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安徽芜湖市第一中学2025-2026学年高二第二学期期中教学质量检测数学
试题
一、单选题
1．定义在R上的函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
2． 展开式中， 的系数为（ ）
A． B．32 C． D．24
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数 ，则 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4P m 0.3 n 0.2
若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 ，方程 解的个数有两个，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D．
7．某空间站由 ， ， 三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个
舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去 舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．35 B．36 C．42 D．50
8．已知函数 ，若 ，则 最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列不等式中，在 上恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知事件A，B，且 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的单调递增区间是 ，B． 的值域为
C．
D．若 ， ， ，则 .
三、填空题
12．已知曲线 在点 处的切线与曲线 只有一个公共点，则
__________.
13．某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 分，其中r（单位：cm）是瓶
子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利
润最大时，瓶子的半径为______cm．
14．已知 ，若存在 使得
，则 的最大值为__________．
四、解答题
15．已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若P是曲线 上一动点，求 在P处的切线l的倾斜角 的取值范围．
16．某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天
选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为 ，选择B餐厅的概率为 ；前一天选择B餐厅的学生第
二天选择A餐厅的概率为 ，选择B餐厅的概率也是 ，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为.
(1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率；
(2)证明：数列 为等比数列，并求出 .
17．已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
18．一辆汽车上有 个座位，编号从1到 ．现在编号为1到 的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，
上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，
那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，
编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机
等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上．
(1)当 时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率 ；
(2)当 时，设 为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为 的乘客坐在了编号为 的座位上为
坐在了自己的座位上），求随机变量 的期望．
19．已知函数 .
(1)讨论 的极值；
(2)已知 ，函数 有两个不同的零点 和一个极值点 ，记 ， ，
，试判断 与 的大小关系，并说明理由.参考答案
1．A
2．C
3．D
4．C
5．D
6．B
7．D
8．A
9．BCD
10．ABC
11．ABD
12． 或
13．
14．49
15．（1）方法一：由导数的定义及几何意义可得
．
方法二： ，则
所以在 处的切线方程为 ，整理得
（2）设 ，在P处的切线斜率为 ，
即 ，由斜率 ， ，
且 得， .
16．（1）设 “同学甲第i天选择B餐厅”，根据题意可知： ， ， .
由全概率公式可得
即同学甲第二天选择B餐厅的概率为 .
（2）设 “甲第n天选择B餐厅”，则 ， ， ，
当 时，由全概率公式可得
则 ，
整理得
又因为 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
17．（1）函数 的定义域为 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ， 在 上为减函数，
当 时， ， 在 上为增函数，综上所述： 在 上为减函数，在 上为增函数；
（2）若 ，不等式 恒成立，
则 对 均成立，所以
令 ，
则 ，
令 ，显然 为 上的减函数，
又 ，
所以 ， ， 则 在 上为增函数，
当 时， ， 则 在 上为减函数，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
18．（1）设1号乘客坐在 号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为 ，
则 ，
， ，
， ，
所以 .
（2）随机变量 所有可能的取值为0，1，2，4；
，
，，
，
所以 .
19．（1）由 ，得 ，
当 时，对任意 ， ，
所以 在 单调递减，无极值；
当 时，令 ，得 ；令 ，得 .
在 单调递增，在 单调递减，
函数 在 处取得极大值，极大值为 ，无极小值，
综上所述， 时，无极值；
时，在 处取得极大值，极大值为 ，无极小值；
（2） ，函数 有两个不同的零点 和一个极值点 ，
由（1）知 在 单调递增，在 单调递减，
故 为 的极大值点，极大值 ，
令 ， .
则 ，故 在 单调递增，故 ，
又注意到 ，故 为 的一个零点，
此外 ， ，
则 ，记 ， ，则 ，所以 在 上单调递减，所以 ，
即 ，故 在 单调递减，故 ， .
由零点存在性定理，知 有零点 ，因为 ，所以 ，
则 ， ， .
设 ，则 ，显然 ， ，
所以 ，
为 的高，由勾股定理得 ，
故 .
