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安徽蚌埠市A层高中2025-2026学年第四次联合教研素质评价
高二数学试卷
一、单选题
1．物体所受到的重力F与其到地心的距离r的关系为 ，则F对于r的瞬时变化率为（ ）．
A． B． C． D．
2．已知数列 满足 ，若 ，则 为（ ）
A．3 B．9 C．27 D．81
3．为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学
习积分 的取值分别为0，1，2，若 ， ，则 （ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
4． 的二项展开式中x的系数是（ ）
A． B． C． D．
5．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”
“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在
第五周，则所有可能的排法种数为（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
6．某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放
回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为 ，则当 取得最大值时，
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖
的概率分别为 ，则（ ）
A． 最大 B． 最大 C． 最大 D．8．已知函数 ，若存在 ，对于任意 都有 ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量 ，则 时，概率最大
B．若 ， ，且 ，则 ， 相互独立
C． ， ， ，则 的值为
D．已知 ， ， ，则
10．已知函数 ，则（ ）
A． ， 是增函数
B． ， 是奇函数
C．若 有三个不同的零点 ， ， ，则
D．过点 且与曲线 相切的直线恰有3条，则
11．将一枚质地均匀的硬币连续投掷 次，定义随机变量 为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出
现正面，规定 ，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为 和 ，故 ，则
（ ）
A． B．C． D．
三、填空题
12．已知 ，则 __________．
13．某学校田径队有甲乙等8名运动员，现将这8人平均分成 、 两组集训，求甲乙两人同在 组的概
率为________．
14．作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习．在该领域中，如何度量样本间的相
似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基
础且重要的形式．设两组数据分别为 和 ，则这两组数据间的闵氏距离
，其中 表示阶数．若 ， ，则 的最小值为________．
四、解答题
15．已知等比数列 的前 项和 满足 ，且 ， ， 成等差数列．数列 满足：
．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
16．已知双曲线 的左焦点为 ，右顶点为 ，渐近线方程为 ，点
在直线 上.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与 相切于点 （异于点 ），证明： .17．如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， ， ，点 ，
分别是棱 ， 上的点，且直线 平面 .
(1)求 的长；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.
18．已知函数 ．
(1)当 求 在 处的切线方程；
(2)当 时，证明 ；
(3)若对任意的不等正数 ，总有 ，求实数 的取值范围．
19．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中 的人计
划只参观黄鹤楼，另外 的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若
既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，
视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n人 ，记这n人的合计得分恰为 分的概率为 ，求 ；
(3)从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为 ，求数列 的通项公式．参考答案
1．D
【详解】由题意可知 ，则F对于r的瞬时变化率为 ．
故选：D
2．B
【详解】因为 ，所以 ，
所以数列 为等比数列，公比 为 ，因为 ，
所以 ，则 ，
即 ，解得 ，所以 ， ，
所以 .
3．B
【详解】由题可设 ，则 ， ，
所以 ，解得 ．
所以 ．
4．B
【详解】 的二项展开式的通项公式为 ，
化简得 ，
令 ，得 ，所以 ，
所以 的展开式中x的系数是 ．
5．B
【详解】“射”不在第二周且“乐”不在第五周的排法可以分为两类：第一类“射”排在第五周的排法，第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，其中第一类的排法有 种，第二类的排法有
种，由分类加法原理可得总的排法数为504，
故选：B.
6．B
【详解】依题意， 服从超几何分布，则 ，
当 取得最大值时， ，即 ，
解得 ， ，所以 .
故选：B
7．D
【详解】计算甲中奖概率 ：甲第一个抽取，5张奖券共2张有奖，因此 ；
计算乙中奖概率 ，乙中奖分两种情况：
甲中奖后乙中奖：概率为 ；
甲未中奖后乙中奖：概率为 ；
；
计算丙中奖概率 ，分情况计算丙中奖情况：
甲中、乙中、丙中： ；
甲中、乙不中、丙中： ；
甲不中、乙中、丙中： ；甲不中、乙不中、丙中： ；
；
因此 .
8．A
【详解】 ，
∵存在 ，对于任意 都有 ，
∴在 左侧附近，函数 小于0.
，
，
①当 时， ，
∴存在 ，对于任意 都有， ，函数 单调递增，
∴当 时， ，满足题意.
②当 时， ，
，
∴当 时， ，函数 单调递减，
∴不存在 ，对于任意 都有 ，
③当 时， ，
∴存在 ，对于任意 都有 ，函数 单调递减，
∴当 时， ，不满足题意.综上所述，实数 的取值范围是 .
9．BD
【详解】选项A：若随机变量 ， ，
由于要使 最大，则 ,故 时，概率最大，故A错误；
选项B：根据条件概率公式 ，由 ，
得 ，所以 ，则 ， 相互独立，故B正确；
选项C：由 ，即 ，
解得 ，故C错误；
选项D：由题意知， ．因为 ，
所以 ，因此 ，
．又 ，
所以 ，故D正确．
10．ACD
【详解】已知 ，则 .
选项A：若 是增函数，只需 ，只需 即可，所以 .
所以 ， 是增函数，故A正确.
选项B： ， ，则 ，故 不是奇函数，故B错误.
选项C：若 有三个不同的零点 ， ， ，则 有3个根.
其中一个零点为 ，另外两个零点为 的两个根 ， ，则 .
所以 ，故C正确.
选项D：设切点为 ， ，
所以切线方程为 .
又切线过 ，所以 ，即 .
切线恰有3条，等价于 有3个不同的实数解，即函数 与直线 有3个交点.
.
令 ，即 ，解得 或 .
当 时， ，当 时， ，
所以 在 、 上单调递减，在 上单调递增，
所以极小值为 ，极大值为 ，
所以当 时， 与 有3个交点.
所以当 时，过点 且与曲线 相切的直线恰有3条，故D正确.
11．ABD
【详解】对于A， 对应于连续 次扔出正面，于是 ，A正确；
对于B， ， ， ， ，
则 ，B正确；对于C，观察前 次扔出连续的 次正面并不等价于前 次的 以及接下来的 .
严格计算： ， ， ，C错误；
对于D，不妨设 表示前 次投掷中出现正面的次数，
于是 ，则 ，则 ，于是 ，D正确.
故选：ABD
12．19
【详解】由 得 ，所以 ，
∴ ，解得 ，故 ．
故答案为：19．
13．
【详解】先从8人中选4人进 组，其余4人进 ，总事件数为 ，
甲乙同在 组时，只需从剩余6人中选2人补足 组，其余4人进 ，符合要求事件数为 ，
所以所求概率 .
14． /
【详解】由题意得 ，
令 ，则最小值在对称轴处取得，
所以 ，
因此对于固定的 ， 的最小值为 ，令 ，求导得 ，又 ，
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增；
所以 ，所以 ，
综上所述， 的最小值为 ．
15．(1) ， ， ， ．
(2) ．
【详解】（1）∵ ， ， 成等差数列，
∴ ，解得： ，
又∵ ，
当 时， ，得： ，
∴ ，∴ ， ；
因为 ，
当 时， ，
两式相减得 ，
则 时， ；
当 时，由 得 ，解得 符合该式；
所以 ， ．（2）由于 ，
，
所以 ．
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为点 在直线 上，所以 .
因为 的渐近线方程为 ，所以 ，故 .
所以 的方程为 .
（2）设 ，由 ，得 ，则 .
易知直线 的斜率存在（另一条过点 的切线为 ），
设其方程为 ，即 .
由 消去 ，得 .
因为直线 与 相切，
所以 ，且 ，得 ，
所以直线 的方程为 ，
方程 的根为 ，所以 ，
所以直线 的方程为 .又因为点 到直线 的距离 ，等于点 到 轴的距离，
又点 在 内部，所以 .
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在 中，由余弦定理，得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
所以在 中， ，
在 中， ，
在 中，由余弦定理，得 ，
所以在 中，由余弦定理，得.
（2）所以在 中， ，
在 中， ，
在 中，由余弦定理，得 ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，
由三棱锥的体积公式和性质，
得 ，所以
.
（3）由上可知： ，取 的中点 ，显然 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因此以 所在的直线为 轴和 轴，过 与 平行的直线为 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
，
由上可知： 是棱 中点， ，
所以可得 ， ，即
设平面 的法向量为 ，，
所以 ，
所以取该平面的一个法向量为 ，
设直线BC与平面PAB所成角为 ，
所以 .
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）当 ，故 且 ，
故 ，故切线方程为 ，即 .
（2） 的定义域为 ， ；
当 时，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；故 ；
要证 ，只需证 ，
即证 ；
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减， .
又 ， ，故 .
（3）不妨设 ，则由 得： ，
即 ，
令 ，则 ，故 在 上单调递增，
在 上恒成立，
即 ，又 ， （*）；
设 ，则 ，
由 解得： （舍）或 ，
当 时， ；当 时， ；在 上单调递增，在 上单调递减，
，
由（*）可得 ，解得： ，
的取值范围为 .
19．(1)分布列见解析；
(2)
(3)
【详解】（1） 的人计划只参观黄鹤楼，另外 的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观
黄鹤楼记1分；
既参观黄鹤楼又游览晴川阁记2分．每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为
概率．
随机变量 的可能取值为 2，3，4，
可得 ，
的分布列如下表所示：
2 3 4
数学期望为 ；
（2）由这 人的合计得分为 分，
则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则 ，
由两式相减， 可得
；
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取1人，
则这些人的合计得分可能为 分或 分，
记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事件，
，
，即
，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
