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安徽蚌埠市2025-2026 学年第二学期5 月份区域高中合作性教研质量评价
高一数学试题
一、单选题
1．如图，
中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在
中，已知
，
，那么
（ ）
A．8
B．
C．12
D．
4．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知向量，满足
，
，则，的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
，当
时函数
取得最大值，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，在曲线
与直线
的交点中，若相
邻交点的距离为．若
且关于的方程
有三个不等的实根，则实数的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．有下列说法，其中错误的说法为（ ）．
A．若∥
，
∥，则∥
B．若
，
，则
C．若非零向量,
, ，满足
，则
D．若∥
，则存在唯一实数
使得
10．黄金三角形是一种特殊的等腰三角形，其底与腰的长度之比为黄金比例（黄金分割比
），这
一比例在自然界、艺术及建筑设计中都有着广泛的应用，它象征着和谐与完美．已知在顶角为
的黄
金
中，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比，
为
边上的中点，则下
列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知向量
满足
，且对任意的实数t，
恒成立，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．当
取最小值时，
三、填空题
12．已知点
，
，向量
，若
，则实数
______.
13．已知
，
，则
______.
14．如图，正六边形的边长为
，半径为的圆
的圆心为正六边形的中心，若点
在正六边形的边上
运动，动点
、
在圆
上运动且关于圆心
对称，则
的最大值为______
四、解答题
15．如图，在等边
中，
，点
在边
上，且
.过点
的直线分别交射线
于
不同的两点
.
(1)设
，试用
表示
：
(2)设
，求
的最小值.
16．已知
，
为锐角，
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值
17．向量
是同一平面内的两个向量，其中
.
(1)若
，且与的夹角为钝角，求实数
的取值范围；
(2)若
，与
共线且
，求.
18．已知函数
(1)求
在
上的值域；
(2)将
的图象向右平移
个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的
倍纵坐标不变，得
到函数
的图象，求
的单调递减区间；
19．设
为坐标原点，定义非零向量
的“相伴函数”为：
，向量
称为函数
的“相伴向量.”
(1)设函数
，求
的“相伴向量”；
(2)记
的“相伴函数”为
，若函数
与直线
有且仅
有四个不同的交点，求实数的取值范围；
(3)记
的“相伴函数”为
，若
对任意
恒成立，
求实数的取值范围.
参考答案
1．B
【详解】因为
是
的中点，所以
，
因为
是
的靠近
的三等分点，所以
，
所以
．
2．B
【详解】
；
故选：B.
3．D
【详解】由题意可得
，
，
所以
是等腰直角三角形，
所以
，
所以
.
4．A
【详解】由
，得
，即
，
则
，
故
．
故选：A.
5．C
【详解】由
两边平方得，
，
又
得
，
所以
，
则
．
6．D
【详解】已知
，因此
，
所以
，
所以
，
化简得
①；
而
，
化简得
②；
联立①②，相加得：
相减得：
，
由
，得
，
根据半角公式
，代入
得
.
7．C
【详解】
，其中
，
当
时函数
取得最大值，则
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
，
所以
.
故选：C.
8．B
【详解】
，
因为在曲线
与直线
的交点中，相邻交点的距离为，
所以
，所以
，
，则
或
，
画出函数
在
之间的图象，
观察图象可得方程
在
内有且只有一个根，
又方程有三个不等的实根，所以方程
有两解，
由
在
的图象可得，
．
9．ACD
【详解】对于A，若
，则当∥
，
∥时不一定满足∥，故A 错误.
对于B，当
，
时，根据向量的传递性则有
，故B 正确.
对于C，若
，则
，即
，无法推出
，
故C 错误.
对于D，若
，则当∥
时不一定存在唯一实数
使得
，故D 错误.
故选:ACD
10．BCD
【详解】由题意可知：
，
，
又∵
，
∴
，
，
∵
为等腰三角形底边上中点，
由三角形三线合一可知：
，
，
设
，则
，
∴
，∴A 选项错误；
，B 选项正确；
∵
，C 选项正确；
∵
，
代入边长∴
，D 选项正确.
故选：BCD
11．ABD
【详解】由
得：
，
.
对任意，
恒成立，两边平方得：
，
代入
，整理得关于的二次不等式：
由对任意实数不等式恒成立，可得：
所以
，故A 正确；
，则
，故B 正确；
在上的投影向量为
，故C 错误；
，
表示动点
到两定点
距离和的2 倍，如图所示，
关于x 轴对称的点为
，则
，
所以由图可知当
三点共线时，动点
到两定点
距离和的2 倍取得最小值，
此时
，
所以当
取最小值时，
，D 正确.
12．2
【详解】由题意，点
，
，可得
，
因为
，且
，
所以
，解得
.
13．1
【详解】由
，得
，
又因为
，可得
，所以
，
所以
，
则
.
14．11
【详解】连接
、
、
、
，则
为
的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出
，数形结合求出
的最大值，即可得出
的最大值.
如下图所示，连接
、
、
、
，则
为
的中点，
则
，且
，故
是边长为
的等边三角形，
易知
，则
，
当且仅当
与正六边形的顶点重合时，
取最大值11.
15．(1)
(2)4
【详解】（1）由
，得
，
所以
.
（2）由（1）知，
，而
，
因此
，而
共线，则
，
又
，于是
，
由于
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值是4.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由
.
所以
.
（2）因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
.
所以
.
（3）因为
，且
，所以
，所以
.
所以
，
且
，
为锐角，可得
，所以
.
17．(1)
(2)
或
.
【详解】（1）由向量
，
因为与的夹角为钝角，可得
，即
，解得
；
当与共线时，可得
，解得
，
当
时，与方向相反，夹角为，不符合题意；
综上可得
且
，即实数
的取值范围为
（2）由向量
，可得
，
因为向量与
共线，可设
，
又因为
，可得
，解得
，
当
时，
；当
时，
.
18．(1)
(2)
，
【详解】（1）
，
因为
，则
，
所以
，故
；
（2）将
的图象向右平移
个单位长度，
可得
，
再把
函数图象上所有点的横坐标变为原来的
倍，
得到函数
的图象，
由
，
，可得
，
，
所以
的单调递减区间为
，
.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
，
所以函数
的“相伴向量”
；
（2）解：由题知：
，
，
因为
时，
；
时，
所以，
在
单调递增，
单调递减，
单调递增，
单调递减
又
，
所以
的函数图象大致如图：
所以，当
图象与
有且仅有四个不同的交点时，
，
所以，实数的取值范围为
；
（3）解：由题得
，
所以
，
由题得
，
所以
，
因为
，
，
所以
对任意
恒成立，
所以
对任意
恒成立，
设
，当
时，
取到最大值
，
