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专题05 直线与平面的夹角五大题型
题型一：定义法求直线与平面所成角
题型二：向量法求直线与平面所成角
题型三：根据线面角求参数
题型四：直线与平面所成角的最值（范围）问题
题型五：直线与平面所成角的探索性问题
题型一：定义法求直线与平面所成角
1．如图，在长方体
中，
，
，则
与平面
所成角的大小为
，
与平面
所成角的正弦值为 ．
2．在三棱柱
中，
平面
，
为正三角形，
，则
与平面
所
成角的正切值为 .
3．如图，在四棱锥
中，平面
平面
，底面
为矩形，
，
为
等边三角形，则直线
与平面
所成角的正弦值为 .
4．正方体
中直线
与平面
所成角的大小为 .
题型二：向量法求直线与平面所成角
5．若在空间直角坐标系
中，点
，平面OMQ 的一个法向量
，则直线OP 与平
面OMQ 所成角的大小为 ．
6．在四棱锥
中，
底面
，底面
是边长为1 的正方形，
，则直线PB 与平
面PCD 所成角的正弦值为 .
7．在棱长为2 的正方体
中，
为正方形
的中心，
为
上一动点，现有如下两
个条件：①
，②
，若选 ，则直线
与平面
夹角的正弦值为 ．
8．如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，
，
，
，二面角
的平面角为
．设M，N 分别为AE，BC 的中点，直线BM 与
平面ADE 所成角的正弦值为 ．
9．如图，
平面
，
，且
，则直线
与平面
所成角的正切值为
.
10．如图所示，在几何体
中，
，
平面
，则点E 到直线
的距离为 、直线
与平面
所成角的正
弦值为 ．
11．正三棱锥
的侧面都是直角三角形，E，F 分别是棱
，
的中点，则
与平面
所成角
的正弦值为 ．
12．如图，在三棱锥
中，底面
是等腰直角三角形，
底面
是
的中点，
是
的中点，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
13．如图，圆柱
中，
是底面圆
上的一条直径，
分别是底面
圆周上的一点，
，且点
不与
两点重合．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
14．如图，三棱柱
中，底面
是边长为2 的正三角形，
，
，
为
的中点.
(1)求证：
⊥平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型三：根据线面角求参数
15．已知四棱锥
的底面为平行四边形，
，
，
，
平面ABCD，直
线PD 与平面PAC 所成角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
16．设平面的一个法向量为
，直线l 的一个方向向量为
，若直线l 与平面所成的
角为
，则正数
.
17．在三棱锥
中，
，
，
，
是
的中点，且平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)已知平面
经过直线
，且
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求三棱锥
的
体积.
18．如图，在三棱锥
中，
是边长为4 的正三角形，
与底面
的夹角
为
，且
是线段
上的点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求线段
的长．
19．如图，四棱锥
的底面为正方形，
平面ABCD，E，F 分别是线段PB，PD
的中点，
是线段PC 上的一点．
(1)求证：平面
平面PAC；
(2)若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为
，求CG 的长．
题型四：直线与平面所成角的最值（范围）问题
20．如图，在四棱锥
中，
是边长为2 的正三角形，且二面角
的大小为
．底
面
为平行四边形，
，
，点Q 在棱
上且
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围．
21．如图，已知底面
是正三角形，
平面
，
平面
，
．
(1)若
，
是
中点，证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
22．如图，
是圆柱
的一条母线，
是底面的一条直径，
是圆
上一点，且
.
(1)求三棱锥
的体积最大值；
(2)求直线
与平面
所成角正弦值的最大值.
23．如图，四棱锥
中，
平面
，
，
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，动点
在
内（含边界）且
.
（ⅰ）求线段
的轨迹形成的面积；
（ⅱ）设直线
与平面
所成角为，求
的取值范围.
24．在四棱台
中，
，
，
，
，
.
(1)证明：
.
(2)若四棱台
的体积为7，
（i）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（ii）若
为棱
上一动点，求平面
与平面
所成角余弦值的最大值.
题型五：直线与平面所成角的探索性问题
25．如图，四棱锥
的底面
是边长为3 的正方形，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)已知点
在线段
上，且
（
），若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
26．如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
平面
，平面
平面
，
.M，N 分别为AB，PC 的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)在棱PA 上是否存在一点E，使得直线DE 与平面
所成角为
.若存在，确定点E 的位置，若不存在，
说明理由.
27．正三角形
所在的平面与菱形
所在的平面互相垂直，
，
，
是
的中点.
(1)求证：
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成的角为
？若存在，求出
的值；若不存
在，说明理由.
28．如图，在三棱锥
中，
，
．
(1)证明：
；
(2)在棱
上是否存在点
（不与端点重合），使得直线
与平面
所成角的正弦值为
，若存在，
求出点
的位置，若不存在，请说明理由．
29．如图，在四棱锥
中，侧面
底面ABCD，底面ABCD 是平行四边形，且
，
，
.
(1)求证：
平面PAD；
(2)若
，在棱PB 上是否存在一点
，使得直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值为
?若存
在，求
的值；若不存在，请说明理由.
30．如图，在三棱柱
中，
与
的距离为
，
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)试判断在棱
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的余弦值是
，若有，请求出
的位置，若没有，请说明理由．
