称，则 ．
【答案】1
【解析】因为 ，
且 ，即 ，
有 ，所以 ．
故答案为：1.
【变式8-3】已知函数 定义域为 ， ，若 为偶函数，则实数 的值为
．
【答案】
【解析】由题设， ，即 ，
所以 ，整理得 恒成立，则 .
故答案为：
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值
【典例9-1】已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则
的值是 .
【答案】
【解析】因为 ①，所以
由函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，则
所以 ②
则①-②可得： ，所以
则 ．
故答案为： ．
【典例9-2】（2024·广东湛江·二模）已知奇函数 则 ．
【答案】
【解析】当 时， ， ，
则 ．
故答案为： .
【方法技巧】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于 的方程，从而可得
的解析式.【变式9-1】若定义在R上的偶函数 和奇函数 满足 ，则 的解析式为
.
【答案】
【解析】由题意得： ，即 ①， ②，②-①得：
，解得： .
故答案为：
【变式9-2】已知函数 对一切实数 都满足 ，且当 时， ，则
．
【答案】
【解析】函数 对一切实数 都满足 ，
所以 ，
设 ，则 ， ，
又因为 ，即 ，
所以
所以 .
故答案为： ．
题型十：奇函数的中值模型
【典例10-1】函数 在区间 内的最大值为M，最小值为N，其中 ，
则 ．
【答案】6【解析】由题意可知， ，
设 ， 的定义域为 ，
所以 ，
所以 为奇函数，所以 ，
所以
故答案为：
【典例10-2】对于函数 （其中 ），选取 的一组值计算 ，
所得出的正确结果一定不可能是（ ）
A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2
【答案】D
【解析】构造函数 ，
因为 ，
所以 是奇函数，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 能被2整除，
故选：D
【方法技巧】
已知 奇函数 ， ，则
（1）
（2）
【变式10-1】（2024·广西·一模） 是定义在R上的函数， 为奇函数，则
（ ）
A．－1 B． C． D．1
【答案】A
【解析】 是定义在R上的函数， 为奇函数，则.
∴ .
故选：A
【变式10-2】设函数 的最大值为5，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】根据题意，设 ，利用定义法判断函数的奇偶性，得出 是
奇函数，结合条件得出 的最大值和最小值，从而得出 的最小值.由题可知，
，
设 ，其定义域为 ，
又 ，
即 ，
由于
，
即 ，所以 是奇函数，
而 ，
由题可知，函数 的最大值为5，
则函数 的最大值为：5-3=2，
由于 是奇函数，得 的最小值为-2，
所以 的最小值为：-2+3=1.
故选：B.
【变式10-3】已知函数 ，且 ，则 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
构建函数 ，定义域为 ，
则 ，即 是奇函数，于是 ，所以 ，
可得 ，
又 ，因此 ．
故答案为：
【变式10-4】设 为奇函数，若 在 的最大值为3，则
在 的最小值为 .
【答案】
【解析】 的定义域为 且为奇函数，
所以 ，
，
所以 ， ，
设 ，
则 ，所以 是奇函数，
依题意可知， 在 的最大值为 ，
所以 在 的最小值为 ，
所以 在 的最小值为 .
故答案为：
【变式10-5】（2024·高三·安徽·期中）函数 的最大值为 ，最
小值为 ，若 ，则 ．
【答案】1
【解析】 ，
设 ，则 ，
记 ，
因为 ，
所以 是在 上的奇函数，最大值为 ，最小值为 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：1．
【变式10-6】（2024·高三·河南周口·开学考试）已知定义在 上的函数 满足
，若函数 的最大值和最小值分别为 ，
则 ．
【答案】4048
【解析】令 ，得 ，令 ，则 ，
所以 ，令 ，
所以 ， 为奇函数， ．
令 ，
则 ，
即 为奇函数，所以 ．
而 ，
所以 ．
故答案为：4048
【变式10-7】函数 ，若 最大值为 ，最小值为 ， ，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】 ，
令 ， 定义域为 关于原点对称，
∴ ，
∴ 为奇函数，∴ ，
∴ ，，由对勾函数的单调性可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式
【典例11-1】已知函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增. 若实数 满足
， 则 的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由题设， 在 上递减，由偶函数知： ，
∴ ，即 ，
∴ ，则 ，得 .
故 的最小值是 .
故选：C
【典例11-2】（2024·安徽安庆·三模）已知函数 的图象经过点 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知 ，解得 ，所以 ，其在 上单调递增，
又因为 ，所以函数 为奇函数， ，
所以不等式 可化为 ，于是 ，即 ，解得 或 .
故选：C．
【方法技巧】
求解函数不等式时，由条件去掉“ ”，从而转化为自变量的大小关系，记得考虑函数的定义域．
【变式11-1】（2024·湖南永州·三模）已知函数 ，其中 是自然对数的底数.若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
在 上单调递增.
令 ， 在 上单调递增，
因为 ，所以 为奇函数，
则 化为
所以 ，解得 ，
.
故选：C
【变式11-2】设函数 ，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，
故 是奇函数．
又 ，(等号成立的条件是 )，
所以 是R上的增函数，则 ，
而 ，
因此有 ，从而 ，解得 ，
故选：A.
【变式11-3】已知函数 ，则不等式 的解集是【答案】
【解析】令 ，则 ，故 ，
令 ，则 ，故 为奇函数，且 在定义域上单调递
增，
由 等价于 ，
所以 ，故 ，可得 ，
故不等式解集为 .
故答案为：
【变式11-4】（2024·天津河北·二模）已知函数 ，若 ，则实数 的取值
范围是 .
【答案】
【解析】由题意得函数 为偶函数，且当 时函数单调递减，当 时函数单调递增．
原不等式可化为 ，
∴ ，
两边平方整理得 ，
解得 或 ．
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
题型十二：函数对称性的应用
【典例12-1】已知函数 ， ， ，则 ．
【答案】
【解析】设函数 图象的对称中心为 ，则有 ，
即 ，整理得 ，比较系数可得 ，
因此函数 图象的对称中心为 ，又 ， ，且 ，
则点 关于 对称，所以 .
故答案为：6
【典例12-2】（2024·河南·模拟预测）已知函数 的定义域为R，若 为奇函数，且
直线 与 的图象恰有5个公共点 ， ， ， ，
，则 .
【答案】
【解析】 为奇函数，则有 ，
即 ，可得 ，
，所以函数 的图象关于点 对称.
直线 ，即 ，
由 ，解得 ，所以直线过定点 ，
即直线 关于点 对称.
直线 与 的图象恰有5个公共点 ， ， ， ，
，
则有 ， ， .
故答案为：
【方法技巧】
(1)若 ，则函数 关于 对称．
(2)若 ，则函数 关于点 对称．
【变式12-1】已知所有的三次函数 的图象都有对称中心 ， ，
若函数 ，则 .
【答案】8090
【解析】 ，则 ，
即函数 的图象的对称中心为 ，
则 ，
故
.
故答案为：8090.
【变式12-2】若函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 ．
【答案】
【解析】由于 ，解得 ，故它的反函数为 .
再由函数 的图像与 的图像关于直线 对称，
可得 是函数 的反函数，故 ，
所以 ．
故答案为 ．
【变式12-3】已知 ，函数 对任意 有 成立，
与 的图象有 个交点为 ， …， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】化简 ，所以 的图象关于 对称，
由 可得 ，
可得 的图象也关于 对称，
因此 与 的图象的 个交点为 ， …， ，
也关于 对称，所以 ， ，设
，则 ，两式相加可 ，
同理可得
， .
故选：D.
【变式12-4】已知函数 满足： 是偶函数，若函数 与函数 图象
的交点为 ， ， ， ，则横坐标之和 （ ）
A．0 B．m C． D．
【答案】B
【解析】由 是偶函数，知函数 的图象关于直线 对称，函数 ，
其图象也关于直线 对称，
所以函数 与函数 图象的交点也关于直线 对称，当 为偶数时，其和为
；当 为奇数时，其和为 .
故选：B.
【变式12-5】（多选题）（2024·高三·黑龙江鸡西·开学考试）对于定义在 上的函数 ，下述结论正
确的是（ ）
A．若 ，则 的图象关于直线 对称
B．若 是奇函数，则 的图象关于点 对称
C．函数 与函数 的图象关于直线 对称
D．若函数 的图象关于直线 对称，则 为偶函数
【答案】BD
【解析】对A，对 ，有 ，
令 替换 ，得 ，可得函数 是周期为2的周期函数，
则 的图象对称性不确定，即A错误；
对B， 是奇函数， 的图象关于原点成中心对称，
而 的图象是将 的图象向右平移一个单位，
的图象关于点 对称，故B正确；
对C，函数 是由 的图象向左平移一个单位得到；函数 的图象是由 的图象向右平移一个单位得，
而 与 的图象关于 轴对称，
所以函数 与函数 的图象关于 轴对称，故C错误；
对于D，若函数 的图象关于直线 对称，
则将其向左平移1个单位得到 ，则对称轴也向左平移1单位，
则 关于 轴对称，即 为偶函数，故D正确.
故选：BD.
题型十三：函数周期性的应用
【典例13-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义在R上的函数 满足 ，
为奇函数，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 的周期为6.
又因为 为奇函数，
所以 ，即 ，即 ，
令 ，则 ，即
所以 ，
故选：C.
【典例13-2】（2024·山东青岛·一模） ， ， ，则
的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
【答案】B
【解析】由题意知 ， ， ，
令 ，则
显然 时， 不成立，故 ，故 ，则 ，
即6为函数 的周期，
则 ，
故选：B
【方法技巧】
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据周期定义，从而求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可以解决区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题．
【变式13-1】已知函数 满足 ， ，则 等于
【答案】3
【解析】根据函数解析式，求得函数的周期，利用函数周期性即可求得函数值.
则 是以8为周期的周期函数.
所以 .
故答案为： .
【变式13-2】（2024·广东广州·二模）已知函数 的定义域为R，且 ，
则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题意可知：函数 的定义域为R，
因为 ，则 ，
可得 ，所以 为偶函数，
由 可得 ，
即 ，整理得 ，可得 ，
则 ，可得 ，
所以6为 的周期，
由 ，
令 ，可得 ，可得 ；
令 ，可得 ，可得 ；
所以 ．
故选：A．
【变式13-3】（2024·陕西西安·二模）已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时，
，则 .
【答案】
【解析】由已知可得 ，所以 ，
所以 ，即 是函数 的一个周期，
所以 .
故答案为：
题型十四：对称性与周期性的综合应用
【典例14-1】（多选题）（2024·江西赣州·二模）函数 及其导函数 的定义域均为R， 和
都是奇函数，则（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称
C． 是周期函数 D．
【答案】BC
【解析】对于A，因为 是奇函数，所以 ，
则有 ， 的图象关于点 对称，故A错误；
对于B， 是奇函数，其图象关于原点对称，
向右平移1个单位后可得 ，所以 的图象关于点 对称，故B正确；对于C，因为 是奇函数，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ①，
因为 ，所以 ②，
由①②可得： ，所以 ，
所以 ， ，
所以 是函数 的一个周期函数，所以 是周期函数，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
， ， ，
所以 ，
而 ，故D错误.
故选：BC.
【典例14-2】（2024·高三·辽宁营口·期末）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为
偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 为奇函数， ，所以 关于 对称，所以
①，且 ，
又 为偶函数， ，则 关于 对称，所以 ②，
由①②可得 ，即 ，所以 ，
于是可得 ，所以 的周期 ，
则 ，所以 为偶函数
则 ，所以 ，所以
所以 ，解得 ，所以当 时，所以 .
故选：B.
【方法技巧】
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，
且 .
【变式14-1】（多选题）定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若
， ，且 ，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． 为偶函数 B． 为奇函数
C．函数 是周期函数 D．
【答案】BCD
【解析】对A：由 ，故 为奇函数，
若 为偶函数，则 ，与条件不符，故A错误；
对B：由 ，则 ，
又 ，即 ，
即 ，又 定义在 上，
故 为奇函数，故B正确；
对C：由 ， ， ，
所以 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
则函数 是周期函数 的周期函数，函数 是周期函数 的周期函数，故C正确；
对D：由 是周期函数 的周期函数，
由 ，令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，由 ， ，
则 ，则 关于 对称，则 关于 对称，
又 为奇函数，即 关于 中心对称，
故 关于 对称，则 ，
则 ，故D正确.
故选：BCD.
【变式14-2】（多选题）（2024·湖北·模拟预测）设定义在 上的函数 与 的导函数分别为
和 .若 ， ，且 为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称 B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于选项A：因为 ，则 ，
可得 ，
又因为 ，可得 .
令 ，可得 ，解得 ，
可得 ，所以函数 的图象关于直线 对称，A正确；
对于选项C：因为 为奇函数，
可知 的图象关于点 对称，且 ，
令 ，可得 ，即 ；
令 ，可得 ；
令 ，可得 ；
由函数 的图象关于直线 对称，可得 ；
所以 ，
又因为 ，则 ，
可知函数 的周期 ，
所以 ，故C正确；对于选项B：由AC可知 ，
可得 ， ，
所以 ，故B错误；
对于选项D：可得 ，故D错误.
故选：AC.
【变式14-3】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， 的定义域均为 ，其导函数分别
为 ， ．若 ， ，且 ，则（ ）
A．函数 为偶函数 B．函数 的图像关于点 对称
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ．
于是可得 ，令 ，则 ，所以 ．
所以 ，即函数 的图像关于直线 对称，即 ．
因为 ，所以函数 的图像关于点 对称，即 ，所以
，即 ，于是 ，所以函数 是周期为4的周期函数．
因为函数 的图像关于直线 对称，所以 的图像关于 轴对称，所以 为偶函数，所
以A选项正确．
将 的图像作关于 轴对称的图像可得到 的图像，再向右平移3个单位长度，可得到
的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到 的图
像，因此函数 也是周期为4的函数．又 的图像关于点 对称，所以 的图像关于点
对称，所以B选项不正确．
因为 ，令 ，得 ，即 ，所以 ；令 ，得
，所以 ，所以 ，所以 ，所以C选项
正确．
因为 ，所以 ， ， ，， ，
则有 ，
可得 ，所以D选项正确．
故选：ACD．
【变式14-4】（多选题）（2024·福建宁德·三模）若定义在 上的函数 满足
，且值域为 ，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 的图象关于 中心对称
【答案】ABC
【解析】对于选项A，令 得： ，解得 或 ，
令 ，得 ，
由 的值域为 ，所以 时， ，不合题意，
所以 ，故A正确；
对于选项B，令 得： ，所以 或 ，
令 ，得 ，即 ，
由 的值域为 ，所以 ，
令 得： ，所以 或 ，
由 的值域为 ，所以 ，故B正确；
对于选项C，令 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 为偶函数，故C正确；
对于选项D，若图象关于 中心对称，则 ，由于定义域为R，值域为 ，
若 ，则必有 ，与题设矛盾，故D错误.
故选：ABC.
题型十五：类周期与倍增函数
【典例15-1】已知函数 的定义域为 ,且满足 ,当 时, 则函数
在 区间 上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】当 时, 最大值为 ,
当 时,
其最大值为 ,
当 时, ，在 上是增函数,在
上是减函数, ,
当 时, ,最大值为 ,
当 时, ,在上 是增函数,在 上是减函数,
又当 时, 的图像与直线 有 个交点, 函数 在区间 上有 个零点
故选：C
【典例15-2】设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， 若对任
意 ，都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 对称轴为 ，所以当 时， 的最小值为 ；
当 时， ，由 知， ，所以此
时 ，其最小值为 ；
同理，当 时， ，其最小值为 ；
当 时， 的最小值为 ；
作出如简图，因为 ，要使 ，则有 .解得 或 ，
要使对任意 ，都有 ，则实数 的取值范围是 .
故选: .
【方法技巧】
1、类周期函数
若 满足： 或 ，则 横坐标每增加 个单位，则函数值
扩大 倍．此函数称为周期为 的类周期函数．
2、倍增函数
若函数 满足 或 ，则 横坐标每扩大 倍，则函数值扩大
倍．此函数称为倍增函数．
【变式15-1】设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， .若对任
意 ，都有 ，则m的取值范围是 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，得分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．
， ，
时， ，时， ；
时， ；
时， ；
当 时，由 ，解得 或 ，
若对任意 ，都有 ，则 ．
故答案为： ．
【变式15-2】（2024·上海·二模）已知函数 是定义在 上的函数，且 ，
则函数 在区间 上的零点个数为 .
【答案】11.
【解析】令函数 ，得到方程 ，
当 时，函数 先增后减，在 时取得最大值1，而 在 时也有 ；
当 时， 在 处，函数 取得最大值 ，
而 ，在 时，也有 ，
当 时， 在 处，函数 取得最大值 ，
而 ，在 时，也有 ，
，
当 时， 在 处，函数 取得最大值 ，
而 ，在 时，也有 ，
综合以上分析，将区间 分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点.
故答案为: 11.题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
【典例16-1】已知定义在 上的函数 对任意正数 都有 ，当 时，
，
(1)求 的值；
(2)证明：用定义证明函数 在 上是增函数；
【解析】（1）在等式 中，
令 ，可得 ，解得 ；
（2）因为 ，则 ，
任取 ，则 ，
由 时， ，可得 ，
则 ，即 ，
因此，函数 在 上是增函数．
【典例16-2】（2024·山西临汾·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ，
，则 ．
【答案】
【解析】令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，得 ，
令 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以
所以 ，所以 ，即 ，
是以6为周期的周期函数，
所以 ，
故答案为： .【方法技巧】
抽象函数的模特函数通常如下：
(1)若 ，则 (正比例函数)
(2)若 ，则 (指数函数)
(3)若 ，则 (对数函数)
(4)若 ，则 (幂函数)
(5)若 ，则 (一次函数)
【变式16-1】（多选题）（2024·辽宁·二模）已知定义城为R的函数 ．满足
，且 ， ，则（ ）
A． B． 是偶函数
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A项，由 ，
令 ，则 ，故A项正确；
对于B项，令 ，则 ，
因 ，故 ，
令 ，则 ①，
所以函数 关于点 成中心对称，
令 ，则 ，
令 ，则 ②，
由①可得： ③，由②③可知： ，
且函数 的定义域为 ，则函数 是偶函数，故B项正确；
对于C项，令 ，则 ，
因为 ， ， ，代入上式中得，
故得： ，故C项正确；
对于D项，由上可知： ，则 ，
故函数 的一个周期为4，故 ，令 ，则 ，
所以 ，
则 ，故D项错误．
故选：ABC．
【变式16-2】（多选题）（2024·广西贺州·一模）已知函数 的定义域为 ，
且当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是奇函数
B． 为增函数
C．若实数a满足不等式 ，则a的取值范围为
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 是奇函数，故A正确；
对于B，令 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
又因为当 时， ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，
又 是奇函数，且 ，
所以函数 为增函数，故B正确；对于C，由 ，得 ，
所以 ，解得 ，故C错误；
对于D， ，
即 ，故D正确.
故选：ABD.
【变式16-3】定义在R上的连续函数 满足对任意 ， ，
.
(1)证明： ；
(2)请判断 的奇偶性；
(3)若对于任意 ，不等式 恒成立，求出m的最大值.
【解析】（1）令 ，则有 ， ，
因为 是任意的， ，由 得 ，
， ；
（2）令 ，由①②得 ，将 代入 ，
解得 或 （ ，舍去），代入③得 ；
令 ，则有 ，
两式相加得 ，
由（1）的运算结果 ， 代入上式，得：
，
由 可知如果 ，则有 ，不可能，
所以 ， ，
由于x是任意的，必有 ，两式相加得 ，
是偶函数， ， 是奇函数；（3）由于 ，不等式 即为：
，由 ， 得 ，
令 ，则不等式转化为 ，其中 ，
， ，当且仅当 时等号成立，所以m的最大值为 ；
综上，m的最大值为 .
【变式16-4】（2024·河南南阳·模拟预测）定义在正实数集上的函数 满足下列条件：
①存在常数 ，使得 ；②对任意实数 ，当 时，恒有 ．
(1)求证：对于任意正实数 、 ， ；
(2)证明： 在 上是单调减函数；
(3)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）证明：令 ， ，
则 ，
所以 ，即证；
（2）证明：设 ，则必 ，满足 ，
由（1）知 ，
故 ，即 ，
所以 在 上是单调减函数．
（3）令 ，则 ，
故 ，
即 ，由于
所以 ，又 ，故 ．1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数为 ，在R上单调递增，则a取
值的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，
则需满足 ，解得 ，
即a的范围是 .
故选：B.
2．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记
，若 ， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
3．（2024年上海夏季高考数学真题）已知函数 的定义域为R，定义集合
，在使得 的所有 中，下列成立的是（ ）
A．存在 是偶函数 B．存在 在 处取最大值
C．存在 是严格增函数 D．存在 在 处取到极小值【答案】B
【解析】对于A，若存在 是偶函数, 取 ,
则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误；
对于B，可构造函数 满足集合 ，
当 时，则 ，当 时， ，当 时， ，
则该函数 的最大值是 ，则B正确；
对C，假设存在 ，使得 严格递增，则 ，与已知 矛盾，则C错误；
对D，假设存在 ，使得 在 处取极小值，则在 的左侧附近存在 ，使得 ，
这与已知集合 的定义矛盾，故D错误；
故选：B.
4．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 的定义域为 ，
，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
1．已知函数 ， .
（1）求 、 的单调区间；
（2）求 、 的最小值.
【解析】（1） 函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 ，函数 的增区间为 ；
（2）由（1）知，函数 在 处取得最小值 ，由于函数 在定义域 上单调递增，则函数 在 处取得最小值 .
2．（1）根据函数单调性的定义证明函数 在区间 上单调递增.
（2）讨论函数 在区间 上的单调性.
（3）讨论函数 在区间 上的单调性.
【解析】（1）证明 且 ，
则 .
.
又 即 .
在区间 上单调递增.
（2） 且 .
.
①当 时， ，又 ，
即 . 在 上为减函数.
②当 时， ，又 .
即 在 上为增函数.
（3） 且 ，
则 .
①当 时， ，又 ， 即 .
在 上为减函数.
②当 时 ，又 ， ，即 .
在 上为增函数.
3．设函数 的定义域为I，区间 ，记 .证明：（1）函数 在区间D上单调递增的充要条件是： ，都有 ；
（2）函数 在区间D上单调递减的充要条件是： ，都有 .
【解析】证明：（1）充分性：不妨设 ，则
即 在D上单调递增.
必要性：若 在D上单调递增.
则 ，不妨设 ，则 .
.
即 ，都有 .
（2）充分性：不妨设 ，则 ，
，即 ，
在D上单调递减.
必要性：若 在D上单调递减.
，不妨设 ，则 .
即 ，都有 .
4．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，画出函数 的图像，并求出
的解析式．
【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，所以图像关于原点对称且 ，图像如图所示
当 时， ，所以当 时， ，则 ，
整理有 ，所以 的解析式为5．我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有
同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.
（1）求函数 图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数 的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数 为
偶函数”的一个推广结论.
【解析】（1） .
设 ，则 .
为奇函数.
的图象关于点 对称.
即 的图象的对称中心是点 .
（2）函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函数.
易错点：判断函数的奇偶性忽视定义域
易错分析： 函数具有奇偶性的必要条件是定义域一定要关于原点对称。如果定义域不关于原点对称，
一定是非奇非偶函数.
答题模板：判断函数的奇偶性
1、模板解决思路
奇、偶函数定义域的特点：因为 和 需同时有意义，所以奇、偶函数的定义域一定关于原
点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，因此要先考虑定义域．
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域；
第二步：判断其定义域是否关于原点对称；
第三步：若是，则验证 与 的关系；若不是，则非奇非偶函数；第四步：得出结论．
【易错题1】函数 是 函数（填“奇”、“偶”、“既奇又偶”或“非奇非偶”）.
【答案】奇
【解析】对于函数 ，有 ，解得 且 ，
所以，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 是奇函数.
故答案为：奇.
【易错题2】下列函数中，是偶函数的有 （填序号）.
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ， ；（6） .
【答案】（2）（3）（6）
【解析】对于（1），函数 的定义域为 ，关于原点对称，且 ，则函
数 为奇函数；
对于（2），函数 定义域为 ，关于原点对称，且 ，则函数
为偶函数；
对于（3），函数 的定义域为 ，关于原点对称， ，则函数
为偶函数；
对于（4），函数 定义域为 ，关于原点对称， ，则
函数 为奇函数；
对于（5），函数 的定义域为 ，不关于原点对称，不具有奇偶性，函数 ，
为非奇非偶函数；
对于（6），函数 的定义域为 ，关于原点对称，，则函数 为偶函数.
因此，为偶函数的有（2）（3）（6）.
故答案为（2）（3）（6）.
【易错题3】函数 的奇偶性为 .
【答案】奇函数
【解析】要使函数 ，必须满足 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，关于原点对称，
由 可得 ，
所以函数可化为
因为 ，
所以函数 是奇函数.
故答案为：奇函数
