文档文本内容
1 函数的图像与性质 一、奇偶性的判断 （1）函数具有奇偶性的前提条件：定义域关于原点对称。 （2）判断函数奇偶性的方法 1)定义法： 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 2)图像法：关于原点对称则是奇函数，关于y 轴对称则是偶函数。 3)性质法：设f(x) ，g(x) 的定义域分别是R, 则在它们的公共定义域上，有下 面结论： f(x) g(x) f(x)+ g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不定 不定 奇 偶 奇 偶 不定 不定 奇 偶 奇 奇 奇 奇 偶 奇 4)多项式法： 函数p(x)=𝑎𝑛𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯+ 𝑎0的奇偶性： 多项式函数p(x)是奇函数⟺p(x)的偶次项的系数全为零； 多项式函数p(x)是偶函数⟺p(x)的奇次项的系数全为零。 5)抽象函数奇偶性的判断方法： 1°利用函数奇偶性的定义，找准方向（想办法出现f(-x)，f(x)）； 2°巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑； 3°找出f(-x)与f(x)的关系，得出结论。 二、函数奇偶性的性质 （1）若f(x)是奇函数，且0∈定义域，则f(0)=0；若f(x)是偶函数，则f(-x)= 2 f(x)= f(|x|)。 （2）奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区 间上单调性相反。 （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种模型，即f(x)=0，x∈D,D 关于原点 对称。 三、函数单调性与奇偶性的应用 （1）已知单调性求参数 1°二次型函数的单调性。判断二次项系数是否等于零，再分类讨论开口情况， 讨论满足题意是，对称轴应满足的情况。 2°已知复合函数的单调性求参数 复合函数一般是已知外层函数的单调性，除了要注意定义域问题以外，还要知道 如果外层函数是增函数，则原函数与内层函数的增减性相同，如果外层函数是减 函数，则外层函数与内层函数的单调性相反。 3°分段函数的增减性已知 分段函数单调时要满足三个条件，断点左边右边分别单调，且单调性相同。断点 两侧的函数值满足单调条件。 （2）利用单调性解不等式 求解f(x)>f(y)这类函数不等式时，一般根据函数的单调性直接比较自变量的大 小，若已知函数的单调性，可以将其他形式的不等式转化为这种形式再去解不等 式。 （3）知一半求一半问题 已知某函数的奇偶性，且已知函数在x>0 或x<0 时的解析式，让求另外一侧的解 析式，记住求啥设啥就可以。 四、函数的周期性 如果一个函数既关于一条直线轴对称，又关于一个点中心对称；或有两条不同的 对称轴；或有两条不同的对称中心；或满足f(x)=f(x+a)则这个函数是周期函数。 周期分别为相邻的对称轴和对称中心的横坐标的四倍；两个相邻对称中心横坐标 的两倍，两条相邻对称轴的两倍；以及a。
