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专练 31 等比数列及其前 n 项和
授课提示：对应学生用书65页
[基础强化]
一、选择题
1．等比数列{a}的前n项和为S，公比为q，若S＝9S，S＝62，则a＝( )
n n 6 3 5 1
A． B．2
C． D．3
答案：B
解析：由题意可得
即得选B.
2．已知等比数列{a}满足a＝，4aa＝4a－1，则a＝( )
n 1 2 4 3 2
A．± B．
C．± D．
答案：A
解析：因为4aa ＝4a －1，所以4aq4＝4aq2－1，又a ＝，解得q＝±2，所以a ＝a·q
2 4 3 1 1 2 1
＝×(±2)＝±.故选A.
3．等比数列{a}中，若a>0，aa＝1，a＋a＋a＝7，则公比q＝( )
n n 2 4 1 2 3
A． B．
C．2 D．4
答案：B
解析：由等比数列的性质得a＝aa ＝1，结合a>0，得a ＝1.由a ＋a ＋a ＝7，得＋
2 4 n 3 1 2 3
＋a＝7，则＋＝6，结合q>0，得q＝，故选B.
3
4．等比数列{a}的前n项和为S ，且4a ，2a ，a 成等差数列．若a ＝1，则S ＝(
n n 1 2 3 1 4
)
A．7 B．8
C．15 D．16
答案：C
解析：∵4a，2a，a 成等差数列，∴4a＝4a＋a.又{a}为等比数列，∴4q＝4＋q2，∴q
1 2 3 2 1 3 n
＝2.又a＝1，
1
∴S＝＝＝15.
4
5．设{a}是公比为q＞1的等比数列，若a 和a 是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则
n 2 010 2 011
a ＋a ＝( )
2 012 2 013
A．18 B．10
C．25 D．9
答案：A
解析：由题意可得：a ＝，a ＝，又{a}为等比数列，∴q＝3.
2 010 2 011 n
∴a ＋a ＝＋＝18.
2 012 2 013
6．已知等比数列{a}的前n项积为T ，若a ＝－24，a ＝－，则当T 取得最大值时，
n n 1 4 n
n的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
答案：C
解析：设等比数列{a}的公比为q，则a＝－24q3＝－，q3＝，q＝，此等比数列各项均
n 4
为负数，当n为奇数时，T 为负数，当n为偶数时，T 为正数，所以T 取得最大值时，n
n n n
为偶数，排除B，而T＝(－24)2×＝24×8＝192，
2
T＝(－24)4×＝84×＝＞192，
4T＝(－24)6×＝86×＝＝×＜，T 最大，故选C.
6 4
7．[2022·全国乙卷(理)，8]已知等比数列{a}的前3项和为168，a －a ＝42，则a ＝(
n 2 5 6
)
A．14 B．12
C．6 D. 3
答案：D
解析：设等比数列{a}的公比为q.由题意知，两式相除，得＝4，解得q＝.代入a －
n 2
aq3＝42，得a＝48，所以a＝aq4＝3.故选D.
2 2 6 2
8．[2023·新课标Ⅱ卷]记S 为等比数列{a}的前n项和，若S ＝－5，S ＝21S ，则S ＝
n n 4 6 2 8
( )
A．120 B．85
C．－85 D．－120
答案：C
解析：方法一 设等比数列{a}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，
n
则，化简整理得.所以S＝＝×(1－44)＝－85.故选C.
8
方法二 易知S ，S －S ，S －S ，S －S ，……为等比数列，所以(S －S)2＝S·(S －
2 4 2 6 4 8 6 4 2 2 6
S)，解得S ＝－1或S ＝.当S ＝－1时，由(S －S)2＝(S －S)·(S －S)，解得S ＝－85；当
4 2 2 2 6 4 4 2 8 6 8
S＝时，结合S＝－5得，化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S＝－85，故选C.
2 4 8
9．(多选)已知等比数列{a}的公比为q，前n项和为S ，且满足a ＝8a ，则下列说法
n n 6 3
正确的是( )
A．{a}为单调递增数列
n
B.＝9
C．S，S，S 成等比数列
3 6 9
D．S＝2a－a
n n 1
答案：BD
解析：由a＝8a，可得q3a＝8a，则q＝2，
6 3 3 3
当首项a＜0时，可得{a}为单调递减数列，故A错误；
1 n
由＝＝9，故B正确；
假设S，S，S 成等比数列，可得S＝SS，
3 6 9 3 9
即(1－26)2＝(1－23)(1－29)，显然不成立，
所以S，S，S 不成等比数列，故C错误；
3 6 9
由{a}是公比q的等比数列，可得S＝＝＝2a－a，故D正确．
n n n 1
二、填空题
10．等比数列{a}的各项均为实数，其前 n 项和为 S.已知 S ＝，S ＝，则 a ＝
n n 3 6 8
________．
答案：32
解析：设{a}的首项为a，公比为q，
n 1
则解得
所以a＝×27＝25＝32.
8
11．[2023·全国乙卷(理)]已知为等比数列，aaa＝aa，aa ＝－8，则a＝________.
2 4 5 3 6 9 10 7
答案：－2
解析：方法一 设数列{a}的公比为q，则由aaa ＝aa ，得aq·aq3·aq4＝aq2·aq5.
n 2 4 5 3 6 1 1 1 1 1
又a≠0，且q≠0，所以可得aq＝1 ①.又aa ＝aq8·aq9＝aq17＝－8 ②，所以由①②可
1 1 9 10 1 1
得q15＝－8，q5＝－2，所以a＝aq6＝aq·q5＝－2.
7 1 1
方法二 设数列{a}的公比为q.因为aa ＝aa≠0，所以a ＝1.又aa ＝aq7·aq8＝q15
n 4 5 3 6 2 9 10 2 2
＝－8，于是q5＝－2，所以a＝aq5＝－2.
7 2
12．设等比数列{a}满足a＋a＝－1，a－a＝－3，则a＝________．
n 1 2 1 3 4
答案：－8
解析：由{a}为等比数列，设公比为q.
n
即
显然q≠1，a≠0，
1得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a＝1，
1
所以a＝aq3＝1×(－2)3＝－8.
4 1
[能力提升]
13．[2023·全国甲卷(理)]设等比数列{a}的各项均为正数，前n项和为S，若a＝1，S
n n 1 5
＝5S－4，则S＝( )
3 4
A． B．
C．15 D．40
答案：C
解析：方法一 若该数列的公比q＝1，代入S ＝5S －4中，有5＝5×3－4，不成立，
5 3
所以q≠1.由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均
为正数，所以q＝2，所以S＝＝15.故选C.
4
方法二 由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由
于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.
4
14．设首项为1，公比为的等比数列{a}的前n项和为S，则( )
n n
A．S＝2a－1 B．S＝3a－2
n n n n
C．S＝4－3a D．S＝3－2a
n n n n
答案：D
解析：∵a＝1，q＝，
1
∴S＝＝3＝3－2·＝3－2a.
n n
15．记S 为等比数列{a}的前n项和．若a＝，a＝a，则S＝________．
n n 1 6 5
答案：
解析：通解：设等比数列{a}的公比为q，因为a＝a ，所以(aq3)2＝aq5，所以aq＝
n 6 1 1 1
1，又a＝，所以q＝3，所以S＝＝＝.
1 5
优解：设等比数列{a}的公比为q，因为a＝a ，所以aa ＝a ，所以a ＝1，又a ＝，
n 6 2 6 6 2 1
所以q＝3，所以S＝＝＝.
5
16．设等比数列{a}满足a＋a＝10，a＋a＝5，则aa…a 的最大值为________．
n 1 3 2 4 1 2 n
答案：64
解析：设等比数列{a}的公比为q，
n
∴
即解得
∴aa…a＝
1 2 n
＝
＝，
当n＝3或4时，取到最小值－6，此时取到最大值26，所以aa…a 的最大值为64.
1 2 n
