集合进阶
模块1
描述法的理解
4
模块2
集合中的计数问题
9
模块3
集合的新定义问题
11
基本不等式
模块1
基本不等式及推广
18
模块2
利用基本不等式求最值
19
函数综述
模块1
分段函数与复合函数
30
模块2
求值域的方法
33
函数的单调性
模块1
单调性的判定方法
44
模块2
单调性的应用
50
目录
Contents
函数的奇偶性
模块1
奇偶性的判定方法
58
模块2
奇偶性的应用
61
模块3
单调性与奇偶性的综合应用
63
函数的对称性与周期性
模块1
函数的对称性
72
模块2
函数的周期性
76
模块3
对称性与周期性综合
78
抽象函数
模块1
抽象函数定义域问题
86
模块2
抽象函数求值问题
87
模块3
抽象函数性质综合
88
第1 讲
集合进阶
直击课堂
www.xueersi.com
3
1
学习目标
1．准确理解描述法的含义，能够判断离散数集的关系；掌握利用集合相等、集合运算结果求解含参问题的方法．
2．掌握集合子集个数的计数方法，理解容斥原理，应用其解决相关的计数问题．
3．理解集合的新定义，并能处理相关问题．
考情分析
高一数学·凌云班（课改）·秋
4
1
1
模块
1
描述法的理解
知识凝炼
1
集合的概念
（1）集合概念
一般的，把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合
（或集）. 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员)．集合通常用英文大写字母A,B,C,··· 来表示，元
素通常用英文小写字母a,b,c,··· 来表示．
（2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.
（3）元素与集合的关系
如果a 是集合A 的元素，记作a ∈A；如果a 不是集合A 的元素，记作a /∈A．
（4）常见数集
（5）集合的分类：有限集、无限集.
特殊集合：空集，记作∅.
2
集合的表示方法
集合的表示方法有列举法、描述法、图示法、区间法.
3
集合间的关系
www.xueersi.com
5
1
4
集合间的运算
⑴交集：A∩B = {x|x ∈A且x ∈B}；
⑵并集：A∪B =
{
x|x ∈A或x ∈B
}
；
⑶补集：∁UA = {x|x ∈U且x /∈A}；
⑷集合关系的转化
①A∩B = A ⇔A ⊆B；
②A∪B = A ⇔B ⊆A.
1. 含参数集相等问题，求出参数后一定要检验元素的互异性；
2. 含参数集可能为空集，不能遗漏；求出参数后通过代入法检验端点能否取等．
用维恩图表示∁U (A∪B) 与
(
∁UA
)
∩
(
∁UB
)
，它们之间有怎样的关系？∁U (A∩B) 和
(
∁UA
)
∪
(
∁UB
)
呢？
精讲精练
考点1: 描述法的理解
例1 （1）★★
正确率：52%
设S = {x|x = 2n,n ∈Z}，P = {x|x = 4n+2,n ∈Z}，则下列关系正确的是( )
A. S ⊆P
B. S = P
C. S ⫌P
D. S ⫋P
（2）★★★
正确率：61%
设集合M =
{
x
x = k
2 + 1
4,k ∈Z
}
，N =
{
x
x = k
4 + 1
2,k ∈Z
}
，则( )
A. M = N
B. M ⫋N
C. M ⫌N
D. M ∩N = ∅
高一数学·凌云班（课改）·秋
6
1
（3）★★★
设集合M = {x|x = 6k +1,k ∈Z}，N = {x|x = 6k +4,k ∈Z}，P = {x|x = 3k −2,k ∈Z}，则下列说法正
确的是
．
①M = N；②M̸ = N；③M ⊆P；④N ⫋P
达标检测1
★★★
正确率：51%
已知集合M =
{
x
x = m+ 1
6,m ∈Z
}
，N =
{
x
x = n
2 −1
3,n ∈Z
}
，P =
{
x
x = p
2 + 1
6, p ∈Z
}
，则集合
M、N、P 的关系是( )
A. M ⫋N = P
B. M = N ⫋P
C. M ⫋N ⫋P
D. N ⫋P ⫋M
考点2: 集合中的参数问题
例2 （1）★★
正确率：70%
含有三个实数的集合可表示为
{
a, b
a,1
}
，也可以表示为{a2,a+b,0}，则a2018 +b2018 的值为( )
A. −1
B. 1
C. 0
D. ±1
www.xueersi.com
7
1
（2）★★★
已知集合A = {m,m+d,m+2d}，B = {m,mq,mq2}，其中m̸ = 0，且A = B，则q =
．
例3 （1）★★
若集合A =
{
x
x2 +x−6 = 0
}
，B =
{
x
x2 +x+a = 0
}
，且B ⊆A，则实数a 的取值范围为( )
A.
{
a
a > 1
4
}
B.
{
a
a > 1
4或a = −6
}
C.
{
a
a ⩾1
4或a = −6
}
D.
{
a
a ⩾1
4
}
（2）★★★
设A =
{
x|x2 −2x−3 = 0
}
，B = {x|ax = 1}，若A∪B = A，则实数a 的取值集合为
．
高一数学·凌云班（课改）·秋
8
1
例4 （1）★★★
正确率：36%
已知集合A = {x|x > 4 或x < 0}，B = {x|ax−1 > 0}，若B∩A = B，则实数a 的取值范围是( )
A.
{
a
a < 1
4
}
B.
{
a
a ⩽1
4
}
C.
{
a
a > 1
4
}
D.
{
a
a ⩾1
4
}
（2）★★★★
设集合A = {x|x2 +3k2 ⩾2k(2x−1)+1}，B = {x|x2 −(2x−1)k+k2 ⩾0}，且A ⊆B，试求k 的取值范
围．
达标检测2
★★★
已知集合A = {x|−2 ⩽x ⩽7}，B = {x|m+1 < x < 2m−1}，若A∪B = A，则实数m 的取值范围是( )
A. −3 ⩽m ⩽4
B. −3 < m < 4
C. 2 < m < 4
D. m ⩽4
www.xueersi.com
9
1
2
模块
2
集合中的计数问题
知识凝炼
若集合A 中有n 个元素（n ∈N∗），则集合A 的子集有2n 个，真子集有2n −1 个，非空真子集有2n −2 个．
精讲精练
考点3: 子集个数
例5 （1）★★★
正确率：34%
符合{a} ⊆P ⊆{a,b,c,d} 的集合P 的个数是
；
符合{a} ⫋P ⊆{a,b,c,d} 的集合P 的个数是
；
符合{a} ⫋P ⫋{a,b,c,d} 的集合P 的个数是
．
（2）★★★
正确率：28%
已知A = {1,2,3,··· ,10}，B = {1,2,3,4,5}，若C 是A 的子集，且B∩C̸ = ∅，则子集C 共有
个．
高一数学·凌云班（课改）·秋
10
1
达标检测3
★★★
设集合A = {1,2,3,4,5,6}，B = {4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S∩B̸ = ∅的集合S 的个数是( )
A. 57
B. 56
C. 49
D. 8
知识凝炼
容斥原理：对于任意两个有限集合A 、B，记集合A 的元素个数为card(A)，集合B 的元素个数为card(B)，则
card(A∪B) = card(A)+card(B)−card(A∩B)．
推广：card(A∪B∪C) = card(A)+card(B)+card(C)−card(A∩B)−card(A∩C)−card(B∩C)+card(A∩B∩C)．
精讲精练
考点4: 容斥原理
例6 （1）★★★
某班共50 人，其中21 人喜爱篮球运动，18 人喜爱乒乓球运动，20 人对这两项运动都不喜爱，则喜
爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为
．
（2）★★★
某班有50 人，参加学校举行的甲、乙、丙三科竞赛，选甲的有38 人，选乙的有35 人，选丙的有31
人，兼选甲、乙两科的有29 人，兼选甲、丙的有28 人，兼选乙、丙的有26 人，甲、乙、丙三科均选的有
24 人．问：此班三科均未选的有多少人？
达标检测4
★★
2017 年文汇高中学生运动会，某班62 名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加
田赛的有16 人，参加径赛的有23 人，则田赛和径赛都参加的学生人数为( )
A. 7
B. 8
C. 10
D. 12
www.xueersi.com
11
1
3
模块
3
集合的新定义问题
精讲精练
考点5: 集合的新定义问题
例7 （1）★★★★
对集合A = {1,2,··· ,n} 及其任意非空子集，定义集合的交替和如下：按照降序排列集合元素，然后
从最大的数开始，交替减加后继的数所得结果．例如，集合{1,2,4,7,10} 的交替和是10 −7 + 4 −
2+1 = 6，求A 的所有非空子集的交替和的总和．
（2）★★★
设集合S = {0,1,2,3,4,5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x−1 /∈A 且x+1 /∈A，则称x 为集
合A 的一个“孤立元素”．那么集合S 中所有无“孤立元素”的4 元子集有
个，所有有“孤立
元素”的子集有
个．
（3）★★★
正确率：33%
对任意两个正整数m，n，定义某种运算(用⊗表示运算符号)：当m，n 都是正偶数或都是正奇
数时，m ⊗n = m + n，如4 ⊗6 = 4 + 6 = 10，3 ⊗7 = 3 + 7 = 10；当m，n 中有一个为正奇数，有
一个为正偶数时，m ⊗n = mn，如3 ⊗4 = 3 × 4 = 12，4 ⊗3 = 4 × 3 = 12，则在上述定义下，集合
M = {(m,n)|m⊗n = 36,m,n ∈N∗} 中的元素个数为
．
高一数学·凌云班（课改）·秋
12
1
（4）★★★★
设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b ∈P，都有a+b、a−b，ab、a
b ∈P(除数b̸ = 0)，则
称P 是一个数域，例如：有理数集Q 是数域；数集F =
{
a+b
√
2|a,b ∈Q
}
也是数域，有下列命题：
①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多
个数域，其中正确的命题序号是
.(把你认为正确的命题的序号填上)
达标检测5
★★★
正确率：36%
设A 是集合S = {1,2,3,4,5,6} 的非空子集，称A 中的元素之和为A 的“容量”，则S 的所有非空子集的
“容量”之和为
．
www.xueersi.com
13
1
课堂总结
高一数学·凌云班（课改）·秋
14
1
直击高考
考题1 （2019 全国Ⅰ理1）
已知集合M = {x|−4 < x < 2}，N =
{
x
x2 −x−6 < 0
}
，则M ∩N =( )
A. {x|−4 < x < 3}
B. {x|−4 < x < −2}
C. {x|−2 < x < 2}
D. {x|2 < x < 3}
答案
C
解析
∵M = {x|−4 < x < 2}，N =
{
x
x2 −x−6 < 0
}
= {x|−2 < x < 3}，
∴M ∩N = {x|−2 < x < 2}．
故选C．
考题2 （2018 北京理8）
设集合A = {(x,y)|x−y ⩾1,ax+y > 4,x−ay ⩽2}，则( )
A. 对任意实数a，(2,1) ∈A
B. 对任意实数a，(2,1) /∈A
C. 当且仅当a < 0 时，(2,1) /∈A
D. 当且仅当a ⩽3
2 时，(2,1) /∈A
答案
D
解析
当a = −1 时，集合A = {(x,y)|x−y ⩾1,ax+y > 4,x−ay ⩽2} = {(x,y)|x−y ⩾1,−x+y > 4,x+y ⩽2}，
显然(2,1) 不满足−x+y > 4，x+y ⩽2，所以A 不正确；
当a = 4 时，集合A = {(x,y)|x−y ⩾1,ax+y > 4,x−ay ⩽2} = {(x,y)|x−y ⩾1,4x+y > 4,x−4y ⩽2}，
显然(2,1) 在可行域内，满足不等式，所以B 不正确；
当a = 1 时，集合A = {(x,y)|x−y ⩾1,ax+y > 4,x−ay ⩽2} = {(x,y)|x−y ⩾1,x+y > 4,x−y ⩽2}，显
然(2,1) /∈A，所以C 不正确；
故选D．
www.xueersi.com
15
1
直击自招
考题
北大
设S,T ⊆N，满足0 ∈S，且存在正实数u，v，使得|S∩{1,2,··· ,n}| ⩾un，|T ∩{1,2,··· ,n}| ⩾vn 对任意
正整数n 成立．证明：若u+v ⩾1，则N+ ⊆S+T．
解析
n = 1 时，由|S∩{1}| ⩾u > 0，知1 ∈S，同理1 ∈T，所以1,2 ∈S+T．
用反证法．假设m /∈S+T，m ⩾3．
因为0 ∈S，所以m /∈T．
若i ∈S，则m−i /∈T，若i ∈T，则m−i /∈S，i = 1,2,··· ,m−1，从而
|S∩{1,2,··· ,m}|+|T ∩{1,2,··· ,m}| ⩽m，
但由已知条件有
|S∩{1,2,··· ,m}|+|T ∩{1,2,··· ,m}| ⩾um+vm ⩾m，
所以只能u+v = 1，|S∩{1,2,··· ,m}| = um，|T ∩{1,2,··· ,m}| = vm，且m ∈S(因为m /∈T)．
于是|S∩{1,2,··· ,m−1}| = um−1 < u(m−1)，这与题设矛盾．
因此∀m ∈N+，m ⩾3，m ∈S+T，所以N+ ⊆S+T．
第2 讲
基本不等式
直击课堂
www.xueersi.com
17
2
学习目标
1．理解基本不等式a+b
2
⩾
√
ab(a,b > 0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问
题．
2．熟练掌握运用基本不等式求最值的常用方法以及需要注意的“一正二定三相等”问题．
3．熟练掌握凑定值，常数代换等技巧来解决相关的基本不等式问题，培养举一反三的逻辑推理能力以及计算
能力．
考情分析
高一数学·凌云班（课改）·秋
18
2
1
模块
1
基本不等式及推广
知识凝炼
1
均值定理：如果a、b ∈R+（R+ 表示正实数），那么a+b
2
⩾
√
ab，当且仅当a = b 时，式中等号成立．
此定理又称均值不等式或基本不等式．
2
基本不等式推广：
√
a2 +b2
2
≥a+b
2
≥
√
ab ≥
2
1
a + 1
b
．
√
a2 +b2
2
叫做a 和b 的平方平均值，a+b
2
叫做算术平均值，
√
ab 叫做几何平均值，2
1
a + 1
b
叫做调和平均
值，即平方平均值≥算术平均值≥几何平均值≥调和平均值．
以上不等式中哪些
需要前提条件a、b
∈R+？
3
基本元素为ab，a+b，a2 +b2；其中一个为定值，都可以求其它两个的最值．
4
利用基本不等式求最值的条件
⑴“一正”：即求最值的两式必须都是正数．
⑵“二定”：要求和a+b 的最小值，则乘积ab 须是定值；
要求乘积ab 的最大值，则和a+b 须是定值．
特殊情况下，至少要求各项的和、积是一个可化简的定式．
⑶“三相等”：只有满足不等式中等号成立的条件，才能使式子取到最大或最小值．
⑷“四同时”：多次使用基本不等式时，需同时满足每个等号成立的条件．
精讲精练
考点1: 基本不等式链
例1
★★
若a,b ∈R，且ab > 0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A. a2 +b2 > 2ab
B. a+b ⩾2
√
ab
C. b
a + a
b ⩾2
D. 1
a + 1
b ⩾
2
√
ab
www.xueersi.com
19
2
例2 （1）★★
正确率：66%
如果a2 +b2 = 1，那么ab 的最大值是( )
A. 1
8
B. 1
4
C. 1
2
D. 1
（2）★★★
已知a > 0，b > 0，且a+b = 8，则√a+
√
b 的最大值为
．
达标检测1
★★
已知a > 0，b > 0，且a+b = 2，则a2 +b2 的最小值为
．
2
模块
2
利用基本不等式求最值
知识凝炼
最值定理：两个正数的乘积为常数，则两数相等时，它们的和取得最小值；两个正数的和为常数，则两数相
等时，它们的乘积取得最大值．
即已知a、b ∈R+，
⑴如果乘积ab 为定值P，那么当a = b 时，和a+b 有最小值2
√
P；
⑵如果和a+b 为定值S，那么当a = b 时，乘积ab 有最大值1
4S2．
高一数学·凌云班（课改）·秋
20
2
精讲精练
考点2: 直接求最值
例3 （1）★★
正确率：86%
若x > 0，则6x+1+ 1
2x 的最小值为( )
A. 2
√
3
B. 2
√
3+1
C. 5
D. 3+
√
3
（2）★★
正确率：88%
若0 < x < 10，则x(10−x) 的最大值为( )
A. 20
B. 50
C. 24
D. 25
（3）★★★
正确率：74%
若a > 0，b > 0，2a+b = 2，则ab 的最大值为( )
A. 1
2
B. 2
3
C. 4
9
D. 3
5
变式1
★★★
正确率：100%
已知正数x，y 满足1
x + 4
y = 1，则xy 有( )
A. 最小值4
B. 最大值4
C. 最小值16
D. 最大值16
www.xueersi.com
21
2
达标检测2
★★
正确率：65%
当x < 3 时，f (x) = x−3+
4
x−3 的最大值为( )
A. 4
B. 2
C. −4
D. −2
知识凝炼
利用基本不等式求两个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数．通常要通过添加常数、凑分
母等方式进行构造，求两个正数积的最大值也有类似的凑定值的技巧．
a,b,c,k 均为正常数，
x > 0，求ax +
k
bx+c
的最小值．
精讲精练
考点3: 凑定值
达标检测3
★★★
正确率：64%
已知x > −2，则2x+
1
x+2 的最小值为( )
A.
√
2−4
B.
√
2−2
C. 2
√
2−4
D. 2
√
2−2
高一数学·凌云班（课改）·秋
22
2
例4 （1）★★★
若2
3 < x < 7
5，则代数式(3x−2)(7−5x) 的最大值为
．
（2）★★★★
设x ⩾0，y ⩾0，x2 + y2
2 = 1，则x
√
1+y2 的最大值为
．
知识凝炼
已知ax+by = c，求d
x + e
y 的最小值；或者已知d
x + e
y = c，求ax+by 的最小值．
（a,b,c,d,e 为正常数，x,y > 0）
对于上述问题，我们可以转化为求1
c (ax+by)
(
d
x + e
y
)
的最小值．
www.xueersi.com
23
2
精讲精练
考点4: 常数代换
例5 （1）★★★
正确率：79%
已知a、b 为正实数，且a+2b = 1，则1
a + 1
b 的最小值为( )
A. 4
√
2
B. 6
C. 3−2
√
2
D. 3+2
√
2
（2）★★★
若正数x、y 满足3x+y = 5xy，则4x+3y 的最小值为( )
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
达标检测4
★★★
正确率：68%
设0 < x < 1，则函数y = 4
x +
1
1−x 的最小值为( )
A. 27
2
B. 9
C. 10
D. 8
高一数学·凌云班（课改）·秋
24
2
考点5: 和积互化
例6 （1）★★★
正确率：86%
若x > 0，y > 0，x+2y+2xy = 8，则x+2y 的最小值是( )
A. 11
2
B. 3
C. 9
2
D. 4
（2）★★★★设x、y 为实数，若4x2 +y2 +xy = 1，则2x+y 的最大值是
．
达标检测5
★★★
正确率：72%
若正实数x、y 满足2x+y+6 = xy，则xy 的最小值是( )
A. 12
B. 16
C. 18
D. 24
www.xueersi.com
25
2
课堂总结
高一数学·凌云班（课改）·秋
26
2
直击高考
考题
（2019 天津理13）
设x > 0，y > 0，x+2y = 5，则(x+1)(2y+1)
√xy
的最小值为
．
答案
4
√
3
解析
x > 0，y > 0，x+2y = 5，
则(x+1)(2y+1)
√xy
= 2xy+x+2y+1
√xy
= 2xy+6
√xy
= 2√xy+
6
√xy，
由均值不等式有：
2√xy+
6
√xy ⩾2
√
2√xy·
6
√xy = 4
√
3，
当且仅当2√xy =
6
√xy，即xy = 3，x+2y = 5，即
x = 3
y = 1
或
x = 2
y = 3
2
时，等号成立，
故(x+1)(2y+1)
√xy
的最小值为4
√
3，
故答案为4
√
3．
www.xueersi.com
27
2
直击自招
考题
同济
设有正数a 与b，满足a < b，若实数x1，y1，x2，y2，使x1 +y1 是a 与b 的算术平均数，x2 ·y2 是a 与b
的几何平均数，则
√x1 ·y1
(x2 +y2)2 的取值范围是
．
答案
[
0, a+b
16
√
ab
]
解析
x1 +y1 = a+b
2
，∴0 ⩽√x1y1 ⩽x1 +y1
2
= a+b
4
，
x2y2 =
√
ab，∴(x2 +y2)2 ⩾4x2y2 = 4
√
ab，于是0 <
1
(x2 +y2)2 ⩽
1
4
√
ab
，
因此0 ⩽
√x1 ·y1
(x2 +y2)2 ⩽a+b
16
√
ab
.
第3 讲
函数综述
直击课堂
www.xueersi.com
29
3
学习目标
1．理解分段函数与复合函数的概念，掌握处理函数求值、函数方程与函数不等式问题的方法.
2．掌握基本函数与复合函数求值域的方法，能够合理选择换元、分离常数等方法求根式型函数、分式型函数的
值域.
考情分析
高一数学·凌云班（课改）·秋
30
3
1
模块
1
分段函数与复合函数
知识凝炼
1
分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则的函数．
主要有大括号、绝对值、y = max{a,b}、y = min{a,b}、取整等形式．
2
复合函数：如果y 是u 的函数，记作y = f (u)，u 是x 的函数，记为u = g(x)，且g(x) 的值域与f (u) 的定
义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数y = f [g(x)]，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，
y = f (u) 叫做外层函数，u = g(x) 叫做内层函数．
图示：
u = √x−1 + √1−x
与y = 1
u 能否构成复
合函数？
www.xueersi.com
31
3
精讲精练
考点1: 函数求值问题
达标检测1
★★
设函数f(x) =
1−x2,x ⩽1
x2 +x−2,x > 1
，则f
(
1
f(2)
)
的值为( )
A. 15
16
B. −27
16
C. 8
9
D. 18
例1 （1）★★★
设f (x) =
x+3,x > 10
f (f (x+5)),x ⩽10
，则f (5) 的值是（ ）
A. 24
B. 21
C. 18
D. 16
（2）★★★★
已知函数f (x) = 3+x
1+x，记f (1)+ f (2)+ f (4)+···+ f (1024) = m，f
(
1
2
)
+ f
(
1
4
)
+ f
(
1
8
)
+···+
f
(
1
1024
)
= n，则m+n =
．
高一数学·凌云班（课改）·秋
32
3
考点2: 函数方程与函数不等式
例2 （1）★★
已知f (x) =
x2 +1,x ⩽0
−2x,x > 0
，若f (a) = 26，则a =
．
（2）★★★
已知实数a̸ = 0，函数f (x) =
2x+a,x < 1
−x−2a,x ⩾1
，若f (1−a) = f (1+a)，则实数a =
．
（3）★★★
设函数f (x) =
x2 +x,x < 0
−x2,x ⩾0
，若f [f (a)] ⩽2，则实数a 的取值范围是
．
www.xueersi.com
33
3
2
模块
2
求值域的方法
知识凝炼
一次函数、二次函数与反比例函数的值域问题是基本功，需要熟练掌握．这类函数的值域通过函数的图象
或直接配方得到．
精讲精练
考点3: 基本函数的值域
例3
★★
求下列函数的值域：
（1）y = −3x+1,x ∈(1,+∞)；
（2）y = −x2 −3x+2，x ∈(−∞,0]；
（3）y = 1
x,x ∈[3,+∞)．
达标检测2
★★
正确率：73%
函数y = −2
x,x ∈[−3,0)∪(0,1] 的值域为( )
A. (−∞,−2]∪(1,+∞)
B. (−∞,−2]∪
[
2
3,+∞
)
C. [−2,0)∪(1,+∞)
D. [−2,0)∪
[
2
3,+∞
)
高一数学·凌云班（课改）·秋
34
3
例4 （1）★★★
设函数g(x) = x2 −2(x ∈R)，f (x) =
g(x)+x+4,x < g(x)
g(x)−x,x ⩾g(x)
，则f (x) 的值域是( )
A.
[
−9
4,0
]
∪(1,+∞)
B. [0,+∞)
C.
[
−9
4,+∞
)
D.
[
−9
4,0
]
∪(2,+∞)
（2）★★
用min{a,b} 表示a，b 两个数中的较小值，设f (x) = min
{
2x−1, 1
x
}
(x > 0)，则f (x) 的最大值为
( )
A. −1
B. 1
C. 0
D. 不存在
知识凝炼
求复合函数的值域是由内向外逐层求解，先看整个函数的定义域，再依次从内层开始求每层的值域，每一
个内层的值域都对应它外面一层的定义域，这样一层层的处理就可以得到整个函数的值域．
求y =
1
√x+1 的值
域．
www.xueersi.com
35
3
精讲精练
考点4: 复合函数的值域
例5 （1）★★
函数y = 1
x2 −1
x 的值域为
．
（2）★★★
函数y =
1
x2 +x+2 的值域为( )
A. R
B.
[
4
7,+∞
)
C.
(
0, 4
7
]
D.
(
−∞, 4
7
]
（3）★★★★
函数y =
1
√
−|x2 −9|+8x
(2 ⩽x ⩽8) 的值域为
．
达标检测3
★★★
函数y =
√
−x2 +4x 的值域是( )
A. (−∞,4]
B. (−∞,2]
C. [0,2]
D. [0,4]
高一数学·凌云班（课改）·秋
36
3
考点5: 根式型函数的值域
达标检测4
★★
正确率：62%
函数f (x) = 2x+√2−x 的值域为( )
A.
(
0, 33
8
]
B.
(
−∞, 33
8
]
C. (−∞,4]
D. (0,4]
例6 （1）★★★
函数y =
√x+2
x+3
的值域是
．
（2）★★★
已知函数y = √1−x+√x+3 的最大值为M，最小值为m，则m
M 的值为( )
A. 1
4
B. 1
2
C.
√
2
2
D.
√
3
2
www.xueersi.com
37
3
知识凝炼
分式型函数的值域问题
分式型函数是高中常见的一类函数，形如f (x)
g(x) ,g(x)̸ = 0，其中f (x) 与g(x) 都是次数不超过2 的多项式
函数．
1
一次比一次
如y = 3x+2
x+1 ，我们通过分离常数将分子化为常数，得到y = 3−
1
x+1，这是反比例函数通过平移得到的函
数；
超过一次的分式型函数求值域，需要借助对勾函数，我们将在下一讲中熟悉这类函数，这是高中经常遇到
的一类函数．
2
二次比一次
如y = x2 +3x+4
x+1
，令t = x+1，得到y = t2 +t +2
t
= t + 2
t +1，转化为对勾函数的值域问题；
3
一次比二次
如y = x+1
x2 +1，考虑1
y，转化成⑵；也可令t = x + 1，得y =
t
t2 −2t +2，当t̸ = 0 时，将分子除下来得到
y =
1
t + 2
t −2
，求出分母的范围，从而得到值域；
4
二次比二次
如y = 2x2 +x+1
x2 +x+1 ，通过分离常数将分子化为一次，得到y = 2−
x+1
x2 +x+1，转化为⑶中的形式．
精讲精练
考点6: 分式型函数的值域
达标检测5
★★
函数f (x) = 3+2x
1+x (x > 0) 的值域是( )
A. (−∞,3)
B. (3,+∞)
C. (2,3)
D. (0,3)
高一数学·凌云班（课改）·秋
38
3
例7 （1）★★★
设x > −1，求y = (x+5)(x+2)
x+1
的最小值．
（2）★★★
求函数y = x2 −3x+4
x2 +3x+4 的值域．
www.xueersi.com
39
3
课堂总结
高一数学·凌云班（课改）·秋
40
3
直击高考
考题1 （2019 全国Ⅲ理7）
函数y =
2x3
2x +2−x 在[−6,6] 上的图象大致为( )
答案
B
解析
由y = f (x) =
2x3
2x +2−x 在[−6,6] 上可知：
f (−x) = 2(−x)3
2−x +2x = −
2x3
2x +2−x = −f (x)，
∴f (x) 是[−6,6] 上的奇函数，因此排除C，
又f (4) =
211
28 +1 > 7，因此排除A，D．
故选：B．
考题2 （2018 上海16）
设D 是含数1 的有限实数集，f (x) 是定义在D 上的函数，若f (x) 的图象绕原点逆时针旋转π
6 后与
原图象重合，则在以下各项中，f (1) 的可能取值只能是( )
A.
√
3
B.
√
3
2
C.
√
3
3
D. 0
答案
B
解析
设D 是含数1 的有限实数集，f (x) 是定义在D 上的函数，
若f (x) 的图象绕原点逆时针旋转π
6 后与原图象重合，
故f (1) = cos π
6 =
√
3
2 ，
故选B．
www.xueersi.com
41
3
直击自招
考题
复旦
函数y = 2x+√1−2x 的最值为( )
A. ymin = −5
4，ymax = 5
4
B. 无最小值，ymax = 5
4
C. ymin = −5
4，无最大值
D. 既无最小值也无最大值
答案
B
解析
令√1−2x = t，t ⩾0，则x = 1−t2
2
∴原函数变成y = −t2 +t +1 = −
(
t −1
2
)2
+ 5
4，t ⩾0，
∴t = 1
2，ymax = 5
4，
原函数值域为
(
-∞，5
4
)
，
则选B．
第4 讲
函数的单调性
直击课堂
www.xueersi.com
43
4
学习目标
1．在理解单调性定义的基础上，熟练应用四则运算判断函数单调性，能够利用“同增异减”判断复合函数的单
调性.
2．掌握绝对值型函数、对勾函数、飘带函数等重要函数模型的图象、定义域、值域与单调性.
3．掌握单调性的几种应用题型——解不等式、求值域以及由单调性求参数.
考情分析
高一数学·凌云班（课改）·秋
44
4
1
模块
1
单调性的判定方法
知识凝炼
单调性的四则运算：
（默认在函数的公共定义域上讨论）
⑴函数f(x) 与常数k：
①f(x)±k 与f(x) 的单调性相同；
②k f(x)：k > 0 时，与f(x) 单调性相同；k < 0 时，与f(x) 单调性相反；
⑵函数f(x) 与g(x)：
f(x) 与g(x) 单调性相同时，f(x)·g(x) 的单调性不确定．如：函数y = x·x．
加入哪些限制条件
可以确定f(x) · g(x)
的单调性？
www.xueersi.com
45
4
精讲精练
考点1: 单调性的四则运算
例1
★★★
判断下列函数在定义域内的单调性：
（1）f (x) = √x+√x+1．
（2）f (x) = 1
x −2x．
（3）f (x) = √x−1−1
x．
（4）f(x) = x2√x−1．
达标检测1
★★
设f (x)，g(x) 都是定义在R 上的函数，则( )
A. 若f (x)，g(x) 都是R 上的增函数，则f (x)×g(x) 是R 上的增函数
B. 若f (x)，g(x) 都是R 上的增函数，则f (x)+g(x) 是R 上的增函数
C. 若f (x)×g(x) 是R 上的增函数，则f (x)，g(x) 都是R 上的增函数
D. 若f (x)+g(x) 是R 上的增函数，则f (x)，g(x) 都是R 上的增函数
高一数学·凌云班（课改）·秋
46
4
知识凝炼
1
绝对值型函数
2
对勾函数与飘带函数
www.xueersi.com
47
4
精讲精练
考点2: 绝对值、对勾、飘带函数
例2 （1）★★
函数y = x+ 9
x 的定义域为(−∞,−1)∪(2,4]，则其值域为
．
（2）★★
函数y = |2x−3|−|x+1|( )
A. 最大值为5，无最小值
B. 最小值为−5
2，最大值为5
C. 最小值为−5
2，无最大值
D. 没有最大值也没有最小值
（3）★★★★
若函数f (x) = |x+1|+|2x+a| 的最小值为3，则实数a 的值为( )
A. 5 或8
B. −1 或5
C. −1 或−4
D. −4 或8
达标检测2
★★
函数f (x) = −x+ 1
x 在
[
−2,−1
3
]
上的最大值是( )
A. 3
2
B. −8
3
C. −2
D. 2
高一数学·凌云班（课改）·秋
48
4
知识凝炼
复合函数单调性——同增异减
对于复合函数y = f [g(x)] 的单调性，必须考虑外层函数y = f (u) 与内层函数u = g(x) 的单调性．
⑴若y = f (u) 与u = g(x) 单调性相同，则y = f [g(x)] 在对应区间上单调递增；
⑵若y = f (u) 与u = g(x) 单调性相反，则y = f [g(x)] 在对应区间上单调递减．
根据函数的定义域、内外层函数的单调区间先把区间进行划分再逐层判断．
精讲精练
考点3: 复合函数单调性
例3
★★★
判断下列函数在定义域内的单调性：
（1）f(x) =
1
x2 +2x+3；
（2）f(x) = 1+2x
x2
；
（3）f (x) = x(2−x)
|x−1|−1；
（4）f (x) = x+1
√x+2；
（5）f (x) =
√
|4x−x2|；
（6）f (x) = x2 + 1
x2 ．
www.xueersi.com
49
4
达标检测3
★★★
函数y =
1
√
3+2x−x2 的单调递减区间是( )
A. (1,+∞)
B. (−∞,1)
C. (−1,1)
D. (1,3)
考点4: 含参单调性问题
例4 （1）★★
若函数y = x2 +(2a−1)x+1 在区间(−∞,2] 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )
A.
[
−3
2,+∞
)
B.
(
−∞,−3
2
]
C.
[
3
2,+∞
)
D.
(
−∞, 3
2
]
（2）★★★★
已知函数f(x) =
√3−ax
a−1 (a̸ = 1)，若f(x) 在区间(0,1] 上是减函数，则实数a 的取值范围是
．
达标检测4
★★★
已知函数f (x) =
−x2 −ax−5,x ⩽1
a
x,x > 1
是R 上的增函数，则a 的取值范围是( )
A. [−3,0)
B. (−∞,−2)
C. (−∞,0)
D. [−3,−2]
高一数学·凌云班（课改）·秋
50
4
2
模块
2
单调性的应用
精讲精练
考点5: 比较大小
例5 （1）★★
已知f (x) 在R 上是减函数，比较f(3) 与f
(
a2 −2a+9
)
的大小( )
A. f(3) ⩾f
(
a2 −2a+9
)
B. f(3) > f
(
a2 −2a+9
)
C. f(3) < f
(
a2 −2a+9
)
D. 不能确定
（2）★★★★正确率：56%
已知函数f (x) 在(−∞,+∞) 上是减函数，a,b ∈R，且a+b ⩽0，则一定有( )
A. f (a)+ f (b) ⩽−f (a)−f (b)
B. f (a)+ f (b) ⩾−f (a)−f (b)
C. f (a)+ f (b) ⩽f (−a)+ f (−b)
D. f (a)+ f (b) ⩾f (−a)+ f (−b)
考点6: 解不等式
例6 （1）★★
正确率：56%
已知f(x) 是定义在R 上的增函数，且f
(
−x2 +9x
)
< f(18)，则x 的取值范围是（ ）
A. (3,6)
B. (2,5)
C. (−∞,3)∪(6,+∞)
D. (−∞,2)∪(5,+∞)
www.xueersi.com
51
4
（2）★★★
已知函数f(x) =
x2 +4x,x ⩾0
4x−x2,x < 0
，若f(2−a2) > f(a)，则实数a 的取值范围是( )
A. (−∞,−1)∪(2,+∞)
B. (−1,2)
C. (−2,1)
D. (−∞,−2)∪(1,+∞)
（3）★★★★正确率：67%
不等式
8
(x+1)3 + 10
x+1 −x3 −5x > 0 的解集是( )
A. (−2,1)
B. (−∞,−2)∪(1,+∞)
C. (−2,−1)∪(1,+∞)
D. (−∞,−2)∪(−1,1)
达标检测5
★★★
已知函数y = f (x) 在定义域(−1,1) 上是减函数, 且f (2a−1) < f (1−a), 则实数a 的取值范围是( )
A.
(
2
3,+∞
)
B.
(
2
3,1
)
C. (0,2)
D. (0,+∞)
高一数学·凌云班（课改）·秋
52
4
考点7: 求值域
例7
★★★
（1）函数f (x) =
1
2x+√x−1 的值域为( )
A. (0,+∞)
B. (−∞,0)∪
(
0, 1
2
]
C.
(
0, 1
2
)
D.
(
0, 1
2
]
（2）★★★★
求下列函数的值域：
①f (x) = x2 −4x+1+3|2−x|；
②f (x) =
√
x2 +1−
√
x2 −1．
www.xueersi.com
53
4
课堂总结
高一数学·凌云班（课改）·秋
54
4
直击高考
考题1 （2019 北京文3）
下列函数中，在区间(0,+∞) 上单调递增的是( )
A. y = x
1
2
B. y = 2−x
C. y = log 1
2 x
D. y = 1
x
答案
A
解析
y = x
1
2 在(0,+∞) 上单调递增，y = 2−x，y = log 1
2 x 和y = 1
x 在(0,+∞) 上都是减函数．
故选A．
考题2 （2017 全国Ⅲ理16）
设函数f(x) =
x+1,x ⩽0
2x,x > 0
, 则满足f(x)+ f(x−1
2) > 1 的x 的取值范围是
．
答案
(
−1
4,+∞
)
解析
由题意：设g(x) = f (x) + f
(
x−1
2
)
=
2x+ 3
2,x ⩽0
2x +x+ 1
2,0 < x ⩽1
2
(√
2+2
)
2x−1,x > 1
2
，函数g(x) 在区间(−∞,0]，
(
0, 1
2
]
，
(
1
2,+∞
)
三段区间内均单调递增，且g
(
−1
4
)
= 1，20 + 1
2 > 1，
(√
2+2
)
×2
1
2 −1 > 1，因此x 的取值范
围是：
(
−1
4,+∞
)
．
www.xueersi.com
55
4
直击自招
考题
北大
函数y = |x+2|+|x−1|+|x| 为增函数，则x 必属于区间( )
A. (−∞,−2]
B. [−2,0]
C. [0,+∞)
D. (−∞,0]
答案
C
解析
容易知道y =
3x+1,x > 1
x+3,1 ⩾x > 0
3−x,0 > x ⩾−2
−3x−1,x < −2
，于是当x ∈[0,+∞) 时，函数为增函数．
第5 讲
函数的奇偶性
直击课堂
www.xueersi.com
57
5
学习目标
1．在理解奇偶性定义的基础上，熟练使用四则运算判断奇偶性，并能利用奇偶性求参数.
2．能够利用奇偶性求函数值以及函数的解析式.
3．综合利用函数的单调性与奇偶性求解综合问题.
考情分析
高一数学·凌云班（课改）·秋
58
5
1
模块
1
奇偶性的判定方法
知识凝炼
判断函数奇偶性的主要方法有：
⑴利用定义
①f (x) 定义域关于原点对称；
②f (−x) = f (x) ⇒f (x) 是偶函数；f (−x) = −f (x) ⇒f (x) 是奇函数．
⑵利用函数图象
关于坐标原点对称⇒奇函数；关于y 轴对称⇒偶函数．
⑶根据奇偶性的四则运算
⑷复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外．
若f(x) 为奇函数，判
断|f(x)|、f(|x|) 的奇
偶性；若f(x) 为偶函
数呢？
www.xueersi.com
59
5
精讲精练
考点1: 奇偶性的四则运算
例1 （1）★★★
下列函数中奇函数、偶函数的个数分别为( )
①f (x) = x+ a
x (a ∈R)；②f (x) = x4 +4x2 +3；③f (x) =
x2 +x,x < 0
−x2 +x,x > 0
；
④f (x) = |x−3|+|x+3|；⑤f (x) = x2 +x
x+1 ；⑥f (x) =
√
1+x2 +x−1
√
1+x2 +x+1
．
A. 2；3
B. 3；2
C. 3；3
D. 4；2
（2）★★★
正确率：32%
已知f(x) =
√
4−x2，g(x) = |x−2|，则下列结论正确的是( )
A. h(x) = f(x)+g(x) 是偶函数
B. h(x) = f(x)·g(x) 是奇函数
C. h(x) = g(x)· f (x)
2−x
是偶函数
D. h(x) =
f (x)
2−g(x) 是奇函数
达标检测1
★★★
正确率：49%
设f(x) 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A. f(x)f(−x) 是奇函数
B. f(x)|f(−x)| 是奇函数
C. f(x)−f(−x) 是偶函数
D. f(x)+ f(−x) 是偶函数
高一数学·凌云班（课改）·秋
60
5
考点2: 已知奇偶性求参数
达标检测2
★★
已知函数f (x) = ax2 +bx+3a+b 是定义域为[a−1,2a] 的偶函数，则a+b 的值是( )
A. 0
B. 1
3
C. 1
D. −1
例2
★★★
正确率：76%
若函数f(x) =
x
(2x+1)(x−a) 为奇函数，则a =( )
A. 1
2
B. 2
3
C. 3
4
D. 1
www.xueersi.com
61
5
2
模块
2
奇偶性的应用
精讲精练
考点3: 利用奇偶性求值
例3 （1）★★
已知函数f (x) = ax3 +bx+8，且f (−2) = 10，则f (2) 的值是( )
A. −10
B. −6
C. 6
D. 10
（2）★★★
若函数f (x)、g(x) 都是奇函数，函数φ (x) = af (x) + bg(x) + 2 在(0,+∞) 上有最大值5，则函数
φ (x) 在(−∞,0) 上有( )
A. 最小值−5
B. 最大值−5
C. 最小值−1
D. 最大值−3
（3）★★★★
函数y = x5 |x|+
(
x5 +1
)2
x10 +1
的最大值与最小值的和为
．
达标检测3
★★★
已知f (x)、g(x) 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x)−g(x) = x3 +x2 +1，则f (1)+g(1) =
( )
A. −3
B. −1
C. 1
D. 3
高一数学·凌云班（课改）·秋
62
5
考点4: 利用奇偶性求解析式
达标检测4
★★
若f (x) 是偶函数，且x > 0 时，f (x) = x2 −7x+3，则x < 0 时，f (x) =( )
A. x2 +7x+3
B. x2 −7x+3
C. x2 +7x−3
D. −x2 +7x+3
例4 （1）★★★
已知定义在R 上的函数f (x) 是奇函数，当x > 0 时，f (x) = √x+x+1，求f (x) 的解析式．
（2）★★★
函数f (x) 是R 上是偶函数，g(x) 是R 上的奇函数，且f (x)+g(x) =
1
x−1，f (x) =
．
www.xueersi.com
63
5
3
模块
3
单调性与奇偶性的综合应用
知识凝炼
偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同．
精讲精练
考点5: 单调性与奇偶性的综合应用
例5
★★
定义在R 上的偶函数f (x) 满足：对任意的x1,x2 ∈[0,+∞)(x1̸ = x2)，有f (x2)−f (x1)
x2 −x1
< 0，则( )
A. f (3) < f (−2) < f (1)
B. f (1) < f (−2) < f (3)
C. f (−2) < f (1) < f (3)
D. f (3) < f (1) < f (−2)
例6 （1）★★★
已知函数f (x) = x3 +x，且f (3a−2)+ f (a−1) < 0，则实数a 的取值范围是
．
（2）★★★
已知定义域为(−1,1) 的函数y = f (x) 既是奇函数又是减函数，且f (a−3)+ f
(
9−a2)
< 0，则a 的
取值范围是( )
A.
(
2
√
2,3
)
B.
(
3,
√
10
)
C.
(
2
√
2,4
)
D. (−2,3)
高一数学·凌云班（课改）·秋
64
5
达标检测5
★★★
正确率：78%
若函数f (x) 是定义在R 上的偶函数，在(−∞,0] 上是减函数，且f (2) = 0，则使得f (x) < 0 的x 的取
值范围是( )
A. (−∞,2)
B. (2,+∞)
C. (−∞,−2)∪(2,+∞)
D. (−2,2)
例7 （1）★★★
设奇函数f (x) 在(0,+∞) 上为增函数，且f (2) = 0，则不等式f (x)−f (−x)
x
< 0 的解集为( )
A. (−2,0)∪(2,+∞)
B. (−2,0)∪(0,2)
C. (−∞,−2)∪(2,+∞)
D. (−∞,−2)∪(0,2)
（2）★★★★
已知f (x) 是定义在R 上的奇函数，对任意的x1，x2 ∈(−∞,0)(x1̸ = x2) 都满足f (x1)−f (x2)
x1 −x2
< 0，
且f (2) = 0，则不等式(x−1) f (x) < 0 的解集为
．
例8
★★★★
设f (x) 是连续的偶函数，且当x > 0 时是单调函数，则满足f (x) = f
(
x+3
x+4
)
的所有x 之和为( )
A. −3
B. 3
C. −8
D. 8
www.xueersi.com
65
5
例9
★★★
已知函数f (x) = mx+n
x2 +2 是定义在[−1,1] 上的奇函数，且f (1) = 1．
（1）确定函数f (x) 的解析式．
（2）用定义证明f (x) 在(−1,1) 上是增函数．
（3）求不等式f (2x+2)+ f
(
−x2 +1
)
< 0 的解集．
高一数学·凌云班（课改）·秋
66
5
课堂总结
www.xueersi.com
67
5
直击高考
考题1 （2019 北京理13）
设函数f (x) = ex +ae−x(a 为常数)．若f (x) 为奇函数，则a =
；若f (x) 是R 上的增函数，则a
的取值范围是
．
答案
−1
(−∞,0]
解析
根据题意，函数f (x) = ex +ae−x，
若f (x) 为奇函数，则f (−x) = −f (x)，即e−x +aex = −(ex +ae−x)，变形可得a = −1，
函数f (x) = ex +ae−x，导数为f ′ (x) = ex −ae−x，
若f (x) 是R 上的增函数，则f (x) 的导数f ′ (x) = ex −ae−x ⩾0 在R 上恒成立，
变形可得：a ⩽e2x 恒成立，分析可得a ⩽0，即a 的取值范围为(−∞,0]．
故答案为：−1，(−∞,0]．
考题2 （2018 全国Ⅲ理16）
已知函数f (x) = ln(
√
1+x2 −x)+1，f (a) = 4，则f (−a) =
．
答案
−2
解析
函数g(x) = ln(
√
1+x2 −x)，
满足g(−x) = ln(
√
1+x2 +x) = ln
1
√
1+x2 −x
= −ln(
√
1+x2 −x) = −g(x)，
所以g(x) 是奇函数．
函数f (x) = ln(
√
1+x2 −x)+1，f (a) = 4，
可得f (a) = 4 = ln(
√
1+a2 −a)+1，可得ln(
√
1+a2 −a) = 3，
则f (−a) = −ln(
√
1+a2 −a)+1 = −3+1 = −2．
故答案为：−2．
高一数学·凌云班（课改）·秋
68
5
直击自招
考题
数学竞赛预赛
设f (x)、g(x) 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且f (x) + g(x) = 2x．若对x ∈
[
1
2,2
]
，不等式
af (x)−f (3x) ⩽2g(2x) 恒成立，求实数a 的取值范围．
解析
因为f (x) + g(x) = 2x，又f (x)、g(x) 分别是R 上的奇函数、偶函数，所以f (−x) + g(−x) = 2−x，即
−f (x)+g(x) = 2−x．
由
f (x)+g(x) = 2x
−f (x)+g(x) = 2−x
⇒
f (x) = 2x −2−x
2
g(x) = 2x +2−x
2
令t = 2 f (x) = 2x −2−x，由于f (x) 在R 上为增函数，x ∈
[
1
2,2
]
，得t ∈
[√
2
2 , 15
4
]
．所以
g(2x) = 1
2
(
22x +2−2x)
= 1
2
[
(2x −2−x)2 +2
]
= 1
2
(
t2 +2
)
，
f (3x) = 1
2
(
23x −2−3x)
= 1
2 (2x −2−x)
(
22x +2−2x +1
)
= 1
2t
(
t2 +3
)
．
由a f (x)−f (3x) ⩽2g(2x) 对x ∈
[
1
2,2
]
恒成立，得
at −t
(
t2 +2
)
⩽2
(
t2 +2
)
，
对t ∈
[√
2
2 , 15
4
]
恒成立．即a ⩽t2 +2t + 4
t +3 对t ∈
[√
2
2 , 15
4
]
恒成立．等价于a ⩽
(
t2 +2t + 4
t +3
)
min
．
令h(t) = t2 +2t + 4
t +3，则
h′ (t) = 2t +2−4
t2 = 2t3 +2t2 −4
t2
= 2(t −1)
(
t2 +2t +2
)
t2
，
易知，t ∈
[√
2
2 ,1
)
时，h′ (t) < 0，t ∈
(
1, 15
4
]
时，h′ (t) > 0．
所以h(t)min = h(1) = 10．故a ⩽10，即实数a 的取值范围是(−∞,10]．
第6 讲
函数的对称性与
周期性
直击课堂
www.xueersi.com
71
6
学习目标
1．由函数的奇偶性推广到对称性，掌握对称性的判定方法，能够利用对称性进行求值、求和计算.
2．理解周期性的概念，熟悉常见的半周期条件，能够利用周期性进行求值计算.
3．理解双对称性与周期性之间的联系，并能求解相应的综合问题.
考情分析
高一数学·凌云班（课改）·秋
72
6
1
模块
1
函数的对称性
知识凝炼
1
轴对称
⑴函数y = f(x) 的图象关于直线x = a 对称⇔f(a−x) = f(a+x)⇔f(x) = f(2a−x)．
⑵函数y = f (x) 在其定义域内有f (a+x) = f (b−x) 恒成立，则f (x) 的图象关于直线x = a+b
2
对称.
2
中心对称
⑴函数y = f(x) 的图象关于点(a,b) 对称⇔f (a+x)+ f (a−x) = 2b⇔f(x)+ f(2a−x) = 2b．
⑵若函数y = f(x) 满足f(a+x)+ f(b−x) = c，则f(x) 的图象关于点
(
a+b
2
, c
2
)
成中心对称．
www.xueersi.com
73
6
精讲精练
考点1: 抽象函数对称性
例1
★★
（1）若函数f (x) 满足：f (x+1)−f (1−x) = 0，则f (x) 的图象的对称轴为
；
（2）若函数f (x) 满足：f (−x) = f (x−4)，则f (x) 的图象的对称轴为
．
（3）若函数f (x) 满足：f (x+1)+ f (1−x) = 0，则f (x) 的图象的对称中心为
．
（4）若函数f (x) 满足：f (−x) = −f (x−4)，则f (x) 的图象的对称中心为
．
（5）若函数f (x) 满足：f (x+2)+ f (2−x) = 2，则f (x) 的图象的对称中心为
．
达标检测1
★★
已知f (x) 为定义在R 上的函数，若函数f (x+1) 为奇函数，则下列说法正确的是( )
A. 图象关于点(−1,0) 对称
B. 图象关于点(1,0) 对称
C. 图象关于直线x = −1 对称
D. 图象关于直线x = 1 对称
高一数学·凌云班（课改）·秋
74
6
考点2: 具体函数对称性
例2 （1）★★★
函数f (x) =
x
x+1 + x+1
x+2 + x+2
x+3 对称中心为( )
A. (−4,6)
B. (−2,3)
C. (−4,3)
D. (−2,6)
（2）★★★
用min{a,b} 表示a，b 两数中的最小值．若函数f (x) = min{|x| ,|x+t|} 的图象关于直线x = −1
2
对称，则t 的值为( )
A. −2
B. 2
C. −1
D. 1
（3）★★★★
若函数f (x) =
(
1−x2)(
x2 +ax+b
)
的图象关于直线x = −2 对称，则f (x) 的最大值为
．
考点3: 利用对称性求值
达标检测2
★★
已知函数f (x) 满足f (x−5)+ f (1−x) = 2，且当x > 1 时，f (x) = x2 +2x−5，则f (−6) =
．
www.xueersi.com
75
6
例3
★★★★
已知函数
f (x)(x ∈R) 满足
f (−x) = 2 −f (x)，若函数y = x+1
x
与y = f (x) 图象的交点为
(x1,y1),(x2,y2),··· ,(xm,ym)，则
m
∑
i=1
(xi +yi) =( )
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
考点4: 对称性与单调性综合
达标检测3
★★
若函数f(x) 在(4,+∞) 上为减函数, 且对任意的x ∈R, 有f(4+x) = f(4−x), 则( )
A. f(2) > f(3)
B. f(2) > f(5)
C. f(3) > f(5)
D. f(3) > f(6)
例4
★★
函数f (x) 在[0,+∞) 上单调递减，且f (x−2) 的图象关于x = 2 对称，若f (−2) = 1，则满足f (x−2) ⩾1
的x 的取值范围是( )
A. [−2,2]
B. (−∞,−2]∪[2,+∞)
C. (−∞,0]∪[4,+∞)
D. [0,4]
高一数学·凌云班（课改）·秋
76
6
2
模块
2
函数的周期性
知识凝炼
1
周期性
一般地，对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x+T) = f (x)，
那么函数f (x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．
推广：若函数f (x) 定义域内的任意实数x，都满足f (x+a) = f (x−b)，那么函数f (x) 是以a+b 为周期
的周期函数．
2
最小正周期
对于一个周期函数f (x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小
正周期．
3
半周期条件
若函数f (x) 定义域内的任意实数x，都满足f (x+a) = −f (x)，那么函数f (x) 是以2a 为周期的周期函数；
若函数f (x) 定义域内的任意实数x，都满足f (x+a) =
1
f (x)，那么函数f (x) 是以2a 为周期的周期函数．
若函数f (x) 定义域内的任意实数x，都满足f (x+a) = −
1
f (x)，那么函数f (x) 是周期函数吗？如果是周
期是多少？
www.xueersi.com
77
6
精讲精练
考点5: 利用周期性求值
例5 （1）★★
已知函数f (x) 定义域是R，且对于任意x ∈R 都有f (x) = f (x+3)，如下图表示该函数在区间
(−2,1] 上的图象，则f (2016)+ f (2017) =
．
（2）★★
正确率：70%
设定义在R 上的函数f (x) 满足f (x)· f (x+2) = 13，若f (1) = 2，则f (99) =( )
A. 13
2
B. 11
2
C. 13
D. 11
（3）★★★
设偶函数f (x) 对一切x ∈R 满足f (x+3) = −
1
f (x)，且x ∈[−3,−2] 时，f (x) = 2x，则
f (113.5) =
．
达标检测4
★★★
正确率：58%
已知函数f(x) 的定义域为R．当x < 0 时，f(x) = x3 −1；当−1 ⩽x ⩽1 时，f(−x) = −f(x)；当x > 1
2
时，f
(
x+ 1
2
)
= f
(
x−1
2
)
．则f(6) =( )
A. −2
B. 1
C. 0
D. 2
高一数学·凌云班（课改）·秋
78
6
3
模块
3
对称性与周期性综合
知识凝炼
1
双对称性⇒周期性
⑴若函数f (x) 的图象关于直线x = a 和x = b(a < b) 对称，即对于定义域内的任意实数x，都满足
f (a+x) = f (a−x)，f (b+x) = f (b−x)，那么函数f (x) 是以2(b−a) 为周期的周期函数；
⑵若函数f (x) 的图象关于点(a,c) 和(b,c)(a < b) 对称，即对于定义域内的任意实数x，都满足
f (a+x)+ f (a−x) = 2c，f (b+x)+ f (b−x) = 2c，那么函数f (x) 是以2(b−a) 为周期的周期函数；
⑶若函数f (x) 的图象关于直线x = a 和点(b,c)(a̸ = b) 对称，即对于定义域内的任意实数x，都满足
f (a+x) = f (a−x)，f (b+x)+ f (b−x) = 2c，那么函数f (x) 是以4|b−a| 为周期的周期函数．
2
对称性+ 周期性⇒对称性
⑴若函数f (x) 是周期为T 的周期函数，且图象关于直线x = a 对称，那么直线x = a+ kT
2 (k ∈Z) 也是
函数图象的对称轴；
⑵若函数f (x) 是周期为T 的周期函数，且图象关于点(a,c) 对称，那么点
(
a+ kT
2 ,c
)
(k ∈Z) 也是函数
图象的对称中心．
精讲精练
考点6: 求值问题
例6 （1）★★★
函数f (x) 的定义域为R，若f (x+1) 与f (x−1) 都是奇函数，则( )
A. f (x) 是偶函数
B. f (x) 是奇函数
C. f (x) = f (x+2)
D. f (x+3) 是奇函数
（2）★★★
已知函数f (x−1)(x ∈R) 是偶函数，且函数f (x) 的图象关于点(1,0) 成中心对称，当x ∈[−1,1]
时，f (x) = x−1，则f (2019) =( )
A. −2
B. −1
C. 0
D. 2
www.xueersi.com
79
6
（3）★★★★
已知f (x) 是定义域为(−∞,+∞) 的奇函数，满足f (1−x) = f (1+x)，若f (1) = 2，则f (1)+ f (2)+
f (3)+···+ f (50) =( )
A. −50
B. 0
C. 2
D. 50
达标检测5
★★
偶函数y = f (x) 的图象关于直线x = 2 对称，f (3) = 3，则f (−1) =( )
A. −2
B. 2
C. −3
D. 3
考点7: 零点问题
例7 （1）★★★★正确率：60%
定义在R 上的函数f(x) 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f(x) = 0 在
闭区间[−T,T] 上的根的个数记为n，则n 可能为( )
A. 0
B. 1
C. 3
D. 5
（2）★★★★
已知定义在R 上的奇函数f (x)，满足f (x−4) = −f (x)，且在区间[0,2] 上是增函数，若方程
f (x) = m(m > 0) 在区间[−8,8] 上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，则x1 +x2 +x3 +x4 =
．
高一数学·凌云班（课改）·秋
80
6
课堂总结
www.xueersi.com
81
6
直击高考
考题1 （2018 江苏9）
函数f (x) 满足f(x + 4) = f (x)(x ∈R)，且在区间(−2,2] 上，f (x) =
cos πx
2 , 0 < x ⩽2
x+ 1
2
,−2 < x ⩽0
，则
f (f (15)) 的值为
．
答案
√
2
2
解析
由f(x+4) = f (x) 得函数是周期为4 的周期函数，
则f (15) = f (16−1) = f (−1) = |−1+ 1
2| = 1
2，
f(1
2) = cos(π
2 × 1
2) = cos π
4 =
√
2
2 ，
即f (f (15)) =
√
2
2 ，
故答案为：
√
2
2 ．
考题2 （2017 全国Ⅲ理11）
已知函数f(x) = x2 −2x+a(ex−1 +e−x+1) 有唯一零点，则a =( )
A. −1
2
B. 1
3
C. 1
2
D. 1
答案
C
解析
令f(x) = 0 可得x2−2x = −a
(
ex−1 +e−x+1)
，设g(x) = ex−1+e−x+1，g
′ (x) = ex−1−e−x+1 = ex−1−
1
ex−1 =
e2(x−1) −1
ex−1
，当g
′ (x) = 0 时，x = 1，当x < 1 时，g
′ (x) < 0 函数单调递减，当x > 1 时，g
′ (x) > 0，函数单
调递增，当x = 1 时，函数取得最小值g(1) = 2，设h(x) = x2 −2x，当x = 1 时，函数取得最小值−1，当
a > 0 时，f(x) 在(−∞，1) 上单调递减，在(1，+∞) 上单调递增，所以f(1) = −1+2a = 0，a = 1
2 > 0，满
足题意，结合选项，选C．
高一数学·凌云班（课改）·秋
82
6
直击自招
考题
数学竞赛预赛
（1）已知定义在R 上的奇函数f (x) 的图象关于直线x = 2 对称，当0 < x ⩽2 时，f (x) = x + 1，则
f (−100)+ f (−101) =
．
（2）已知函数f (x) 满足f (x+1) + f (1−x) = 0，f (x+2) −f (2−x) = 0，且f
(
2
3
)
= 1，则
f
(
1000
3
)
=
．
答案（1）2
（2）−1
解析（1）由f (x) 为奇函数，且其图象关于直线x = 2 对称，知f (−x) = −f (x)，且f (2−x) = f (2+x)．
∴f (x+4) = f (−x) = −f (x)，f (x+8) = −f (x+4) = f (x)，f (x) 是以8 为周期的周期函数，
又f (3) = f (1) = 2，f (4) = f (0) = 0．
∴f (−100)+ f (−101) = f (4)+ f (3) = 0+2 = 2．
（2）提示：由已知得f (x+2) = f (2−x) = f [1−(x−1)] = −f [1+(x−1)] = −f (x)，
即f (x+4) = f (x)．
所以f
(
1000
3
)
= f
(
332+ 4
3
)
= f
(
4
3
)
= f
(
1+ 1
3
)
= −f
(
1−1
3
)
= −f
(
2
3
)
= −1．
第7 讲
抽象函数
直击课堂
www.xueersi.com
85
7
学习目标
1．掌握赋值法，熟练利用其解决求值问题.
2．掌握抽象函数定义域的求法以及单调性、奇偶性的判定方法.
3．综合运用抽象函数的性质，能够处理解不等式、求参数取值范围等问题.
考情分析
高一数学·凌云班（课改）·秋
86
7
1
模块
1
抽象函数定义域问题
精讲精练
考点1: 抽象函数的定义域
例1 （1）★★
已知函数f (x) 的定义域为(−1,0)，则函数f (2x+1) 的定义域为( )
A. (−1,1)
B.
(
−1,−1
2
)
C. (−1,0)
D.
(
1
2,1
)
（2）★★★
已知函数f (x+1) 的定义域为[−2,3]，则f
(
2x2 −2
)
的定义域是( )
A.
[
−
√
3,−
√
2
2
]
B.
[
−
√
3,−
√
2
2
]
∪
[√
2
2 ,
√
3
]
C.
[√
2
2 ,
√
3
]
D. [−2,3]
达标检测1
★★★
已知函数y = f (x+1) 的定义域是[−2,3]，则y = f (2x−1) 的定义域是( )
A.
[
0, 5
2
]
B. [−1,4]
C. [−5,5]
D. [−3,7]
www.xueersi.com
87
7
2
模块
2
抽象函数求值问题
精讲精练
考点2: 抽象函数求值问题
例2 （1）★★
定义在R+(正实数集) 上的函数f(x) 满足f(xy) = f(x) + f(y)(x,y ∈R+)，已知f(8) = 3，则
f(1) =
，f(
√
2) =
．
（2）★★★
定义在R 上的函数y = f(x)，当x > 0 时，且f(x) 不恒为零，且对任意的a,b ∈R 有f(a + b) =
f(a)f(b)，则f(0) =
．
（3）★★★
定义在R 上的函数f(x) 满足f(x+y) = f(x)+ f(y)+2xy(x,y ∈R)，f(1) = 2，则f(3) =
，
f(−3) =
．
（4）★★★
函数f (x) 满足f
(
x+y2)
= f (x)+2[f (y)]2 且f (1)̸ = 0，则f (2018) 的值为( )
A. 1010
B. 1009
C. 1008
D. 1007
高一数学·凌云班（课改）·秋
88
7
达标检测2
★★★
已知函数f (x) 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有x f (x+1) = (1+x)
f (x)，则f
(
5
2
)
的值是( )
A. 0
B. 1
2
C. 1
D. 5
2
3
模块
3
抽象函数性质综合
精讲精练
考点3: 抽象函数的性质
达标检测3
★★
设函数f (x) 的定义域为R，对任意x，y ∈R，恒有f (x+y) = f (x)+ f (y) 成立，则f (x) 是( )
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既奇又偶函数
D. 非奇非偶函数
例3
★★
已知f(x) 的定义域为R，对于定义域内的x，y 满足f (x+y) = f (x)+ f (y)，且当x < 0 时f (x) > 0．证
明：f (x) 在R 上单调递减．
www.xueersi.com
89
7
例4
★★★
已知定义域为R 的函数f (x) 满足，对任意x，y ∈R，f (xy) = f (x) f (y)，f (x) > 0 恒成立，且x > 1 时
f (x) > 1．
求证：
（1）f (x) 为偶函数．
（2）f (x) 在(−∞,0) 上递减，(0,+∞) 上递增．
高一数学·凌云班（课改）·秋
90
7
例5 （1）★★★
已知f (x) 的定义域为{x|x̸ = 0}，且对任意实数x，y 满足f (xy) = f (x)+ f (y)，则f (x) 是( )
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既奇又偶函数
D. 非奇非偶函数
（2）★★★
设函数f (x) 的定义域为(0,+∞)，对任意正实数x,y 都有f (xy) = f (x) + f (y)，且当x > 1 时，
f (x) > 0．证明：函数f (x) 在(0,+∞) 上为增函数．
（3）★★★
设f (x) 定义于实数集上，当x > 0 时，f (x) > 1，且对于任意实数x、y，有f (x+y) = f (x)· f (y)，求
证：f (x) 在R 上为增函数．
www.xueersi.com
91
7
精讲精练
考点4: 抽象函数综合问题
例6
★★★
已知函数f(x) 在(−1,1) 上有定义，当且仅当0 < x < 1 时，f(x) < 0，且对任意x,y ∈(−1,1) 都有
f(x)+ f(y) = f
(
x+y
1+xy
)
．
（1）证明：f (−x) = −f (x)；
（2）判断f(x) 在(−1,1) 上的增减性，并证明你的结论．
（3）不等式f(5x−4) > f(x2) 的解集为( )
A.
{
x
x < 3
5或x > 1
}
B.
{
x
3
5 < x < 1
}
C. {x|1 < x < 4}
D.
{
x
x < 1或x > 4
}
高一数学·凌云班（课改）·秋
92
7
例7
★★★
若x1、x2 ∈R，f (0)̸ = 0，且f (2x1)+ f (2x2) = f (x1 +x2)· f (x1 −x2)．
（1）求f (0)．
（2）求证：f (x) 为偶函数．
（3）若f (π) = 0，求证：f (x) 为周期函数．
www.xueersi.com
93
7
例8
★★★★
已知函数f (x) 的定义域是{x|x > 0}，并且满足：当x > 1 时，f (x) > 2；对∀x1，x2 ∈(0,+∞)，都有
f (x1x2) = f (x1) f (x2)−f (x1)−f (x2)+2．
（1）求f (1)．
（2）求证函数f (x) 在(1,+∞) 上单调递增．
（3）当f (2) = 5 时，求不等式f (x) < 17 的解集．
高一数学·凌云班（课改）·秋
94
7
课堂总结
www.xueersi.com
95
7
直击高考
考题1 （2017 全国Ⅰ理5）
函数f (x) 在(−∞,+∞) 上单调递减，且为奇函数．若f (1) = −1，则满足−1 ⩽f (x−2) ⩽1 的x 的取
值范围是( )
A. [−2,2]
B. [−1,1]
C. [0,4]
D. [1,3]
答案
D
解析
∵函数f (x) 为奇函数．
若f (1) = −1，则f (−1) = 1，
又∵函数f (x) 在(−∞,+∞) 上单调递减，−1 ⩽f (x−2) ⩽1，
∴f (1) ⩽f (x−2) ⩽f (−1)，
∴−1 ⩽x−2 ⩽1，
解得：x ∈[1,3]，
故选：D．
高一数学·凌云班（课改）·秋
96
7
考题2 （2015 全国Ⅱ理12）
设函数f ′ (x) 是奇函数f (x)(x ∈R) 的导函数，f (−1) = 0，当x > 0 时，x f ′ (x) −f (x) < 0，则使得
f (x) > 0 成立的x 的取值范围是( )
A. (−∞,−1)∪(0,1)
B. (−1,0)∪(1,+∞)
C. (−∞,−1)∪(−1,0)
D. (0,1)∪(1,+∞)
答案
A
解析
设g(x) = f (x)
x
，则g(x) 的导数为：g′ (x) = x f ′ (x)−f (x)
x2
，
∵当x > 0 时，总有x f ′ (x) < f (x) 成立，
即当x > 0 时，g′ (x) 恒小于0，
∴当x > 0 时，函数g(x) = f (x)
x
为减函数，
又∵g(−x) = f (−x)
−x
= −f (x)
−x
= f (x)
x
= g(x)，
∴函数g(x) 为定义域上的偶函数，
又∵g(−1) = f (−1)
−1
= 0，
∴函数g(x) 的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式f (x) > 0 ⇔x·g(x) > 0
⇔
x > 0
g(x) > 0
或
x < 0
g(x) < 0
，
⇔0 < x < 1 或x < −1．
故选：A．
www.xueersi.com
97
7
直击自招
考题1
数学竞赛预赛
已知函数f (x)，满足f
(
a+2b
3
)
= f (a)+2 f (b)
3
，f (1) = 1，f (4) = 7，则f (2014) =( )
A. 4027
B. 4028
C. 4029
D. 4030
答案
A
解析
f (2) = f
(
6
3
)
= f
(
4+2·1
3
)
= f (4)+2 f (1)
3
= 1
3 (7+2) = 3，
f (3) = f
(
9
3
)
= f
(
1+2·4
3
)
= f (1)+2 f (4)
3
= 1
3 (1+2·7) = 5，
猜想f (n) = 2n−1．用数学归纳法，假设f (n) = 2n−1 对n ⩽3k 成立，
f (3k +1) = 3 f (k +1)−2f (1) = 6k +1 = 2(3k +1)−1，
f (3k +2) = 3 f (k +2)−2f (2) = 6k +3 = 2(3k +2)−1，
f (3k +3) = 3f (k +3)−2f (3) = 6k +5 = 2(3k +3)−1
∴f (n) = 2n−1 对∀n ∈N∗成立，f (2014) = 2×2014−1 = 4027．
考题2
复旦
已知函数f (x) 的定义域为(0,2)，则函数g(x) = f (x+c)+ f (x−c) 在0 < c < 1
2 时的定义域为( )
A. (1−c,2+c)
B. (c,2−c)
C. (1−c,2−c)
D. (c,2+c)
答案
B
解析
由0 < x+c < 2,0 < x−c < 2 联立解出．
高一数学·凌云班（课改）·秋
98
参考答案
第1 讲
集合进阶
思考探究
p.5
∁U (A∪B) =
(
∁UA
)
∩
(
∁UB
)
，
∁U (A∩B) =
(
∁UA
)
∪
(
∁UB
)
。
第2 讲
基本不等式
思考探究
p.18
a+b
2
≥
√
ab ≥
2
1
a + 1
b
需要。
p.21
可以采用配凑a
b(bx+c)+
k
bx+c −ac
b ，进而求最小值。
第3 讲
函数综述
思考探究
p.30
前者值域为{0}，后者定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，交集为空集，不能构成复合函数。
p.34
u = √x ∈[0,+∞)，u+1 ∈[1,+∞)，于是y =
1
u+1 ∈(0,1]。
www.xueersi.com
99
第4 讲
函数的单调性
思考探究
p.44
若f(x)，g(x) 均为增（减）函数，当f(x) > 0，且g(x) > 0 时，f(x)g(x) 是增（减）函数；当f(x) < 0，
且g(x) < 0 时，f(x)g(x) 是减（增）函数。
第5 讲
函数的奇偶性
思考探究
p.58
|f(x)|、f(|x|) 均为偶函数。
第6 讲
函数的对称性与周期性
思考探究
p.76
f (x+2a) = −
1
f (x+a) = f (x), 故函数f (x) 是以2a 为周期的周期函数。
