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2024-2025 学年安徽省蚌埠市 A 层高中高一下学期第四次联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2
1.若一扇形的圆心角为 π，半径为20cm，则扇形的面积为( )
5
A. 40πcm2 B. 80πcm2 C. 40cm2 D. 80cm2
2.若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( )
α α α α α
A. sin >0 B. cos >0 C. tan >0 D. sin cos <0
2 2 2 2 2
3.在斜三角形ABC中，“A0) |f(x)|=1 (0,2π) 5 ω
4
范围是( )
A. (4 5] B. (5 4] C. (3 5] D. (5 3]
, , , ,
3 3 4 3 2 3 4 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列式子的运算结果为√3的是( )
1+tan15°
A.
1−tan15°
B. tan20°+tan40°+√3tan20°tan40°
C.
sin50∘(√3+3tan10°)
2tan15°
D.
1−tan215°
10.已知α，β均为锐角，2cosα=sin(α+β)，则下列说法正确的是( )
π π π 1
A. 若β= ，则α= B. 若α+2β= ，则sinβ=
6 3 2 2
π π π
C. 若β> ，则α+β> D. α的最小值为
6 2 3
11.已知函数f(x)=|cosx|，g(x)=sin|x|，则( )
A. g(x)的最小正周期为π
B. f(x)的最小正周期为π
π
C. 函数 ℎ(x)=f(x)+g(x)的图象关于直线x= 对称
2
D. 函数ℎ(x)=f(x)+g(x)的值域为[−1,√2]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1 5π
12.已知sinθ= ，则sin( −2θ)=
3 2
13.设函数f(x)=cos(√3x+φ)−√3sin(√3x+φ)(0<φ<π)，若f(x)是奇函数，则φ=
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2 114.已知2sinβ−cosβ+2=0，sinα=2sin(α+β)，则tan(α+β)= 。
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，角α的终边经过点(−3,−4)。
(1)求sinα，cosα的值;
π 9π 3π
sin(α+ )⋅cos( −α)⋅cos( +α)
(2)求 2 2 2 的值。
sin(2π−α)⋅sin(π+α)
16.(本小题12分)
(1)已知α是第三象限角，且tanα是方程x2−x−2=0的一个实根，求sin2α−2sinαcosα+3cos2α的值;
1 1 1
(2)已知sinα−cosα= ，且α∈(0,π)，求 + 的值．
2 sinα cosα
17.(本小题12分)
π π
已知函数f(x)=2cos(2x− )+a+1，当x∈[0, ]时，f(x)的最大值为4。
3 2
π
(1)求函数f(x)在[0, ]上的单调区间;
2
(2)若x∈[−π,π]且满足f(x)=1，求x的取值集合。
18.(本小题12分)
1
已知函数f(x)=sin2x+sinx⋅cosx− ．
2
√2 π 3π
(1)f(α)= ，α∈(− , )，求sin2α的值;
6 8 8
π π
(2)对任意的x∈[ , ]，都有|2√2f(x)+log k|≤2，求实数k的取值范围。
24 2 2
19.(本小题12分)
π √3
已知函数f(x)=2cosx⋅sin(x+ )−
3 2
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
x x π π
(2)求函数ℎ(x)=f( )f( − )在[0, ]上的最大值和最小值;
2 2 6 2
π x π
(3)若函数g(x)=f( −x)+mf( − )在(0,nπ)(n∈N∗)内恰有781个零点，求实数m、n的值。
12 2 6
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3 1参考答案
1.B
2.C
3.D
4.A
5.B
6.C
7.A
8.D
9.ABC
10.ACD
11.BD
7
12.
9
π
13.
6
1
14.
2
15.解：(1)∵角α的终边经过点(−3,−4)，
，
∴r=√x2+ y2=√(−3) 2+(−4) 2=5
y 4
∴sinα= =− ，
r 5
x −3 3
cosα= = =−
r 5 5
π 9π 3π
sin(α+ )⋅cos( −α)⋅cos( +α)
2 2 2
(2)
sin(2π−α)⋅sin(π+α)
cosα⋅sinα⋅sinα
=
(−sinα)⋅(−sinα)
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4 1=cosα
3
=− ．
5
16.解：(1)由x2−x−2=0，得x=−1，或x=2，
因为tanα是方程x2−x−2=0的一个实根，且α是第三象限角，所以tanα=2，
所以sin2α−2sinαcosα+3cos2α
sin2α−2sinαcosα+3cos2α
=
sin2α+cos2α
tan2α−2tanα+3
=
tan2α+1
22−2×2+3
=
22+1
3
= ；
5
1
(2)因为sinα−cosα= ，
2
1 3
所以(sinα−cosα) 2=1−2sinαcosα= ，则sinαcosα= >0，
4 8
因为α∈(0,π)，所以sinα>0，cosα>0，
√ 3 √7
故cosα+sinα=√(cosα+sinα) 2=√1+2sinαcosα= 1+ = ，
4 2
√7
1 1 cosα+sinα 2 4√7
则 + = = = ．
sinα cosα sinαcosα 3 3
8
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5 1π
17.解：(1)令2kπ−π≤2x− ≤2kπ，k∈Z，
3
π π
得kπ− ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
3 6
π π π π
由x∈[0, ]，所以f(x)的单调递增区间为[0, )，减区间为( , ]；
2 6 6 2
π π
(2)由(1)可得，当x= 时，f(x)取得最大值，即f( )=2cos0+a+1=a+3=4，解得a=1，
6 6
π π 1
所以令f(x)=2cos(2x− )+2=1，可得cos(2x− )=− ，
3 3 2
π 2π π 4π
则2x− = +2kπ，k∈Z或2x− = +2kπ，k∈Z，
3 3 3 3
π 5π
即x= +kπ，k∈Z或x= +kπ，k∈Z，
2 6
π π π 5π
又x∈[−π,π]，可解得x=− ，− ， ， ，
2 6 2 6
π π π 5π
所以x的取值集合为{− ,− , , }.
2 6 2 6
1 1−cos2x sin2x 1
18.解：(1)由题意，f(x)=sin2x+sinx⋅cosx− = + −
2 2 2 2
1 √2 π
= (sin2x−cos2x)= sin(2x− )，
2 2 4
√2 π √2 π 1
由f(α)= sin(2α− )= ，得sin(2α− )= >0，
2 4 6 4 3
π 3π π π π π π 2√2
由α∈(− , )，2α− ∈(− , )，cos(2α− )>0，得cos(2α− )= ，
8 8 4 2 2 4 4 3
π π π π π π
所以sin2α=sin(2α− + )=sin(2α− )cos +cos(2α− )sin
4 4 4 4 4 4
1 √2 2√2 √2 4+√2
= × + × = ；
3 2 3 2 6
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6 1π π π π π 3π
(2)因为2√2f(x)=2sin(2x− )，由x∈[ , ]，2x− ∈[− , ]，
4 24 2 4 6 4
π
所以−1≤2sin(2x− )≤2，
4
π π
由|2√2f(x)+log k|≤2，得−2√2f(x)−2≤log k≤−2√2f(x)+2在x∈[ , ]恒成立，
2 2 24 2
所以 ，所以 ，
[−2√2f(x)−2] ≤log k≤[−2√2f(x)+2] −1≤log k≤0
max 2 min 2
1
所以 ≤k≤1.
2
π √3 π π √3
19.解：(1)由题意，f(x)=2cosx⋅sin(x+ )− =2cosx⋅(sinxcos +cosxsin )−
3 2 3 3 2
√3 1 √3
=cosxsinx+√3cos2x− = sin2x+ cos2x，
2 2 2
π
所以f(x)=sin(2x+ )，
3
π π π
由− +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，
2 3 2
5π π 5π π
得− +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，所以单调递增区间为[− +kπ, +kπ]，k∈Z；
12 12 12 12
x x π π 1 √3
(2)由题意得ℎ(x)=f( )f( − )=sin(x+ )sinx=( sinx+ cosx)sinx
2 2 6 3 2 2
√3 1 1 1 π 1
= sin2x− cos2x+ = sin(2x− )+ ，
4 4 4 2 6 4
π π π 5π
因为0≤x≤ ，所以− ≤2x− ≤ ，
2 6 6 6
π π π 1 π
从而可知sin(− )≤sin(2x− )≤sin ，即− ≤sin(2x− )≤1，
6 6 2 2 6
1 π 1 3
因此0≤ sin(2x− )+ ≤ ，
2 6 4 4
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7 1π 3
故ℎ(x)在[0, ]上的最大值为 ，最小值为0；
2 4
π x π
(3)g(x)=f( −x)+mf( − )=cos2x+msinx，
12 2 6
令g(x)=0，可得2sin2x−msinx−1=0，令t=sinx∈[−1,1]，得2t2−mt−1=0，
1
易知△>0，方程必有两个不同的实数根t 、t ，由t t =− ，则t 、t 异号，
1 2 1 2 2 1 2
①当t >1且−1
