专题05 等比数列
教学目标
1．理解等比数列的定义与等比中项概念，明确等比数列的核心特征及相关注意事
项。
2．掌握等比数列通项公式及项的关系，能结合公式进行项的求解与推导。
3．熟记等比数列的常用性质，理解其单调性规律，能运用性质解决数列相关问题。
教学重难点
重点：掌握等比数列的定义、通项公式及核心性质，能熟练进行基础计算。
难点：灵活运用等比数列性质解题，结合条件判断并分析数列的单调性。
知识点01 等比数列的概念
1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数
列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示（显然
）.
注意：（1）等比数列中不能有0 项
（2）常数列都是等比数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0 的数列,它就不是等比数列;当
常数列各项不为0 时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论.
2.等比中项
如果在
与
中间插入一个数
,使
成等比数列,那么
叫做
与
的等比中项,此时,
【即学即练】
1．已知各项都不为
的等比数列
满足
，则其公比
.
【答案】
/
【详解】由
，得
，因
，则得
,解得
故答案为：
.
2．1 和4 的等比中项是（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设1 和4 的等比中项是
，
则
，所以
.
故选：C.
知识点02 等比数列的通项公式
（1）已知等比数列
的首项为
,公比为
,则数列
的通项公式为
（2）第
项与第
项的关系为
,变形得
（3）由
可知,当
且
时,等比数列
的第
项
是指数函数
当
时的函数值,即
.
【即学即练】
3．在正项等比数列
中，
，
，则公比
为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】A
【详解】由
可得
，
由于
，故
，且
由
可得
，故
，
故选：A
4．设
是等比数列，
，
，则
的通项公式
．
【答案】
【详解】
，且
，
，又
.
，
.
故答案为：
知识点03 等比数列的常用性质
（1）如果
,则有
（2）如果
,则有
（3）若
成等比数列,则
成等比数列.
（4）在等比数列
中,每隔
项
取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.
（5）如果
均为等比数列,且公比分别为
,那么数列
仍是等比
数列,且公比分别为
.
（6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,
即
（7）等比数列的单调性
①当
或
时,等比数列为递增数列;
②当
或
时,等比数列为递减数列;
③当
时,等比数列为摆动数列.
【即学即练】
5．等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．1
【答案】A
【详解】由等比数列的性质可得
，故
.
故选：A.
6．已知
为等比数列，则“
”是“
为递增数列”的（ ）
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
【答案】A
【详解】当公比
且
时，
，
，此时
，
，
不递增，充分性
不成立，
当等比数列
为递增数列时，
，显然必要性成立.
综上所述：“
”是“
为递增数列”的必要而不充分条件.
故选：A
题型01 等比数列的通项与基本量
【例1】在等比数列
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
可得，
，
两式相除可得
，即
，解得
.
所以
，解得
．
故选：B
【例2】已知
是各项为正数的等比数列，
，且
与
的等差中项为4，则
等于（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
【答案】D
【详解】由题可知，
，得
，解得
或
（舍去）.
设等比数列
的公比为
，则由
，可得
，
整理得
，得
或
（舍去），
则
.
故选：D.
【变式1-1】已知等比数列
的前3 项积为8，
，
，则
等于（ ）
A．4
B．
C．16
D．2
【答案】A
【详解】设等比数列公比为
，则
.
由题可得
，则
.
故选：A
【变式1-2】设数列
是公比为
的等比数列，
．若数列
的连续四项构成集合
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．9
【答案】B
【详解】因为数列
是公比为q 的等比数列，
，且数列
的连续四项构成集合
，
则数列
的连续四项为递增数列，为3，9，27，81，
可知数列的连续四项为
，所以公比
.
故选：B.
【变式1-3】等差数列
中，已知
(1)求数列
的通项公式及前
项和
；
(2)若
分别为等比数列
的第项和第项，且
，求数列
的通项公式．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】
【详解】（1）由题知，令等差数列
的公差为
，
由
，解得
，
所以数列
的通项公式
，
前
项和
.
（2）令等比数列
的公比为
，
则
，解得
，
因为
，所以
，
所以数列
的通项公式
.
（1）在等比数列
的五个量
中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量；
（2）在解决与前n 项和有关的问题时,首先要对公比
或
进行判断,若两种情况都有可能,则要分类
讨论.
题型02 等比数列的判断与证明
【例3】已知数列
的首项
，且满足
.证明：数列
为等比数列；
【答案】证明见解析
【详解】由
得
，
则
，又
，
所以数列
是首项为1，公比为
的等比数列.
【例4】已知数列
满足
，
.
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】
【详解】（1）
，
，又
，
数列
是以
为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可得：
，
.
【变式2-1】已知数列
满足
，
，则下列是等比数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，
，
，
可得
，即
，解得
，
又
，即
，解得
，
由
，
，
，
，故A 错误；
由
，
，
，
，故B 错误；
由
，
，
，
，故C 错误；
由
，可得
，
即为
，又
，可得
是首项为3，公比为
的等比数列，故D 正确．
故选：D.
【变式2-2】已知正项数列
满足：
.证明
是等比数列，并求
通项
；
【答案】证明见解析；
【详解】由
，得
，
因为
是正项数列，所以
，即
，又
，
所以
是公比为
的等比数列，又
，得
，
所以
，即
.
【变式2-3】已知数列
中，
，
.求证：数列
是等比数列.
【答案】证明见解析
【详解】因为
，则
，
且
，所以数列
是以2 为首项，4 为公比的等比数列.
一般用定义法判断一个数列
是等比数列：若数列
满足
(
为常数且不为零) 或
为常数且不为零),则数列
是等比数列.
题型03 等比中项及其应用
【例5】在等差数列
中，公差
，
，下列说法正确的是（ ）
A．
是
与
的等比中项
B．
是
与
的等比中项
C．
是
与
的等比中项
D．
是
与
的等比中项
【答案】A
【详解】因为
，得到
，所以
对于选项A，因为
，
，
，又
，所以
，
则
，
，
构成等比数列，故选项A 正确，
对于选项B，因为
，
，
，又
，但
，所以选项B 错误，
对于选项C，因为
，
，
，所以
，
，
不构成等比数列，故选项C 错误，
对于选项D，因为
，
，
，又
，但
，所以选项D 错误，
故选：A.
【例6】已知
是等差数列，
，公差
，
为其前n 项和，若
，
，
成等比数列，则
（ ）
A．64
B．60
C．56
D．48
【答案】A
【详解】因为
，
，
成等比数列，则
，
即
，解得
或
（舍去），
所以
.
故选：A.
【变式3-1】已知一组样本数据1，2，4，4，9，则该组数据的（ ）
A．平均数是30%分位数和极差的等比中项
B．30%分位数是平均数和极差的等比中项
C．平均数是30%分位数和极差的等差中项
D．30%分位数是平均数和极差的等差中项
【答案】A
【详解】因为5×30%=1.5，所以该组数据的30%分位数为2，
因为该组数据的平均数为
，极差为
，
所以该组数据的平均数是30%分位数和极差的等比中项，
故选：A.
【变式3-2】已知数列
为等比数列，其中
为方程
的两根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意可得：
，
，故可得
；
根据等比数列下标和性质，
，解得
，
设
的公比为
，则
，故
.
故选：B.
【变式3-3】设正项数列
是它的前
项之和，对于任意正整数
与2 的等差中项等于
与2 的等
比中项，则该数列的通项公式为 ．
【答案】
【详解】由题意知
，即
．
由
得
，从而解得
．
又由上式可得
，
其中
，
整理得
．
因
，
，故
，
因为
，所以数列
是以2 为首项、4 为公差的等差数列，
其通项公式为
，
故答案为：
．
由等比中项的定义可知
,所以只有
同号时,
的等比中项有两个,异
号时,没有等比中项.
题型04 利用等比数列的性质计算
【例7】在等比数列
中，若
，则
（ ）
A．2
B．4
C．16
D．64
【答案】C
【详解】数列
为等比数列，则
，
，所以
，
所以
，
故选：C
【例8】若等比数列
满足
，
，则
．
【答案】112
【详解】
，故
，解得
，
故
．
故答案为：112
【变式4-1】已知正项数列
满足
，且
，则
（ ）
A．6
B．42
C．80
D．84
【答案】D
【详解】因为
，
所以
，所以数列
是公比为2 的等比数列，
因为
，所以
，
则
，
故选：D.
【变式4-2】（多选）已知数列
为等比数列，则（ ）
A．数列
，
，
成等比数列
B．数列
，
，
成等比数列
C．数列
，
，
成等比数列
D．数列
，
，
成等比数列
【答案】BD
【详解】设等比数列
的公比为
，
A.由等比数列的性质知
，
，当
时，
，故A 错误；
B.可知数列
，
，
每项都不为0，且
，故B 正确．
C.当数列
为1，
，1，
，1……时，
，故C 错误；
D.数列
，
，
的每一项都不为0，且
，故D 正确.
故选：BD
【变式4-3】已知等比数列
单调递减，各项均为正数，前
项的乘积记为
.则“
”是“
有
唯一的最大值
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】由等比数列
单调递减，各项均为正数，设等比数列的公比为
，则
，
若
，根据等比数列的性质，可得
，解得
，
又由
且
，因为
且
，所以
，
此时
与无法比较，所以
不能推出
有唯一的最大值
，所以充分性不成立；
反之：若
有唯一的最大值
，可得
，
因为
，所以
，
根据等比数列的性质，知
，所以
成立，即必要性成立，
综上可得，
是
有唯一的最大值
的必要不充分条件.
故选：B.
题型05 等比数列的单调性与最值
【例9】若等比数列
的公比为q，则“
”是“
是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】充分性：当
，若
时，
为递减数列，故充分性不成立；
必要性：当
为递增数列，若
时，则
，所以必要性不成立，
故“
”是“
是递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
【例10】（多选）公差为
的等差数列
与公比为
的等比数列
首项相同且为正数，则（ ）
A．若
，则
为递减数列
B．若
，则
为递减数列
C．若
，则
为递增数列
D．若
，则
为递增数列
【答案】ABD
【详解】对于A，若
，则
，为递减数列，故A 正确；
对于B，若
，则
，为递减数列，故B 正确；
对于C，取
，此时
，不满足递增数列，故C 错误；
对于D，因为
，当
时，等比数列
为正项且
，
当
时，等差数列
各项为正且递增，即
，
所以
，即
为递增数列，故D 正确；
故选：ABD．
【变式5-1】（多选）无穷等比数列
的首项为
公比为q，下列条件能使
既有最大值，又有最小值
的有（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】BC
【详解】
，
时，等比数列
单调递减，故
只有最大值
，没有最小值；
，
时，等比数列
为摆动数列，此时
为大值，
为最小值；
，
时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，
所以等比数列
有最大值，也有最小值；
，
时，因为
，所以
无最大值，奇数项为负无最小值，
偶数项为正无最大值.
故选：BC
【变式5-2】公比为q 的等比数列
，其前n 项和为
，前n 项积为
，满足
，则
的单调性为 （填“单调递增”“单调递减”“不单
调”）；当
时，
取得最大值.
【答案】 单调递增 2022
【详解】若
，则
，不合题意，所以
，
又因为
，所以
，所以
为单调递增数列，
因为
，所以
，所以
，
故
均大于1，并且从第2023 项起
，
所以
是数列
中的最大项.
故答案为：单调递增；
.
【变式5-3】数列
中，
，
（
）
（1）设
，求证：
是等比数列；
（2）设数列
的前
项积为
，求
取得最大值时
的取值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
或
.
【分析】
【详解】（1）由
，得
，即
，
整理得：
，又
，
所以
，即
，
又
，故
是首项为2，公比为2 的等比数列．
（2）由（1）
，设
，
则
，
当
，2 时，
；
当
时，
，即
，
又
，
，
，
，
，
故
，
，当
时，
，
，
综上，当
或
时，
取得最大值．
题型06 等比数列中的对称设元
【例11】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是
16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数的和为（ ）
A．28
B．26
C．24
D．20
【答案】A
【详解】依题意，设这四个数分别为
，
则
，解得
或
，
所以这四个数为0、4、8、16 或15、9、3、1，则这四个数的和为28．
故选：A．
【例12】在320 与5 之间插入5 个数，使这7 个数成等比数列，求所插入的5 个数．
【答案】160、80、40、20、10 或
、80、
、20、
．
【详解】设此数列为
，公比为
，
则
，
，
所以插入的5 个数为160、80、40、20、10 或
、80、
、20、
．
【变式6-1】在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于
.
【答案】27
【分析】
【详解】依题意
，
，所以
，所以
或
（舍去），
所以
.
故答案为：
【变式6-2】已知
四个实数成等差数列，
五个实数成等比数列，则
【答案】
【详解】设数列
的公差为
，由题意易得
，
由
成等比数列得
，且
和
的符号相同，
解得
，所以
，
故答案为：
.
【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，属于基础题.
【变式6-3】依次排列的四个数，其和为13，第四个数是第二个数的3 倍，前三个数成等比数列，后三个
数成等差数列，求这四个数.
【答案】
.
【详解】设四个数分别为a，b，c，d，
则
，
，
，
，
将
代入
得：
，
将
，
代入
得：
，
将
，
代入
得：
，
解得：
或2，
当
时，则
，这与前三个数成等比数列，矛盾，舍去；
当
时，解得：
，
，
，故满足要求，
故这四个数为1,2,4,6.
若三个数成等比数列设为
，推广到一般:奇数个数成等比数列设为:
若四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,可设为
题型07 等比数列中插入数
【例13】已知等比数列
的公比
，满足
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由
因为
，解得
或
（舍去），
所以
，所以数列
的通项公式为
；
（2）因为
，
，由题意得：
，
即
，所以
．
【例14】已知等比数列
中，
，
．在
与
之间插入
个数，使得这
个数依次构成
一个公差为
的等差数列．
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)是否存在三个不同的正整数
，
，
，且
，使得数列
中的三项
，
，
成等比数
列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
，
(2)不存在，理由见解析
【分析】
【详解】（1）设等比数列
的公比为
，
则
，
又
，
所以
，所以
，
所以
．
在
与
之间插入
个数组成一个公差为
的等差数列，
则
，
即
，
则
．
（2）不存在，理由如下：
假设在数列
中存在三项
，
，
成等比数列，
则
，
即
，即
．
因为
，
所以
，
即
，
即
，
联立
解得
，与题设矛盾，
故在数列
中不存在三项
，
，
成等比数列．
【变式7-1】（多选）已知等比数列
的首项
，公比
，在
中每相邻两项
，
之间插入
个数，使
到
这
个数构成第
个等差数列，则（ ）
A．
B．第
个等差数列的公差为
C．第8 个等差数列的所有项的和为
D．
是第15 个等差数列中的第9 项
【答案】ABD
【详解】对于A，等比数列
的首项
，公比
，故
，故A 正确，
对于B，第
个等差数列为
，
之间插入
个数得到的数列，
公差为
，故B 正确，
对于C，第8 个等差数列为
之间插入8 个数得到的等差数列，
故所有项的和为
，故C 错误，
对于D，第15 个等差数列为
之间插入15 个数得到的等差数列，
故第9 项为
，故D 正确，
故选：ABD
【变式7-2】已知数列
满足
，
.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)在
与
之间插入
个数，使得这
个数组成公差为
的等差数列，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)39
【分析】
【详解】（1）因为
，则
，
且
，可得
，
所以
是以3 为首项，3 为公比的等比数列；
（2）由（1）可得：
，则
，
由题意可得：
，
，
即
，解得
，所以
的值为39.
【变式7-3】已知数列
的前
项和为
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，在
和
之间插入
个数，使得这
个数组成一个公差为
的等差数列，数列
中
是否存在三项
，且
成等差数列）成等比数列，若存在，求出
的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】
【详解】（1）因为
，当
时，
，
两式相减得
，
即
，
当
时，
，所以
，
因为
，所以
，满足
所以
是以2 为首项，
为公比的等比数列，
，
（2）由（1）可知
，
因为
，所以
假设在数列
中存在三项
成等差数列）成等比数列，
则
，即
，化简得
因为
成等差数列，所以
，从而（*）可以化简为
联立
，可得
，这与题设矛盾.
所以数列
中不存在三项
成等差数列）成等比数列.
题型08 等比数列的实际应用
【例15】生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.
在
这个生物链中，若能使
获得10kJ 的能量，则需
提供的能量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
需提供的能量为a，由题意知：
的能量为
，
的能量为
，
的能量为
，
即
，解得：
，
所以要能使
获得
的能量，则需
提供的能量为
.
故选：C.
【例16】朱载堉（1536 年-1611 年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学
新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平
均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的
前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2 倍．已知第十个单音的频率
，则与第四个单音的频率
最接近的是（ ）
A．494Hz
B．349Hz
C．311Hz
D．277Hz
【答案】C
【详解】设13 个单音的频率依次组成等比数列
，公比为
，
已知
，所以
，得
，即
；
第十个单音
，第四个单音
，两式相除得
，
所以
，与
最接近的是
.
故选：C.
【变式8-1】某公园有4 条同心圆环步道，其长度构成公比为2 的等比数列，若最长步道与最短步道之差为
，则最长步道为
．
【答案】960
【详解】设这
条同心圆环步道的长度构成的等比数列为
，公比
，首项为
（
），根据等
比数列通项公式，可得
.
因为
越大，
的值越大，所以最短步道为
，最长步道为
.可得
.
已知最长步道与最短步道之差为
，即
，联立解得
，
，即最长步道为
.
故答案为：960.
【变式8-2】如图是瑞典数学家科赫在
年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正
三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反
复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为，把图2，图3，图4 中
图形依次记1 级、2 级、3 级雪花曲线，则
级雪花曲线的边长为 ，
级雪花曲线的周长为
．
【答案】
/
【详解】设
级雪花曲线的边长为
，则数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
故
级雪花曲线的边长为
；
设
级雪花曲线的边数为
，则数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
故
级雪花曲线的边数为
，则
级雪花曲线的周长为
，
故答案为：
；
．
【变式8-3】1979 年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，
向科大少年班学生提出了一个“五猴分桃”的趣题：有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分．
第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分
完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了．第二只猴子来了，它不知
道刚才发生的事，也把桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了．以后每只
猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办理．问：原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？
【答案】最初至少有3121 个，最后至少剩下1020 个.
【详解】设最初的桃子数为
，5 只猴子分剩的桃子数依次为
，
由题意得
①，
设
，
即
，
对照①式，得
，即
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列．
所以
，
所以
，即
．
由于
为整数，所以
的最小值为
，
所以
的最小值为
．
即最初至少有3121 个桃子，从而最后至少剩下
（个）桃子．
一、单选题
1．若
成等比数列，且公比为
，则
的公比为（ ）
A．2
B．-2
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
成等比数列，且公比为
，所以
，
所以
，所以
的公比为
，
故选：A
2．已知实数
，a，b，c，
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．16
D．
【答案】A
【详解】由题意得,
，
，
又奇数项的符号相同，所以
，则
，
故
.
故选：A
3．已知数列
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
有：
，
所以数列
是以
为公比，首项为
的等比数列，
所以
，所以
，
所以
.
故选：A.
4．已知等比数列
满足
，且
，则
（ ）
A．24
B．
或24
C．
D．
或
【答案】B
【详解】设等比数列
的公比为
，
，
，
，
，
，
当
时，
；
当
时，
.
的值为
或
.
故选：B.
5．已知等比数列
，则“
”是“数列
为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】当
时，
，
此时
，但是
，所以数列
不是递减数列；
若数列
为递减数列，则
，所以
，
故“
”是“数列
为递减数列”的必要不充分条件，
故选：B
6．设各项为正数的等比数列
中，
，则
取最小值时，
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设等比数列的公比为
，所以
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
.
故选：D.
7．已知正项等比数列
满足
，
，则
取最大值时
的值为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．10 或11
【答案】D
【详解】设等比数列的公比为
，
由
，
，则
，
因为函数
在
上单调递增，且
时，
，可得
，
又
，则
，且数列
为递减数列，
则
取得最大值时
的值为10 或11.
故选：D.
8．已知数列
满足
，
，则（ ）
A．
是等差数列
B．
是等差数列
C．
是等比数列
D．
是等比数列
【答案】D
【详解】数列
满足
，可得
，则有
，
所以
，又
，
根据等比数列的定义可知，数列
是首项为2 公比为3 的等比数列，D 选项正确；
所以
，
，则有
，
，
，
，
，
不是等差数列，A 选项错误；
，
，
不是等差数列，B 选项错误；
，
，
不是等比数列，C 选项错误.
故选：D.
二、多选题
9．已知数列
满足
为常数，则（ ）
A．
是等差数列
B．
是等比数列
C．
，使得
为等差数列
D．
，使得
中存在相邻三项成等比数列
【答案】AB
【详解】对于A，由
，得
为常数，
是等差数列，A 正确；
对于B，由
为非0 常数，
是等比数列，B 正确；
对于C，当
时，若
中存在为0 的项，此时
无意义，若
不存在为0 的项，
则
不是常数，
即对任意非0 常数
，
都不是常数，即数列
不是等差数列，C 错误；
对于D，若
成等比数列，则
，即
，
整理得
，解得
，与
矛盾，
因此
，
中不存在相邻三项成等比数列，D 错误.
故选：AB
10．已知等差数列
的通项公式是
，则（ ）
A．等差数列
的公差
B．数列
是递减数列
C．-100 是数列
中的某一项
D．数列
一定是等比数列
【答案】BD
【详解】
等差数列
的公差
故A 错误；
因为
，所以数列
是递减数列，故B 正确；
由
得
，所以-100 不是数列
中的某一项，故C 错误；
，且
，
数列
一定是等比数列，故D 正确.
故选：BD.
11．在等比数列
中，
，
，则（ ）
A．
的公比为
B．
的公比为2
C．
D．数列
为递增数列
【答案】BC
【详解】设等比数列
的公比为
，
依题意，
，解得
，则
，
，BC 正确，A 错误；
对于D，
，则数列
为递减数列，D 错误.
故选：BC
12．在数列
中，
，
，且
（
），则下列选项正确的是（ ）
A．数列
为等比数列
B．数列
为等比数列
C．数列
为等比数列
D．数列
为等比数列
【答案】ABD
【详解】选项A：由
可得，
，
又
，所以数列
是首项为3，公比为3 的等比数列，A 正确.
选项B：由
可得，
，
又
，所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，B 正确.
选项C：由
可得，
，所以
，
所以
，
，
，
因为
，所以数列
不是等比数列，C 错误.
选项D：由A 知，数列
是首项为3，公比为3 的等比数列，
所以
，则
所以
，又
，
所以数列
是首项为-2，公比为2 的等比数列，D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．若数列
为等比数列，且
，
是方程
的两个根，则
.
【答案】
【详解】由题意得，
，
，故
，
，
因为
为等比数列，所以
，解得
，
又因为
，
，所以
与
同号，即
，
故
.
故答案为：
.
14．已知数列
是等比数列，
依次位于表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又
中任何两个都不在同一列，则
．
第一列
第二列
第三列
第一行
第二行
第三行
【答案】
【详解】观察题中的表格可知
，
，
分别为
，
，
，
即
是首项为
，公比为的等比数列，∴
，
故答案为：
．
15．已知等比数列
的公比
，若
，
，设
，记数列
的前
项和
为
，则使得
成立的
最大值为 .
【答案】8
【详解】
为等比数列，且公比
，
所以
，可得
，
，可得
，即
，
即
，解得
或
（舍），
所以
，
所以
，可得
，
所以
，可得
，
解得
，又
，
所以使得
成立的
最大值为8.
故答案为：8.
四、解答题
16．已知数列
为等比数列．
(1)若
，且
求
的值；
(2)若
求数列
的通项公式．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】
【详解】（1）因为
，则
，即
，
又因为
，所以
.
（2）因为
，则
，可得
，
设数列
的前3 项依次为
，则有
，
整理得
，解得
或
，
此时
或
，所以
或
17．在数列
中，
，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
【答案】(1)证明见解析
(2)
（
）
【分析】
【详解】（1）已知
，两边同时取倒数得：
，
两边同时加
可得：
，
由此可得：
，当
时，
，
因此得证：
为等比数列，其首项为，公比
.
（2）由（1）可得：
为等比数列，其首项为，公比
.
因此可得：
，得：
(
）
18．设数列
的首项
为常数
，且
．
(1)证明：
是等比数列；
(2)若
中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在；
成等差数列.
【分析】
【详解】（1）证明：
因为
，所以
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列；
（2）因为
，所以数列
的首项是
，
所以
，则
，
若
中存在连续三项成等差数列，则必有
，
即
，
整理得：
，即
，
因为
，所以
，所以
必为偶数，
所以
，解得：
，所以
成等差数列.
