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安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高二下学期春季联赛
数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．T C．S D．Z
2．从1，2，4，8，16这五个数中随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．若复数 ， 满足 ，则 （ ）
A．-1 B．1 C． D．
4．已知平面向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ， ，若 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．0
7．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，设曲线 上的点与 轴上的点顺次构成等腰直角三角形 ，直角顶点在
曲线 上，则点 的横坐标为（ ）A．20 B．21 C．100 D．101
二、多选题
9．已知随机变量X服从正态分布 ，定义函数 为X取值不超过x的概率，即 ．
若 ，则（ ）
A． B．
C． 在 上是减函数 D．
10．已知点F是抛物线C： 的焦点，设直线 ： 与抛物线C有唯一公共点
P，过点P作直线 的垂线交x轴于点R，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知正方体 的棱长为1，点E，F分别是棱AD，AB上的动点，G是棱 的中点，以
为底面作三棱柱 ，顶点 也在正方体的表面上．设 ，
则（ ）
A． ，直线 与直线 所成的角均为
B． ，使得四面体 的体积为
C．当 时，直线 与平面 所成角的正切值为D．当 时，若三棱柱 为正三棱柱，则其高为
三、填空题
12．乘积式 展开后的项数是___________.
13．函数 的最大值为_____.
14．如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为5cm，该纸片上的正六边形 的中心为 ，G、H、M、
N、P、Q为圆 上的点， ， ， ， ， ， 分别是以 ， ， ，
， ， 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 ， ， ， ， ， 为折痕折
起 ， ， ， ， ， ，使得G、H、M、N、P、Q重合，得到六棱锥.当
正六边形 的边长变化时，所得六棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_____.
四、解答题
15．已知数列 的递推关系式为 .
(1)记 的前 项和为 ，证明： ；
(2)若数列 各项除以2后所得到的余数构成 ，记 前 项和为 ，求 .
16．如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．(1)证明：∠PAD＝∠PBC；
(2)当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小．
17．在平面直角坐标系 中，设A，B两点的坐标分别为 ，直线 ， 相交于点M，且它
们的斜率之积是 ，设点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)点P，Q在C上，E是平面上不同于P，Q的动点，且满足 .
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①E在曲线C上；② ；③ .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
18．（1）证明：当 且 时， ， ；
（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取10次，设抽得
的10个号码互不相同的概率为 .证明： .
19．点S是直线 外一点，点M，N在直线 上（点M，N与点P，Q任一点不重合）．若点M在线段
上，记 ；若点M在线段 外，记 ．记
．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ， ，点D是
射线 上一点，且 ．(1)若 ，求 ；
(2)射线 上的点 ， ， ，…满足 ， ，
（i）当 时，求 的最小值；
（ii）当 时，过点C作 于 ，记 ，求证：数列 的前n项和 ．参考答案
1．C
【详解】任取 ，则 ，其中 ，所以 ，故 ，
因此， .
故选：C
2．B
【详解】从5个数中取两个数，总共有 种取法，
满足“其中一个数是另一个的两倍”的数对有： ，共4对，
所以概率为 .
3．A
【详解】由 和 ，得 是方程 的两个根，
解得 ，它们互为共轭复数，设 ，
所以 .
4．B
【详解】向量 ，向量 ，
则 ， ，
所以 在 方向上的投影向量为 .
5．D
【详解】对于A：取 ， ，则 ，故A不一定成立，不合题意；
对于B：不等式 ，由于 ，即a与b异号，则 与 同号，
则 与 异号，故 与题设矛盾，故B不成立；对于C： 即 ，取 ， ，满足 ，但 ，与题设矛盾，故C错误；
对于D： ，设 ，则 ，不等式转化为 ，
因为当 时， ，而 ，因此该不等式恒成立，D正确.
6．C
【详解】因为 ，
所以 .
设 ， ，则 ，易知 在 上单调递增，从而 ，
即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，即 的最大值为 .
故选:C.
7．C
【详解】由二项式定理， ，
对比系数得 ，即 ，
则所求表达式为 ，
利用组合恒等式 ，得 .
8．A
【详解】因为 是等腰直角三角形，可设 ，则 ，
代入 可得， ，即 ，再结合 与 的图象交点可知 ， ，
所以数列 是以 为首项，4为公差的等差数列，
所以有 ，故 ，则点 的横坐标为20.
9．AD
【详解】因为随机变量X服从正态分布 ，
所以 ，A正确；
，因为 ，所以 ，
所以 不可能，B不正确；
因为 ，所以当 增大时， 也增大，C不正确；
，D正确.
故选：AD.
10．AD
【详解】
抛物线 ： ，焦点 ，
直线 ： 与抛物线 有唯一公共点，即相切，将 代入抛物线得 ，
由 得 ，化简得 ，故A正确，B错误.
切点坐标： ， ，
过点 作直线 的垂线，斜率为 ，方程为 ，
令 得 ，即 ，
计算 ，
，
，
故 恒成立，故C错误，D正确.
11．ACD
【详解】设 ，则 ，
又 ，所以 ，解得 ，
即 .
A：建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，
有 ，
所以 ，得 ，故A正确；B：因为 ， ，
， ，
有 ，
所以 ，
得 ，
所以 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，则点 到平面 的距离为
，
所以四面体 的体积为，
则该四面体 的体积为定值 ，故B错误；
C：由选项B的分析可知，当 时， ，
易知平面 的一个法向量为 ，
则 ，
设直线 与平面 所成角为 ， 为锐角，
则 ，所以 ，故C正确；
D：当 时，E、F分别为AD、AB的中点，由正三棱柱的特征可知，
A B C D
1 1 1 1
点 分别为正方形 、 、 的中心，如图，则 ，
有 ，则 ，
所以 为正三棱柱 的高，且 ，故D正确.
故选：ACD.
12．18
【详解】解：依题意从第一个括号中选一个字母有 种方法，
从第二个括号中选一个字母有 种方法，
从第三个括号中选一个字母有 种方法，
按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为 项；
故答案为：
13．1
【详解】
，
设 ，即 ，因此当 ，即 时, .
14．
【详解】由题，连接 ，交 于点 ，
由题， ，设 ，则 ， ，
六棱锥的高 ，
底面积 ，
则 ，
令 ， ， ，
令 ，即 ， ，
则 ，则 ，
所以体积最大值为 .
15．(1)证明见解析
(2)1352
【详解】（1）因为 ，所以 ，则有 ，
以上各式相加得 ，
又 ，所以 ；
（2）根据递推关系及每一项的奇偶性可知，数列 各项除以2后所得余数构成新数列1，1，0，1，1，
0，…
所以该数列的周期为 ，1个周期内的项为 ，
所以 .
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在 中，因为 垂直平分 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
从而可得 ；
（2）解：由（1）知， 是二面角 的平面角，设 ， ，
在 中， ，过点 作 于 ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又因为平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，即为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，所以 ，
令 ， ， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时， 有最大值2，
此时直线 与平面 所成角为 的正弦值 最大，
所以当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，二面角 的大小为 ．
17．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设点 的坐标为 ，
由题意可得 ，
化简得，点 的轨迹方程为 .
（2）设 ， ， ，
由 可得， ，若由①②推③：当 在曲线 上，则有 ，
化简得， ，
又 ，所以 ，即 .
若由①③推②：当E在曲线C上，则有 ，化简得
，再由 得 ，从而可得 .
若由②③推①：由 得 ，结合 .
，
所以E在曲线C上.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】（1）当 时， ；
当 ， 时，构造函数 ，其中 且 ，
则 ，可知 ，
所以当 时， ，此时 在 上单调递减；
当 时， ，此时 在 上单调递增，
所以 ，故当 且 时， .
综上，当 且 时， ， ；
（2）由题意，从100张卡片中有放回地抽取10次，每次抽取相互独立，总可能结果为 ，要使10个号码互不相同，相当于从100个号码中选取10个进行排列，共有 种方式.
因此概率为 .
对分子中的因数配对并放缩：
，
，
，
.
于是 .
由（1）可得，对 且 ，有 .
即 ，两边取倒数得 .
因此 ，原不等式得证.
19．(1) ，
(2)
（i）
（ii）当 ， ,所以 在线段 的延长线上，
所以 ，所以 ,
时，所以 ，
, ，
所以 ，
综上 .
【详解】（1）因为 D是线段 上一点， ，
所以 故 ，
所以 为 的角平分线，又 ,所以 ,
若 ，在 中，由余弦定理可得
,
故 ，
由正弦定理可得 ,故 ，解得 ,
由于 是最大的边，所以 ，
（2）设 ，
（i）当 时，因为 ,所以 在线段 的延长线上，
所以 ，因为 ,
,
所以
当且仅当 ,即 取等号，此时 ，
由于 , ，等号可以取到，
故 的最小值为
