文档文本内容
安徽省示范高中培优联盟2026 年春季联赛（高一）
数 学
本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1 至第3 页，非选择题第4 至第6 页.全卷满分
150 分，考试时间120 分钟.
考生注意事项：
1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡
上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.
2．答选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3．答非选择题时，必须使用0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔
迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5 毫米的黑色墨水签字笔
描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿
纸上答题无效.
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1. 若集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【详解】易知
，
；
所以
．
2. 若
：直线与平面
有公共点，
：直线与平面
相交，则
是
的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】根据
可知直线在平面
内或直线与平面
相交，
故
是
的必要不充分条件．
3. 已知非零实数
，满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【详解】易知
，
，故A 错误，B 正确；
对于C，移项作差，得
，
因为不能判断
的正负，
所以不能确定
的正负，
所以不能判断
的大小关系，故C 错误；
对于D，移项作差，
，
所以
，故D 错误.
4. 函数
的单调递减区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【详解】由
得
，
所以函数
的定义域为
，
因为函数
在
上单调递增，
为增函数，
所以函数
在区间
上单调递增，
因为函数
在
上单调递减，
为增函数，
所以函数
在区间
上单调递减，
所以函数
的单调递减区间为
．
5. 已知角
的终边经过点
，且
，则m 的值为（ ）
A. 4
B. 3
C.
D.
【答案】A
【详解】由角
的终边经过点
，
则
，
，
整理得
，
，
解得
或
（舍去），
所以m 的值为
．
6. 已知等边
的边长为
，点P 是该三角形所在平面内的动点，满足
，当向量
的
模取最大值时，
与
夹角的正切值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【详解】设
的中点为
，以
为原点建系，则有
，
，
，解得
，
所以点
的轨迹是以
中点
为圆心，
为半径的圆，
易得等边
的高
，所以点
在圆外，
要使
的模取最大值，此时
三点共线，由圆的图像性质易得此时
，
则
，
与
的夹角为
，
在
中，
.
7. 在
中，角
所对的边分别为
，满足
，
，则
的外接圆半径为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A
【详解】已知
，即
，
由正弦定理边化角得：
，
即
，又
，
，
，
，
．
．
，
故
，又
，所以
，
由正弦定理知
，故
．
8. 已知
，
，满足
，
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【详解】对A：
可变形为
，令
，
则当
时，
单调递减，又
，
时，
，故
，故A 错误；
对D：由题可得
，
分别是函数
，
与函数
和
图象的交点横坐标，
则两个交点分别为
，
，
由于函数
和
图象关于直线
对称，
而且函数
，
图象也关于
对称，
所以
，
两点关于直线
对称，故
，故D 错误；
对B：因为
，所以
，则
，取倒数变形得
，
所以
，
，故
，故B 错误；
对C：因为
，所以
，则
，
又因为
，故
，故C 正确.
二、选择题（本题共3 小题，第10 题为选考题，请考生任选一题作答.每小题6 分，共18 分.
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有
选错的得0 分.）
9. 若函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
A.
B. 直线
是函数
图象的一条对称轴
C. 不等式
的解集为
D. 当
，满足
，则
【答案】ABD
【详解】由图象知
，最小正周期为
，则
，
将
代入
中，得
，得
，
，
又
，则
，所以该函数的解析式为
．
对于A，
，故A 正确；
对于B，由
的对称轴为
，
，得
，
，
取
时，直线
是函数
图象的一条对称轴，故B 正确；
对于C，由
，则
，即
，
，
解得
，
，所以该不等式的解集为
，
，故C 错误；
对于D，根据函数的解析式画图如下，
由
，满足
，
则
，所以
，故D 正确．
【选考人教版】
10. 已知复数
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A. 若
是
的共轭复数，则
B. 若
，则
（是虚数单位）
C.
的最小值为1
D.
的最大值为3
【答案】ACD
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，当
时，
，故B 错误；
对于C，设复数
在复平面中的点为
，
则
表示点
在以
为圆心的单位圆上，
表示点
到
的距离，故
的最小值为
，故C 正确；
对于D，由A 知
，则
，
设
，则
，
因为
，所以
，则
的最大值为3，故D 正确．
或
．（当
时取等号）
【选考北师大版】
11. 从1，2，3，4，5，6 中随机有放回地抽取两个数，每次抽取一个，记第一次抽到的数为
，第二次抽
到的数为
，定义事件：
“
是3 的整数倍”，
“
是偶数”，
“
”，
“
能被4
整除”，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 事件
与事件
相互独立
D. 事件
与事件
相互不独立
【答案】ACD
【详解】对于A，3 和6 满足条件，故
，答案A 正确；
对于B，所有可能出现的样本点有
，
，…，
，共
个，
其中
的有
，
共10 个，故
，答案B 错误；
对于C，
，易得
，
满足事件
的有
共6 个，故
，
则
，答案C 正确；
对于D，
，
满足事件D 的有
共9 个，
故
，
，则
，故答案D 正确．
12. 已知函数
，下面说法正确的是（ ）
A.
B.
在区间
上单调递减
C. 关于
的方程
的实根个数不可能为4 个
D. 关于
的方程
的实根个数可能为6 个
【答案】AD
【详解】
，A 正确，
当
时，
，由对数型复合函数单调性可知：
在区间
上单调递增，B 错误.
画出函数
的图象，如图1，
设
，画出其图象，如图2，
，
对于选项C，D，
，
当
时，则
，由
的图象可知，方程的实根个数为2 个；
故方程
的实根个数为2 个；
当
时，则
或
，由
的图象可知，方程的实根个数为2 个；
故方程
的实根个数为2 个；
当
时，由图1 可知，
有三个根，
，
当
，由
的图象可知，方程无解，
当
，由
的图象可知，方程的实根个数为2 个，
综上可知：方程
的实根个数为2 个；
当
时，方程
有四个根，
，
当
，由
的图象可知，方程有一个根，
当
，由
的图象可知，方程无解，
当
，由
的图象可知，方程有一个根，
当
，由
的图象可知，方程有两个根，
综上方程
的实根个数为4 个；
当
时，方程
有四个根，
，
当
时，由
的图象可知，方程有两个根，
当
时，由
的图象可知，方程无解，
当
时，由
的图象可知，方程有两个根，
当
时，由
的图象可知，方程有两个根，
综上方程
的实根个数为6 个；
当
时，方程
有两个根，
，
当
时，由
的图象可知，方程有两个根，
当
，由
的图象可知，方程无解，
当
，由
的图象可知，方程有两个根，
综上方程
的实根个数为4 个；
当
时，方程
有两个根，
，
当
时，，由
的图象可知，方程有两个根，
当
，由
的图象可知，方程无解，
综上方程
的实根个数为2 个.
故C 错误，D 正确.
三、填空题（本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.）
13. 已知正实数
满足
．则
的最小值为________
【答案】
【详解】由
得：
，
，
，
，
，
，
（当且仅当
时取等号）
的最小值为
故答案为：
.
14. 若函数
在区间
上有且只有
个零点，则
的取值范围是
_________．
【答案】
【详解】由ωx−π
4 =k π,k ∈Z ，得到x =
π
4 +k π
ω
,k ∈Z ，
因为
在区间
上有且只有
个零点，故存在
，
使得
π
4 +(k −1)π
ω
<−π
4 ≤
π
4 + k π
ω
<
π
4 +(k +2)π
ω
≤π
3 <
π
4 +(k +3)π
ω
，
故¿，
因为
，故
且−1−4 k <3
4 +3(k +3)即
，
故
，
若
，则¿即
，
若
，则¿，无解，
综上
.
15. 已知正方形
边长为2，点
是正方形
边上一动点，满足
，点
是正方形
所在平面内一动点，满足
．若
，则
的取值范围是_________．
【答案】
【详解】以点
为原点，
所在的直线为x 轴，
所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，
则
，
，
， 设
，
，
，
，解得
，
所以
在
边上，不妨设
，
，点
，
因为
，所以有
，设
，则
，
故
，
，即
，
，
因为
，所以
，
即
，
结合
，当
时，
取最大值
，
当
时，
取最小值
，
故
．
四、解答题（本题共5 小题，共77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. 设集合
，
．
（1）若
，求
；
（2）若“
”是“
”的必要不充分条件，求实数m 的值．
【答案】（1）
；
（2）
．
【小问1 详解】
当
时，集合
，
分式不等式等价于：
，
解得：
，即
，
因为集合
，
由
，
解得：
或
，即
，
因此：
.
【小问2 详解】
因为
，则
，
解得：
，即
，
则
，
由题意，“
”是“
”的必要不充分条件，
即
，且
，则
，
因此：
，
解得：
，所以
17. 已知函数
，其中
．
（1）当
时，求
的单调递增区间；
（2）若函数
的最大值为
①求实数
的值；
②将函数
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，求
图象的对称轴方程.
【答案】（1）
，
；
（2）①
；②
，
．
【小问1 详解】
由
，
由
，
，解得
，
，
所以
的单调递增区间为
，
.
【小问2 详解】
①
，其中
，
因为函数
的最大值为
，所以有
，解得
；
②由①知
，
所以
，
令
，
，解得
，
，
即
图象的对称轴方程为
，
．
18. 已知函数
，
且
，
，
（1）当
时，求关于x 的不等式
的解集；
（2）当
时，不等式
在
上恒成立，求m 的取值范围.
【答案】（1）当
时，不等式的解集为
，当
时，不等式的解集为
（2）当
时，m 的取值范围是
，当
时，m 的取值范围是
【小问1 详解】
当
时，
，
下面解不等式
，即
，
因为
，所以
，
当
时，解得
；
当
时，解得
，
综上所述，当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
；
【小问2 详解】
当
时，不等式
可变形为
，
即
，
，
所以问题转化为
在区间
上恒成立，
令
，则
，则
，故
，
令
，
，
当
时，函数
在
上单调递增，
，则
；
当
时，函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，故
，则
；
综上所述，当
时，m 的取值范围是
；
当
时，m 的取值范围是
．
【选考人教版】
19. 如图所示，在直角
中，
，
，
，取
的中点为D，将
沿
翻折到
的位置，使得
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）求点D 到平面
的距离；
（3）求直线
与平面
所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
；
（3）
；
【小问1 详解】
在直角
中，
，
，
，
所以
，
因为
为
中点，所以
，
取AD 的中点为E，连接PE，CE，
由
为边长为2 的等边三角形得，
，
在
中，
，
，
，由余弦定理可得
，
所以
，
因为
，所以
，即
，
又因为
，且
，所以
平面
因为
平面
，所以平面
平面
；
【小问2 详解】
由（1）可知，
平面
，则
，
所以
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理，
，
所以
，
，
因为
，则点D 到面
的距离为
；
【小问3 详解】
过点C 作AD 延长线的垂线，垂足为Q，连接PQ，由（1）知
因为平面
平面
，且平面
平面
，
，所以
平面
，
故
为直线PC 与平面PAD 所成角，
在
中，
，
，
，
在
中，
，
，
由勾股定理：
，
，
即直线PC 与面PAD 所成角的余弦值为
．
【选考北师大版】
20. 甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3 道题，要求至
少答对其中的2 道题才能通过，通过得1 分，不通过得0 分；体能测试有2 道题，全部合格才能通过，通
过得1 分，不通过得0 分；假设甲答对每道文化测试题的概率为
，乙答对每道文化测试题的
概率为
，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是
，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每
道题都是独立的．
（1）求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p 表示），并计算此概率取最大值时对应的p 的值；
（2）两项测试得分的和为该人的总分，当
时，解决下列问题：
①求甲总分为1 分的概率；
②求甲的总分高于乙的总分的概率.
【答案】（1）
，当
时，最大值为
（2）①
；②
．
【小问1 详解】
设
答对文化测试的第题，
则甲恰好答对两道文化测试题的概率为：
，
由基本不等式可得，
，
当且仅当
，即
时取等号，此时最大值为
；
【小问2 详解】
当
时，
①甲通过文化测试的概率为
，
则
，
甲乙两人通过体育测试的概率均为
，
则
，
当甲总分为1 时，甲恰好通过文化测试和体育测试的一个，
故甲总分为1 的概率为：
；
②乙通过文化测试的概率为
，则同理可得
，
设
甲总分为分，
，设
乙总分为
分，
，
，
，
，
，
故甲总分高于乙总分的概率为
．
21. 我们学习过一些代数式恒等变形的方法，例如：
，
等等，利用这些知识解决下面的问题.
已知定义在
上的函数
满足
．
（1）求
，
，
的值；
（2）设函数
，利用代数式恒等变形的方法，求出函数
的解析式；
（3）证明：
．
【答案】（1）
，
，
；
（2）
；
（3）证明见解析．
【小问1 详解】
令
，可得
，所以
，
令
，可得
，所以
，
令
，可得
，所以
．
【小问2 详解】
考虑当
时，
，
，
两式作差得，
，
即
，即
，即
，
由代数式恒等变形的方法可知
，
显然
满足上式，故
.
【小问3 详解】
法1：由（2）知
，只需证明
，
，
．
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
即
，
，
，命题得证.
法2：要证
．
只要证
，只要证
，即证
显然成立，
