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大题仿真卷 04（A 组+B 组+C 组）
（模式：5题 满分：77分 限时：70分钟）
一、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)证明： .
【答案】（1）证明见解析， ；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，
求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出 ，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等
式.
试题解析：（1）证明：由 得 ，所以 ，所以 是等比数列，
首项为 ，公比为3，所以 ，解得 .
（2）由（1）知： ，所以 ，
1 1
因为当 时， ，所以 ，于是
≤1+ +⋯+
= ，
3 3n−1
所以 .
【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当 时， ，
而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.
考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们
的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解
决好该类问题的关键.
2．（23-24高三上·山东日照·期末）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科
毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
A大学 B大学 C大学 D大学
2023年毕业人数 （千人） 8 7 5 4
2023年考研人数 （千人） 0.6 0.4 0.3 0.3
(1)已知 与 具有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程 ；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若 大学的毕业生中小江､小沈选择考研的概率
分别为 ，该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求 的取值范围.
参考公式： .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据最小二乘法的估计公式求出相关数据，求出 ，即可求得 关于 的线性回归方程；
（2）设小江､小沈两人中选择考研的人数为 ，确定 的所有可能值，求出每个值相应的概率，即可求得
X的期望，进而可得该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望，列出不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得 ，
又 ，
，
，
，
所以 ，
故得 关于 的线性回归方程为 ；
（2）设小江､小沈两人中选择考研的人数为 ，则 的所有可能值为 ，，
，
，
，
则 ，可得 ，
又因为 ，可得 ，
故 .
3．（2024·山东威海·一模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)令 .若曲线 与 存在公切线，求实数 的取值
范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，即可对 讨论求解导函数的单调性，结合二次函数的性质求解，
（2）设出切点，根据点斜式求解直线方程，根据公切线可得 ，进而可得
，构造函数 且 求导，即可根据单调性求解函数的值域得解.
【详解】（1） ，
①当 时， 的定义域为(0,+∞)，
令f′(x)>0，即得 ，所以 ，
因为 ，解得： ；
令 ，解得： ，②当 时， 的定义域为 ，
令f′(x)>0，即得 ，所以 ，
因为 ，解得： ，
令 ，解得： ，
综上：当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）由题意知：设 的切点横坐标 ，则ℎ(x)在 处的切线方程为
.③
设 的切点横坐标 ，则 在 处的切线方程为
.④
联立③④，得 ，
当 时， ，代入方程组，不成立，
所以消去 得 .
设函数 且 .
令 ，得 或 .
令φ′(x)>0，解得 且 ；令φ′(x)<0，解得 或 ，
(1 )
所以φ(x)在 和 上单调递减，在 ,1 和 上单调递增，
2因为 ，
结合图象可知，当 时，方程 有解，
从而当 时，曲线y=g(x)与 存在公切线.
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨
论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这
种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知 为抛物线 的焦点，过点 的直线与抛物线 相交于
A(x ,y )， 两点．
1 1
(1)证明： 是常数；
(2)过点 作直线 的垂线 与抛物线 的准线相交于点 ，与抛物线 相交于 ， 两点（点 的横坐
标小于点 的横坐标）．
①求 的值；
② 是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；②存在，
【分析】（1）设出直线 的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系证得 .
（2）①求得直线 的方程， 点的坐标，利用根与系数关系求得 .
②根据抛物线的定义求得 ，然后求得 的表达式，再利用不基本不等式
求得最小值.或：假设直线 的倾斜角为 ，将 表示为含有 的三角函数的形式，利用换元法、函数的单调性等知识来求得最小值.
【详解】（1）由已知，点 的坐标为(1,0)，且可设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 ，
得 （*），
因为 ，
所以 ， 为方程（*）的两个实根，且 ，
因为点 ， 在抛物线 上，
所以 ，为常数．
（2）在题设条件下，直线 ， 都不与坐标轴平行且 ，
由（1）可知直线 的方程为： ，
①因为抛物线 的准线方程为 ，
代入 的方程可得点 的坐标为 ，
由（1）可知， ， ，
， ，
因此， ，
，
即 的值为 ．
② 存在最小值，
设点 ， 的坐标分别为 ， ，
因为点 均在抛物线 上，所以 ， ， ， ，
由 ，有 ，即 ，
变形可得 ，
则 （**），
同理， ，
根据抛物线的定义可知， ， ，
， ，
所以
．
由（**）知， ，
即 ，当且仅当 时取“＝”，
同理， ，当且仅当 时取“＝”，
由题设， ，
所以 ， ，
所以 ，
，
由题意可知， ， 同时成立，此时， 取得最小值 ，
故 存在最小值，最小值为 ．
另解：
存在最小值，
假设直线 的倾斜角为 ，根据题意可设 ，
如图，设点 在 轴上的射影为点 ，
抛物线 的准线与 轴相交于点 ，
根据抛物线的定义，由题设点 的位置可知
，
所以， ，
同理可得， ， ， ，
所以
，
令 ， ，
则 ，
由 ，可得 ，
易知函数 为增函数，
所以 ，上式中，当且仅当 ，即 时（此时 ）等号成立，
所以， ，
所以， 存在最小值 ，该最小值当且仅当 时取得.
【点睛】关键点睛：
这道题涉及了多种数学工具，如抛物线的几何性质、直线方程、向量运算和不等式技巧.
解决最小值问题时，利用函数的单调性和几何对称性是非常有效的，解题时，要充分理解题目中抛物线和
直线的几何关系，并使用适当的几何工具（如根与系数关系、向量积等）来简化计算.
5．（2024·广东河源·模拟预测）拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上
再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上．
(1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？
(2)假设原来有 个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为 种，写出 和 ，
之间的递推关系，并证明：数列 是等比数列；
(3)假设让站好的一排 个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为 ，证明：
当 无穷大时， 趋近于 ．（参考公式： ……）
【答案】(1)2；9
(2) ， ，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据分布计数乘法原理和特殊位置优先法计数即得；
（2）先假设有 个人，依题意，可分两个步骤完成：第一步，甲选位置，第二步排其余 个人，分类统
计方法数得 ，将其化为 ，可证得等比数列 ；
（3）由题得 ，根据（2）结论求得 ，推理得 ，赋值后累加即
得 ，由参考公式取 即可证明.
【详解】（1）当有3个士兵时，重新站成一排有2种站法；
当有4个士兵时，假设先安排甲，有3种站法，若甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3种站法，
剩下的两个人都只有1种站法，由分步乘法计数原理可得有 种站法．
（2）易知 ， ．
如果有 个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤：
第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有 种选法；
第二步：重排其余 个人，根据第一步，可以分为两类：第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有 种；
第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这样的站法有 种．
所以 ， ，又 ，
所以 ．
所以数列 ， 是首项为1，公比为 的等比数列
（3）由题意可知 ，
由（2）可得： ，则 ．
对 进行赋值，依次得： ， ，⋯，
将以上各式左右分别相加，得： ，因 ，
则 ．
即得 ，
当 无穷大时， ，得证.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于寻找题中 和 ， 之间的递推关系，通过两个计
数原理的运用，先分步再分类得到 ，第二个关键是根据数列递推公式，通过拼凑项得到
等比数列 ，为第三题证明结论做好知识铺垫.
（模式：3题 满分：45分 限时：40分钟）
一、解答题
1．（2024·山东威海·一模）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；(2)若 ，如图， 是 上的动点，且 始终等于 ，记 .当 为何值时，
的面积取到最小值，并求出最小值.
【答案】(1)
(2) ，最小值为
【分析】（1）根据正弦定理将分式化简，结合两角和的正弦公式可求得结果；
（2）在 中，根据正弦定理表示出 ，在 中，根据正弦定理表示出 ，根据三角形面积公
式得到 的面积，即可求出结果.
【详解】（1）在 中，由正弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，即得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）因为 ，由（1）知 ，所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， 取得最小值 ，此时 ，即 ，
所以当 时， 的面积取到最小值，最小值为 .
2．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，离心
率为2，P是E的右支上一点，且 ， 的面积为3．
(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点 的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分
别即为 和 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）由三角形面积及双曲线的定义，利用勾股定理求解即可；
（2）设直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式化简可得 ，代入
中化简即可得出最值.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为 ( )，
，
由题可知 ，
，即 ，
又 ，
故E的方程为 .
（2）如图，
由题可知 ，且直线 的斜率不为 ，
设直线 的方程为 ， ，
将方程 和 联立，得 ，
，
，
， ,直线 与 的右支有交点， ，
当 时， 取得最小值，且最小值为 .
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的一个极值点为 ．
(1)求 的值；
(2)若过点 可作曲线 的三条不同的切线，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 可得 ，即可验证求解，
（2）设出切点，根据点斜式直线方程，可将问题转化为 有三个不同的根，构造函数
，利用导数求解即可.
【详解】（1） ，由于 是极值点，故 ，故 ，
当 时， ，
当 或 时，f′(x)>0，当 时，f′(x)<0，
故 是 的一个极值点，故
（2）设切点为 ，则切点处的切线方程为 ，
将 代入可得 ，
故 ，
要使过点 可作曲线y=f (x)的三条不同的切线，则 有三个不同的交点，
记 ，则 ，
当 或 时， ，当 时， ，
故 在 ， 上单调递减，在(0,3)上单调递增，
且 ，
因此 .
（模式：2题 满分：34分 限时：30分钟）
1．（24-25高三上·福建·期中）对于数列 ，定义变换 ， 将数列 变换成数列
，记 ， ，对于数列 与，定义 .若数列 满足 ，
则称数列 为 数列，
(1)若数列 ，写出 ，并求 .
(2)对于任意给定的正整数 ，是否存在 数列 ，使得 ？若存在，写出一个数列 ；
若不存在，说明理由.
(3)若 数列 满足 ，求数列 的个数.
【答案】(1) ；
(2)不存在适合题意的数列 ，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用变换 的定义即可得解；
（2）利用 数列的定义，记 中有 个 ，有 个 ，则 ，进而即得；
（3）由题可得 ，进而可得 ，然后结合条件即得.
【详解】（1）因为 ，由变换 的定义，
得 .
所以 .
（2）对于数列 ，
所以 .
因为数列 为 数列，所以 .
对于数列 ，令 ，
则对于数列 中相邻的两项 ，
若 ，则 ；若 ，则 .
记 中有 且 个 ，则有 个1，
则 .
因为 与 的奇偶性相同， 与 的奇偶性不同，
所以不存在符合题意的数列 .
（3）首先证明 .
对于数列 ，有 ，
，.
因为 ，
，
所以 ，故 .
其次，由数列 为 数列可知， ，解得 ，
这说明数列 中任意相邻两项不同的情况有2次.
则数列 中 的个数为 时，符合题意的数列 都有 个，
所以数列 的个数为 .
【点睛】思路点睛：数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对
对应知识进行再迁移.
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)若 ， ，求实数a的取值范围；
(3)若 ，且 ，证明： ．
【答案】(1)极大值为4，极小值为0
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求导即可得到函数 的单调性，从而得到其极值；
（2）根据题意，令 ，将问题转化为最值问题，然后求导可得 ，然后分 与
讨论，即可得到结果；
（3）结合对数的运算可得只需证明 ，再由（2）中结
论可得 ，代入计算，即可证明.
【详解】（1）当 时， ，
令 ，即 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以，当 时， 取得极大值 ，
当 时， 取得极小值 ．
（2）令 ，
则 ，且 ， ，
设 ，则 ，
又令 ，则 ，
①若 ，即 时，
由于 在区间 上为增函数，可知 ，
则 即 在区间 上为增函数，故 ，
所以 即 在区间 上为增函数，
则 ，则 在区间 上为增函数，
所以 ，即 时， 恒成立，
所以，当 时，符合条件．
②若 ，即 时，
由于 为单调递增函数，且 ，
所以 ， ，
则 时， ，
可知 ）即 在区间 上为减函数，则 ，
故 即 在区间 上为减函数，则 ，
则 在区间 上为减函数，所以 ，不符合题意，
综上所述，当 ， 时，a的取值范围为 ．
（3）欲证 ，只需证明 ，
由（2）可知，当 时， ，即有 ，
进而得 ，其中 ，当且仅当 时“＝”成立，
则 ， ，…， ，
所以
，
所以 .
【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数的图像与性质，导数的应用以及不等式的证明，难度较大，解答
本题的关键在化归与转化思想的应用.
