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回扣 8 函数与导数
1．函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．
(2)常见函数的值域
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R；
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为，当a<0时，值域为；
③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．
2．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意 x(定义域关于原点对称)，
都有f(－x)＝ － f ( x )成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝ f ( x ) 成立，则f(x)为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任
意一个x的值，若 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x )( T ≠ 0) ，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
3．关于函数周期性、对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数， 2 a 是它的一个周期；
②若函数f(x)满足f(x＋a)＝，则f(x)为周期函数， 2 a 是它的一个周期；
③若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数， 2 a 是它的一个周期．
(2)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，
则函数f(x)的图象关于点对称．
4．函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．
(1)单调性的定义的等价形式：设任意x，x∈[a，b]，且x≠x，
1 2 1 2
那么(x－x)[f(x)－f(x)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上单调递增；
1 2 1 2
(x－x)[f(x)－f(x)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上单调递减．
1 2 1 2
(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)
都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数 y＝
f(g(x))的单调性．
5．指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0,1)点；
y＝log x(a>0，且a≠1)恒过(1,0)点．
a
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝log x在(0，＋∞)上单调递增；
a
当00的解集确定函数f(x)的单调递增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调递
减区间．
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间
M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；
③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是
其单调区间的子集．
9．利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域；
②解方程f′(x)＝0；
③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x 附近两侧的符号变化：
0
若左正右负，则x 为极大值点；
0
若左负右正，则x 为极小值点；
0若不变号，则x 不是极值点．
0
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值．
10．常见的含有导数的几种不等式构造原函数类型
(1)对于f′(x)±g′(x)>0，构造函数h(x)＝f(x)±g(x)．
(2)对于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数h(x)＝f(x)g(x)．
(3)对于f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，构造函数h(x)＝(g(x)≠0)．
例如，对于xf′(x)＋f(x)>0，构造函数h(x)＝xf(x)，
对于xf′(x)－f(x)>0，构造函数h(x)＝.
对于f(x)＋f′(x)>0，构造函数h(x)＝exf(x)，
对于f′(x)－f(x)>0，构造函数h(x)＝.
1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．
2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．
3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连
接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但
必须注意使定义域不受影响．
5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数 y＝ax(a>0，a≠1)的单调性容易忽视对a
的取值进行讨论；对数函数y＝log x(a>0，a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．
a
6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集
的端点值进行准确互化．
7．已知可导函数f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，
不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立．
8．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x 的两侧f′(x)的符号是否
0
发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．
